Dạng tiệm cận của phương trình tán sắc của sóng trong trường hợp xấp xỉ sóng dài

VIỆN Cơ HỌC . ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM NGUYỀN THỊ KHÁNH LINH DẠNG TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SổNG TRONG TRƯỜNG HỢP XẤP x ỉ SÓNG DÀI LUẬN VĂN THẠC s ĩ ■ ■ Hà Nội - 2005 ■ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÒNG NGHỆ VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN Cơ HỌC NGUYỄN THỊ KHÁNH LINH DẠNG TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG TRONG TRƯỜNG HỢP XẤP XỈ SÓNG DÀI chuyên ngành : c ơ HỌC VẬT THỂ RẮN Mã s ố : 60.44.Ì21 LUẬN VĂN THẠC s ĩ ■ ■ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. PHẠM CHÍ VĨNH Hà Nội - 2005 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU MỞ ĐẦU ………………………………………………………………………… 3 Chương 1: Các hệ thức tuyến tính Hóa cơ bản của lý thuyết đàn hồi có biến dạng ban đầu thuần nhất…………………………………………………………9 1.1- Các ký hiệu và các hệ thức cơ bản của lý thuyết đàn hồi phi tuyến ……9 1 .2 . Các hệ thức tuyến tính hoá của lý thuyết đàn hồi với biến dạng ban đầu hữu hạn ………………………………………………………………………….9 1 .3 . Các hệ thức cơ bản của lý thuyết đàn hồi với biến dạng ban đầu là thuần nhất ………………………………… …………………………………………16 Chương 2. SÓNG HAI THÀNH PHAN TRONG MÔI TRƯỜNG VÔ HẠN , KHÔNG NÉN ĐƯỢC , PHÂN LỚP TUẦN HOÀN…………………………20 2.1. Đặt bài toán ……………………………………………………………… 20 2.2. Xác định phương trình tán sắc …………………………………………… 25 2.2.1. Biểu diễn nghiệm Y………………………………………………………25 2.2.2. Xác định ……………………………………………………………………28 2.3. Ví dụ bằng số ……………………………………………………………… 49 Chương 3. SÓNG LOVE TRONG MÔI TRƯỜNG PHÀN LỚP KHÔNG NÉN ĐƯỢC……………………………………………………………….……………51 3.1. Mở đầu ……………………………………………………………………….51 3.2. Đặt bài toán ………………………………………………………………… 51 3.3. Biểu diễn nghiệm …………………………………………………………….54 3.3.1. Nghiệm của phương trình (3.23 )………………………………………….56 3.3.2 . Tìm nghiệm của phương trình ( 3.24 ) ……………………………………60 3.3.3 Điều kiện biên và điều kiện liên tuc……………………………………… 61 3.4 . Tính các í ì i ( i = l , n )…………………………………………………… 63 3.4.2 . Chứng minh … = 0 …………………… ……………………………… 64 3.4 .3 . Tính Q3……………………………………………………………………65 3.4 .4 . Chứn g minh …= 0 ………………………………………………………65 3.4.5 . Tìm ……………………………………………………………………….67 3.4.6 . Chứng minh 2n = 0……………………………………………………….68 3.4.7 . Công thức truy hồi của ÍÌ 2n - i ( n > 1)……………….…………………73 3.5 . Ví dụ bằng số……………………………………………………………….74 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ……………………………………………………77 LỜ I CẢ M Ơ N T ác giả xin chân thàn h cảm ƠI1 các T hầy giáo, Cô giáo trong Ban lãnh dạo Viện Cơ học, các T h ầy giáo, Cô giáo tổ chức v à giảng dạy lớp cao học khoá 6 của Trung T âm Đào T ạo sau dại học tại viện Cơ học, Trường Dại học Công nghệ, dã tạo nhiều diều kiện thuận lợi trong suốt khoá học và quá trình viết luận văn tố t nghiệp. T ác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ƠI1 sâu sắc dối với PGS. TS. P hạm C hí Vĩnh, người dã chì bảo, hướng d ẫn và giúp dỡ nhiệt tình dề T ác giả hoàn thành bản luận văn này. T ác giả Nguyền Thị Khánh Linh 1 M Ờ D À U Nghiên cứu các bài toán truyền sóng trong môi trường dàn hồi có ý nghĩa thự c tế to lớn và dã dược áp dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau. Trong Địa chấn học, xung được tạo ra từ phương pháp nổ mìn trong các hố khoan, quá trình lan truyền