Giải số phương trình vi phân đại số bằng phương pháp đa bước

19 2.2 Một số phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số.. Phương trình vi phân thường đã được nghiên cứu từ lâu, trongkhi đó lý thuyết phương trình vi phân ẩn, trong đó có phư

Mục lục i

Lời nói đầu iii Lời cảm ơn v

1 Giới thiệu 1 1.1 Phương trình vi phân đại số 1

1.1.1 Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 1

1.1.2 Phương trình vi phân đại số chỉ số cao 2

1.2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân 5

1.2.1 Điều kiện ổn định của phương pháp đa bước 5

1.2.2 Một số phương pháp đa bước cụ thể 6

2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1 19 2.1 Sự hội tụ của phương pháp đa bước 19

2.2 Một số phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số 25

2.2.1 Phương pháp Euler ẩn 25

2.2.2 Phương pháp BDF 27

2.3 Thử nghiệm số 27

3 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 2 30 3.1 Sự tồn tại duy nhất của lời giải số 31

3.2 Ảnh hưởng của nhiễu 33

3.3 Sai số địa phương Sự hội tụ của phương pháp BDF 35

3.3.1 Sai số địa phương 35

3.3.2 Sự hội tụ của BDF 35

3.4 Phương pháp đa bước tổng quát 39

3.5 Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phép lặp Newton 42 3.6 Thử nghiệm số 43

Kết luận 46

Tài liệu tham khảo 47

Phụ lục 48

Phương trình vi phân thường đã được nghiên cứu từ lâu, trongkhi đó lý thuyết phương trình vi phân ẩn, trong đó có phương trình viphân đại số, chỉ mới được quan tâm mạnh mẽ trong vòng 30 năm trởlại đây Phương trình vi phân đại số là bài toán đặt không chỉnh, vì vậy

có rất nhiều điểm đặc biệt mà ta không thể tìm thấy ở phương trình viphân thường Ví dụ như ma trận hệ số là ma trận suy biến, sự tồn tại vàduy nhất nghiệm phụ thuộc vào vế phải, , khiến việc nghiên cứu nhữngvấn đề định tính cũng như giải số phương trình vi phân đại số trở nênphức tạp hơn nhiều so với phương trình vi phân thường

Phương trình vi phân đại số có nhiều ứng dụng rộng rãi, chúng

mô phỏng các hệ động lực có ràng buộc, chẳng hạn như hệ cơ học, hệmạch điện, hệ kỹ thuật hóa học, lý thuyết điều khiển, động lực học chấtlỏng và nhiều lĩnh vực khác Động thái chuyển động của một đối tượngvật lý thường được mô hình hóa qua hệ phương trình vi phân Nhưngnếu các trạng thái của hệ thống vật lý chịu một số ràng buộc (về vị trí,năng lượng, ) thì các hạn chế đó được mô tả bởi các phương trình (ràngbuộc) đại số Những hệ như vậy bao gồm các phương trình vi phân vàphương trình đại số, được gọi là hệ phương trình vi phân đại số

Khái niệm chỉ số được sử dụng trong lý thuyết phương trình viphân đại số để đo độ phức tạp của một phương trình vi phân đại số đốivới phương trình vi phân thường Chỉ số là một số nguyên không âm,cung cấp thông tin hữu ích về cấu trúc toán học và sự phức tạp trongviệc phân tích hệ phương trình vi phân đại số

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một số phương pháp đabước để giải phương trình vi phân chỉ số 1 và phương trình vi phân chỉ số

2, cụ thể là phương pháp Euler ẩn và phương pháp BDF k bước Ngoàiphần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành

ba chương:

Chương 1: Giới thiệu

Trình bày phương trình vi phân đại số chỉ số 1 và phương trình vi phânđại số chỉ số cao Trình bày một số phương pháp đa bước cụ thể giảiphương trình vi phân và điều kiện ổn định của phương pháp đa bước.Chương 2: Phương pháp đa bước giải phương trình vi phânđại số chỉ số 1

Trình bày dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số chỉ số 1,phương pháp đa bước áp dụng cho bài toán, sự hội tụ của bài toánnhiễu suy biến Lấy ví dụ minh họa và thử nghiệm số

Chương 3: Phương pháp đa bước giải phương trình vi phânđại số chỉ số 2

Trình bày dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số chỉ số 2,phương pháp đa bước áp dụng cho bài toán, ảnh hưởng của nhiễu, sựhội tụ của phương pháp BDF và phương pháp đa bước nói chung Lấy

ví dụ minh họa và thử nghiệm số

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin cảm ơn Banchủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học cùng toàn thể các thầy giáo, côgiáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, trường Đại họcKhoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, đã giảng dạy tận tình

và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt luận văn

Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo PGS.TS

Vũ Hoàng Linh, người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôitrong suốt quá trình tôi học tập và thực hiện luận văn

Nhân dịp này, tôi cũng xin cảm ơn gia đình đã luôn ủng hộ và độngviên trong suốt thời gian tôi học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn tất cả các bạn, các anh, các chị, em tronglớp cao học Toán khóa 2010 - 2012 và khóa 2011 - 2013 đã tận tình giúp

đỡ và động viên tôi trong quá trình học tập

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2014

Học viên

Nguyễn Thị Hải Dung

Giới thiệu

1.1 Phương trình vi phân đại số

1.1.1 Phương trình vi phân đại số chỉ số 1

y0 = −z =: f (y, z),

0 = y − (z33 − z) =: g(y, z) (1.3)Trong khi việc giải (1.2) không đơn giản thì (1.3) dễ dàng giải được

y0 = −z = (z2 − 1)z0,

từ đó suy ra ln |z| − z22 = x + C.

Phương trình (1.3) được gọi là phương trình vi phân đại số Ta cóthể thấy, phương trình vi phân đại số là sự kết hợp giữa phương trình

vi phân và phương trình đại số

1.1.2 Phương trình vi phân đại số chỉ số cao

Dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số là phương trình viphân ẩn

trong đó u : R → Rm là lời giải, F : R × Rm× Rm

→ Rm là hàm số, ∂F∂u0

suy biến

Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân đại số (1.4) có chỉ số vi phân

d = m nếu m là số nhỏ nhất của các vi phân

(không có z0) Ta lấy đạo hàm (1.7), thu được

gy(y, z)f (y, z) + gz(y, z)z0 = 0,suy ra

z0 = −gz−1(y, z).gy(y, z)f (y, z),

nếu gz là khả nghịch trong lân cận của lời giải.

Vì vậy bài toán (1.6), (1.7) có chỉ số vi phân là 1 nếu gz khả nghịch

Hệ chỉ số 2 Xét phương trình vi phân đại số

Trong đó z không có mặt trong ràng buộc đại số Lấy đạo hàm (1.9)

ta thu được "ràng buộc ẩn"

Nếu gy(y)fz(y, z) khả nghịch trong lân cận của lời giải thì phương

trình (1.8), (1.10) là phương trình chỉ số 1 Lấy vi phân phương trình

(1.10) cho ta phương trình vi phân của z, vì thế phương trình (1.8), (1.9)

là phương trình vi phân chỉ số 2 Nếu giá trị ban đầu thỏa mãn 0 = g(y0)

và 0 = gy(y0)f (y0, z0) thì ta gọi chúng là "tương thích" Chỉ trong trường

hợp này, phương trình (1.8) và (1.9) có lời giải duy nhất địa phương

Chỉ số nhiễu

Quan niệm thứ hai về chỉ số, giải thích chỉ số như là tiêu chuẩn (đơn

vị đo) về độ nhạy cảm của lời giải đối với nhiễu của bài toán cho trước

Định nghĩa 1.2 Phương trình (1.4) có chỉ số nhiễu p = m dọc theo lời

giải u(x) trên [0, x), nếu m là số nguyên nhỏ nhất sao cho mọi lời giải

với biểu thức vế phải là đủ nhỏ, C là hằng số

Hệ chỉ số 1 Để tính toán chỉ số nhiễu của phương trình (1.6), (1.7), taxét hệ bị nhiễu

kz(x) − z(x)k ≤ Cb 1(ky(x) − y(x)k + kδb 2(x)k) , (1.15)với vế phải của (1.15) là đủ nhỏ

Trừ (1.13) cho (1.6), lấy tích phân từ 0 → x, sử dụng điều kiện chitz cho f và ước lượng trên choz(x)−z(x) cho ta e(x) = kb y(x) − y(x)kbthỏa mãn

ky(x) − y(x)k ≤ Cb 4(ky(0) − y(0)k +b

Hệ chỉ số 2 Xét nhiễu của phương trình (1.8), (1.9) như sau:

b

0 = g(y) + θ(x).b (1.17)Đạo hàm (1.17) ta được

0 = gy(by)f (by,z) + gb y(y)δ(x) + θb 0(x) (1.18)Nếu gy(y)fz(y, z) là khả nghịch ta có thể sử dụng ước lượng cho trườnghợp chỉ số 1 (với δ2(x) thay bởi gy((x))δ(x) + θ0(x)) thu được

