Lý thuyết floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1

61 664 0
Lý thuyết floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Lý thuyết floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1

đại học thái nguyên tr-ờng đại học s- phạm bïi thÞ h lý thut floquet hệ ph-ơng trình vi phân đại số số Luận văn thạc sĩ toán học Thái Nguyên - 2009 đại học thái nguyên tr-ờng đại học s- ph¹m bïi thÞ h lý thuyết floquet hệ ph-ơng trình vi phân đại số số Chuyên ngành: giải tích MÃ số : 60.46.01 Luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: TS Đào Thị Liên Thái Nguyên - 2009 MỤC LỤC Danh mục các ký hiệu dùng luận văn Mục lục Trang Mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Hệ phương trì nh vi phân thường 1.1.1 Các khái niệm bản 1.1.2 Tính ổn đị nh của hệ phương trì nh vi phân tuyến tí nh 1.1.3 Lý thuyết Floquet 1.2 Hệ phương trì nh vi phân đại số 1.2.1 Một số khái niệm bản 1.2.2 Hệ phương trì nh vi phân đại số tuyến tí nh 12 1.2.3 Hệ phương trì nh vi phân đại số phi tuyến 19 Chương Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số 22 2.1 Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số tuyến tí nh 22 2.1.1 Ma trận bản 24 2.1.2 Biến đổi tương đương tuần hoàn 35 2.2 Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số phi tuyến tí nh 46 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN m L( ) : L( m m , ) : là tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục m AT : ma trận chuyển vị của ma trận A im( A) : ảnh của A ker A : không gian không của A A  : nghịch đảo Moore – Penrose A det A : đị nh thức của ma trận A rank A : hạng của ma trận A ind A : chỉ số của cặp ma trận A ind ( A, B) : chỉ số của cặp ma trận ( A, B) diag (m, N ) : ma trận chéo I r : ma trận đơn vị cấp r C1N :  x  C (  , m , m ) : Px  C1 (  , m ) : tập các véc tơ hàm liên tục m  đị nh C1 (  ) : tập các ma trận hàm khả vi liên tục m và xác định  G : A  BQ A1 : A  B0Q B0 : B  AP ' Qs : QA11B  QG 1B : là phép chiếu chính tắc lên N (t ) dọc S (t ) Ps : I  Qs là phép chiếu chí nh tắc lên N (t ) dọc S (t ) Span P(t ) : bao tuyến tí nh của P(t ) S (t ) :  z  m : B(t ) z  im A(t )  x, y  : tính vô hướng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn xác MỞ ĐẦU Trong khoa học ứng dụng thực tiễn có nhiều tốn, chẳng hạn mô tả hệ động lực, hệ thống mạng điện, tốn điều khiển , địi hỏi phải giải xét tính chất nghiệm hệ phương trình dạng: Ax ' Bx  A, B  L( m ) A, B  L( I , m ), det A  gọi hệ phương trình vi phân đại số Một lớp đơn giản hệ phương trình đại số hệ phương trình vi phân đại số số Trường hợp det A  ta dễ dàng đưa hệ hệ x '  A1Bx (những phương trình coi có số 0), nghĩa hệ phương trình vi phân thường xem trường hợp riêng hệ phương trình vi phân đại số Rất nhiều toán kết hệ phương trình thường xét hệ phương trình vi phân đại số Trong luận văn này, chúng tơi trình bày kết tác giả René Lamour-Roswitha Marz and Renate Winkler, Đào Thị Liên, Phạm Văn Việt lý thuyết Floquet hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính số 1, từ tác giả đưa tiêu chuẩn ổn định nghiệm tuần hoàn hệ phi tuyến Trong báo “How Floquet Theory Applies to Index Differential Algebraic Equations”, René LamourRoswitha Marz and Renate Winkler, nhiều kết chưa chứng minh chứng minh vắn tắt Luận văn chi tiết chứng minh đưa ví dụ minh họa cho kết quan trọng báo Ngoài mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo Luận văn gồm chương: Chương Các kiến thức sở Nội dung chương hệ thống kết lý thuyết Floquet hệ phương trình vi phân thường kiến thức hệ phương trình vi phân đại số Chương Lý thuyết Floquet hệ phương trình vi phân đại số số Đây nội dung luận văn Ở khái niệm lấy ví dụ minh họa, kết chứng minh chi tiết có ví dụ áp dụng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Tác giả chân thành cảm ơn TS Đào Thị Liên, trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên, người hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Xin cám ơn Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên, nơi tác giả hoàn thành Chương trình Cao học giảng dạy nhiệt tình thày, giáo Xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Tuyên Quang, trường THPT Thượng Lâm-Na Hang-Tuyên Quang tạo điều kiện để tác giả hồn thành chương trình học tập Và cuối cùng, xin cảm ơn gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chƣơng KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG 1.1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Hệ phương trình vi phân thường (ODE) hệ phương trình dạng: dyi  fi (t , y1, y2 , , yn ), (i  1, 2, dt , n) , (1.1.1) t biến độc lập (thời gian); y1 , , yn hàm cần tìm, f i hàm xác định bán trụ T  It  Dy , It  t0  t   Dy miền mở thuộc n Định nghĩa 1.1.2 Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính có dạng  dy1  dt  a11 (t ) y1  a12 (t ) y2   a1n (t ) yn  f1 (t )    dy   a21 (t ) y1  a22 (t ) y2   a2 n (t ) yn  f (t )  dt     dy  n  an1 (t ) y1  an (t ) y2   ann (t ) yn  f n (t )  dt (1.1.2) t biến độc lập y1 (t ), , yn (t ) ẩn hàm cần tìm, hàm aij (t ) fi (t ) gọi hệ số hệ số tự hệ Chúng giả thiết liên tục khoảng I  (a, b)  Dùng ký hiệu ma trận, viết hệ (1.1.2) dạng thu gọn dY  A(t )Y  F (t ) dt (1.1.3) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn A(t )  (aij (t )) ma trận hàm cấp n  n, f (t )  ( f1 (t ), , f n (t ))T vector cột Nếu f (t )  , ta gọi hệ hệ tuyến tính nhất, ngược lại, ta gọi hệ hệ tuyến tính khơng Định nghĩa 1.1.3 Nghiệm Z  Z (t ) (a  t  ) hệ dY  F (t , Y ) dt (1.1.4)  y1  Y     colon ( y1, , yn ) ,  yn  F (t , Y )  colon  f1 (t , Y ), , f n (t , Y )  dy dy dy dY  colon  , , , n  dt dt   dt dt gọi ổn định theo nghĩa Lyapunov t   (hay ngắn gọn ổn định), với   t0  (a, ) , tồn    ( , t0 )  cho: Tất nghiệm Y  Y (t ) hệ (1.1.4) (bao gồm nghiệm Z (t ) ) thỏa mãn điều kiện Y (t0 )  Z (t0 )   (1.1.5) xác định khoảng [t0 , ) , tức Y (t )  DY t  t0 , ) Đối với nghiệm bất đẳng thức sau thỏa mãn Y (t )  Z (t )   t0  t   (1.1.6) Định nghĩa 1.1.4 Nghiệm Z  Z (t ) (a  t  ) gọi ổn định tiệm cận t   , nếu: Nó ổn định theo Lyapunov Với t0  (a, ) tồn   (t0 )  cho nghiệm Y (t ) (t0  t  ) thỏa mãn điều kiện Y (t0 )  Z (t0 )   lim Y (t )  Z (t )  (1.1.7) t  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Tính ổn định hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính Xét hệ vi phân tuyến tính (1.1.2), dạng ma trận (1.1.3), ma trận A(t ) véctơ F (t ) liên tục khoảng (a, ) Giả sử X (t )   xij (t )  (det X (t )  0) (1.1.8) ma trận nghiệm (tức hệ nghiệm viết dạng (n  n) ma trận) hệ vi phân tuyến tính tương ứng dY  A(t )Y dt (1.1.9) tức ma trận gồm n nghiệm độc lập tuyến tính (1.1.9):  X (1) (t )  colon  x11 (t ), , xn1 (t )  ;    ( n)  X (t )  colon  x1n (t ), , xnn (t )  Nếu ma trận nghiệm X (t ) chuẩn hóa t  t0 , tức X (t0 )  I n , Y (t )  K (t , t0 )Y (t0 ) với (1.1.10) K (t , t0 )  X (t ) X 1 (t0 ) có dạng Y (t )  X (t )Y (t0 ) (1.1.11) Định nghĩa 1.1.5 Hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) gọi ổn định (hoặc không ổn định) tất nghiệm Y  Y (t ) tương ứng ổn định (hoặc khơng ổn định) theo Lyapunov t   Định nghĩa 1.1.6 Hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) gọi ổn định tiệm cận tất nghiệm ổn định tiệm cận t   Định lý 1.1.1 Điều cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) ổn định với số hạng tự F (t ) nghiệm tầm thường Y0  (t0  t  , t0  (a, )) hệ tương ứng (1.1.9) ổn định Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Định lý 1.1.2 Hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường Y0  hệ vi phân tuyến tính tương ứng (1.1.9) ổn định tiệm cận t   Xét hệ vi phân tuyến tính (1.1.9), A(t ) liên tục khoảng (a, ) Định lý 1.1.3 Hệ vi phân tuyến tính (1.1.9) ổn định theo nghĩa Lyapunov nghiệm Y  Y (t ) (t0  t  ) hệ bị chặn nửa trục t0  t   Định lý 1.1.4 Hệ vi phân tuyến tính (1.1.9) ổn định tiệm cận tất nghiệm Y  Y (t ) dần tới khơng t   , tức lim Y (t )  (1.1.12) t  Xét hệ (1.1.9) A  aij  ma trận (n  n) Định lý 1.1.5 Hệ vi phân tuyến tính (1.1.9) với ma trận A ổn định tất nghiệm đặc trưng i  i ( A) A có phần thực khơng dương Re i ( A)  (i  1, 2, , n) nghiệm đặc trưng có phần thực khơng có ước đơn Định lý 1.1.6 Hệ vi phân tuyến tính (1.1.9) với ma trận A ổn định tiệm cận tất nghiệm đặc trưng i  i ( A) A có phần thực âm, tức Re i ( A)  (i  1, , n) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ... Nội dung chương hệ thống kết lý thuyết Floquet hệ phương trình vi phân thường kiến thức hệ phương trình vi phân đại số Chương Lý thuyết Floquet hệ phương trình vi phân đại số số Đây nội dung... SỞ 1. 1 HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG 1. 1 .1 Các khái niệm Định nghĩa 1. 1 .1 Hệ phương trình vi phân thường (ODE) hệ phương trình dạng: dyi  fi (t , y1, y2 , , yn ), (i  1, 2, dt , n) , (1. 1 .1) ... nghiệm hệ phương trình dạng: Ax '' Bx  A, B  L( m ) A, B  L( I , m ), det A  gọi hệ phương trình vi phân đại số Một lớp đơn giản hệ phương trình đại số hệ phương trình vi phân đại số số Trường

Ngày đăng: 12/11/2012, 16:55

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan