Phương trình vi phân đại số

Phương trình vi phân đại số

1.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng 7

1.3 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình đại số 10

1.4 Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phương trình vi phân đại số 13

Chương II Bán kinh ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số hằng 15

2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số 15

2.2 Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số 24

Chương III Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động 34

3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên 35 3.2 Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định 37

MỞ ĐẦU

Từ cuối thế kỷ XIX nhiều nhà khoa học đã quan tâm tìm lời giải cho bài toán ổn định của chuyển động Ở thời điểm đó, người ta đã đưa ra nhiều định nghĩa khác nhau về khái niệm này, chẳng hạn như định nghĩa của A.Poincaré, V.Rumyantsev, Chỉ từ khi A.M Lyapunov (1857-1918) công

bố công trình “Bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động” vào năm 1892 ở Nga và dịch sang tiếng Pháp (Problème général de la stabilité du mouvement) năm 1907, lý thuyết ổn định mới được nghiên cứu một cách có

hệ thống và trở thành một bộ phận quan trọng trong lý thuyết định tính phương trình vi phân Kể từ đó, lý thuyết ổn định đã được nhiều nhà khoa học trên khắp thế giới quan tâm nghiên cứu Đến nay, đã hơn một thế kỷ trôi qua, lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu sôi nổi và đã thu được nhiều thành tựu rực rỡ, sâu sắc, như: vật lý, khoa học kỹ thuật công nghệ, sinh thái học, Lyapunov đã giải quyết bài toán ổn định bằng cả hai phương pháp, đó là phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (còn gọi là phương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất của Lyapunov) và phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi là phương pháp thứ hai của Lyapunov)

Vào những năm 70 của thế kỷ trước, một số bài toán có liên quan đến phương trình vi phân dạng:

cũng còn một vài phương pháp khác Đến nay người ta cũng đã tìm ra khá nhiều kết quả cho phương trình vi phân đại số tương tự như ở phương trình vi phân thường chẳng hạn như lý thuyết Floquet, tính ổn định tiệm cận của nghiệm của phương trình với ma trận hệ số hằng

Trong hơn hai thập kỷ qua, từ khái niệm bán kính ổn định mà D.Hinrichsen và A.J.Pritchard đưa ra, hai ông đã hình thành một hướng nghiên cứu mới là nghiên cứu tính ổn định vững của các hệ động lực dựa trên khái niệm bán kính ổn định Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự chú ý và tâm huyết của nhiều nhà toán học vì tính hiệu quả và tính thời sự của nó cũng như những ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật Nhóm tác giả Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh đã nghiên cứu sự ổn định của hệ phương trình vi phân đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời gian và đưa ra công thức bán

kính ổn định trong bài báo “Stability radii for linear time - varying differential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations” được đăng tải trên JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, June 2006

Đây là bài báo cơ sở để thực hiện luận văn này

Luận văn gồm 61 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, gồm có ba chương:

Chương I: Một số khái niệm về hệ phương trình vi phân đại số Chương này trình bày các kiến thức cơ sở để sử dụng trong các chương sau

Chương II: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số hằng Chương này trình bày bài toán tính bán kính ổn định cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng Ax t'( ) -Bx t( ) 0 trong đó

A, B là các ma trận thực, detA 0.

Chương III: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động Chương này nghiên cứu về hệ các phương trình vi phân đại số tuyến tính biến đổi theo thời gian có dạng:

Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp để luận văn được hoàn thiện hơn

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008

Học viên cao học

Lưu Thị Thu Hoài

i) Cho P là phép chiếu Khi đó, ta có: KerP ImP n

ii) Mỗi phân tích nUV tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao cho imP = U và KerP = V, khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V Đặt Q:=I – P thì Q cũng là một phép chiếu và là phép chiếu lên V dọc theo U

imAKerAimAKerA  với kindA

Định nghĩa 1.1.5 Cho A B, L n Cặp ma trận (A,B) được gọi là chính

quy nếu c  sao cho det cA B 0

Định nghĩa 1.1.6 Cho cặp ma trận (A,B) chính quy, c là số mà

det cA B 0 Chỉ số của cặp ma trận (A,B), ký hiệu là ind A B , là chỉ số ,của ma trận cAB 1A

ind A Bind cABA

(Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn giá trị c)

QcAB Khi đó, QA và QB là giao hoán được

Định lý 1.1.9 Giả sử cặp ma trận (A,B) là chính quy, chỉ số k và

3) Cặp (A,B) chính quy và degP = rankA với P(z):=det(zA+B)

