Luận văn phương trình tán sắc của sóng rayleigh

Lời mở đầu Phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh mô hình khác thường dẫn phương trình siêu việt dạng ẩn phụ thuộc vào hai biến vận tốc truyền sóng tần số sóng với tham số vật liệu mô hình Trong việc giải số tìm nghiệm phương trình tán sắc này, tần số sóng thường cho trước vận tốc truyền sóng tìm phương pháp số khác Nói chung, với giá trị tần số sóng, có nhiều nghiệm vận tốc nghiệm vận tốc ứng với mode truyền sóng khác sóng mặt Rayleigh Khi nghiệm vận tốc truyền sóng tìm với giá trị khác tần số sóng tranh miêu tả phụ thuộc chúng gọi đường cong phổ mode truyền sóng Thông thường đường cong phổ nằm xen kẽ Tuy nhiên số trường hợp đặc biệt giá trị tham số mô hình, tồn cặp đường cong (ứng với mode khác nhau) tiến gần “tiếp xúc” với Các điểm tiếp xúc điểm thuộc hai mode khác toán truyền sóng Rayleigh chúng điểm tương ứng với nghiệm bội phương trình tán sắc Có nhiều thuật ngữ tiếng Anh cho điểm đặc biệt “osculation points” hay “avoided crossing points” luận văn sử dụng thuật ngữ “điểm tiếp xúc” Những điểm tiếp xúc xuất toán truyền sóng Rayleigh mà xuất nhiều toán thuộc lĩnh vực khác vật lý lượng tử, vật lý chất rắn, học, với nhiều thuật ngữ khác (xem Kausel cộng sự, 2015, với tài liệu tham khảo báo) Nói chung điểm tiếp xúc nghiệm bội toán giá trị riêng tương ứng với lĩnh vực trên, chúng có số tính chất đặc biệt Trong lĩnh vực địa chấn, cụ thể phương pháp tỷ số H/V-là phương pháp liên quan đến sóng mặt Rayleigh, tính chất đặc biệt đường cong tỷ số H/V phát điểm tiếp xúc Đó điểm tiếp xúc, đường cong có điểm cực đại chuyển thành điểm không (xem Trần Thanh Tuấn, 2009) Do điểm cực đại điểm không hai điểm quan trọng phương pháp tỷ số H/V nên điểm tiếp xúc tập đường cong phổ vận tốc sóng mặt Rayleigh cần nghiên cứu Trong lĩnh vực địa chấn, điểm tiếp xúc quan sát thấy từ lâu (ví dụ Sezawa Kanai, 1935) công trình nghiên cứu lý thuyết điểm Theo Kausel cộng (2015) nói điểm tiếp xúc lĩnh vực địa chấn đề cập rõ ràng sách Levshin (1973) sau đề cập nhắc đến số công trình Forbriger (2006) Liu cộng (2009) Gần đây, số kết giải tích điểm tiếp xúc sóng Rayleigh đàn hồi, cụ thể công thức xác định điểm tiếp xúc, công bố Trần Thanh Tuấn (2009) bổ sung Kausel cộng (2015) Tuy nhiên công thức tìm cho trường hợp đàn hồi đẳng hướng Nội dung luận văn cao học tìm công thức điểm tiếp xúc sóng Rayleigh với điều kiện biên khác làm từ vật liệu trực hướng Hơn nữa, tính chất trơn phổ đường cong vận tốc điểm tiếp xúc khảo sát Luận văn phần mở đầu kết luận có chương Nội dung Chương tìm phương trình tán sắc sóng Rayleigh truyền trong trường hợp có hai biên tự trường hợp có biên tự biên ngàm Chương khảo sát phương trình tán sắc tìm để tìm công thức xác định điểm tiếp xúc khảo sát tính trơn phổ đường cong vận tốc điểm tiếp xúc Chương trình bày kết nhận trường hợp đẳng hướng minh họa vài kết ví dụ số Chương 1: Phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh truyền đàn hồi trực hướng Chương sử dụng phương pháp truyền thống để tìm phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh truyền trực hướng Đầu tiên, phương trình trạng thái phương trình chuyển động trình bày lại theo sách chuyên khảo Sau đó, tùy vào điều kiện biên tấm, phương trình tán sắc sóng Rayleigh thiết lập Các phương trình tán sắc sử dụng việc nghiên cứu điểm tiếp xúc chương 1.1 Các phương trình truyền sóng 0x h,=c121220h , c66 Xét toán trực c11 , cx122Ox hướng có độ dày thông số vật liệu