Luận văn phương trình chuyển động trong cơ lượng tử biến dạng (q,r)

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI NGUYN THm LAN HNG PHNG TRèNH CHUYN NG TRONG C LNG T BIN DNG (q, R) Chuyờn ngnh: Vt lý lý thuyt v vt lý toỏn Mó s: 60 44 01 03 LUN VN THC s KHOA HC VT CHT Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS Nguyn Th H Loan H NI, 2015 M i cỏm t Tụi xin by t lũng bit n sõu sc v s kớnh trng ti PGS-TS Nguyn Th H Loan, ngi ó tn tỡnh ging dy, hng dn, truyn th phng phỏp nghiờn cu khoa hc cho tụi sut quỏ trỡnh hc v hon thin lun ny Tụi cng xin chõn thnh cm n ti cỏc thy cụ giỏo khoa Vt lý- Trng i hc s phm H Ni II v gia ỡnh ó to iu kin thun li giỳp tụi quỏ trỡnh hc v hon thin lun ny M i e a m to a n Tụi xin cam oan lun Phng trỡnh chuyn ng c lng t bin dng (q, R) l cụng tnh nghiờn cu ca riờng tụi v khụng lp li vi cỏc lun khỏc, cỏc s liu v kt qu nghiờn cu lun ny l trung thc, c cỏc tỏc gi cho phộp s dng Ngy thng nm 2015 Tỏc gi Nguyn Th Lan Hng MC LC Li cm n Li cam oan M u Ni dung Chng 1: CC PHNG TRèNH CHUYN NG TRONG c HC LNGT Biu din s ht trongo c hc ca cỏc i lng o ng o lc lng o t .4 1.1.1 Biu din s ht ca toỏn t ta v xung lng 1.1.2 Biu din s ht ca toỏn t nng lng 1.1.3 Cỏc vộc t riờng v tr riờng ca toỏn t nng lng Cỏc phng trỡnh chuyn ng 13 1.2.1 o hm toỏn t theo thi gian 13 1.2.2 Phng trỡnh chuyn ng c lng t 13 Chng 2: PHNG TRèNH CHUYN NG TRONG c HC LNGT BIN DNG q 1.2 i s bin dng q 17 1.3 Nng lng ca dao ng bin dng q 18 1.4 Cỏc phng trỡnh chuyn ng 22 Chng 3: PHNG TRèNH CHUYN NG TRONG c HC LNGT BIẫN DNG (q, R) 3.1 i s bin dng ( q, R) 28 3.2 Nng lng ca dao ng bin dng (q, R) 30 3.3 Cỏc phng trỡnh chuyn ng 35 M U Lý chn ti Cui th k XIX vt lớ hc c in ó ri vo b tc khụng gii thớch c tớnh bn vng ca nguyờn t, bc x ca yt en tuyt i C hc lng t i vo nm 1900 Max Planck xut gi thit lng t v tớnh giỏn on ca bc x in t phỏt t cỏc yt, sau ú c cng c bi Albert Einstein, Niels Bohr Trong sut na u th k XX, c hc lng t l li gii ỏp cho nhng b tc, mõu thun ca yt lớ c in, nú ó tr thnh mt cụng c c lc, mt c s khụng th thiu i vúi vic nghiờn cu th gii vi mụ v vt lớ hc hin i gn lin vi c hc lng t Trong vt lớ hc hin i, tớnh cht i xng ca mt h yt lớ c quan tõm c bit v cỏc lý thuyt chun c xõy dng m hu ht cỏc d oỏn ca nú ó c thc nghim khng nh mc nng lng nh hn 200GeV nhiờn nú li cú nhiu hn ch vic gii thớch cỏc d kin thc nghim vựng nng lng cao hn, cha gii quyt c cỏc tham s nh hng s tng tỏc, lng Chớnh vỡ vy cỏc nh yt lý ó bin dng cỏc qui lut yt lý c bn, a lý thuyt thoỏt phm vi cỏc nhúm