luận văn phương trình hàm đa ẩn hàm cơ bản

luận văn phương trình hàm đa ẩn hàm cơ bản

Giáo viên hướng dẫn:

GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

THÁI NGUYÊN, 2012

( xem [6]) 91.3.1 Phương trình hàm Cauchy 91.3.2 Các dạng khác của phương trình hàm Cauchy 141.4 Phương trình hàm Jensen và mở rộng 161.4.1 Phương trình hàm Jensen và bài toán chuyển đổi các

đại lượng trung bình 161.4.2 Mở rộng phương trình hàm Jensen với đa ẩn hàm 191.5 Phương trình hàm D’Alembert và mở rộng 191.5.1 Phương trình hàm D’Alembert 191.5.2 Mở rộng phương trình hàm D’Alembert với đa ẩn hàm 19

2.1 Phương trình hàm Pexider 222.2 Phương trình hàm Pexider với bài toán hệ thức lượng trong

tam giác ( xem [4]) 262.3 Mở rộng phương trình Pexider ( xem [9]) 30

3 Một số lớp phương trình hàm đa ẩn sinh bởi đẳng thức và

3.1 Phương trình hàm sinh bởi đẳng thức 32

3.1.1 Phương trình hàm sinh ra bởi việc thay đổi vai trò

của x và f (x) 323.1.2 Phương trình hàm sinh bởi các hằng đẳng thức 373.2 Phương trình hàm sinh bởi phi đẳng thức 41

Mở đầu

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phương trình hàm là bài toán không thể thiếu khi nghiên cứu về hàm

số Phương trình hàm cũng là một trong các bài toán hay gặp và khó trongcác kì thi học sinh giỏi toán quốc gia, khu vực và quốc tế Đã có nhiều tàiliệu viết về phương trình hàm nhưng chưa đủ so với nhu cầu của nhữngngười yêu phương trình hàm Để góp thêm một cách nhìn về một lớp cácphương trình hàm đa ẩn hàm, tôi đã chọn đề tài "Phương trình hàm đa

ẩn hàm cơ bản"

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu phương trình hàm Cauchy thông qua các ví dụ cụ thể nhằmcủng cố các phương pháp và kĩ năng biến đổi trong bài toán giải phươngtrình hàm

Góp thêm cách nhìn nhận và phương pháp giải một lớp các phươngtrình hàm đa ẩn hàm mà trọng tâm là phương trình Pexider và phươngtrình hàm sinh bởi đẳng thức-phi đẳng thức đại số

Định hướng cho học sinh cách vận dụng phương trình hàm trong việcgiải một số bài toán ở cấp trung học phổ thông và bồi dưỡng học sinh giỏitoán

3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen, phương trìnhhàm D’Alembert, phương trình hàm Pexider, phương trình hàm sinh bởiđẳng thức và phi đẳng thức đại số

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu trực tiếp từ các tài liệu của giáo viên hướng dẫn, tủ sáchchuyên toán và các kỷ yếu hội thảo khoa học về chuyên toán cũng như từ

bài học kinh nghiệm giảng dạy của các đồng nghiệp và các bạn học viêntrong lớp.

5 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀITạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinhgiỏi cấp trung học phổ thông

6 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương.Luận văn được hoàn thành dưới sự định hướng và hướng dẫn tận tìnhcủa GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâusắc của mình tới Thầy

Trong quá trình học tập và làm luận văn, tác giả đã nhận được sựquan tâm giúp đỡ của Khoa Toán Tin, Phòng đào tạo Sau đại học trườngĐHKH-ĐHTN Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu đó.Tác giả cũng muốn được gửi lời cảm ơn tới gia đình, các bạn đồngnghiệp lớp Toán K4A trường ĐHKH, các Thầy Cô giáo tổ toán và Bangiám hiệu trường THPT Tiên Du số 1 Bắc Ninh đã giúp đỡ và tạo điềukiện để tác giả hoàn thành luận văn này

* Thay các giá trị cho các biến: Cách thử đầu tiên là thay bởi hằng số(chẳng hạn 0 hoặc 1), sau đó là một số biểu thức mà sẽ làm cho một phầncủa phương trình trở thành hằng số Ví dụ, nếu f (x + y) xuất hiện trongphương trình và nếu xác định được f (0) thì ta sẽ có kết luận tương ứngvới y = −x.

* Quy nạp toán học: Phương pháp này sử dụng f (1) để tìm tất cả các

f (n) với n ∈ Z, sau đó tìm f ( 1

m) và f (r) với r ∈ Q.