Sóng mặt Rayleigh truyền mặt phẳng theo trục trùng với hướng tắt dần theo trục vuông góc với mặt phẳng Trục nằm đáy có phương trình mặt có phương trình Do toán truyền sóng Rayleigh biến dạng phẳng nên trường chuyển dịch có dạng ui = ui ( x1 , x2 , t ), (i = 1, 2), u3 ( x1 , x2 , t ) = 0, thời gian Mối liên hệ ứng t suất chuyển dịch cho (ví dụ xem Ting, 1996) σ 11 = c11u1,1 + c12u2,2 σ =c u +c u dấu phẩy đạo hàm 22 12 1,1 22 2,2 theo biến không gian Trong σ 12 = c66 (u1,2 + u 2,1 ) trường hợp không xét đến trọng lực phương trình chuyển động sóng Rayleigh có dạng σ 11,1 + σ 12,2 = ρ u&&1 , σ + σ 22,2 = ρ u&&2 kc Giả sử sóng lan truyềntheo 12,1 0x phương với vận tốc số sóng, hàm chuyển dịch biểu diễn dạng ui = U i ( x2 ) eik ( x1 −ct ) , (i = 1, 2) Thay dạng hàm chuyển dịch U i ( x2 ) vào phương trình chuyển động sau sử dụng phương trình trạng thái , ta thu hệ phương trình vi phân chuyển động Giải hệ ta có nghiệm tổng quát hàm chuyển dịch có dạng (xem Phạm Chí Vĩnh Ogden, 2004) u1 = B1e kb1x2 + B2e − kb1x2 + B3e kb3 x2 + B4e − kb3 x2 kb1x2 − α1B2e − kbb1x,2b+ α B3e kb3 x2 − α B4 e − kb3 x2 đólà u2 = α1B1e Bi (i1= 1,3 4) số tích phân nghiệm phương trình c22 c66b + (c12 + c66 ) + c22 ( X − c11 ) + c66 ( X − c66 )  b + (c11 − X )(c66 − X ) = 2 với Chú ý phương biX (bi± =1bb=,b1i3i2bρ131,3) 3c trình trùng phương nói chung có bốn nghiệm phức và thực phức chúng Nghĩa là, trường hợplà phức, chọn số phức có phần thực dương Nếu số thực dương, số thực dương số thực âm,là số ảo có phần ảo dương Trong phương trình, ta ký hiệu α k = −iβ k = (U / U1 ) k với bk (c12 + c66 ) c11 − X − c66bk2 βk = = , ( k = 1,3) c22bk2 − c66 + X (c12 + c66 )bk Sử dụng đại lượng không thứ nguyên e1 = phương trình có dạng c11 c c X , e2 = 22 , e3 = 12 , x = c66 c66 c66 c66 e2b +  (e3 + 1) + e2 ( x − e1 ) + ( x − 1)  b + (e1 − x)(1 − x) = có dạng Theo công thức Viet ta có: bk (e3 + 1) e1 − x − bk2 βk = = , ( k = 1, 2) e2bk2 − + x (e3 + 1)bk S ( x) = b12 + b32 = − (e3 + 1)2 + e2 ( x − e1 ) + ( x − 1) , e2 Các số hạng (e − x)(1 − x) công thức P( x) = b12 ×b32 = e hàm chuyển dịch tương ứng với bốn thành phần sóng gồm hai sóng lên hai sóng xuống sóng qP qSV Phương trình tán sắc để xác định vận c tốc truyền sóng phụ thuộc vào tần số xác định từ điều kiện biên Trong phần chương này, hai trường hợp biên xem xét Đó trường hợp có hai mặt biên tự trường hợp có mặt tự mặt bị ngàm 1.2 Trường hợp có hai mặt tự Từ điều kiện tự ứng suất mặt mặt ta có σ 12 (0) = σ 22 (0) = σ ( h) = σ ( h ) = Sử dụng công thức chuyển 12 B1 , B2 , B223 , B4 dịch ứng suất vào điều kiện biên thu hệ phương trình đại số số tích phân dạng ma trận sau: M1 ×[B1 , B2 , B3 , B4 ]T = ma trận có dạng  b1 + β1  e2b1β1 − e3 M1 =   ( b1 + β1 ) eε b1  εb ( e2b1β1 − e3 ) e M1 − ( b1 + β1 ) e2b1β1 − e3 − ( b1 + β1 ) e −ε b1 ( e2b1β1 − e3 ) e −ε b1 b3 + β e2b3 β − e3 ( b3 + β3 ) eε b3 ( e2b3 β3 − e3 ) eε b3 − ( b3 + β3 )   e2b3 β3 − e3  − ( b3 + β3 ) e −ε b3   ( e2b3 β3 − e3 ) e −ε b3  với Để hệ phương trình có nghiệm ε = kh không tầm thường định thức tương ứng ma trận phải Từ ta thu phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh sau B02 + B0 cosh(ε b1 ) cosh(ε b3 ) − sinh(ε b1 )sinh(ε b3 ) = B0 B0 B0 = b3  ( Se2 + 2e3 + x)(1 − x) + e2 xb12  với S biểu diễn B0 = b1 ( Se2 + 2e3 + x)(1 − x) + e2 xb32  (1.12) Khi biểu diễn thông qua tham số tấm, phương trình tán sắc có dạng cosh(ε b1 ) cosh(ε b3 ) − B sinh(ε b1 ) sinh(ε b3 ) =1 b1 b3 với ( Se2 + 2e3 + x) (1 − x) S + e22 x PS + 4e2 x( Se2 + 2e3 + x)(1 − x) P ( Se2 + 2e3 + x) (1 − x)2 + e22 x P + e2 xS ( Se2 + 2e3 + x )(1 − x ) SP cho phương trình B= 1.3 Trường hợp có mặt tự do, mặt bị ngàm Từ điều kiện tự ứng suất mặt điều kiện ngàm mặt ta có σ 12 (h) = σ 22 ( h) = 0, u (0) = u (0) = Tương tự trường hợp hai biên B1 , B22, B3 , B4 tự do, sử dụng công thức chuyển dịch ứng suất vào điều kiện biên thu hệ phương trình đại số số tích phân dạng ma trận sau: M ×[B1 , B2 , B3 , B4 ]T = ma trận có dạng M2   − β1 M2 =   ( b1 + β1 ) eε b1  ε b1 ( e2b1β1 − e3 ) e β1 − ( b1 + β1 ) e −ε b1 ( e2b1β1 − e3 ) e −ε b1 − β3 ( b3 + β3 ) eε b3 ( e2b3β3 − e3 ) eε b3   β3  − ε b3  − ( b3 + β3 ) e ( e2b3 β3 − e3 ) e −ε b3  Khi phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh trường hợp có đáy ngàm có dạng A cosh(ε b1 ) cosh(ε b3 ) − C sinh(ε b1 )sinh(ε b3 ) = ta sử dụng ký hiệu A02 + A0 C02 + C0 A= ,C = A0 A0 2C0 C0 Với A0 = b32e2 + e3 + x, C0 = b3 ( b12e2 + e3 − e3 x ) , 2 Khi biểu diễn A0 = b1 e2 + e3 + x, C0 = b1 ( b3 e2 + e3 − e3 x ) thông qua tham số vật liệu tấm, phương trình tán sắc có dạng A cosh(ε b1 ) cosh(ε b3 ) − C sinh(ε b1 ) sinh(ε b3 ) =1 b1 b3 với e22 ( S − P) + 2e2 (e3 + x) S + 2(e3 + x) 2 e22 P + e2 S (e3 + x ) + (e3 + x )  SP 2 biểu diễn e PS + e (1 − x) S + 4e2e3 (1 − x ) P C = Cb1b3 = 2 e2 P + e2e3 (1 − x ) S + e32 (1 − x )  Chú ý rằng, A= A= biểu diễn dạng , vế trái phương trình tán sắc luôn có giá trị thực Chương Các công thức xác định điểm tiếp xúc Phương trình tán sắc sóng Rayleigh truyền phương trình dạng ẩn để xác định vận tốc hàm tần số Về nguyên tắc, để xác định điểm tiếp xúc ta cần tìm giá trị tần số cho phương trình có nghiệm kép Đầu tiên, phương trình tán sắc tách thành hai phương trình biểu diễn mode đối xứng phản đối xứng (theo thuật ngữ dùng báo Tolstoy Usdin, 1953) phép đổi biến 2.1 Trường hợp có hai mặt tự Đặt t1 = tanh( Ta có đẳng thức liên hệ hàm lượng giác sau ε b1 εb ) t3 = tanh( ) 2 + t12 + t32 2t 2t cosh(ε b1 ) = , cosh(ε b3 ) = , sinh(ε b1 ) = , sinh(ε b3 ) = 2 − t1 − t3 − t1 − t3 Thay biểu thức vào phương trình tán sắc ta có + t12 + t32 4t1t3 −B =1 2 − t1 − t3 (1 − t12 )(1 − t32 ) ta ký hiệu B + B0 B= B0 B0 Từta có (1 + t12 )(1 + t32 ) − Bt1t3 = (1 − t12 )(1 − t32 ) ⇒ t12 (1 + t32 ) + (1 − t32 )  − Bt1t3 + (1 + t32 ) − (1 − t32 )  = ⇒ t12 − (2 Bt3 )t1 + t32 = t1 Đây phương trình bậc hai biến hai nghiệm phương trình t1 = Bt3 ± ∆ ' với ∆ ' = B 2t32 − t32 = ( B − 1)t32 Dấu (+) phương trình tương ứng với mode đối xứng, dấu (–) tương ứng với mode phản đối xứng Hai thuật ngữ bắt nguồn từ thực tế nghiệm nhánh (+) có chuyển dịch chất điểm hai bề mặt đối xứng nhau, nghiệm nhánh (-) có chuyển dịch phản đối xứng Những điểm tiếp xúc điểm mà hai mode đối xứng phản đối xứng gặp Từ điều kiện từ cách đặt ta có phương trình xác định điểm tiếp xúc B2 = ∆ =0⇒  t =0 Với trường hợp Đây t32 = 0 trường hợp ý nghĩa vật lý nên ta không xét đến ' Ta xét trường hợp Nghĩa là, hoặc BBB2===−111 B =1 Xét trường hợp, ta có B02 + B0 = B0 B0 ⇒ B0 = B0 Điều dẫn đến phương trình tán sắc có dạng cosh(ε b1 ) cosh(ε b3 ) − sinh(ε b1 )sinh(ε b3 ) = b1 = b3 Từ suy Xét trường hợp, tương tự ta có : B = −1 B02 + B0 = −2 B0 B0 ⇒ B0 = − B0 Từ suy (1 − x)  e32 − e2 (e1 − x)  + x e2 (1 − x)(e1 − x) = Đây phương trình tán sắc sóng xR Rayleigh truyền bán không gian có tính chất vật liệu giống (xem Pham Chi Vinh Ogden, 2004) Tuy nhiên, vận tốc truyền sóng sóng Rayleigh luôn lớn Do điểm tiếp xúc tồn nghiệm thực khác