Do ước lượng này phụ thuộc vào đạo hàm bậc nhất của θ nên chỉ sốnhiễu của bài toán là 2

1.2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân

1.2.1 Điều kiện ổn định của phương pháp đa bước

Phương pháp đa bước tổng quát áp dụng cho bài toán giá trị ban đầu

y0 = f (x, y) ,

y (x0) = y0,

có dạng

αkym+k + αk−1ym+k−1 + + α0ym = h(βkfm+k+ + β0fm), (1.20)trong đó fi = f (xi, yi) , i = 0, 1,

Áp dụng cho phương trình thử

ta được

αkym+k + αk−1ym+k−1+ + α0ym = hJ (βkym+k + + β0ym).(1.22)

Đưa vào một cơ sở mới các vectơ ym+i là các vectơ riêng của J tươngứng với giá trị riêng λ ta có

(αk − µβk)ym+k + + (α0 − µβ0)ym = 0, µ = hλ (1.23)Miền ổn định

Giải (1.23) ta sử dụng phương pháp Lagrange

Đặt yj = ζj, chia 2 vế cho ζm và xét phương trình đặc trưng

(αk − µβk)ζk + + (α0 − µβ0) = %(ζ) − µσ(ζ) = 0, (1.24)với %(ζ) =

Định nghĩa 1.3 Tập hợp S = {µ ∈ C, mọi nghiệm ζj(µ) của (1.24) thỏamãn | ζj(µ) |≤ 1, nghiệm bội thỏa mãn | ζj(µ) |< 1} được gọi là miền

- Nếu µ = 0, từ phương trình (1.24) suy ra %(ζ) = 0 Do đó 0 ∈ S

1.2.2 Một số phương pháp đa bước cụ thể

Phương pháp Adams

Kí hiệu xi = x0 + ih là các điểm lưới, yn, yn−1, , yn−k+1 là các xấp

xỉ của các nghiệm chính xác y (xn) , y (xn−1) , , y (xn−k+1) của phươngtrình vi phân

y (x0) = y0.Lấy tích phân (1.25) trong khoảng từ xn đến xn+1 ta được

Vế phải của phương trình (1.26) xuất hiện lời giải chưa biết y (x),nhưng từ các xấp xỉ yn, yn−1, , yn−k+1 đã biết, giá trị

fi = f (xi, yi) , i = n − k + 1, n

có thể tìm được và nó thay hàm f (t, y (t)) trong phương trình (1.26) bởi

đa thức nội suy tại các điểm {(xi, yi) , i = n − k + 1, n}

Đa thức này có thể được biểu diễn bằng sai phân lùi

∇0fn = fn, ∇j+1fn = ∇jfn− ∇jfn−1như sau

ds

Với k = 1, 2, 3, 4 ta thu được các công thức sau:

k = 1 : yn+1 = yn + hfn (Phương pháp Euler hiển)

hoặc đặt yn = ζn và chia cho ζn ta có

+ γ2



Khi đó đường cong quỹ tích nghiệm trở thành

Hình 1.1: Miền ổn định của phương pháp Adams hiển

Hình 1.2: Miền ổn định của phương pháp Adams ẩn

Phương pháp Adams ẩn

Công thức (1.28) thu được bằng cách lấy tích phân các đa thức nội suy(1.27) từ xn đến xn+1, tức là bên ngoài khoảng nội suy (xn−k+1, xn)

Điều đó cho thấy, một đa thức nội suy thường là xấp xỉ yếu bên ngoàikhoảng này Do đó, Adams nghiên cứu phương pháp trong đó phươngtrình (1.27) được thay thế bằng các đa thức nội suy mà sử dụng thêmđiểm (xn+1, fn+1), tức là

ds

Do đó, các công thức thu được thường có dạng

yn+1 = yn+ h (βkfn+1 + + β0fn−k+1) Với k = 0, 1, 2, 3 ta có các công thức

+ γ2∗



Khi đó đường cong quỹ tích nghiệm trở thành

1 ζ k

Với k = 1, đây là quy tắc hình thang ẩn và có ổn định - A Với

k = 2, 3, , 6 miền ổn định mặc dù rộng hơn so với phương pháp hiểnnhưng không chứa ¯C (Hình 1.2) Do đó phương pháp này không ổn định