* Xem xét tính chất đơn ánh, toàn ánh và song ánh của hàm số trongphương trình: Trong rất nhiều bài toán tính chất đó là không khó để chứngminh, nhưng có thể là mấu chốt của lời giải bài toán

* Tìm kiếm các điểm bất động và không điểm của hàm: Phương phápnày thường hay gặp trong các bài toán khó Số lượng các bài toán sử dụngphương pháp này ít hơn số lượng các bài toán sử dụng ba phương pháptrên Ngoài ra ta cũng cần nắm vững các đặc trưng của các hàm khi sửdụng phương pháp này

* Sử dụng phương trình hàm Cauchy và các phương trình hàm kiểunày: Thường thì ta cần sử dụng các biến đổi và một số phương pháp giảikhác để đưa phương trình hàm ban đầu về phương trình hàm Cauchy

* Xem xét tính liên tục và đơn điệu của một hàm số: Tính chất liên tục

thường là điều kiện thêm và cũng như tính đơn điệu, nó thường dùng đểđưa bài toán về phương trình hàm Cauchy Nếu không phải vậy, bài toán

sẽ giải quyết theo một cách khó khăn hơn

* Thiết lập các mối quan hệ truy hồi (lặp lại): Phương pháp này sửdụng các phương trình mà miền giá trị bị chặn và trong trường hợp chúng

ta có thể tìm được mối liên hệ giữa f (f (n)), f (n) và n

* Thay thế hàm số: Phương pháp này dùng để đưa phương trình hàm

đã cho trở nên đơn giản hơn Ta có thể thế ẩn để tạo ra phương trình hàmmới hoặc hệ phương trình hàm mới có lời giải đơn giản hơn

* Biểu diễn các hàm số thành tổng các hàm chẵn và hàm lẻ Điều đó cóthể hữu ích trong việc tuyến tính hóa phương trình hàm của nhiều hàmsố

* Xử lý số trong hệ cơ số 10 Truy nhiên, phương pháp này chỉ sử dụngnếu miền xác định là tập N

* Phương pháp hệ số bất định, phương pháp chuyển qua giới hạn,phương pháp sai phân

Cuối cùng, ta nhấn mạnh điều quan trọng nhất là đoán nhận được lờigiải ngay Điều đó giúp ích rất nhiều trong việc tìm được phép thế hợp lý.Tuy nhiên, cuối lời giải cần kiểm tra lại xem lời giải đã thỏa mãn các điềukiện đã cho chưa

( xem [6])

Để có thể định hướng, gợi ý và dự đoán công thức nghiệm của các bàitoán liên quan, chúng ta xét một vài tính chất tiêu biểu của một số dạnghàm số quen biết ( xem [1])

1 Hàm bậc nhất: f (x) = ax + b (a 6= 0, b 6= 0) có tính chất

f



x + y2

kiểu Cauchy ( xem [6])

1.3.1 Phương trình hàm Cauchy

Phương trình

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.1)

trong lớp hàm liên tục trên R được gọi là phương trình hàm Cauchy.Nếu không đòi hỏi hàm f thoả mãn điều kiện gì thì (1.1) được gọi làđiều kiện cộng tính của f.

Nếu tập xác định của (1.1) là Q thì rất dễ chỉ ra f (x) = x.f (1) Chứngminh này có được nhờ quy nạp toán học

Tiếp theo, mở rộng miền xác định từ Q đến R Không quá khó để chúng

ta chỉ ra được lời giải của phương trình hàm Cauchy trong trường hợp nàykhông phải là f (x) = xf (1)

Tuy nhiên, ta cần có thêm vào một số giả thiết để bắt buộc lời giải được

mô tả như trên Nghĩa là, nếu hàm số f thỏa mãn một trong các điều kiệnsau:

+) đơn điệu trên một khoảng của R;

+) liên tục;

+) bị chặn trên một khoảng;

+) dương với mọi x ≥ 0

+) khả vi (cách làm sẽ đơn giản hơn nhiều)

thì lời giải của phương trình hàm Cauchy f : R → S là f (x) = xf (1) Cụthể:

Bài toán 1.1 Xác định các hàm f (x) liên tục trên R thỏa mãn

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.2)Giải Từ (1.2) suy ra f (0) = 0, f (−x) = −f (x), với x = y thì

f (2x) = 2f (x), ∀x ∈ R (1.3)Giả sử k nguyên dương, f (kx) = kf (x), ∀x ∈ R Khi đó

f0(x + y) = f0(x), ∀x, y ∈ R;

f0(x + y) = f0(y), ∀x, y ∈ R

Suy ra

f0(x) = f0(y), ∀x, y ∈ R

Do vậy f0(x) = const hay f (x) = ax + b

Thế vào (1.6) ta được f (x) = ax với a ∈ R tùy ý (b = 0)

Kết luận: f (x) = ax, ∀x ∈ R, a ∈ R tùy ý.

Bài toán 1.3 Tìm các hàm f (x) xác định và đồng biến trên R thỏa mãnđiều kiện

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.7)Giải Lần lượt thay y = 0 và y = x vào (1.7) ta được

f (0) = 0, f (2x) = 2f (x), ∀x ∈ R

Suy ra f (x) > 0 khi x > 0 và

f (mx) = mf (x), ∀x ∈ R, m ∈ N∗ (1.8)Thay x bởi x

m vào (1.8) ta đượcf

 xm



< f (x) < f



1n

Do đóf (x)liên tục tại∀x ∈ R Theo Bài toán (1.1) ta cóf (x) = ax, a > 0

Kết luận: f (x) = ax, ∀x ∈ R, a > 0 tùy ý

Bài toán 1.4 Cho c > 0, xác định các hàm f (x) thỏa mãn các điều kiện

(Để lập dãy {qn} thỏa mãn điều kiện trên, chỉ cần cho tương ứng với mỗi

số tự nhiên n một số hữu tỷ qn sao cho

trong đó |f (qnxn)| ≤ M, ∀n ∈ Z+).

Khi đó

|f (xn)| =

Kết luận: f (x) = ax, với a ∈ R tùy ý sao cho |a| ≤ c

Bài toán 1.5 Tìm tất cả các hàm số f : R →R thỏa mãn điều kiện

1.3.2 Các dạng khác của phương trình hàm Cauchy

Ngoài các phương trình hàm Cauchy ở trên, những phương trình hàmsau có thể đưa về phương trình hàm Cauchy một cách dễ dàng Người tacoi chúng là những dạng khác của phương trình hàm Cauchy

Bài toán 1.6 (Phương trình hàm Cauchy dạng mũ) Xác định các hàm

f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R (1.11)Giải Nhận thấy f (x) ≡ 0 là một nghiệm của (1.11)

Xét trường hợp f (x) 6≡ 0 Khi đó tồn tại x0 ∈ R sao cho f (x0) 6= 0

g(u + v) = g(u) + g(v), ∀u, v ∈ R (1.13)

Theo phương trình hàm Cauchy (1.1) thì từ (1.13) ta có g(t) = bt và dođó

Kết luận: f (x) = b ln |x|, ∀x ∈ R\{0}, với b ∈ R tùy ý.

Bài toán 1.8 (Phương trình hàm Cauchy dạng nhân tính) Xác định cáchàm f (x) liên tục trên R\{0} thỏa mãn điều kiện

f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R\{0} (1.14)Giải Thay y = 1 vào (1.14) ta được

f (x)(1 − f (1)) = 0, ∀x ∈R (1.15)Nếu f (1) 6= 1 thì từ (1.15) suy ra f (x) ≡ 0 và nghiệm này thỏa mãn(1.14)

Xét f (1) = 1, khi đó

f (1) = f



x1x



= f (x).f



1x

g(u + v) = g(u)g(v), ∀u, f ∈ R

Theo Bài toán 1.6 thì

g(t) = at, ∀t ∈ R(a > 0 tùy ý

Do đó

f (x) = f (eu) = g(u) = aln x = eln a
ln x = xln a = xα, ∀x ∈ R, α = ln a

Trường hợp 2: x, y ∈ R− Khi đó xy ∈ R+, với y = x từ (1.14) và theo kếtquả trên ta có

Kết hợp các trường hợp trên và thử lại các kết quả ta có

Kết luận: Nghiệm của (1.14) là một trong các hàm số sau:

1.4.1 Phương trình hàm Jensen và bài toán chuyển đổi các

đại lượng trung bình

Bài toán 1.9 (Phương trình hàm Jensen) Tìm hàm f (x)xác định và liêntục trên R thỏa mãn điều kiện

f



x + y2



= g(x)

2 , g

y2



= g

x2



+ g

y2



, ∀x, y ∈ R

2 , ∀x, y ∈ R

+

Kết luận, f (x) = a ln x + b, a, b ∈ R tùy ý.