c in, c bit ý tng v nhúm lng t v i xng lng t i ó gii quyt c nhiu hin thc ca vt lý hin i S bin dng q ca mt h yt lý c hc lng t bỡnh thng (thụng qua dao ng in t iu hũa q- bin dng) cú th l rt nh cỏc vựng nng lng bỡnh thng nhng li tr nờn ỏng k vựng nng lng cao Dao ng t bin dng l tng quỏt hn v cha dao ng t iu hũa nh mt trng hp riờng thụng s bin dng tin n mt giỏ tr hon ton xỏc nh no ú Theo quan im ca c hc lng t, yt rn c xem nh mt h N ht dao ng m nu ta chn h ta suy rng thớch hp thỡ cú th coi vt rn l mt h N dao ng iu hũa vi tn s gúc co Theo quan im c lng t bin dng thỡ yt rn c coi l mt h N dao ng bin dng vúi tn s ph thuc vo biờn theo hm cosinhyperbolic, tc l dao ng phi tuyn v vic mụ t h nh th thỡ s cho kt qu gn vi h thc hn ti ny chỳng tụi s nghiờn cu c lng t bin dng ( q, R) v ch s u vit ca c lng t bin dng (q, R) M c ớch nghiờn cu Mc ớch ca lun l xõy dng dao ng bin dng (q, R), a biu din ca chỳng khụng gian Fock, ng thi xõy dng c lng t bin dng theo ngụn ng ca dao ng bin dng (q, R) i tng nghiờn cu Nghiờn cu dao ng bin dng (q, R), c lng tụ bin dng (q, R) v ng dng nghiờn cu dao ng mng tinh th bin dng (q, R) Phng phỏp nghiờn cu - S dng cỏc phng phỏp nghiờn cu ca yt lý lý thuyt v yt lý toỏn S dng phng phỏp nghiờn cu ca c hc lng t - S dng phng phỏp lý thuyt nhúm i xng D kin úng gúp ca ti Nghiờn cu v vit tng quan v cỏc dao ng bin dng, c lng tụ bin dng (q, R) Cu trỳc lun vn: Ngoi phn m u v kt lun, lun c chia lm chng Chng 1: Cỏc phng trỡnh chuyn ng Ctf lng t - Nghiờn cu cỏc phng trỡnh chuyn ng c hc lng tụ cha bin dng - Nghiờn cu o hm ca cỏc toỏn t sinh, toỏn t hy dao ng Chng 2: Phng trỡnh chuyn ng c hc lng t bin dng q - Nghiờn cu dao ng t bin dng q , biu din dao ng ca toỏn t nng lng ca dao ng bin dng q - Nghiờn cu phng trỡnh chuyn ng c lng t bin dng q Chng 3: Phng trỡnh chuyn ng c hc lng t bin dng ( q, R) - Nghiờn cu dao ng tụ bin dng (q, R), biu din dao ng ca toỏn t nng lng ca dao ng bin dng (q, R) - Nghiờn cu phng trỡnh chuyn ng c lng tụ bin dng (q, R) NI DUNG Chng 1: CC PHNG TRèNH CHUYN NG TRONG C HOC LNG T 1.1 Biu din s ht trongo c hc ca cỏc i lng o ng o lc lng o t [10] 1.1.1 Biu din s ht v xungo lng ca toỏn t ta o Dao ng t iu hũa l mt mụ hỡnh rt thun tin nghiờn cu nhiu h vt lý khỏc Nhng dao ng nh xung quanh v trớ cõn bng cú th a v nhng dao ng t iu hũa tuyn tớnh Mụ hỡnh ny c ỏp dng cho cỏc ht t cng nh cỏc ht cu thnh h vt lý nh dao ng ca nguyờn t phõn t, dao ng ca ht nhõn nguyờn t, dao ng nhit tinh th, dao ng ca cỏc ion xung quanh nỳt mng tinh th, dao ng ca cỏc nỳt mng tinh th xung quanh v trớ cõn bng y.y iu ny lớ gii ti mụ hỡnh dao ng t iu ho cú vai trũ quan trng vt lớ Trong vt lý hin i mụ hỡnh dao ng t iu hũa lng t ó c ỏp dng rng rói v c xem l cỏc mụ hỡnh gn ỳng ca chuyn ng cỏc phõn t thc, nguyờn t thc v cỏc i tng thc khỏc Nng lng ca cỏc dao ng t iu hũa lng t cú giỏ tr giỏn on, khỏc vi lý thuyt c in nng lng ca dao ng t iu hũa cú th nhn cỏc giỏ t liờn tc v tn s bc x trựng vi tn s dao ng c hc ca dao ng t iu hũa Ph nng lng ca dao ng t iu hũa cú th tỡm c bng cỏch s dng cỏc h thc giao hoỏn chớnh tc v biu thc ca Hamilton fl= Ê +uô i vi dao ng t iu hũa mt chiu Hamilton cú dng: H = - 2m dx2 + -m(j2x 2 (1.1) v ' Thay cho toỏn t ta X v xung lng ihd/dx ta hóy dựng cỏc toỏn t ta v xung lng chớnh tc mi: X q = Vmx (1.2) i -> P = -1 -^ =4 dx dx (1.3) H thc giao hoỏn gia v q l: r l A A A [, q ] = p q - qp Xột: m = (_ii ) (VSx)'t= ớh(*+* ) f t \( m =^ h d\ d\\f x ợ \ - i i k t e F = - ih x l I => (pq qp)l; = ihi/ Nờn: [p,q] = - i h (1.4) Ta cú th biu din biu thc ca Hamilton (1.1) qua v q nh sau: h2 d2 ỡ d V = -=> ỹ Vm dx = - k x = m x = m m dx2 (J2 q H = \ ( p + 2q2) (1.5) Ta li t: p = ^ - ( ò + ò+) (1.6) 9= 1'7) Cụng thc (1.6) v (1.7) chớnh l biu din s ht ca toỏn t xung lng v ta 1.1.2 Biu din s ht ca toỏn t nng lng T cụng thc (1.6) v (1.7) ta cú: p2 = ^ r ( /J + + p*) ) + f i f i* + * + 0?+) 2] ỡiựự,^ ỳỡ q = - - ^ ( - +) ( - +) h) - * - * + 0?+) 2] Biu thc Hamilton (1.5) tr thnh: rhC r * * * * /* ằ21 Rớ = l t [ + + + + (fi+ý ] - = [fi2 + Q?+) 2]] fớ = \ỡiu>{fụ*++ ) (1.8) Toỏn t /?, + cú th biu din ngc tr li theo v q nh sau: +ờ+= = y (1'9) Q (1.10) T (1.9) v (1.10) ta c: ờ* = + iJ r ớ>) = ó (-p + itt)đ Ta cú: A = q l 02 _ T + + _ Q+) ( 1.12) 28 Chng 3: PHNG TRèNH CHUYN NG TRONG c HC LNG T BIN DNG ( q, R) 3.1 i s bin dng ( q, R) [7,8,9] i s bin dng ( q, R ) c sinh bi toỏn t sinh dao ng cA+ , hy dao ng c, tuõn theo cỏc h thc giao hoỏn sau: A A + - q A +A = q~N + V (3.1) Trong ú V v q l nhng thụng s thc v R l toỏn t phn x tha cỏc iu kin: R2 = (3.2a) A + + A + = R A + A R = (3.2b) Cũn N l toỏn t s dao ng tha cỏc h thc giao hoỏn: [A,ẹ] = A (3.3a) [ A +,ẹ ] = - A + (3.3b) Ta xõy dng khụng gian Fock cú c s l cỏc vộc t trng thỏi: \m)qv = \0) (3.4) õy c ml h s chun húa 10) l trng thỏi nn hay cũn gi l trng thỏi chõn khụng tha cỏc iu kin: dx dp + N +1 d [M + ớớ+1 ụx d_ JV+ J 2+ỡ { } (3.33) [tf+ l V { ? +} Thay (3.33) vo (3.31) ta c: { A , A *} = [JV+ l]v'{/?,/?+} (3.34) Xột{/!,/?