- A

Công thức dự báo hiệu chỉnh

Thông thường để tính yn+1 trong phương trình ẩn ta sử dụng kếtquả yn+1∗ của phương pháp Adams hiển như một biến độc lập trong

βkf (xn+1, yn+1) Nó phá hủy tính ổn định của phương pháp Điều kiện

ổn định thay đổi như sau: Công thức

yn+1∗ = yn + µ(γ0yn + γ1(yn− yn−1) + γ2(yn − 2yn−1 + yn−2) + )

(1.29)Thay vào trong công thức hiệu chỉnh

j!,

j

,

C = 1 − ζ

Với ζ = eiθ, phương trình (1.27) có hai nghiệm Điều này cho thấy

2 đường cong quỹ tích nghiệm xác định miền ổn định Đường cong nàyđược mô tả ở Hình 1.3 và so sánh nó với phương pháp ẩn ta thấy chúngkhông ổn định Đặc biệt, với k = 1, quy tắc hình thang trở thành phươngpháp Runge - Kutta hiển bậc hai và miền ổn định-A bị phá hủy

Hình 1.3: Miền ổn định của công thức hiệu chỉnh so với phương pháp ẩn

ds

Phương pháp Nystrom hiển với k = 1, 2 là công thức trung điểm hiển

Đường cong này di chuyển lên xuống theo trục ảo giữa ±i và cho phépmiền ổn định trong khoảng (−i, +i) Tất cả các giá trị riêng ở bên trongnửa trái của mặt phẳng phức cho ta tính không ổn định Đây chính là

lí do nghiệm thứ hai −1 của %(ζ) di chuyển ra ngoài vòng tròn đơn vịkhi µ di chuyển về âm vô cực Hiện tượng đặc biệt này được gọi là "tínhkhông ổn định yếu" của quy tắc trung điểm và là "điểm đi vào" của điềukiện ổn định nhanh Dahlquist

Phương pháp Milne- Simpson

Ta lại xét các phương trình tích phân (1.32) nhưng ta thay tích phânbởi các đa thức p∗(t), trong đó ngoài fn, , fn−k+1 ta cũng nội suy fn+1.Như thường lệ, ta thu được công thức

ds

Phương pháp Milne - Simpson với k = 0, 1, 2, 4 là

k = 0 : yn+1 = yn−1 + 2hfn+1

k = 1 : yn+1 = yn−1 + 2hfn

k = 2 : yn+1 = yn−1 + h 13fn+1 + 43fn + 13fn−1

k = 4 : yn+1 = yn−1 + h 2990fn+1+ 12490fn+ 2490fn−1 + 904 fn−2 − 901 fn−3
Phương pháp Milne- Simpson ẩn với k = 2, 3 có đường cong quỹ tíchnghiệm

di chuyển lên xuống theo trục ảo giữa ±i√

3 Vì vậy nó có dáng điệugần giống phương pháp Nystrom hiển với các khoảng ổn định to nhỏ

lồng vào nhau.

Phương pháp Nystrom và Milne- Simpson bậc cao có đường cong quỹtích nghiệm được định hướng xoay vòng (Hình 1.4) Vì thế miền ổn địnhnày có thể thu gọn thành miền ổn định ban đầu

Phương pháp BDF

Hình 1.4: Đường cong quỹ tích nghiệm của phương pháp Nystrom và Milne

Giả sử xấp xỉ yn−k+1, , yn của lời giải chính xác của phương trình(1.25) là đã biết Để xác định công thức của yn+1 ta xét các đa thức q (x)nội suy các giá trị {(xi, yi) , i = n − k + 1, · · · , n + 1} Đa thức này cóthể biểu diễn bằng sai phân lùi, cụ thể

và do đó không có ý nghĩa

s=1

.Theo định nghĩa hệ số nhị thức

(−1)j −s + 1

j



= 1j!(s − 1) s (s + 1) (s + j − 2)

hệ số δj∗ thu được bằng cách sai phân trực tiếp

Áp dụng công thức sai phân lùi

Thay yn+i là các vectơ riêng của J , λ là giá trị riêng tương ứng, ta



1 − 2ζ + ζ12

+

µ =



1 − 1ζ

+ 12

⇒ Re(µ) = 3

2 − 2 cos θ + cos 2θ ≥ 0, ∀θ

Do đó phương pháp là ổn định A và có cấp chính xác là 2 Tuy nhiên

với k = 3, 4, 5, 6 miền ổn định của phương pháp càng ngày càng không

ổn định ở một nửa trục ảo Với k = 7 công thức không ổn định

Hình 1.5: Đường cong quỹ tích nghiệm và miền ổn định của phương pháp BDF

Định lý 1.1 Nếu phương pháp đa bước (1.20):