4) Cặp (A,B+AW) chính quy và ind(A,B+AW) = 1 với mọi WL n 5) G:=A+BQ không suy biến với Q là phép chiếu lên KerA

6) Với S: x n:BxImA thì SKerA n

7) Bằng cách nhân với ma trận không suy biến thích hợp EL n

thoả mãn: 1 ,0

1.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng

t x y F t x y

D là tập mở trongn, FC ID n,n , F Fx', y' C ID n,L  n

Định nghĩa 1.2.1 Hệ phương trình vi phân (1.2.1) được gọi là hệ phương

trình vi phân đại số (DAE’s) nếu hàm F thoả mãn KerFx'' t x t, , 'x t 0

với mọi t x x, , ' ID n

Hệ quả 1.2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính:

A t x tB t x tq t (1.2.2) trong đó: A B, C I L , n, q liên tục trên I, detA(t) = 0 với mọi tI là ,

hệ phương trình vi phân đại số

Người ta có thể phân lớp các hệ phương trình vi phân đại số nhờ khái niệm chỉ số của các hệ phương trình vi phân loại này

Tiếp theo ta đề cập đến khái niệm chỉ số của hệ phương trình vi phân đại số ([3], [9])

Xét hệ phương trình vi phân đại số dạng:

trong đó: x I:  n, Ia;  , F I: D n n

t x y F t x y

Định nghĩa 1.2.3 Không gian hạch N t được gọi là trơn trên I nếu có ma

trận hàm khả vi liên tục QC I L 1 , n sao cho Q t 2 Q t , ImQ(t) = N(t) tI

Khi đó Q(t) là phép chiếu lên N(t) Đặt P tInQ tPC I L 1 , n

Ta có:

F t x yF t x P t yFt x sys P t y Q t yds hay F t x y, , F t x P t y, ,

Điều này cho thấy, để hàm x I:  n là nghiệm của (1.2.3) thì cần phải có PxC I 1 , n , QxC I , n Bây giờ ta quan tâm tới không gian hàm sau: C1NI, nxC I1 ,n :PxC I1 ,n

dimN t x y, , const 0 và N t x y1 , , S t x y1 , , nt x y, , G

Cụ thể, đối với hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng:

A t x tB t x t (1.2.4) trong đó x I:  n, A B, C I L , n , detA t 0 với mọi tI

N tKerA t trơn trên I Khi đó, có phép chiếu Q(t) lên N(t), khả vi liên

Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 2 trên I khi

det 0 det 0

1.3 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình vi

Trong mục này ta sẽ nghiên cứu phân rã hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng có chỉ số 1 và chỉ số 2 thành hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình đại số

Ax tBx tq t (1.3.1) trong đó: x I:  n, A B, L n , detA 0, q C I R, n

1.3.1 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1

Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 1 Gọi Q là phép chiếu lên KerA,

PIQ Khi đó, AQ = 0 QP = 0

A = AIn = A(P + Q) = AP = AP +BQP = (A + BQ)P = A1P

B = BIn = B( Q+ P) = BQ+BP = AQ +BQ+BP = (AQ + BQQ) + BP = (A+BQ)Q + BP = A1Q + BP

trong đó ( ) là hệ phương trình vi phân thường, còn ( ) là hệ phương trình đại số

Đặc biệt, khi q t 0 ta được hệ:

( ')0

1.3.2 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 2

Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 2 Khi đó detA1 0, detA2 0.

Xét vế trái của (1.3.1) ta có:

uPP A BuPP A q

Qvw QP A BuQP A qvQ A q

Đặc biệt, khi q t 0 ta nhận được hệ:

uPP A Buw QP A Buv

1.4 Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phương trình vi phân đại số

3 14 , 15

Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau:

A t x tB t x t (1.4.1) trong đó: x I:  n, A B, L n , detA 0, q C I R, n

Rõ ràng, hệ (1.4.1) có nghiệm tầm thường x t 0

1.4.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1

Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 1 và KerA t trơn Gọi Q t là phép chiếu khả vi liên tục lên KerA t , đặt P t : InQ t

Ký hiệu x t t x là nghiệm của (1.4.1) thoả mãn điều kiện đầu ; ,0 0

đều tồn tại số t0, 0 sao cho nếu 0 n

x  thoả mãn P t0 x0 thì 0

x t t xe với mọi tt0

1.4.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 2

Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 2 và KerA t trơn Các phép chiếu P t ,1

P t như ở mục 1.3.2 Ký hiệu x t t x là nghiệm của (1.4.1) thoả mãn ; ,0 0điều kiện đầu P t0 P t1 0 x t0 P t0 P t1 0 x0, t0 I x, 0 n