6 Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trên R+ thỏa mãn điều kiện

x +

1y

x +

1y

x +

1y

x +

1y

1.4.2 Mở rộng phương trình hàm Jensen với đa ẩn hàm

Định lý 1.1 ( xem [8]) Cho f, g, h : R →R là các hàm liên tục thỏa mãn

" f (x) = 0

f (x) = cosh bx, ∀x ∈ R

f (x) = cos bx

(xem [8])

1.5.2 Mở rộng phương trình hàm D’Alembert với đa ẩn hàm

Sau đây là hai bài toàn mở rộng phương trình hàm D’Alembert củaW.H.Wilson (xem [7])

Bài toán 1: f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)g(y), ∀x, y ∈ R (1.19)Bài toán 2: f (x + y) + g(x − y) = 2h(x)k(y), ∀x, y ∈ R (1.20)Các kết quả cho hai bài toán trên được cho bởi các định lý sau

Định lý 1.2 Nghiệm liên tục tổng quát của (1.19) là

f (t) = 0, g(t) bất kỳ; f (t) = a cos(bt) + c sin(bt), g(t) = cos(bt);

f (t) = a cosh(bt) + c sinh(bt), g(t) = cosh(bt);

f (t) = a + ct, g(t) = 1

Nếu bỏ điều kiện liên tục thì ta có kết quả sau:

Định lý 1.3 Xét phương trình (1.19)

(i) Nếu f (t) ≡ 0 thì g(t) là hàm tùy ý

(ii) Nếu f (t) ≡ 0 thì g(t) là hàm tùy ý không đồng nhất bằng 0 vàthỏa mãn phương trình D’Alembert (1.18)

Định lý 1.4 Với giả thiết f, g, h, k : R → R là các hàm liên tục thì

phương trình (1.20) có các bộ nghiệm sau

(iv) f (t) = c1cosh(bt) + a1sinh(bt) + γ1

trong đó ϕ(x) thỏa mãn phương trình hàm Cauchy (2.5), a, b là các hằng

+) bị chặn trên một khoảng của R;

+) dương với mọi x ≥ 0

thì ta có được lời giải cụ thể dưới đây:

Hệ quả 2.1 Nếu f là hàm số liên tục thì lời giải của phương trình hàm(2.1) là

Trường hợp 1: a = 0 hoặc b = 0 Khi đó,

a( ∀x, y ∈ R.)

Vậy f (x) = abux; g(x) = aux; h(x) = bux, ∀a, b, u ∈ R, u > 0.

Nhận xét 2.1 Tương tự phương trình hàm (PA), lời giải của phươngtrình hàm (PE) là

Đặt ϕ(x) = f (x) − a − b, ta thu được phương trình hàm Cauchy dạnglogarit

Giải Lấy x = 0 và đặt a = g(0), thay vào (2.4) ta có

f (y) = ah(y), ∀y ∈ R+ (2.8)Lấy y = 0 và đặt b = h(0), thay vào (2.4) ta có

f (x) = bg(x), ∀x ∈R+ (2.9)Trường hợp 1: Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì ta có

2.2 Phương trình hàm Pexider với bài toán hệ thức

lượng trong tam giác ( xem [4])

Một trong những ứng dụng của phương trình hàm Pexider vào toánphổ thông là bài toán liên quan đến các phép chuyển đổi bảo toàn yếu tốgóc của một tam giác

Bài toán 2.4 Tìm tất cả các hàm f, g, h xác định và liên tục trên R saocho:

2 − g(x); h1(x) = π

2 − h(x) Thay vào(2.10) ta có

f1(B + C) = g1(B) + h1(C) (2.11)

Dof, g, hliên tục nênf1, g1, h1 cũng liên tục Do đó, (2.11) chính là phươngtrình Pexider cộng tính Ta có nghiệm tổng quát của (2.11) là

với k + λ + µ + γ = 1

(Dễ dàng kiểm tra f, g, h thỏa mãn yêu cầu bài toán)

Bài toán 2.5 Tìm tất cả các hàm số f, g, h xác định và liên tục trên Rthỏa mãn điều kiện

Hệ quả 2.2 Cho A, B, C là số đo ba góc của một tam giác thì A1, B1, C1

cũng là số đo ba góc của một tam giác với A1, B1, C1 được xác định trongcác trường hợp dưới đây:

ta có thể làm phong phú thêm kho tàng các đẳng thức, bất đẳng thức củatam giác.

Ví dụ 2.1 Xuất phát từ hệ thức cơ bản trong tam giác

sin A + sin B + sin C = 4 cos A

Tổng quát

cos 2kA + cos 2kB + cos 2kC = (−1)k4 cos kA cos kB cos kC − 1

cos(2k + 1)A + cos(2k + 1)B + cos(2k + 1)C

2 .