αkym+k+ αk−1ym+k−1 + + α0ym = h(βkfm+k+ + β0fm)

là ổn định - A thì

Re %(ζ)σ(ζ)

αkym+k+ αk−1ym+k−1 + + α0ym = h(βkfm+k+ + β0fm)Khi đó ta có σ(ζ0) 6= 0, suy ra µ0 = %(ζ0 )

σ(ζ 0 ) Và từ (1.33) ta suy ra |ζ0| ≤ 1

Ta có thể chỉ ra rằng ζ0 là nghiệm đơn nếu |ζ0| = 1 Vì ζ0 là đối sốliên tục nên từ (1.33) suy ra |ζ0| = 1 và Re(µ0) < 0 (mâu thuẫn) Vìvậy chứng tỏ rằng Re(µ0) = 0, nghiệm thỏa mãn |ζ0| = 1 là nghiệm đơn.Trong lân cận nghiệm ta có

%(ζ)σ(ζ) − µ0 = C1(ζ − ζ0) + C2(ζ − ζ0)2 +

và từ (1.33) suy ra C1 6= 0 Tuy nhiên, điều này chỉ có thể xảy ra nếu ζ0

là nghiệm đơn của (1.20)

Ta thấy phương pháp đa bước với bậc p ≥ 3 không ổn định - A Định

lý sau sẽ giải thích điều này

Định lý 1.2 Phương pháp đa bước ổn định - A phải có bậc p ≤ 2 Nếubậc bằng 2 thì hằng số sai số thỏa mãn C ≤ −112 Quy tắc hình thang làphương pháp ổn định - A bậc 2 với C = −112

Nhắc lại: Định lý III.2.4 trong [2]

Phương pháp đa bước (1.20) có bậc p nếu và chỉ nếu một trong cácđiều kiện tương đương sau thỏa mãn:

%(eh) − hσ(eh) = Cp+1hp+1+ , h → 0 (1.34)Mặt khác, do

% (1) = 0, %0(1) = σ (1)nên ta có

%(ζ) = C(ζ − 1)

p−1

+ , ζ → 1 (1.36)

Trong công thức này, lấy p = 2 Phương pháp bất kỳ bậc cao đều có

C = 0 Khi phương pháp có bậc 1, ta không thể chứng minh

Công thức giống công thức hình thang với %T(ζ) = ζ − 1, σT(ζ) =

1

2(ζ + 1) trở thành chuỗi

1log ζ − σT(ζ)

%T(ζ) = −

1

12(ζ − 1) + , ζ → 1. (1.37)Lấy (1.37) trừ (1.36) ta được

Từ (1.33) ta có

Re %(ζ)σ(ζ)

Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1

2.1 Sự hội tụ của phương pháp đa bước

Bài toán nhiễu suy biến có dạng

z0 = g(y, z),trong đó y, z là các vectơ Giả sử f, g là hàm vectơ đủ trơn có số chiềugiống như y, z Đặt ε = 0 ta được phương trình vi phân đại số

Do đó phương trình vi phân đại số (2.2), (2.3) thỏa mãn điều kiện(2.4) là phương trình vi phân đại số chỉ số 1 Phương pháp đa bước ápdụng cho bài toán (2.1) là:

Định lý 2.1 Giả sử phương trình vi phân đại số (2.2), (2.3) thỏa mãnđiều kiện (2.4) Xét phương pháp đa bước cấp chính xác p, ổn định tại

0 và ∞ (0 và ∞ nằm trong miền ổn định) và giả sử sai số của giá trịban đầu yj, zj, j = 0, 1, , k − 1 là O(hp) Khi đó sai số toàn cục củaphương pháp (2.6), (2.7) thỏa mãn

với G(y) xác định từ công thức y0 = f (y, G(y)) Thay (2.10) vào (2.8)

ta được công thức đa bước cho phương trình vi phân (2.5) với nhiễuO(hp+1) Khi đó phát biểu trên được suy ra từ chứng minh hội tụ củaphương pháp đa bước

Sự hội tụ của bài toán nhiễu suy biến

Ma trận Jacobian của

y0 = f (y, z),

z0 = g(y, z),

và nó có giá trị riêng xấp xỉ −1λ, trong đó λ là giá trị riêng của gz.