phương trình , tồn Điều kiện tham số để phương trình Rayleigh tồn nhiều nghiệm thực phức tạp xem Phạm Chí Vĩnh Ogden (2004) Giả sử ta tìm vận tốc t1 =xa−t3 truyền sóng điểm tiếp xúc (nếu tồn tại) Để tìm tần số điểm tiếp xúc ta sử dụng phương trình có Điều dẫn đến tan( iε b1 iε b iε b iε b kπ ) + tan( ) = ⇒ − = kπ ⇒ ε = ( k ∈ Z) 2 2 i (b1 − b2 ) với lấy giá trị Chú ý tanh( b1 − b2x)=x==−Sxiatan( − ixP) để nhận phương trình ta sử dụng đẳng thức 2.2 Trường hợp có mặt đáy bị ngàm Sử dụng biểu thức , phương trình tán sắc biểu diễn dạng A(1 + t12 )(1 + t32 ) − C (2t1 )(2t3 ) = (1 − t12 )(1 − t32 ) 2 2 Ct t1' )t1 +  A(1 + t3 ) − (1 − t3 )  = Phương trình ⇒ t1  A(1 + t3 ) + (1 − t3 )  − 2(2∆ phương trình bậc hai Biệt thức phương trình ∆ ' = 4C 2t32 −  A2 (1 + t32 ) − (1 − t32 )  =t 34 ( − A2 ) + 2t32 ( 2C − A2 − 1) + ( − A2 ) Hai nghiệm phương trình tán sắc t1 ứng với hai nhánh đối xứng phản đối xứng Phương trình tán sắc nhánh đối xứng là: dạng ẩn có dạng 2Ct3 + ∆ ' t1 = A(1 + t32 ) + (1 − t32 )  A(1 + t32 ) + (1 − t32 )  − 2Ct3 − ∆ ' = hay 10 M ( x) = ( e2 − 1) x + (e2 + 1)(1 + e3 ) − (e2 − 1)(e1e2 − 1)  x + ( e1e2 − e32 ) e1e2 − (2 + e3 )  ( e3 + 1) ( e2 + e3 ) x − ( e1e2 − e32 )  Xét tập hợp nghiệm phương trình S1 Trong trường hợp ta có vận tốc e3 = truyền sóng điểm tiếp xúc e1e2 − e2 − ∆ ( ε , x) xa1 = Ta có công thức tính đạo hàm riêng hàm sau Chú ý , ta có Do từ (2.64) (2.65) ta có Điều dẫn đến ∆ (ε , xa1 ) − ∆ (ε a1 , xa1 ) (ε a1 , xa1 ) = lim , ε →ε a1 ε ε − ε a ∆∆(xεaeε1a31,=,= xxaxa111a)2 == 00 ∆ (ε a1 , x) − ∆ (ε a1 , xa1 ) ∆ (ε a1 , xa1 ) = lim x → xa1 x x − xa1 ( ∆) ( ( ) ( ∆) Từ suy ( ∆) (ε x M ( x) t32 ε a , x + 1 + 4t32 ε a , x 1   e2 P( x) e2 − ) ( ∆ ε a1 , x = x − xa1 a1 ) (ε a1 , xa1 ) = ε = ε a1 Thay vào phương trình ta có ( ε ) ( , xa1 = sign x − xa1 ) ) ( ) t32 ε a , xa + 1 + 4t32 ε a , xa 1 1   e2 P( xa1 ) ( ) ( ) với ( e − 1) , M ( x ) = P( xa ) = a )3=1,(=xx)1Aa x ( xa ) = C4x x( axa ) = =A trường A( xa ) = −1, C( (ex2a−)1xeC 1 Trong 1 hợp này, thay vào biểu thức đạo hàm hàm ta có 1 18 1 M ( xa1 ) e2 − Do từ phương trình ta có Fx ( S1 ) = − t1 (1 + t32 )  − ( t3 ) x + t1 (1 − t32 )  x x = − ( t1t32t1) t3 (−S21 )( t+3 1) x==0−2 ( t1t32 + t3 ) Tương tự ta có: x x = −2 [ t3 (t1t3 + 1) ] x =  −2t3 ( t1t3 ) x  ( S1 ) Fε ( S1 ) =  −2t3 ( t1t3 ) ε  ( S1 ) Xét tập hợp nghiệm phương trình S Trong trường hợp tập nghiệm này, vận tốc truyền sóng e1e2 − e32 , e2 − e32 xa2 = ta có t32 ( S2 ) = t32 (ε a2 , xa2 ) = −1 Tương tự phần ta có ( ∆) ε (ε a2 , xa2 ) = lim ε →ε a2 ∆ (ε , xa2 ) ε − ε a2 = lim ε →ε a2 xa2 − xa1 t32 (ε , xa2 ) + ε − ε a2 (e2 − 1) M ( xa2 ) Từ phương trình , biểu thức không (tε[32a0(2ε,/ ,x0xa]2)) xác định điểm có dạng Tại lân cận ta có khai triển Taylor hàm theo hai biến có dạng t32 (ε , x) = −1 + ( t32 ) (ε a2 , xa2 )( x − xa2 ) + ( t32 ) (ε − ε a2 ) + ε x Ta có ( ) ⇒ t32 (ε , xa2 ) + = (t32 )ε (ε a2 , xa2 ) (ε − ε a2 ) + o ε − ε a2 ( t ) ( S ) =  ε 2 ε b3  ε b3  ε b3  ÷ =  ÷ ε  ε Ở ta sử = t3 ( − t32 ) b3 = 2t3b3 ( xa2 , ε a2 ) dụng kết phương trình Từ suy ( ) ∆ ε (ε a2 , xa2 ) = sign(ε − ε a2 ) 2t3 ( S ) b3 ( S ) xa2 − xa1 19 e2 − M ( xa2 ) Để tính, ta sử dụng công thứcvới ( ∆ ) (ε ( , x∆ ) ) =(ε lim, x x a2 a2 a2 x a2 x → xa2 ) ∆ (ε a2 , x) x − xa2 2 ( x − xa1 ) t3 (ε a2 , x) + 1 4t32 (ε a2 , x) + M ( x) (e2 − 1) (e2 − e32 ) e22 P ( x) x−x ∆ (ε a2 , x) = x − xa2 ( a2 ) xác định từ Tại lân cận, từ (ε a2 , xa2 ) khai triển Taylor ta có t32 (ε a2 , x) + = ( t32 ) (ε a2 , xa2 )( x − xa2 ) + o( x − xa2 ) x với (t ) x (ε a2 , xa2 ) = 2t3 (ε a2 , xa2 )ε a2 ( b3 ) x ( xa2 ) Do ( ) ∆ x (ε a2 , xa2 ) = sign( x − xa2 ) ( xa2 − xa1 ) (e2 − 1) ( t32 ) ( S2 )  − M ( xa2 ) x   (e − e ) e P ( x ) a2 2 e1 −e12)( 1e−32 e1 ) ( M ( xa2 ) = P( xa22 )+= 2 4e3 F (eSε3 ,(exe1)− Để tính toán đạo hàm ( 2 e2e−32 1) ) ( e3 + 1) riêng hàm lân cận nghiệm ta có Thay giá trị vào phương e3 (−2e2 + e3 + e32 ) − e1e2 (e3 − 1) A( xa2 ) = ; C ( xa2 ) = 1, 2e3 (e2 − e32 ) A' ( xa2 ) = (e2 − e3 )(1 − e3 ) ; C ' ( xa2 ) = 2e3 trình ta nhận Fx ( S ) = A( xa2 ) t1 (1 + t32 )  ( S ) + t1 (1 − t32 ) − 2t3  ( S ) , x x Fε ( S ) = A( xa2 ) t1 (1 + t32 )  ( S2 ) + t1 (1 − t32 ) − 2t3  ( S ) ε ε 20 Tính chất đạo hàm vận tốc truyền sóng tần số điểm tiếp xúc Đối với hai tập nghiệm điểm tiếp S1 , S2 xúc ta có ( ∆) x (ε , xai ) = sign( x − xai ) R(ε , xai ) ( ∆) ε ( (ε , xai ) = sign(ε − ε ) Q(ε , xai ), i = 1,3 ( ) ) R(∆ε∆aε(xii(ε,ε−,x,xaεxxii))a)) đó, hàm ứng với tập sign( −Q nghiệm cho phương trình , Như vậy, ta thấy đạo hàm riêng hàm không liên tục điểm tiếp xúc hàm gián đoạn điểm Điều làm cho đạo hàm toàn phần vận tốc truyền sóng tần số bị gián đoạn Tuy nhiên, thấy đạo hàm riêng bên trái hàm đạo hàm riêng bên phải hàm Và từ công thức , ta thấy điểm tiếp xúc, đạo hàm toàn phần bên trái đường cong vận tốc tần số mode đối xứng đạo hàm toàn phần bên phải mode phản đối xứng ngược lại vg = dω dc =c+k dk dk vận tốc nhóm đặc trưng cho vận tốc truyền lượng mode Chính vậy, điểm tiếp xúc, nhánh mode đối xứng phải nối cách trơn với nhánh khác mode phản đối xứng Nếu điều không xảy ra, vận tốc truyền lượng bị gián đoạn điểm tiếp xúc Đối với điểm tiếp xúc thuộc trường hợp 3, điểm tiếp xúc loại này, tính trơn đường cong vận tốc chưa xác định Bước đầu biết ∆ (ε , x) = T (ε , x) t32 − t322 lim → ∞ 2 2 2 t3 →t31 t3 →t31 t − t t3 − t31 31 Do đạo hàm ∞ đường cong vận tốc tần số  ∞  ban đầu có dạng xác định công cụ giải tích tốt hơn, ví dụ sử dụng định lý L’Hospital lim = 2 21 22 Chương Trường hợp đẳng hướng ví dụ minh họa số Trong trường hợp đẳng hướng, hệ số vật liệu vô hướng có dạng (Phạm Chí Vĩnh Nguyễn Thị Khánh Linh, 2012) e1 = e2 = / γ , e3 = / γ − β, bβ đẳng hướng vận tốc với đặc trưng cho số vật liệu b1α γ = 32 sóng dọc ngang tấm, α nghiệmcủa phương trình đặc trưng có dạng b1 = − γ x , b3 = − x 3.1 Tấm có hai biên tự Xét phương trình tán sắc trường hợp tự , trường hợp đẳng hướng ta có B= ( x − 2) + 16(γ x)( x − 1) 8( x − 2) − x − γ x Khi đó, phương trình đưa dạng phương trình tán sắc lớp đẳng hướng tự trình bày khóa luận tốt nghiệp Doãn Thu Hương (2011) Khi phương trình tán sắc biểu diễn tách thành hai nhánh đối xứng phản đối xứng phương trình , ta có t1 t = B + B − = B0 − B02 − t3 t3 ta nhận phương trình mode đối xứng phản đối xứng sau tan( γ x − 1ε / 2) =− tan( x − 1ε / 2) tan( γ x − 1ε / 2) =− tan( x − 1ε / 2) 23 x −1 γ x −1 ( x − 2)22 ( x − 2) x −1 γ x −1 Các phương trình trình bày nhiều sách chuyên khảo ví dụ Achenback (1973) γ>2 2.5, = 0.3215 e=3 0.4 = 0.5 Trong trường hợp có e1 γ= =eγ2β= /γα0.4 hai biên tự do,do điều kiện để tồn điểm tiếp xúc phức tạp nên ta xét trường hợp đẳng hướng có tham số vật liệu Đây trường hợp hệ số Theo Phạm Chí Vĩnh Ogden (2004), môi trường đẳng hướng, để phương trình Rayleigh có nhiều nghiệm thực hệ số phải thỏa mãn Giá trị ví dụ minh họa thỏa mãn điều kiện x4.6738 0.8194 Với giá trị tham số trên, phương xxR12 = 2.5068 R trình Rayleigh có nghiệm thực