sóng thu dược qua các thiết bị do. Các số liệu thu dược dem phân tích, so sánh, cho phép ta xác định dược sự phân lớp của các lớp đất đá, xác định dược bề dày của từng lớp. Q ua dó xác định dược địa tầng, khu vực cần nghiên cứu, Trong công việc tìm kiếm và thăm dò khoáng sản, việc phân tích và so sánh phổ của các quá trình truyền sóng cho phép xác định vị trí, các thần quặng nằm sâu trong lòng đất. Qua dó có thể xác định phạm vi phân bố của mỏ quặng, phục vụ tốt cho công tác diều tra khảo sát. Trong lĩnh vực dộng lực học công trình, nghiên cứu quá trình lan truyền sóng trong các kết cấu nhằm phát hiện các dị thường (khuyết tật) của kết cấu bên trong công trình. T ừ dó có các biện pháp sử lý kịp thời nhằm đảm bảo an toàn cho các công trình trước khi dưa di sử dụng. Trong chế tạo cũng như lắp dặt cấu kiện, bằng phương pháp sóng siêu âm có thể xác định dược chất lượng của mối hàn chịu lực, các khuyết tậ t trong quá trình gia công, chế tạo vv. 2 Trong xây dựng công trình, dế đánh giá chất lượng các công trình, theo truyền thống, người ta thường dùng các phương pháp lấy m ẫu của các vật liệu, sau dó dược thử trong phòng thí nghiệm, hoặc thí nghiệm trực tiếp tại hiện trường. Các phương pháp lấy mẫu (phương pháp trực tiếp) tuy có dộ chính xác cao, song phương pháp này thường gây ra sự phá vỡ kết cấu, làm ảnh hưởng đến sử dụng công trình và rất tốn kém. Dựa vào nguyên lý truyền sóng trong các môi trường dàn hồi có thể kiểm tra đánh giá chất lượng các công trình, xác định trạng thái ứng suất trước v.v bằng việc do tốc độ lan truyền của sóng. Phương pháp này hiện dang dược áp dụng rộng rãi trong thực tế và dược gọi là phương pháp không phá huỷ. Trong lĩnh vực nền móng, bằng phương pháp trên có thể xác định dược chiều sâu của móng, rnô-dun dàn hồi của vật liệu thi công, xác định khả năng chịu tầi của móng công trình. Như vậy, việc nghiên cứu các bài toán truyền sóng trong môi trường dàn hồi có nhiều ý nghĩa thực tiễn và rất cần dược nghiên cứu. Trong số dó, các bài toán truyền sóng trong các môi trường dàn hồi phân lớp dược các nhà nghiên cứu dặc biệt chú ý, do những ứng dụng to lớn của chúng. Chẳng hạn các công trình [1], [3], [6 ], [11], [14] liên quan dến bài toán truyền sóng trong môi trường dàn hồi phân lớp không có ứng suất trước. Bài toán truyền sóng trong môi trường dàn hồi phân lớp có ứng suất trươc dược nghiên cứu, chẳng hạn trong các công trình [5], [7]-[10], [12]. Một trong những vấn dề quan trọng khi nghiên cứu bài toán truyền sóng là tìm phương trình tán sắc của sóng: ÍO = Lú(k), u là 3 tần số sóng, k là số sóng. Sau khi xác định dược phương trình tán sắc của sóng ta mới xác định dược vận tốc truyền sóng c = £ và các dặc trưng khác nhau chuyển dịch, ứng suất, biến dạng của môi trường. Trong số các bài toán truyền sóng trong môi trường dàn hồi phân lớp, bài toán truyền sóng trong môi trường phân lớp tuần hoàn dược nhiều tác giả quan tâm, dặc biệt khi các lớp đều mỏng hay khi xấp xỉ sóng dài (tức là khi E = k.lì < < 1, Ả: là số sóng, h là độ dày m ột chu kỳ). Trong các công trình [7], [9], [10], [12], bằng cách sử dụng các khai triển tiệm cận của nghiệm, hay xuất phát từ các phương trình của môi trường composite lớp có cấu trúc tuần hoàn, bằng cách cho £ —» 0, dã thu dược các phương trình thuần nhất hoá. Giải bài toán thuần nhất hóa tác giả thu được