Ta giả sử giá trị riêng của gz có phần thực âm hay chính xác hơn, tagiả thiết giá trị riêng λ của gz(y, z) nằm trong | arg − π |< α với (y, z)

là lân cận của lời giải

Định lý 2.2 (Lubich 1991) Giả sử phương pháp đa bước có bậc p, ổnđịnh - A(α) và ổn định mạnh tại ∞ Nếu phương trình (2.1) thỏa mãnđiều kiện (2.8) thì sai số bị chặn với h ≥  và nh ≤ ¯x − x0 xác định bởi

kyn − y (xn)k + kzn − z (xn)k

≤ C( max

0≤j<kkyj − y (xj)k + hpRxn

x 0 y(p+1)(x) dx+ (h + %n) max

0≤j<kkzj − z (xj)k + εhp max

x 0 ≤x≤x n

z(p+1)(x) )với 0 < % < 1 Ước lượng này đúng cho h ≤ h0 (h0 đủ nhỏ, độc lập với

) và với điều kiện giá trị ban đầu là đủ nhỏ, h và - độc lập là lân cậncủa lời giải chính xác Hằng số C và % là độc lập với  và h

Ta định nghĩa sai số toàn cục bởi ∆yn = yn− y(xn), ∆zn = zn− z(xn)

và đưa vào sai phân

∆fn+k =

k

X

i=0

βi(f (yn+i, zn+i) − f (y(xn+i), z(xn+i))), n ≥ 0,

∆fi = 0 với j < k Lấy phương trình (2.11) trừ cho phương trình (2.6)với n ≥ 0 ta được

βi(g(yn+i, zn+i) − g(y(xn+i), z(xn+i)) − J ∆zn+i), (2.19)

và ∆gi = 0 với j < k Ta lại định nghĩa e0, e1, , ek−1 sao cho phươngtrình (2.18) đúng với n âm và giải phương trình (2.18) cho ta ∆zn

h

X

h

krj(h

J )k ≤ C.κ

j, 0 < κ < 1 (2.22)Khi đó thay vào phương trình (2.20) ta được

n

X

j=0

κn−jkejk

Sử dụng phép quy nạp ta có

k∆ynk ≤ un, k∆znk ≤ vn,với điều kiện l < 1 và h ≤ h0 Do đó (2.24) có thể viết lại như sau

b

djb

Vì thế d0, d1, , dk−1 là tổ hợp tuyến tính của ∆y0, , ∆yk−1 và

e0, e1, , ek−1 là tổ hợp tuyến tính của ∆zj và h∆zj Từ đánh giá (2.20)

và (2.8) ta suy ra điều phải chứng minh.

Vì giả thiết của l (% = 1−lκ < 1) ta có thể chứng minh định lý cho mộtkhoảng đủ nhỏ (nhưng - độc lập) Khoảng compact [x0, x] có thể xácđịnh bởi khai triển lặp đi lặp lại của ước lượng ở trên

Nếu ta có thể chỉ ra rằng



hδ(ζ)I − gz(y, z)

−1 ζ−kσ(ζ−k) ≤ C, |ζ| ≤ 1

|ζ|= 1 κ



hδ(ζ)I − J

−1 ζ−kσ(ζ−1).ζ

2.2 Một số phương pháp đa bước giải phương trình

Euler ẩn cho hệ phương trình vi phân đại số này ta thu được

cả các phương pháp đa bước và Runge - Kutta, là không ổn định hoặcthậm chí không áp dụng được

Xét phương trình vi phân đại số nửa hiển chỉ số 1

y0 = f (t, y, z) ,

trong đó gz không suy biến

Dễ thấy rằng phương pháp Euler ẩn vẫn giữ nguyên các tính chất củaphương trình vi phân thường (cấp chính xác, miền ổn định, sự hội tụ)

Từ định lý hàm ẩn, tồn tại hàm eg sao cho

Đối với bài toán phi tuyến dạng (2.30) phép lặp Newtơn cho yn, bắtđầu từ xấp xỉ yn0, dựa trên giả thiết từ các bước trước đó, ta có