Định nghĩa 1.4.4 Nghiệm tầm thường x t 0của hệ (1.4.1) được gọi là ổn định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số 0 cho trước và mọi t0 I

đều tồn tại t0, 0 sao cho nếu 0 n

2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số

Xét phương trình Ax t'( ) -Bx t( ) 0 (2.1.1) trong đó

xA BKK hoặc), det A = 0, cặp ( , )A B là chính quy chỉ

số k ≥ 1 Ta biết rằng khi đó, tồn tại các ma trận W, T, khả nghịch, sao cho

m r

U (2.1.2) ở đây Is là ma trận đơn vị trong Ks s,B1 Kr r,U là ma trận k- luỹ linh có

dạng

U = diag(J1, J2, , Jl) với

0 1 00 0

,1,2, 1

0 0 0

iip pi

y tB y tz t

trong đó y tKr,z tKm r.

Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm tầm thường x 0của (2.1.1) được gọi là ổn định tiệm cận mũ nếu có một phép chiếuP L Kmvà các hằng số dương ,c sao

cho bài toán giá trị ban đầu (IVP):

có nghiệm x t duy nhất, thoả mãn

Nếu ind (A, B) =1 ta chọn P = Im – Q, trong đó Q là phép chiếu lên KerA dọc theo Sz  :Bz ImA

Ký hiệu A B, là phổ của cặp {A,B}, nghĩa là A B là tập hợp tất ,cả các nghiệm của phương trình det AB 0

Trường hợp A = Im,ta viết B thay cho I B m,

Ta biết rằng, hệ (2.1.1) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọi giá trị riêng hữu hạn của cặp {A, B} nằm hoàn toàn trong nửa mặt phẳng phức trái

y tB y tUz tz t

(xem[9]) Nếu A B = thì (2.1.1) có duy nhất nghiệm , x 0 vì khi đó với mọi s ta có

det sA B detW.det sIrB det sUIm r detT 0

Như vậy, ta phải có r = 0 tức là phương trình (2.1.4) không có trong hệ Vì vậy, (2.1.1) tương đương (2.1.5) và chỉ có nghiệm x = 0 Trong trường hợp

này, ta quy ước (2.1.1) là ổn định tiệm cận với P = 0, Q = Im

Bán kính ổn định phức với nhiễm cấu trúc

Như trong trường hợp phương trình vi phân thường, ta cố định cặp ma trận ổn định tiệm cận {A,B} Giả sử E Km p; F Kq m cố định, ta xét hệ có nhiễu:

A ' txB E F x t 0, (2.1.6) trong đó Kp q Ma trận E F được gọi là ma trận nhiễu cấu trúc

V sao cho hệ (2.1.6) là không chính quy hoặc không ổn định tiệm cận}

Nghĩa là, V Klà tập các nhiếu “xấu”

Kí hiệu dK inf : V K , trong đó là một chuẩn ma trận tương thích với chuẩn vectơ, thông thường chuẩn Euclide được sử dụng Ta gọi dK là bán kính ổn định có cấu trúc của bộ bốn ma trận {A , B, E , F}

Nếu K  ta gọi d là bán kính ổn định phức, còn nếu K  ta gọi



Lấy V  bất kỳ, khi đó xảy ra hai trường hợp:

(i) Cặp A B E F, là chính quy Ta lấy tuỳ ý một giá trị

sA B E F, sao cho Res ≥ 0 Giả sử rằng x 0 là một vectơ riêng

tương ứng với giá trị riêng s, tức là sA B E F x 0

Điều này tương đương với xsA B 1E Fx, từ đó ta suy ra

Bằng lập luận tương tự, ta chứng minh được



Khi đó tồn tại u  : pu 1 và G s u0 G s0 Theo một hệ quả của định lý Hahn-Banach, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính y xác định trên *

G suy ta có G s0 1u Kết hợp hai bất đẳng thức ta có G s0 1 Hơn nữa, từ G s u0 u ta

nhận được E G s u0 Eu 0 Đặt xs A B0 1Eu, khi đó

s A B xEu Vậy E Fxs A B x , hay là 0 s A B E F x0 0 Điều đó có nghĩa là, s0 A B E F, , hoặc cặp A B E F, không chính quy Do đó, hệ

Để ý rằng, hàm G s là hàm giải tích trên nửa mặt phẳng  Do đó

theo nguyên lý cực đại, G s đạt cực đại tại s hoặc trên biên i

cho d như trong bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân thường

(ngay cả khi chúng ta lấy giới hạn khi s ) Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng, nếu

G s không đạt được giá trị lớn nhất trên  thì không có một ma trận nào thoả mãn điều kiện d và hệ Ax t'( ) - B E F x t( ) 0 là không ổn định tiệm cận

