Giải số phương trình vi phân đại số bằng phương pháp đa bước

Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời nói đầu iii Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 1 Giới thiệu 1 1.1 Phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 . . . . . . . 1 1.1.2 Phương trình vi phân đại số chỉ số cao . . . . . . 2 1.2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân . . . . . 5 1.2.1 Điều kiện ổn định của phương pháp đa bước . . 5 1.2.2 Một số phương pháp đa bước cụ thể . . . . . . . 6 2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1 19 2.1 Sự hội tụ của phương pháp đa bước . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Một số phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Phương pháp Euler ẩn . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2 Phương pháp BDF . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 2 30 3.1 Sự tồn tại duy nhất của lời giải số . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Ảnh hưởng của nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Sai số địa phương. Sự hội tụ của phương pháp BDF . . 35 i MỤC LỤC 3.3.1 Sai số địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.2 Sự hội tụ của BDF . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.4 Phương pháp đa bước tổng quát . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phép lặp Newton . 42 3.6 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ii Lời nói đầu Phương trình vi phân thường đã được nghiên cứu từ lâu, trong khi đó lý thuyết phương trình vi phân ẩn, trong đó có phương trình vi phân đại số, chỉ mới được quan tâm mạnh mẽ trong vòng 30 năm trở lại đây. Phương trình vi phân đại số là bài toán đặt không chỉnh, vì vậy có rất nhiều điểm đặc biệt mà ta không thể tìm thấy ở phương trình vi phân thường. Ví dụ như ma trận hệ số là ma trận suy biến, sự tồn tại và duy nhất nghiệm phụ thuộc vào vế phải, , khiến việc nghiên cứu những vấn đề định tính cũng như giải số phương trình vi phân đại số trở nên phức tạp hơn nhiều so với phương trình vi phân thường. Phương trình vi phân đại số có nhiều ứng dụng rộng rãi, chúng mô phỏng các hệ động lực có ràng buộc, chẳng hạn như hệ cơ học, hệ mạch điện, hệ kỹ thuật hóa học, lý thuyết điều khiển, động lực học chất lỏng và nhiều lĩnh vực khác. Động thái chuyển động của một đối tượng vật lý thường được mô hình hóa qua hệ phương trình vi phân. Nhưng nếu các trạng thái của hệ thống vật lý chịu một số ràng buộc (về vị trí, năng lượng, ) thì các hạn chế đó được mô tả bởi các phương trình (ràng buộc) đại số. Những hệ như vậy bao gồm các phương trình vi phân và phương trình đại số, được gọi là hệ phương trình vi phân đại số. Khái niệm chỉ số được sử dụng trong lý thuyết phương trình vi phân đại số để đo độ phức tạp của một phương trình vi phân đại số đối với phương trình vi phân thường. Chỉ số là một số nguyên không âm, cung cấp thông tin hữu ích về cấu trúc toán học và sự phức tạp trong việc phân tích hệ phương trình vi phân đại số. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân chỉ số 1 và phương trình vi phân chỉ số 2, cụ thể là phương pháp Euler ẩn và phương pháp BDF k bước. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành ba chương: iii MỤC LỤC Chương 1: Giới thiệu Trình bày phương trình vi phân đại số chỉ số 1 và phương trình vi phân đại số chỉ số cao. Trình bày một số phương pháp đa bước cụ thể giải phương trình vi phân và điều kiện ổn định của phương pháp đa bước. Chương 2: Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1 Trình bày dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số chỉ số 1, phương pháp đa bước áp dụng cho bài toán, sự hội tụ của bài toán nhiễu suy biến. Lấy ví dụ minh họa và thử nghiệm số. Chương 3: Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 2 Trình bày dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số chỉ số 2, phương pháp đa bước áp dụng cho bài toán, ảnh hưởng của nhiễu, sự hội tụ của phương pháp BDF và phương pháp đa bước nói chung. Lấy ví dụ minh họa và thử nghiệm số. iv Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học cùng toàn thể các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, đã giảng dạy tận tình và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt luận văn. Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo PGS.TS Vũ Hoàng Linh, người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi trong suốt quá trình tôi học tập và thực hiện luận văn. Nhân dịp này, tôi cũng xin cảm ơn gia đình đã luôn ủng hộ và động viên trong suốt thời gian tôi học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn tất cả các bạn, các anh, các chị, em trong lớp cao học Toán khóa 2010 - 2012 và khóa 2011 - 2013 đã tận tình giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình học tập. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2014 Học viên Nguyễn Thị Hải Dung Chương 1 Giới thiệu 1.1 Phương trình vi phân đại số 1.1.1 Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 Xét phương trình εz  + (z 2 − 1)z  + z = 0. (1.1) Ta thay đồng nhất thức εz  + (z 2 − 1)z  = d dx  εz  + ( z 3 3 − z)     :=y vào (1.1), ta có y  = −z =: f(y, z), εz  = y − ( z 3 3 − z) =: g(y, z). (1.2) Đặt ε = 0 trong (1.2) ta được một bài toán đơn giản y  = −z =: f(y, z), 0 = y − ( z 3 3 − z) =: g(y, z). (1.3) Trong khi việc giải (1.2) không đơn giản thì (1.3) dễ dàng giải được y  = −z = (z 2 − 1)z  , 1 Chương 1. Giới thiệu từ đó suy ra ln |z| − z 2 2 = x + C. Phương trình (1.3) được gọi là phương trình vi phân đại số. Ta có thể thấy, phương trình vi phân đại số là sự kết hợp giữa phương trình vi phân và phương trình đại số. 1.1.2 Phương trình vi phân đại số chỉ số cao Dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số là phương trình vi phân ẩn F (x, u, u  ) = 0, (1.4) trong đó u : R → R m là lời giải, F : R × R m × R m → R m là hàm số, ∂F ∂u  suy biến. Định nghĩa 1.1. Phương trình vi phân đại số (1.4) có chỉ số vi phân d = m nếu m là số nhỏ nhất của các vi phân F (u  , u) = 0, dF (u  , u) dx = 0, . . . , d m F (u  , u) dx m = 0, (1.5) sao cho từ phương trình (1.5) chúng ta rút ra được hệ phương trình vi phân thường u  = ϕ(u). Hệ chỉ số 1. Xét phương trình vi phân đại số y  = f(y, z), (1.6) 0 = g(y, z). (1.7) (không có z  ). Ta lấy đạo hàm (1.7), thu được g y (y, z)f(y, z) + g z (y, z)z  = 0, suy ra z  = −g −1 z (y, z).g y (y, z)f(y, z), 2 Chương 1. Giới thiệu nếu g z là khả nghịch trong lân cận của lời giải. Vì vậy bài toán (1.6), (1.7) có chỉ số vi phân là 1 nếu g z khả nghịch. Hệ chỉ số 2. Xét phương trình vi phân đại số y  = f(y, z), (1.8) 0 = g(y). (1.9) Trong đó z không có mặt trong ràng buộc đại số. Lấy đạo hàm (1.9) ta thu được "ràng buộc ẩn" 0 = g y (y)f(y, z). (1.10) Nếu g y (y)f z (y, z) khả nghịch trong lân cận của lời giải thì phương trình (1.8), (1.10) là phương trình chỉ số 1. Lấy vi phân phương trình (1.10) cho ta phương trình vi phân của z, vì thế phương trình (1.8), (1.9) là phương trình vi phân chỉ số 2. Nếu giá trị ban đầu thỏa mãn 0 = g(y 0 ) và 0 = g y (y 0 )f(y 0 , z 0 ) thì ta gọi chúng là "tương thích". Chỉ trong trường hợp này, phương trình (1.8) và (1.9) có lời giải duy nhất địa phương. Chỉ số nhiễu Quan niệm thứ hai về chỉ số, giải thích chỉ số như là tiêu chuẩn (đơn vị đo) về độ nhạy cảm của lời giải đối với