Luận văn phương trình truyền sóng tắt dần mạnh với số hạng phi tuyến kiểu mũ

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO TR Ư Ờ NG ĐẠI HỌC s PH Ạ M H À NỘ I N G U Y Ễ N TH Ị KIM OANH PH Ư Ơ N G T R ÌN H T R U Y E N s ó n g TẮT D Ầ N M Ạ N H VỚI SỐ H Ạ N G PH I T U Y Ế N K IẺU M Ũ LU Ậ N VĂN TH ẠC s ĩ TO Á N HỌC H N ội, 2016 B Ộ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠ O TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘI N G U Y Ễ N T H Ị K IM O A N H PH Ư Ơ N G T R ÌN H T R U Y E N s ó n g TẮT D Ầ N M Ạ N H VỚI SỐ H Ạ N G PH I T U Y Ế N K IẺU M Ũ LU Ậ N VĂN TH Ạ C s ĩ TO Á N H Ọ C C h u y ê n n g àn h : T o án giải tíc h M ã số : 60 46 01 02 N gười h n g d ẫ n k h o a học P G S T S C u n g T h ế A n h H À N Ộ I, 2016 M ue lue M đầu C hư n g M ộ t số k iến th ứ c ch u ẩ n bị 1 Một số không gian hàm 4 Không gian Sobolev 1.1.2 Không gian hàm phụ thuộc thời gian 1.2 Tập hút toàn cục 1.3 Một số kết thường dùng 10 1.3.1 Các bổ đề compact 10 1.3.2 Một số bốt đẳng thức 11 1.3.3 Một số bổ đề quan trọng 12 C hư n g Sự tồ n tạ i d u y n h ấ t n g h iệm yếu 14 Đặt toán 14 2 Sự tồn nghiệm 15 C hư n g Sự tồ n tạ i tậ p h ú t to n cục 31 3.1 Tính tiêu hao 31 3.2 Tính compact tiệm cận 33 K ế t lu ậ n 42 T ài liệu th a m k h ảo 43 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Cung Thế Anh định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tới thầy cô giáo phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K18 chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 07 năm 2016 T ác g iả N g u y ễn T h ị K im O an h Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS.TS Cung Thế Anh, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài " P h n g tr ìn h tr u y ề n sóng t ắ t d ầ n m n h với số h n g p h i tu y ế n k iểu m ũ " hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 07 năm 2016 T ác g iả N g u y ễn T h ị K im O an h M đầu Lý chọn đề tài Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ động lực vô hạn chiều sinh phương trình đạo hàm riêng phi tuyến phương trình vi phân hàm toán quan trọng có nhiều ý nghĩa thực tiễn Một cách tiếp cận toán hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều nghiên cứu tồn tính chất tập hút toàn cục Đó tập compact, bất biến, hút tập bị chặn chứa đựng nhiều thông tin dáng điệu tiệm cận hệ xét Trong năm qua, tồn tập hút toàn cục nghiên cứu cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, xem chuyên khảo [2J Nói riêng, tồn tính chất tập hút toàn cục nghiên cứu cho lớp phương trình truyền sóng tắ t dần mạnh điều kiện khác số hạng phi tuyến (xem [4, 5, 6j tài liệu trích dẫn đó) Tuy nhiên, tấ t kết cần hạn chế kiểu đa thức lên độ tăng trưởng số hạng phi tuyến, nói riêng số hạng phi tuyến kiểu mũ không thỏa mãn Những phương trình sóng tắ t dần mạnh nửa tuyến tính thú vị xét từ quan điểm vật lý Ví dụ chúng xuất mô hình dòng chảy chất lỏng nhớt lý thuyết truyền nhiệt Một vấn đề quan trọng phương trình nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thông qua tồn tính chất tập hút toàn cục Tập hút toàn cục lớp phương trình nghiên cứu nhiều tác giả giả thiết khác số hạng phi tuyến (xem, chẳng hạn, [4, 5, 6j) Với mong muốn hiểu biết sâu tính chất tập hút phương trình truyền sóng tắ t dần mạnh, hướng dẫn PGS.TS Cung Thế Anh, chọn đề tài "P h n g tr ìn h tr u y ề n sóng t ắ t d ầ n m n h với số h n g p h i tu y ế n k iểu m ũ " làm luận văn tốt nghiệp khóa học thạc sĩ M ục đích nghiên cứu Nghiên cứu tồn nghiệm tồn tập hút lớp phương trình truyền sóng tắ t dần mạnh với số hạng phi tuyến kiểu mũ N hiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu tồn nghiệm yếu; • Nghiên cứu tồn tập hút toàn cục Đ ối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Sự tồn nghiệm tồn tập hút toàn cục; • Phạm vi nghiên cứu: Phương trình truyền sóng tắ t dần mạnh với số hạng phi tuyến kiểu mũ Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu tồn nghiệm: phương pháp Galerkin; • Nghiên cứu tồn tập hút: phương pháp lí thuyết hệ động lực Đ óng góp luận văn Luận văn trình bày cách hệ thống chi tiết kết gần [3J tồn nghiệm tồn tập hút toàn cục lớp phương trình truyền sóng tắ t dần mạnh với số hạng phi tuyến kiểu mũ Luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho quan tâm đến tập hút toàn cục phương trình truyền sóng tắ t dần mạnh với số hạng phi tuyến kiểu mũ Chương M ột số kiến thứ c chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại khái niệm kết bổ trợ cần thiết sử dụng chương sau Các kết chủ yếu tham khảo [1, 2, 3, 7J 1.1 M ột số không gian hàm 1.1.1 K h ô n g g ian S obolev Đ ịn h n g h ĩa 1.1 Giả sử Q miền bị chặn Cho < p < 00, ta định nghĩa không gian (ri) sau: • Với < p < oo, ta định nghĩa Lp (ri) = ị / : f hàm đo Ị \f (x)\p dx < o o ị n với chuẩn ( y If { x ) \ p d x Ỵ = (^Ị \f\p d x Ỵ íì Í2 • Với p = 00, ta định nghĩa L°° (rĩ) = { / : / hàm đo I/ (x)\ < k hầu khắp nơi, k > o} với chuẩn ll/lloo = {A: > : I/ (x)\ < k hầu khắp nơi} Đ ịn h n g h ĩa 1.2 Cho k > số nguyên không âm, ta định nghĩa không gian Sobolev H k (n) = ị u e L {Q) I D au e L2 ( íì) ,v \a\ = với chuẩn / k ^ \Dau\2dx n H=° ỏ D au đạo hàm yếu cấp a u Đ ịn h n g h ĩa 1.3 Ta định nghĩa không gian H q(Q) bỗ sung đủ c™(íì), không gian hàm khả vi vô hạn có giá compact íì, Trong H q(íì ), ta thường sử dụng chuẩn tương đương sau đầy 2dx ũ Đ ịn h n g h ĩa 1.4 Không gian đối ngẫu H q(Q) kí hiệu i / _1(íỉ) Như vậy, f € H~1(íỉ) f phiếm hàm tuyến tính bị chặn Nếu f e H - ^ ỉ ĩ ) ll/ll^-Mn) = sup { ( f ,u ) \ u G H iiũ), lị-LtII(n) < 1} • Ta viết (f , u ) để kí hiệu giá trị f G i J _1(íỉ) u G -//¿(ri) 1.1.2 K h ô n g g ian h m p h ụ th u ộ c th i g ian Đ ịn h n g h ĩa 1.5 QlJ) Cho X không gian Banach thực với chuẩn ||-|| Không gian c ([0, T \ ; X ) bao gồm tất hàm liên tục u : [0, T] —»• X với (2.26) kéo theo ị ị ì ^ Ị e _ \x— y\2 , 47re -i2—a dr < — \ / ĩ - VL«(Í1) (2 —Qí) (1 —a) (wt (s , y )) \dyds T +K, t ị J / i (wí (s ! ỉ/)) wt (s, y ) dyds, ũ Ví € [0, T] /rV -er-“) , e,T — = -— K ot J /rVeT-“) Ẽ M dư + v h {v) Ỉ M dư Ị vfi {v) / Sử dụng bất đẳng thức cuối (2.25), ta V e L1 (0, T; L°° (íĩ)) T / \v T 2e i3—a dr < L°°w -(2 -a )(l-a ) T + Tke Ị Ị / ì (u>t (s, ỉ/)) wt (s, ỉ/) dyds, Ve > 0 n (2.27) Bây giải toán líí (t , x) + u (t , x) — V (t , X) (0, T) X íỉ, u (0, x) = íĩ sử dụng (2.27), ta u € C([0, T]; L°°(íỉ)), Uị e L1(0,T; L°°(íỉ)) Ví G [0, T ] , Ve > 0, IH*)II.L~(ÍĨ) < [ e“(í“r) IM T)lli~(íĩ)dT < / IM T)lli~(íì)dT -/o 2e (2 -a )(l -a ) rjỊÓ—O 3—ai _|_ , 'T17„ -/o / /■T 47T J ( /i (^ í ( s ) ) , ^ (s))d s □ Từ ta suy (2.24) 28 Từ Bổ đề 2.1 - 2.3 suy toán (2.1) có nghiệm yếu w € ơ([0,T]; H q(íì ) n L°°(íì)) với wt G ([0 ,r ];L 2(fi)) n L2(0, T; tf,Ị(í})) wtt € L2OC(0 ,T ;L 2(Í1)) Lại có, từ (2,3), (2T2), (2T3), (2T5), (2.17), (2.20) (2.24), ta (2.5)2 Vì vậy, để kết thúc chứng minh Định lí 2T, ta cần chứng minh Q Giả sử w , v e C ([0,T ];iJ(Ị ( í l ) n L oo( í l ) ) n C 1([0,T];L2(íl)) nVL1,2(0, T ; HẶ(n))nWf’2(0, T ; L2(fỉ)) hai nghiệm yếu (2.1) Theo (2.1 )15 hàm u ( t , x ) = w ( t , x ) —v ( t , x ) thỏa mãn phương trình Utt - A ut - Aiiií + /i (rưí) - /i (Ui) - A u = g (v ) - g (w ) Kí hiệu —m , uìm) (í, Uị < = < ut (t,x), \ut \ < m , ut > ra, ta uịm'1 G L °° ((0,T) X íỉ) n —m , w 1,2{{s,T) Kiểm tra phương trình uị™'* (2.5 )2 ta t t X n ) , với £ (s , t ) X í ỉ e sử dụng (2.3), J ( u tt ( r ) , uịm) (r))d r + J ( V u t ( r ) , VưỊm) (r))d r s s í í - A i J (ut (r ) , u ị m) (r))d r + J (Vu ( r ) , V u ị m) (r))d r s s t + Ị ( f i [wt (t )) - /i {vt ( r ) ) , uịm) {r))dr s t < M Ị \\u (r) Hi2(n)ỊỊuỊm) (r) \\L2 {ũ)dT, < s < t < T s 29 (0,T) Sử dụng tính đơn điệu /i bất đẳng thức cuối, ta í í J ( utt (t ) , uịm) (r))d r + J ( V u t ( r ) , v « ím) (r))d r s t t - Ai J (ut ( r ) , w|m) (r))d r + J (Vu ( r ) , Vw|m) (r))d r s s t (3.3) Chọn í = l v s = n —1 (T3), phương pháp lặp, ta II™(™)ll£oo(n) < e~n\\w (0)||ioo(n) + 2)Ị l e,-1" Vn G N, ™W lli-(n < III™ (0)||Loo(n) + —^ ’(íĩ)) — I^ V u/UlL°°(íí) T _ Tị cb2)5 Vn e ZH Do với T > 0, tồn nT G z + tT € [0,1) cho T — riT T íy, (3.3) (3.4), ta có (3) I™(^ )lli“ (n) — CB 32 VT > (3.4) Kết hợp với (3.2), ta có sup IIs (t ) Vpll(.ff01(n)nL°o(n))xL2(fi) < ự>£B CB Ví > □ BỔ đề chứng minh 3.2 Tính com pact tiệm cận Ta kiểm tra tính compact tiệm cận nửa nhóm (S'(í) qua bổ đề B ổ đề 3.2 Giả sử điều kiện (2.2)-(2.4) thỏa mãn B tập bị chặn (H q (í ỉ ) n L°° (fỉ)) {S (tm) tm - ì oo { m € N cho tm > T, ta định nghĩa ( í (t) , í t (*)) = S ( t + tm - T ) i p m Từ Bổ đề 3.1 (2.5)1 suy í )IUa(n)+ s ) 2J l ds \\wm ] (Oll^njru-in) + lkmt) Ikín? (í (*)IU2(Í ) + J/ | |vv «« S s ( (s) J II L 2{ữ) t + Ị ( ỉ l { Wmỉ (s)) 00 ) ds < d Ví > 0 (3.5) 33 Khi đó, Định lí Banach-Alaoglu, ta thấy tồn dãy hàm w e L°°(0, T; HẶ(ũ)r\L°° (ũ))r\W1,0° (0, T; L2(íì )) n W 1’2{0,T;Hị{Ũ)) cho (o, T; Hị Wm ^(í) —>• w (í) *-yếu L°° (íỉ) n L°° (íĩ)) wm!t (í) -> wt (t ) *-yếu L00 (o, T; L2 (fì)) , wmlt {t) -> wt {t) yếu L2 (o, T; H] (fì)) (3.6) X Kiểm tra phương trình wZ]a- wZ]tt - A ( » - 1*2) - A (« -«2) (3.7) («2) - / («2) + («2) - ( « ) = (ư t —« 2)trên ís T) í ì va sử dụng (2.2) (Ị3.5Ị), ta + ỉ X » (T) - « ( T ) |2 + L ( f i) ||v ( < > (T) - < > ( r ) ) L2(fi) T + C1J w m !t (5 ) - (s ) L (íĩ) s T + V (5 ) - (s)) | [ 2(íì) + C2J ị w ^ n (í) - w£'i) (t ) dt L 2(íl) s (3.8) Mặt khác, kiểm tra (3.7) —Vũmì^ (0, T) 34 X íỉ xét (3.5) ta T / II'V ( » (í) - ™ « ) f I ,(n) đ t < c3+ T T dt + J[ |II|«« cc (t) (*) «« ss ((í)|" a(n) dt dt + +C IIw%} (*) (í) ™£? w ỵ ((t) * ) |'2(n) c*,/J \\WS 0I L (fi) 00 T + Ị ( f ( « G (*)) - / ( ™ s (¿)) , «íỉ? (í) - ™2? (¿)) d t Kết hợp với (3.8) suy T T / I h s (*) - “2 w dt dt + / IIv (’" (*) - “2 w ) I 0 T < C + CỖJ ị w^n (í) - «;£> (í)|* a(n) dt T (3.9) Ị ( f ( wm!t (*)) - f ( Wmkt (t)) , w {m! (t) - u>2? (t)) dt Lấy tích phân (3.8) (0, T) s sử dụng (3.9) ta » ( ĩ1) - » « ( ĩ1) + T V (» (T) {TÌ) \ L 2( n) L 2( n) T < C5 + C7 (l + T) J wm! (t) - u>2? (*) T + Ị ( f {wmlt (*)) - / ( ™ s (*)) >WS (*) - « c (*)) dt Sử dụng định lí nhúng compact, từ (3.6) suy T (T) (*) m - ,„(T) (*) dt — 0, 1™ / 1I\wml i 2(fí) n ,k —> 00 J 35 (3.10) sử dụng (3.5), ta T lim suplim sup I í ( f ( w ^ n ] t{t)) - f {w%]kt(t)), w%}(t) - w%](t))dt n— »oo fc— »00 IJ T {T)(ị\ _ n,ẢT){ < lim sup lim sup (í)), Wm! (*) - WZl (*)}dt / k —»00 n —»oc {a;:2;e íĩ|u ;m n í(t,a O |> l} T + lim sup lim sup I í k —»00 n —»oo í IJ (í) - {t))dt J {x:x£ÍÌ\w„lk t (t , x )\ > l } T T < c 8lim sup í ( /i( « ;S ( í) ),ii;S (í)> d í + c8 lim sup í \\w{^ t (t)\\ịa{n)dt n —>00 n —>00 J J < c9 Chuyển qua giới hạn (3.10), ta limsuplimsup \ \s (tmn) ípmn - S { t mk) i pmk\\Hề{íì)xL2 {íì) < - % , n— »00 fc— »00 VI VT > 0, dãy {mn} phụ thuộc vào T Khi đó, tồn dãy { m ^ } D {mi2)} D D {m «} D cho với l = ,2 , , lim sup lim sup II5 (í («))y> (0 ” S (tm^)(Pm^\\HẶ(n)xL^n) < n-»00 fc-»oc lim limsup ||S(Í (») - S (í n —>oo k^oo w||i7i(n)xL*(n) = k 36 k (3.11) Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức )^ mM||ư01(íĩ)x^(íĩ) < lim sup IIS(tm(n)) 0 k lưu ý đến (3.11), ta ^s ^mín)^ m ^ ~ S {tm^)(Pm^\\Hị(n)xL^ÍÌ) - 0Do đó, dãy {sít (n) I íp (n) }2°=1 dãy Cauchy Hị (fỉ) X L2 (fỉ) hội tụ Tương tự, ta dãy { S (tm) (pm}m=i có dãy hội tụ H q (í ỉ ) X L2 (íỉ) Từ ta có tính compact tương đối {5 (tm) ụ>m}m=i H] (D) X L2 (D) • Bước Bây ta chứng minh tính compact tiệm cận {wm (ím)}“ =1 L°° (D), ỏ (wm (t ) , wmt (t )) = s (ị ) (fim Nhờ tính compact tương đối {S (tm) (Pm}m=i H q (fỉ) X L2 (fỉ), với ổ > tồn Tg > Mg > cho Ị (|V w m {t,x)\2 + \wmt (¿,x)|2) dx < ỏ, Ví > Ts { x: x £Í l \wm t { t , x) \ >Mị } (3.12) Kiểm tra phương trình ư^míí T ĩ { w mịj + Mg, { 0, mt A w m T ÿ^Wjjj) wmị ^ Mg, \wmt\ < M5: , Mỹ, Wmt ^ Mỹ 37 h (s, s + 1) X ri dụng (3.12), ta sử s+l fi(wmt(t,x))(wmt(t:x ) - Ms)dxdt / / ẨxixGĨÌ w m t ( t , x ) > M s } 5+ + / s / fi{'wmt{t,x))(wmt(t:x) + M5)dxdt < Cnỏ, {x: x£Í Ì Wm t ( t , x ) > - M s } với s > Tỹ, 5+1 fi (wmt (í, + ) wmí (í, z) (tadí < 2cnổ, Vs > Tổ / / s i x ::a {a x G:sÍnÌ , |wm Iw ~ tt(í,a ( t :)| > M J } (3.13) Ta kí hiệu wỊn (t , x) = wm (t + T, x) /i (w ), M < M 0, \y\ > M Ỉ1M (V) = r e {t, x) = (1 + E + Ai) wT mt (í, x) + wT m (t, x ) - g {wT m (t, x)) - / i M « {t,x)) + h( x) , (ỉ/) = /i (ỉ/) - + M (ỉ/) + ej/, M > e e (0,1) Phân tách wT m (í) thành (í) = vT em (í) + (í), + m(t) uT em{t) nghiệm toán sau v lm tt - < A v lm t + v lm t - A v lm = Fe z) vem = +Tm (0> •) = wm (°) Kmt (0, •) = wT mt (0) 38 tr0 n g (°> !) X trê n (0,1) Q, X ớfỉ, K m tt - A K m t + u lm t - A K m t r n g (0 ! ) x = uT sm = trê n (0,1) X ỡ íỉ, < m (0, ■) = 0, uT emt(0, ■) = n Sử dụng kỹ thuật chứng minh Bổ đề ^ , ta < ịvL ( ) - e lwm (0)11 2^ ( + 11/111C[-M,M]) Vs [0 ,2 ) (3.14) Sử dụng lí luận chứng minh Bổ đề ^ , ta có llWemWllL°°(íì) — ị2 _ (2 - H 47ra _ a)(l - V Jĩ à) v $ e(v) J/ v§e{v) ^ £(") ) e_ ( e ) X y < , * ( * ) } d »v í € [0,1], (3 -1 ) a € (0,1) Từ định nghĩa 4>e, suy í ; (e) = (-¡0 = -1 Do M 00 *'Áv) đi' + v $ £{v) / 00 = J1 ^ dv +MJ ^ / / í ( v) + e du (/i(v) + ev) Ể -M + J -00 u (/i(u ) + eu) M } T + l = “ 3+ / T / ì (wmt(s,x))wmt{s,x)dxdt,\/t e [0,1] ,V r > / {x:xGŨ \ wrnt( s , x ) \ > M } (3.16) Do đó, từ (3.13) - (3.16), ta kết luận với ổ > tồn Mỹ > T ị >0 cho w m (T + 1) - e ~ l w m {T) e 0™{B(0,r(Ms,s))), Vr > T ổ, r{Ms, s ) = 2^ - ( l + \\fi\\c[-M,M]), B (0, r) = {u : u Tj Từ (3.1), với £ > tồn n£ G N cho e ne\\wm[T L~(n) < £ 40 Vr > Vm e N Chon ố = — -, từ hai thức cuối, ta thu đươc 3n£ wm (r + n£) € o ỵ (B (0, r£ (5))), r£ (s) = n£r ị^Ms, Vr > Ts Vs € (1, 2), (3.17) Bởi tính compact phép nhúng H s (íĩ) c L°° (0), với s > 1, ta suy B ( ,r e (s)) tập compact tương đối L°° (ri) Từ đây, (3.17), tập {wm (r + n£)} >jr, nói riêng { wm J CÓ £-lưới hữu hạn L°° (íĩ) Do £ số dương tùy ý, ta thu tính compact tương đối {wm l ronỗ (íỉ) Điều với tính compact chứng minh Bước hoàn thành chứng minh □ 41 K ết luận Luận văn nghiên cứu phương trình truyền sóng tắ t dần mạnh miền bị chặn Q c R2 với số hạng phi tuyến kiểu mũ, điều kiện biên Dirichlet kiện ban đầu không gian [Hị (íỉ)n L 00 (íỉ)) x L 2(íỉ) thay cho không gian pha thông thường H q (í ỉ ) XL2 (íỉ) Các kết trình bày luận văn bao gồm: Sự tồn phụ thuộc liên tục nghiệm yếu vào kiện ban đầu Sự tồn tập hút toàn cục không gian (iĩ^(n ) n L°°(n)) X L2(íỉ) nửa nhóm sinh nghiệm yếu toán 42 [...]