vận tốc truyền sóng, tức là tìm dược xấp xỉ “bậc không” (fỉi) trong khai triển sau của phương trình tán sắc: 2 00 — = e £}2 + £2^3 + • • • = fyn+l£m (*) 777=0 Dể tăng dộ chính xác của phương trình tán sắc của sóng, việc tìm các xấp xi bậc cao hơn ÍỈ2) ^ 3) trong khai triền (*) là hết sức cần thiết. Trong [6 ] A. Norris và F. Santosa dã nghiên cứu bài toán truyền sóng cắt (sóng một thành phần) trong môi trường phản lớp tuần hoàn vô hạn (không có ứng suất trước). Các tác giả dã tìm được công thức tính Q\, ÍỈ3 và chứng minh dược ÍỈ2 = 0 . Câu liổi dặt ra là: 1) í^2n = 0 với Vn > 1? 2) Có thể xây dựng dược công thức truy hồi dể tính các íĩ2n+i(n > 1) hay không ? 3) Nếu các câu trà lời trên là khẳng định thì các kết quả trên có thể mờ rộng cho trường hợp sóng hai thành phần (sóng cắt nén) không? 4) Khi môi trường vô hạn, phân lớp tuần hoàn thay bằng môi trường phân lớp hữu hạn thì các khẳng định trên còn đúng không? Mục tiêu của luận văn nhằm trả lời các câu hỏi nêu trên. Cụ thể, các kết quả của luận văn khẳng dinh: i) thn — 0 Vn > 1 dối với sóng hai thành phần truyền trong môi trường vô hạn tuần hoàn không nén dược, có biến dạng ban dầu thuần nhất, và sóng Love (sóng một thành phần) trong môi trường không nén dược, có biến dạng ban dầu thuần nhất. ri) Tìm dược công thức tính Qi, fỈ3 và công thức truy hồi đổ tính 0 , 2 n+1(™ > 1) cho hai loại sóng trên. Nhờ công thứ c này, ta có thể tính toán bằng số các xấp xì bậc cao. Cần nhấn mạnh rằng, với các mục đích khác nhau, việc xác định các xấp xỉ bậc cao trong phương trình tán sắc (*) là cần thiết dối với môi trường có ứng suất trước cũng như không có ứng suất trước. Vì môi trường không có ứng suất trước là một trường hợp riêng của môi trường có ứng suất trước (khi các ứng suất trước bằng không) nên luận văn sẽ trình bày các kết quả cho môi trường có ứng suất trước. Từ các kết quả thu dược cho môi trường có ứng 4 5 suất, trước ta sẽ nhận dược các kết quả cho môi trường không có ứng suất trước. Luận văn gồm 3 chương: * Chương I: Trình bày các hệ thứ c tuyến tính hoá cơ bản của lý thuyết dàn hồi có biến dạng ban đầu thuần nhất, cần thiết cho chương II và chương III. * Chương II: Nghiên cứu bài toán truyền sóng hai thành phần dọc lớp trong môi trường vô hạn, phân lớp tuần hoàn, mỗi chu kỳ gồm N lớp vật liệu khác nhau không nén dược có biến dạng ban đầu thuần nhất. Dã chứng minh dược: ỉ) $hn — 0 Vn > 1. li) Tìm dược công thức tính fỉi, ÍỈ3. Ui) Xây dựng dược công thức truy hồi dề tính n 2n+i (n >1). * Chương III. Khảo sát sóng Love (sóng một thành phần) trong môi trường gồm N lớp vật liệu khác nhau (N > 2) dặt trên bán không gian. Môi trường dược giả thiết là không nén dược và có biến dạng ban đầu thuần nhất. Các kết quả chính của chương III là: i) Chứng minh dược 0 , 2,1 — 0 Vn > 1. iỉ) Tìm dược các công thức tính Í23, Q 5. Ui) Xâv dựng công thức truy hồi dể tính ÍỈ2TĨ+1 (ft > !)• [...]... mô tả sự chuyển dộng của môi trường P hư ơ ng pháp mô tả Lagrăng coi x m (m à dược gọi là to ạ độ Lagrăng) là tham số của chuyển dộng của môi trường Các to ạ dộ này không thay dổi trong quá trìn h chuyển dộng, vì vậy các dường toạ dộ x m trong môi trường biến dạng là đường cong không trự c giao với hệ cơ sở ĩm Phương pháp th ứ hai là phương pháp ơ le , coi th a m số chuyền dộng của môi trư ờ n g là... dịch của điểm M trong môi trư ờ n g có dạng: ( 1.1) trong dó: XmẨm'- là to ạ độ của điểm M trư ớ c và sau khi biến dạng Vì giữa toạ dộ của diem M trư ớ c và sau khi biến dạng có sự tư ơ n g ứng dơn trị nên ta có: um{xl ì x 2 , x 3 ì T) = Ẹm( x i , x 2 , x 3 ỉ t ) - x m Ẹ ,m ĩ £2?