Thật vậy, giả sử ngược lại, có một ma trận như thế

Hơn nữa, giả sử sn  sao cho sn và lim n sup

Bây giờ, ta xét một trường hợp đặc biệt, trong đó EFIm(nhiễu không cấu trúc) Như đã thấy, bán kính ổn định với nhiễu không cấu trúc là

s id G s

Ta chứng minh rằng, nếu ind A B, k 1, thì ma trận hàm G(s) là

không bị chặn trên i Thật vậy,

m r

sA BT

G s

m r

Tính không bị chặn của G s kéo theo d = 0 Nghĩa là với những nhiễu dù rất nhỏ, thì phương trình vi phân đại số với chỉ số lớn hơn hay bằng 2 có thể không còn ổn định tiệm cận được nữa

trên  , nghĩa là d > 0 nhưng có thể không tồn tại một ma trận “xấu” nào, sao cho d

Ta có định lý sau đây

 , trong đó G sF sA B 1E.

ii) Tồn tại ma trận “xấu” : d khi và chỉ khi G s đạt được giá trị lớn nhất trên i

iii) Trong trường hợp EFIm, d 0 khi và chỉ khi ind A B, 1

Một câu hỏi đặt ra ở đây, khi nào thì hàm G s đạt được giá trị lớn

nhất tại một giá trị hữu hạn s0? Chú ý đầu tiên là, câu trả lời phụ thuộc vào việc chọn chuẩn của  mvì G s có thể đạt được giá trị lớn nhất trong chuẩn

này nhưng không đạt giá trị lớn nhất trong một chuẩn khác

Chúng ta có thể trả lời câu hỏi bằng cách khảo sát hàm số, nhưng ta không thực hiện ở đây

1 0 00 1 0

F

Ta thấy ind A B, 2, , 13

A B Do đó {A,B} là ổn định tiệm cận Tính toán trực tiếp, ta nhận được

sG s

s đạt được max tại s0 = 0 và

G 3 Vì vậy, 1.3

Chọn

ssG ssA B

00

đối với quỹ đạo của hệ, ngay cả khi A, B đều dương Trong luận văn này,

chúng tôi chỉ có thể giải bài toán với những giả thiết rất chặt Giả sử rằng A B, m m,EFIm.

Bổ đề 2.2.3 Giả sử hệ (2.2.1) thoả mãn các điều kiện (2.2.2), khi đó với mọi

sao cho Re A B, ta có A B 1x Re A B 1.x với mỗi ,

mx  Chứng minh

Lấy tn , t i sao cho tntA B, Theo giả thiết

G ttt iA G t (2.2.3) Chuỗi trên hội tụ tuyệt đối, nếu chúng ta chứng minh được rằng

1

Trước tiên, ta thấy lim nn .

n

trong Bổ đề 2.2.3, G s đạt được giá trị lớn nhất trên 0, )

Mặt khác, nhờ Bổ đề 2.2.4, G s đạt được giá trị lớn nhất tại s 0,

Từ định lý Perron - Frobenius, u 0, u 1: G 0 uG 0 , nhờ sử dụng định lý Hahn - Banach ta suy ra tồn tại một phiếm hàm tuyến tính *

y

Giả sử G 0 1uy*, bằng con đường như trong mục 2.1, chúng ta có thể chỉ ra rằng V  (tức là là ma trận thực, "xấu") và d Ta đã chứng minh được định lý dưới đây

Định lý 2.2.5 Giả sử hệ (2.2.1) thỏa mãn các giả thiết i), ii), iii) và chuẩn

đơn điệu trong  m đã được chọn, khi đó bán kính ổn định phức và bán kính ổn định thực là bằng nhau, nghĩa là d d

Như đã nói ở trên, giả thiết dương của G tn đối với một dãy tn là mạnh và rất khó kiểm chứng Ta cần đưa ra một điều kiện đủ, để đảm bảo các giả thiết trên

Định nghĩa 2.2.6 Giả sử hệ (2.2.1) tồn tại nghiệm x t thỏa mãn điều kiện

' - 0, 0,

Định nghĩa 2.2.7 Ma trận B được gọi là ma trận P - metzler nếu các phần tử 

b của B là không âm, có thể trừ các phần tử b ứng với i,j sao cho ij pij 0

Định lý 2.2.8 Hệ (2.2.1) là dương khi và chỉ khi 

x te Px Vậy điều kiện hệ

(2.2.1) dương, kéo theo P 0 (với t = 0) Mặt khác, với t đủ nhỏ ta có:

nt B

t P t BPt B

= 

n