+}: dx dp dp dx mựỡ / J mc i \ 2h y 2h mc) / n i \ mc y \| 2h mựỡJ 'Vi 2h (3.35) { /M +} = - i 3.34) ta tac: c: Thay (3.35) vo (3.34) (3.36) {,+} = - ỡ f ' ( + ) Thay (3.36) vo (3.31) ta c: (3.37) = - i ỳ ) A f ' ( +) Tng t ta tớnh c: + = { c /+ ,H j} _ d A + d Hj dx dp dA +d K dp dx _ d A + d (hỳ)AA+) dx dp j d A + d (hỳ)AA+) dp dx 39 = hớd = dA+ ớdA dA+ A c õ+ + A dx \ d p dp ) h ( j c + fd A d A + Kdx dp dA+ (dA dA+ J dp \ c/+ + A dx dx dA d A + \ dp dx ) = h ự ỡA +[ A , A +) (3.38) Thay (3.36) vo (3.38) ta c: + = iỹ)A+f ' ( ò ò +) (3.39) Mt khỏc t (3.7a), (3.7b) ta c: JV+1 -JV -1 JV+1 - ( - ) JV+1 -([...]... nh bng phng trỡnh sau: F = ^ + {fớ,F} Trong ú du (1.42) ch o hm theo thi gian v {H,F}= i ( H F - F H ) = ; [H,F] (1.43) c gi l múc Poisson lng t Trong trng hp i lng ng lc F khụng ph thuc tng minh vo thi gian, ngha l o hm ca toỏn t F theo thi gian ch n gin bng múc Poisson lng t ca toỏn t F Khi ú (1.42) cú dng n gin sau: id = {B,P} (1.44) 1.2.2 Phng trỡnh chuyn ng trong Ctf hc lng t: Phng trỡnh(1.42)... t hy ht, /?+ l toỏn t sinh ht Khi ú trng thỏi In) vi nng lng En = nhỳ s l trng thỏi cha n ht ú l biu din s ht ca dao ng t iu hũa Trong c hc lng t trng thỏi dng ca mt dao ng t iu hũa cú th coi l tp hp ca nhiu ht, mi ht cú nng lng hJ Bõy gi ta hóy tớnh cỏc h s t l an, 9n, Yn trong cỏc h thc sau: \n) = an \n 1); +\n) = 8n \n + l)-\n) = Yn(+y \ 0 ) (1-30) Sao cho cỏc vộc t trng thỏi ny l trc giao chun... (2.48) ta c: c o s h ( y p p +] , ^ p (mJ2 y)Ê s i nh ( y ) (2.49) 28 Chng 3: PHNG TRèNH CHUYN NG TRONG c HC LNG T BIN DNG ( q, R) 3.1 i s bin dng ( q, R) [7,8,9] i s bin dng ( q, R ) c sinh ra bi toỏn t sinh dao ng cA+ , hy dao ng c, tuõn theo cỏc h thc giao hoỏn sau: A A + - q A +A = q~N + V (3.1) Trong ú V v q l nhng thụng s thc v R l toỏn t phn x tha món cỏc iu kin: R2 = 1 (3.2a) A + + A + =... (3.3a) [ A +,ẹ ] = - A + (3.3b) Ta xõy dng trong khụng gian Fock cú c s l cỏc vộc t trng thỏi: \m)qv = \0) (3.4) õy c ml h s chun húa 10) l trng thỏi nn hay cũn gi l trng thỏi chõn khụng tha món cỏc iu kin: = Khi ú toỏn t ta v xung lng c vit di dng: = ( ^ + ^) p = i j ^ r ( ờ +- f ỡ m ]I q v = ẹ Ê f ^ \ 0) [m]qv-... ( A + ) m \0 ) qv + (c4+) 2Aớ(c4 +) m" 2|0>,v] Lm \qv : m ( +) m \Q)qv = m\m) qv Vy: ẹ\m) = m \m )qv (3.8) 30 3.2 Nng lng ca dao ng bin dng (q, R) [5,6] Ta s xõy dng nng lng ca dao ng bin dng (q, R) trong khụng gian mt chiu ri tng quỏt húa cho khụng gian N chiu Toỏn tụ hy v sinh dao ng c, c+ ca dao ng bin dng (q, R) c nh ngha: ^ = J Ơ ( i + ^ p ) ( 3 -9 a ) (3 ằ ) Khi ú ta biu din toỏn tụ ta v toỏn