£3?*" 7) Uii(£1 ?Ẹ i £3?7") j ,2 ( 1.2 ) u m: là các thành phần của véc tơ chuyển dịch ũ Đẳng th ứ c (1.2) xác định hai phương. .. phần tử diện tích m à trư ớ c biến dạng vuông góc với Irn th ì Sm v à s*n là diện tích của phần tử diện tích này trướ c và sau biến dạng Ơmn là th àn h phần theo hướng ĩn của véc tơ ứng suất, tác dụng lên phần tử nói trên, 1* 1 ( , _ A = —\/r+ n 2 e n n (1-5) An là dộ dãn của dl m à trướ c biến dạng theo hướng yn, dl* là dộ dài của dl sau biến dạng G iả sử môi trường là dàn hồi lý tư ờ ng, tứ c... định ứng suất suy rộng trong vật th ể không nén dược: ơH ( é + é > +pffJ’ (U1) trong dó: p là hàm vô hướng của x m Đối vói v ật thể dàn hồi, dẳng hướng, nén dược, th ế dàn hồi dược xác định dướ i dạng như sau: ộ = Ộ(A\ Ã 2, A-i) ( 1 -1 2 ) trong dó / 1 J, /i2, Az là các b ấ t biến dại số của tenxơ biến dạng Green: ^1 = i ^2 = ^3 £mn£rni£in- (1.13) T hế dàn hồi M urnaghan có dạng: ộ = 2 ^ 1 + + 2^1... o á c ủ a lý t h u y ế t đ àn h ồ i v ớ i b iế n d a n g b a n đâu h ữ u h ạ n Để nghiên cứu sự lan truyền sóng trong v ậ t th ể dàn hồi có biến dạng trư ớ c, ta cần phân biệt ba trạn g th ái của môi trường: trạng th ái tự nhiên khi m à môi trường chưa bị biến dạng, trạn g thái ban đầu (có biến dạng trước) và trạn g thái tại th ờ i điổm dang xét Các dại lượng dặc trư n g cho trạn g thái ban đầu dược... = s trong dó: 5 - m ặt của vật thể Khi dó phương trình chuyển dộng v à các diều kiện biên có dạng như sau: W in(àmn + «m,n)]ti + x * n - pủm =0 K n ( ^ n + ^ ,n ) ] ^ |5 l= C ư m \s 2 = f { X u X 2, X 3 ì T) (1.18) (1.19) (1 2 0 ) ờ dây x*u và p*n: là hình chiếu trên trụ c ỹm của lực thể tích và lực m ặt, tác dụng lên v ật thể trên m ột dơn vị th ể tích, v à trên m ột dơn vị diện tích trước biến dạng. .. bÁ\Á2 + -A 3, (1-14) trong dó: A, ịi là các hằng số Lame; a, ò, c là các hằng số cấp ba, dược xác định bằng phương pháp siêu âm Đối với v ậ t thể dàn hồi dẳng hướng, không nén dược th ế dàn hồi có dạng: ộ = ộ ự u Ỉ 2 ) = W { A u A 2) (1.15) 9 trong dó /i = 3 + 2 i4 i, /2 = 3 + 4 Ấ! + 2 Ấ? - 2 ẩ 2 ( 1 1 6 ) T hế dàn hồi của Mooney có dạng: ộ — C\o(Ii — 3) + C 0 1 Ự 2 —3) (1-17) trong dó Cjj = const... p (1.52) trong dó: ỡ & ik 'dA \\V dA \ L ỡ i4 Ị + ( A f - D Ô r)Wữ + 22112 p 0 —i # 2 1 2 1 1,2 » 0 ^2112 (2.26) Dưa vào biến mới ỉ/3 = P khi dó (2.25) có dạng: = e B ( y à )Y (yà) d'Ư 3 (2.27) 22 N hư vậy bài toán dưa về tìm nghiệm của phương trìn h (2.27) trên đoạn . HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÒNG NGHỆ VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN Cơ HỌC NGUYỄN THỊ KHÁNH LINH DẠNG TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG TRONG TRƯỜNG HỢP XẤP XỈ SÓNG DÀI chuyên. HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM NGUYỀN THỊ KHÁNH LINH DẠNG TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SổNG TRONG TRƯỜNG HỢP XẤP x ỉ SÓNG DÀI LUẬN VĂN THẠC s ĩ ■. sóng là tìm phương trình tán sắc của sóng: ÍO = Lú(k), u là 3 tần số sóng, k là số sóng. Sau khi xác định dược phương trình tán sắc của sóng ta mới xác định dược vận tốc truyền sóng c = £ và các