Nghiệm nhỏ nhất, hai nghiệm lại Nghiệm vận tốc truyền sóng Rayleigh bán không gian làm vật liệu Hai nghiệm lại vận tốc truyền sóng Rayleigh điểm tiếp xúc Hình 1: Các đường cong contour phổ vận tốc sóng Rayleigh tự 24 điểm tiếp xúc ε = ,4.9093 4.4105,6.6157, x12 ,9.8186 8.8210 Trong vùng tần số vận ε = 2.2052 tốc khảo sát hình vẽ, quan sát điểm tiếp xúc Hai điểm đánh dấu hình vuông điểm tiếp xúc có vận tốcvà bốn điểm đánh dấu tròn điểm tiếp xúc có vận tốc Tần số điểm tiếp xúc xác định từ phương trình Bốn tần số tương ứng với điểm tiếp xúc hình tròn , hai tần số ứng với điểm hình vuông 3.2 Trường hợp có mặt tự do, mặt đáy ngàm Trong trường họp bị ngàm đáy,thay thông số vật liệu đẳng hướng vào phương trình ta có x2 − x + (4γ + 1) x − x(γ + 2) + A=− C = − 4( x − 2) 4( x − 2) − x − γ x C A( x) Thay biểu thức hàm vào phương trình tán sắc trường hợp ngàm ta dễ dàng nhận lại phương trình tán sắc sóng Rayleigh mô hình lớp có đáy bị ngàm trình bày phương trình (2.14) luận án tiến sỹ Trần Thanh Tuấn (2009) =1 13 Đối với lớp nghiệm thứ γ e=3 S1/ điểm tiếp xúc , donên Do đó, từ công thức ta có ca xa1 = ⇒ = β β ký hiệu vận tốc sóng ngang truyền lớp Tần số điểm tiếp xúc có dạng (từ phương trình ) ε a1 = π ( + mπ ) (m = 0,1, 2, ) 2 Do \ ε = kh ⇒ ε a1 = 2π f a1 h ca1 ⇒ f a1 := f a1 h β = ca1 3 ( + m) = ( + m) β 2 Kết trùng với kết nhận Trần Thanh Tuấn (2009) (xem phương 25 trình 4.11) Đối với lớp nghiệm , trường S hợp đẳng hướng ta có e1e2 − e32 4γ xa2 = = e2 − e3 4γ − γxa>2 1/ > 04 Từ điều kiện ta có điều kiện tham số vật liệu lớp để tồn lớp nghiệm điểm tiếp xúc Kết nhận Trần Thanh Tuấn (2009) Kausel cộng (2015) Tần số điểm tiếp xúc S xác định từ phương trình có dạng 4γ − (π + 2qπ ) 4γ − pπ = , p = 1, 2, , q = 0,1, 2, γ 2(1 − γ ) R2 Các ràng buộc từ phương trình số vật liệu lớp trường hợp ε a2 = 2p + 2( q + p) 01/ với điều kiện với ý / < dẫn đến γ= q 1 + < p 0, e1e2 − e32 > 0, e2 − e32 > Các điều kiện xuất phát từ điều kiện xa2 > lượng biến dạng xác định dương vật liệu điều kiện 27 ( ) xea22/==2810, =2 Giả sử ta chọn Khi từ ε e1== 2,15 π/ 3=e36.0837 a2 công thức ta có vận tốc truyền sóng điểm tiếp xúc tần số Các kết minh họa Hình vẽ 3a x27, e3 = Nếu ta chọn tham số e1ε =a 36 = / 15 8eπ82 /==35, 4.3018 a2 /= khác có giá trị Ta có Các kết minh họa Hình vẽ 3b Trong ví dụ minh họa p = 1,Sqp2q = ta chọn hệ số công thức có giá trị Khi đó, tham số vật liệu phải thỏa mãn điều kiện sau để tồn lớp nghiệm điểm tiếp xúc 4e2e3 (e1 − 1) 21 = 2 (4e2 − e3 )(e3 + 1) 25 (a) (b) Hình 3: Các điểm tiếp xúc thuộc nhóm p =Sq2 = nghiệm với qp18.1818 = 611εxε/aa44, 88, == 3.4732 e2.4559 e=22 21==1,2, ee33==11//22 Giả sử ta chọn hai ee11 ==1411/ 22 giá trị tham số 28 Cả hai giá trị cho vận tốc điểm tiếp xúc (theo công thức ) Và số thứ cho tần số (thay thay )và số thứ hai cho tần số Các kết minh họa hình vẽ (a) (b) Hình 4: Các điểm tiếp xúc thuộc p = 1,S2q = nhóm nghiệm với Một số kết số S2 điểm tiếp xúc thuộc tập nghiệm thường xảy mode bậc cao Kết quan trong địa vật lý nói chung thiết bị đo đạc đo tín hiệu mode mang phần lớn lượng sóng mặt Rayleigh 29 Kết luận Luận văn khảo sát toán truyền sóng mặt Rayleigh trực hướng chịu hai điều kiện biên khác Phương trình tán sắc sóng Rayleigh trường hợp điều kiện biên nhận phương pháp truyền thống Các phương trình tán sắc sử dụng để khảo sát điểm tiếp xúc sóng mặt Rayleigh trường hợp Các kết đạt luận văn là: - Nhận phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh truyền trực hướng