... đó ơ s(0, T; L ^ íỉ)) = {u : u G L°°(0,T; L1^ ) ) , J 0, (2.12) với k > 0, ở đó Ly (í ỉ ) là không gian Orlicz với N-hkm Ỹ (z) = e*2 Bất đẳng thức cuối cùng với (2.3), cho ta \Ì9 {wn {t))\\L2 {n) < c2, V í> 0, (2.13) với hằng số c2, cũng như c và Ci, chỉ phụ thuộc vào II (wữ, Wi)||(ífi(n)ni[X)(n))xi2(n) và độc lập với n Bây giờ nhân phương trình (2.8)■ với hàm c"j (t ), lấy tổng từ j — 1 đến n và tích phân... , ỉ í (s)ds + c 2, 0 với Cị, c2 là các hằng số không âm Khi đó £ (í) < c 2 (1 + ơ iíe Clí) với hầu khắp t, 0 < t < T • Bất đẳng thức Gromvall đều: dx X, a và b là các hàm dương thỏa mãn — < ax + b với dt í+r í+r í+r p p p Ị X (s)ds < X, % ĩ t / a (s)ds < A và Ị b (s)ds < B % ĩ t t J với r > 0 nào đó và với mọi t > t0 Khi đó X (t) < ^ f B ^ eA với mọi t > t0 + r 12 1.3.3 M ộ t số b ổ đề q u a n tr... được mà không cần biết công thức nghiệm cụ thể của phương trình Do đó việc xấp xỉ nghiệm tại một thời điểm đủ lớn bằng tập hút A mang lại nhiều lợi ích trong quá trình nghiên cứu phương trình Thứ hai, trong nhiều trường hợp, người ta chứng minh được rằng tập A là hữu hạn chiều vì thế dù rằng không gian pha là vô hạn chiều thì hệ động lực sinh bởi phương trình rút gọn trên tập hút toàn cục, có thể 9 coi... ta thấy rằng tập hút toàn cục có ý nghĩa rất quan trọng khi nghiên cứu về các hệ động lực vô hạn chiều Thứ nhất, từ điều kiện thứ 3 ta thấy với bất kỳ một nghiệm nào của phương trình với điều kiện ban đầu thì sau một khoảng thời gian đủ lớn, nghiệm đó sẽ tiến dần đến tập A Hơn nữa, có thể xấp xỉ dáng điệu tiệm cận của một nghiệm bất kỳ bằng một nghiệm nằm trên tập hút toàn cục A Bên cạnh đó, do điều... s) = S(t)S(s) với mọi t, s > 0; s (t) e c° (X, X ) ; d) vói mọi u e X , t !-»■ s (t) u e c) với mọi t > 0, c° ((0, + o o ) , X ) Họ các ánh xạ S (t) ,t ^ 0, gọi là một nửa nhóm liên tục trên X Khi đó X gọi là không gian pha (hay không gian trạng thái) Nếu khái niệm số chiều có thể định nghĩa cho không gian pha X (chẳng hạn, khi X là không gian tuyến tính) thì giá trị d i m X gọi là số chiều của hệ... trong đó cnjfc (í) được xác định bởi hệ phương trình vi phân cấp hai n n n ( J 2 Cnk (*) 0 Do đó, sử dụng công thức biến thiên hằng số, từ (2.21) và (Ị2.22) ta nhận được ụ> e c ([0, T ] ; L2 (rỉ)) n c ((0, T ] ; H s (ri)) n L2 (0, T; Hị (fi)) và \w M ị ~%Iho + Wi \\l*{ũ) 2 -M ( i + llsH II L°° (0,T]L2(íĩ)) 2-3 24 + ll^í IIL°° (0,T;£2(íĩ))^ ’ (2.23) với mọi t G [0, T] và s € [0, 2) Như một hệ quả, giải phương trình V+Vị = ip, ta được (2.20) Sử