nhiễu của bài toán cho trước. Định nghĩa 1.2. Phương trình (1.4) có chỉ số nhiễu p = m dọc theo lời giải u(x) trên [0, x), nếu m là số nguyên nhỏ nhất sao cho mọi lời giải u(x) của phương trình có nhiễu F (x, u, u  ) = δ(x), (1.11) tồn tại trên [0, x) và có đánh giá u(x) − u(x) ≤ C  u(0) − u(0) + max 0≤ξ≤x δ(ξ) + . . . + max 0≤ξ≤x   δ (m−1) (ξ)    , (1.12) với biểu thức vế phải là đủ nhỏ, C là hằng số. 3 Chương 1. Giới thiệu Hệ chỉ số 1. Để tính toán chỉ số nhiễu của phương trình (1.6), (1.7), ta xét hệ bị nhiễu y  = f(y, z) + δ 1 (x), (1.13) 0 = g(y, z) + δ 2 (x). (1.14) Ta thấy hiệu z −z có thể được đánh giá nhờ định lý hàm ẩn mà không cần bất kỳ đạo hàm nào của lời giải. Vì g z là khả nghịch, từ phương trình (1.14), (1.7), ta có z(x) −z(x) ≤ C 1 (y(x) − y(x) + δ 2 (x)) , (1.15) với vế phải của (1.15) là đủ nhỏ. Trừ (1.13) cho (1.6), lấy tích phân từ 0 → x, sử dụng điều kiện Lips- chitz cho f và ước lượng trên cho z(x)−z(x) cho ta e(x) = y(x) − y(x) thỏa mãn e(x) ≤ e(0) + C 2 x  0 e(t)dt + C 3 x  0 δ 2 (t)dt +       x  0 δ 1 (t)dt       . Trong ước lượng này, lấy chuẩn phần trong tích phân cho δ 2 , phần ngoài tích phân cho δ 1 . Điều này là đúng trong trường hợp nhiễu của phương trình đại số (1.7) quan trọng hơn nhiễu của phương trình vi phân (1.6). Cuối cùng ta áp dụng Bổ đề Gronwall y(x) − y(x) ≤ C 4 (y(0) − y(0) + x  0 δ 2 (t)dt + max 0≤ξ≤x      ξ  0 δ 1 (t)dt      ) ≤ C 5 (y(0) − y(0) + max 0≤ξ≤x δ 2 (ξ) + max 0≤ξ≤x δ 1 (ξ)). Bất đẳng thức này cùng với bất đẳng thức (1.15) chỉ ra chỉ số nhiễu của bài toán là 1. Hệ chỉ số 2. Xét nhiễu của phương trình (1.8), (1.9) như sau: y  = f(y, z) + δ(x), (1.16) 4 Chương 1. Giới thiệu 0 = g(y) + θ(x). (1.17) Đạo hàm (1.17) ta được 0 = g y (y)f(y, z) + g y (y)δ(x) + θ  (x). (1.18) Nếu g y (y)f z (y, z) là khả nghịch ta có thể sử dụng ước lượng cho trường hợp chỉ số 1 (với δ 2 (x) thay bởi g y ((x))δ(x) + θ  (x)) thu được y(x) − y(x) ≤ C  y(0) − y(0) + x  0 (δ(x) + θ  (x)) dξ  , z(x) −z(x) ≤ C  y(0) − y(0) + max 0≤ξ≤x δ(ξ) + max 0≤ξ≤x θ  (ξ)  . (1.19) Do ước lượng này phụ thuộc vào đạo hàm bậc nhất của θ nên chỉ số nhiễu của bài toán là 2. 1.2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân 1.2.1 Điều kiện ổn định của phương pháp đa bước Phương pháp đa bước tổng quát áp dụng cho bài toán giá trị ban đầu y  = f (x, y) , y (x 0 ) = y 0 , có dạng α k y m+k + α k−1 y m+k−1 + . . . + α 0 y m = h(β k f m+k + . . . + β 0 f m ), (1.20) trong đó f i = f (x i , y i ) , i = 0, 1, . . Áp dụng cho phương trình thử y  = Jy, (1.21) ta được α k y m+k + α k−1 y m+k−1 + . . . + α 0 y m = hJ(β k y m+k + . . . + β 0 y m ).(1.22) 5 [...]... 2.2 Giải phương trình vi phân đại số trong ví dụ 2.1 bằng phương pháp BDF 2 bước, BDF 3 bước Giải Sử dụng phương pháp BDF 2 bước ta có bảng kết quả như sau: (lấy h = 0.1) 28 Chương 2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1 Sử dụng phương pháp BDF 3 bước ta có bảng kết quả như sau: (lấy h = 0.1) 29 Chương 3 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 2 Xét phương trình. .. 2.2.1 Một số phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số Phương pháp Euler ẩn Xét phương trình vi phân đại số tổng quát 0 = F (t, y, y ) Ý tưởng về một rời rạc trực tiếp rất đơn giản: xấp xỉ y và y bởi công thức rời rạc đa bước hoặc Runge- Kutta Ví dụ áp dụng phương pháp 25 Chương 2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1 Euler ẩn cho hệ phương trình vi phân đại số này ta... giải Khi đó phương trình (2.3) có nghiệm duy nhất địa phương z = G(y) Thay vào phương trình (2.2) ta được y = f (y, G(y)) (2.5) Do đó phương trình vi phân đại số (2.2), (2.3) thỏa mãn điều