hai trường hợp điều kiện biên: có hai mặt tự có mặt tự do, mặt ngàm - Các công thức xác định điểm tiếp xúc trường hợp xác định sử dụng ý tưởng từ phương pháp lý thuyết tia Tolstoy Usdin (1953) - Đã khảo sát đạo hàm đường cong phổ vận tốc sóng mặt Rayleigh điểm tiếp xúc Kết điểm tiếp xúc, đường cong phổ vận tốc tính trơn Đạo hàm chúng điểm không liên tục Tuy nhiên, đạo hàm trái đường cong phổ vận tốc điểm tiếp xúc mode đối xứng với đạo hàm phải tương ứng mode phản đối xứng Tương tự vậy, đạo hàm phải đường cong phổ vận tốc điểm tiếp xúc mode đối xứng với đạo hàm trái tương ứng mode phản đối xứng - Trong trường hợp đẳng hướng, kết nhận luận văn đưa kết nhận tác giả khác - Đã khảo sát số số trường hợp nghiệm điểm tiếp xúc Các kết đạt luận văn có ý nghĩa khoa học 30 Tài liệu tham khảo Doãn Thu Hương (2011) , “Sóng Rayleigh Lam truyền môi trường môi trường không theo phương z” Khóa luận tốt nghiệp ngành học, Trường ĐH Khoa Học Tự Nhiên Achenbach, J D "Waves in elastic solids." Nord Holland, Amsterdam (1973) Forbriger, Thomas "Einige Gedanken zu: Oskulationen von Dispersionskurven, Entartung und Hybridisierung von Moden." (2006) Kausel, Eduardo, Peter Malischewsky, and João Barbosa "Osculations of spectral lines in a layered medium." Wave Motion 56 (2015): 22-42 Levshin, A L "Surface and channel seismic waves." Nauka, Moscow (1973) Liu, Xue-Feng, You-Hua Fan, and Xiao-Fei Chen "Research on the Cross of the Dispersion Curves of Rayleigh Waves and Multi-ModesCoupling Phenomenon." Chinese Journal of Geophysics 52.5 (2009): 994-1002 Sezawa, Katsutada, and Kiyoshi Kanai "Discontinuity in Dispersion Waves." Proceedings of the Imperial Academy 11.1 (1935): 13-14 Curves of Rayleigh- Ting.T.C.T (1996) Anisotropic Elasticity: Theory and Applications, Oxford Unversity Press NewYork Tolstoy, Ivan, and Eugene Usdin "Dispersive properties of stratified elastic and liquid media: A ray theory." Geophysics 18.4 (1953): 844-870 Tran Thanh Tuan "The ellipticity (H/V-ratio) of Rayleigh surface waves." PhD diss., 2009 Vinh, Pham Chi, and Nguyen Thi Khanh Linh "An approximate secular equation of Rayleigh waves propagating in an orthotropic elastic half-space coated by a thin orthotropic elastic layer." Wave motion 49.7 (2012): 681-689 Vinh, Pham Chi, and R W Ogden "On formulas for the Rayleigh wave speed." Wave Motion 39.3 (2004): 191-197 Vinh, Pham Chi, and R W Ogden "Formulas for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids." Archives of Mechanics 56.3 (2004): 247-265 31 Các công trình khoa học công bố Trần Thanh Tuấn, Peter Malischewsky, Doãn Thu Hương (2013) Tính chất tỷ số H/V điểm osculation mô hình lớp có đáy bị ngàm Tuyển tập Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI Thành phố Hồ Chí Minh, 7-9/11/2013, p.1275-1282 \ 32 [...]... hiệu của mode cơ bản do nó mang phần lớn năng lượng của sóng mặt Rayleigh 29 Kết luận Luận văn đã khảo sát bài toán truyền sóng mặt Rayleigh trong tấm trực hướng chịu hai điều kiện biên khác nhau Phương trình tán sắc của sóng Rayleigh trong từng trường hợp của điều kiện biên đã được nhận bằng phương pháp truyền thống Các phương trình tán sắc này được sử dụng để khảo sát điểm tiếp xúc của sóng mặt Rayleigh. .. vật liệu của b1α γ = 32 sóng dọc và ngang trong tấm, và các α nghiệmcủa phương trình đặc trưng có dạng b1 = 1 − γ x , b3 = 1 − x 3.1 Tấm có hai biên tự do Xét phương trình tán sắc trong trường hợp tấm tự do , trong trường hợp đẳng hướng ta có B= ( x − 2) 4 + 16(γ x)( x − 1) 8( x − 2) 2 1 − x 1 − γ x Khi đó, phương trình sẽ đưa về dạng phương trình tán sắc của lớp đẳng hướng tự do đã được trình bày... biến và Phương trình tán sắc của nhánh phản đối xứng là 2Ct3 − ∆ ' t1 = A(1 + t32 ) + (1 − t32 ) hoặc được biểu diễn dưới dạng ẩn có dạng: F (ε , x) + ∆(ε , x) = 0 Đối với các tham số vật liệu của tấm x(ε ) (ei) được cho trước, các đường cong nghiệm của phương trình tán sắc là hợp của các đường cong nghiệm của phương trình của hai nhánhđối xứng và phản đối xứng Trong một số giá trị đặc biệt của tham... vào phương trình tán sắc trường hợp tấm ngàm ta dễ dàng nhận lại được phương trình tán sắc của sóng Rayleigh trong mô hình lớp có đáy bị ngàm đã được trình bày trong phương trình (2.14) trong luận án tiến sỹ của Trần Thanh Tuấn (2009) =1 13 Đối với lớp nghiệm thứ nhất của γ e=3 S1/ các điểm tiếp xúc trong , donên Do đó, từ công thức ta có ca xa1 = 4 ⇒ 1 = 2 β β trong đó ký hiệu vận tốc sóng ngang truyền... được trong luận văn là: - Nhận được phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh truyền trong tấm trực hướng trong hai trường hợp của điều kiện biên: đó là tấm có hai mặt tự do và tấm có một mặt tự do, một mặt ngàm - Các công thức xác định điểm tiếp xúc của từng trường hợp được xác định bằng các sử dụng ý tưởng từ phương pháp lý thuyết tia của Tolstoy và Usdin (1953) - Đã khảo sát được đạo hàm của đường... phương trình 2.3 Tính trơn của đường cong phổ vận tốc tại điểm tiếp xúc Phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh truyền trong tấm có dạng F (ε , x) ± ∆(ε , x) = 0 trong đó hàm và ∆ (ε , x) phương trình và được cho trong F 16 Đạo hàm của đường cong vận tốc theo tần số của mode đối xứng được tính theo công thức của đạo hàm của hàm ẩn như sau ( và đối với các mode phản đối xứng dx ( sym ) F − ( ∆... 3: phương trình có hai nghiệm phân biệt 2p < 1 1 + 2q Trong trường hợp này, phương trình có thể được phân tích thành ∆ (ε , x) = T (ε , x)(t32 − t312 )(t32 − t322 ) 2 ) đó, đường cong của mode đối xứng sẽ trong đó là một hàm hệ số nào đó.Khi Tt32(ε=, tx32 31 gặp đường cong của mode phản đối xứng tại hai điểm phân biệt được xác định từ việc giải phương trình hoặc cùng với phương trình 2.3 Tính trơn của. .. đưa về dạng phương trình tán sắc của lớp đẳng hướng tự do đã được trình bày trong khóa luận tốt nghiệp của Doãn Thu Hương (2011) Khi phương trình tán sắc được biểu diễn tách ra thành hai nhánh đối xứng và phản đối xứng trong phương trình , ta có t1 t = B + B 2 − 1 và 1 = B0 − B02 − 1 t3 t3 ta nhận được phương trình của các mode đối xứng và phản đối xứng như sau tan( γ x − 1ε / 2) 4 =− tan( x − 1ε / 2)... trình Rayleigh có nhiều hơn một nghiệm thực thì hệ số phải thỏa mãn Giá trị của trong ví dụ minh họa này thỏa mãn điều kiện này x4.6738 0.8194 Với các giá trị tham số trên, phương xxR12 = 2.5068 R trình Rayleigh có 3 nghiệm thực Nghiệm nhỏ nhất, hai nghiệm còn lại là và Nghiệm là vận tốc truyền sóng Rayleigh trong bán không gian làm bằng vật liệu của tấm Hai nghiệm còn lại là vận tốc truyền sóng Rayleigh. .. mọi giá trị của tần số sóng Nghĩa là, điểm tiếp xúc không tồn tại Trường hợp 2: phương trình có nghiệm kép Trong trường hợp này biệt thức của ∆1′ phương trình bằng 0 Nghĩa là (C 2 − 1) ( C 2 − A2 ) = 0 Ta xét các trường hợp sau: 11 Trường hợp: C 2 − A 2 = 0 ⇒ C 2 = A2 Khi đó phương trình xác định điểm tiếp xúc trở thành: ∆′(ε , x) = ( 1 − A2 ) ( t32 − 1) = 0 2 2 Do nên ta có Từ biểu thức của trong At23∀