+) Kết hợp với Hệ quả 2.2.2, ta có

sin 2A + sin 2B + sin 2C ≤ 3

√3

2 .

+) Kết hợp với Hệ quả 2.2.5, ta có

cos A + cos B + sin C ≤ 3

√3

2.3 Mở rộng phương trình Pexider ( xem [9])

Xét một trường hợp đặc biệt của phương trình Pexider

f (x + y) = f (x).h(y) ∀x, y ∈ R (2.18)Khi đó, nghiệm tổng quát của (2.18) là



f (t) = a exp{f0(t)}; h(t) = exp{f0(t)}

f (t) ≡ 0; h(t) tùy ývới f0 thỏa mãn phương trình Cauchy f0(x + y) = f0(x) + f0(y), a hằng

số, a 6= 0

Xét hai phương trình sau mở rộng trực tiếp từ (2.18)

f (x + y) = f (x).h(y) + k(y), ∀x, y ∈ R (2.19)và

f (x + y) = g(x).h(y) + k(y), ∀x, y ∈R (2.20)Phương trình (2.20) còn được gọi là phương trình Vincze, một dạngtổng quát của phương trình Pexider

Định lý 2.2 Nghiệm tổng quát của (2.19) là

(i) f (t) = γ exp{f0(t)}+α;h(t) = exp{f0(t)};k(t) = α[1−exp{f0(t)}].(ii) f (t) = f0(t) + α; h(t) = 1; k(t) = f0(t);

Chương 3

Một số lớp phương trình hàm đa ẩn sinh bởi đẳng thức và phi đẳng

thức đại số

3.1 Phương trình hàm sinh bởi đẳng thức

Xuất phát từ các đẳng thức đại số quen thuộc, bằng việc thay x bởi

f (x), f (f (x)) hay f (x + y) − y, ta thu được một lớp các phương trìnhhàm phong phú và thú vị

Để giải các phương trình hàm này, ngoài việc nắm được các phươngpháp giải phương trình hàm (xem 1.1) thì một trong những ”chìa khóa”hữu dụng để giải quyết nó chính là các bài toán về phương trình hàmCauchy được nhắc đến trong luận văn này

3.1.1 Phương trình hàm sinh ra bởi việc thay đổi vai trò của

x→+∞f (x) = 0

Giải *) Lấy x = y = 1, ta có f (f (1)) = f (1)

Lấy x = 1 và y = f (1), ta có f (f (f (1))) = f (1)2,

nên f (1)2 = f (f (f (1))) = f (f (1)) = f (1), suy ra f (1) = 1

Suy ra 1 là điểm bất động của hàm số.

wn = x2(m+1)0 , (m ∈ N∗)

Do đó, f (x) không có điểm bất động nào lớn 1 (3.3)

*) Giả sử f có một điểm bất động x1 ∈ (0, 1) Khi đó

f không có điểm bất động nào thuộc (0, 1) (3.4)

Từ (3.3), (3.4) suy ra f chỉ có duy nhất một điểm bất động là 1 Kết hợpvới (3.1), ta có

Nhận xét 3.1 Ý tưởng dùng điểm bất động là một ý tưởng hữu dụngtrong giải phương trình hàm Khi có thông tin về điểm bất động của hàm

số, thì cách giải cũng có những đặc trưng nhất định Ngoài phương phápdùng điểm bất động, ta quan tâm đến các tính chất (liên tục, đơn điệu,chẵn, lẻ, ) của hàm số để đưa về các bài toán cơ bản (xem 1.2) hoặc dùnglối tư duy, kỹ thuật xử lí trong các bài toán đó

Bài toán 3.2 (IMO 2010) Tìm tất cả các hàm liên tục f : R → R thỏa

... Các dạng khác phương trình hàm Cauchy

Ngồi phương trình hàm Cauchy trên, phương trình hàmsau đưa phương trình hàm Cauchy cách dễ dàng Người tacoi chúng dạng khác phương trình hàm Cauchy

Bài... lớp phương trìnhhàm phong phú thú vị

Để giải phương trình hàm này, việc nắm phươngpháp giải phương trình hàm (xem 1.1) ”chìa khóa”hữu dụng để giải tốn phương trình hàmCauchy nhắc đến luận. ..

f (x) = cos bx

(xem [8])

1.5.2 Mở rộng phương trình hàm D’Alembert với đa ẩn hàm

Sau hai tồn mở rộng phương trình hàm D’Alembert củaW.H.Wilson (xem [7])

Bài toán