kiện (2.4) là phương trình vi phân đại số chỉ số 1 Phương pháp đa bước áp dụng cho bài toán (2.1) là: k k αi yn+i = h i=0 βi f (yn+i , zn+i ), i=0 19 (2.6) Chương 2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại. .. k bước với k ≤ 6 (với k = 1 chính là phương pháp Euler ẩn) 2.3 Thử nghiệm số Ví dụ 2.1 Giải phương trình vi phân đại số sau bằng phương pháp Euler ẩn y = y − yz + cos t − sin t + et sin2 t + sin3 t 0 = −y 2 + z + 2et sin t + e2t y(0) = 1, z(0) = 0 với lời giải chính xác y(t) = et + sin t, z(t) = sin2 t 27 Chương 2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1 Giải Sử dụng phương pháp. .. Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1 2.2.2 Phương pháp BDF Xét phương trình vi phân đại số tổng quát dạng 0 = F (t, y, y ) Phương pháp BDF áp dụng cho bài toán này là F 1 tn , yn , β0 h k αj yn−j = 0, j=0 trong đó β0 và αj , j = 0, , k là hệ số của phương pháp BDF Công thức BDF là ẩn và thường được thực hiện cùng với phương pháp Newton để giải các hệ phi tuyến tại mỗi bước. .. một hệ m phương trình phi tuyến ẩn yn Tuy nhiên phương pháp này không phải lúc nào cũng sử dụng được Trong trường hợp xấu nhất, có những hệ phương trình vi phân đại số chỉ số cao đơn giản với lời giải xác định bằng phương pháp Euler ẩn, và thật ra tất cả các phương pháp đa bước và Runge - Kutta, là không ổn định hoặc thậm chí không áp dụng được Xét phương trình vi phân đại số nửa hiển chỉ số 1 y =... có (1.38) suy ra −C − 12 > 0 hoặc d(ζ) ≡ 0 18 Chương 2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1 2.1 Sự hội tụ của phương pháp đa bước Bài toán nhiễu suy biến có dạng y = f (y, z), (2.1) z = g(y, z), trong đó y, z là các vectơ Giả sử f, g là hàm vectơ đủ trơn có số chiều giống như y, z Đặt ε = 0 ta được phương trình vi phân đại số y = f (y, z), (2.2) 0 = g(y, z), (2.3) với giá trị... = f (y, G(y)) Thay (2.10) vào (2.8) ta được công thức đa bước cho phương trình vi phân (2.5) với nhiễu O(hp+1 ) Khi đó phát biểu trên được suy ra từ chứng minh hội tụ của phương pháp đa bước Sự hội tụ của bài toán nhiễu suy biến Ma trận Jacobian của y = f (y, z), z = g(y, z), 20 Chương 2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1 có dạng fy −1 fz −1 ε gy ε gz và nó có giá trị riêng... 2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1 Ta định nghĩa sai số toàn cục bởi ∆yn = yn − y(xn ), ∆zn = zn − z(xn ) và đưa vào sai phân k βi (f (yn+i , zn+i ) − f (y(xn+i ), z(xn+i ))), n ≥ 0, ∆fn+k = i=0 ∆fi = 0 với j < k Lấy phương trình (2.11) trừ cho phương trình (2.6) với n ≥ 0 ta được k αi ∆yn+i = h.∆fn+k − dn+k (2.15) i=0 Ta đã định nghĩa d0 , d1 , , dk−1 nên phương trình. .. g (t, y, z) trong đó gz không suy biến Dễ thấy rằng phương pháp Euler ẩn vẫn giữ nguyên các tính chất của phương trình vi phân thường (cấp chính xác, miền ổn định, sự hội tụ) Từ định lý hàm ẩn, tồn tại hàm g sao cho z = g(t, y) Khi đó phương trình vi phân đại số (2.31) tương đương phương trình vi phân thường y = f (t, y, g(t, y)) (2.32) Xét phương pháp Euler ẩn áp dụng cho (2.31) yn − yn−1 = f (tn . phương trình vi phân đại số chỉ số cao. Trình bày một số phương pháp đa bước cụ thể giải phương trình vi phân và điều kiện ổn định của phương pháp đa bước. Chương 2: Phương pháp đa bước giải phương. họa và thử nghiệm số. Chương 3: Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 2 Trình bày dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số chỉ số 2, phương pháp đa bước áp dụng cho. vi phân đại số. Ta có thể thấy, phương trình vi phân đại số là sự kết hợp giữa phương trình vi phân và phương trình đại số. 1.1.2 Phương trình vi phân đại số chỉ số cao Dạng tổng quát của phương