Phương trình, bất phương trình hàm cơ bản trên tập số tự nhiên

[...]... trẳnh hm dÔng Jensen trản têp số tỹ nhiản 1.2.1 CĂc dÔng toĂn vã phữỡng trẳnh hm Jensen trản têp số tỹ nhiản Xt bi toĂn xĂc nh hm số f( f C(R) thọa mÂn iãu kiằn x+y f (x) + f (y) )= , x, y R 2 2 CĂc cĂch cho bi toĂn phữỡng trẳnh hm Jensen trản têp số tỹ nhiản: l Tẳm hm f : X Y thọa mÂn N, N ; Y cõ th l N, N , Z, R) Tẳm số hÔng tờng quĂt cừa dÂy iãu kiằn no õ (trong õ số cho trữợc 13 X cõ th 1.2.2... n, ( R) Lới giÊi GiÊ sỷ tỗn tÔi hm số Dạ thĐy cĂc hm số ny ãu thọa mÂn cĂc yảu cƯu cừa bi ra Ta ữủc Ăp số: 1 , ( R ); f (n) = 2 cos n, ( R) n cĂc hm số f : N N thọa mÂn f 0; f (n) = n + Vẵ dử 1.24 Tẳm tĐt cÊ 3 2(f (m2 + n2 )) = f 2 (m)f (n) + f (m)f 2 (n), m, n N Lới giÊi Náu GiÊ sỷ tỗn tÔi hm số f (n) c vợi c f thọa mÂn cĂc yảu cƯu cừa ã bi l hơng số thẳ hin nhiản thọa mÂn yảu cƯu cừa... kẳ số số 2.1 BĐt phữỡng trẳnh hm Cauchy trản têp số tỹ nhiản Vẵ dử 2.1 1 2 XĂc nh cĂc hm số f thọa mÂn ỗng thới cĂc iãu kiằn sau: f (n) 0, n N f (m + n) f (m) + f (n), m, n N 23 x = 0 vo iãu kiằn Ưu bi, ta thu ữủc: f (0) 0 f (0) 2f (0) hay f (0) = 0 Vêy nản: 0 = f (0) = f (n + (n)) f (n) + f (n) 0 Suy ra f (n) 0 Thỷ lÔi, thĐy hm số f (n) 0 thọa mÂn iãu kiằn bi Thay ra Vẵ dử 2.2 Cho số. .. 4, x N hay d = 1 Vêy hm số cƯn tẳm dÔng f (x) = cx1, x N vợi c l hơng số nguyản (c > 1) Vẵ dử 1.19 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số f :NN thọa mÂn f (0) = 1 v f (f (n)) + 3f (n) = 4n + 5, n N Lới giÊi Ta s chựng minh bơng quy nÔp rơng vợi mồi f (n) = n + 1 nN thẳ: (1.22) n = 0 GiÊ sỷ (1.22) úng khi n = k, (k N), tực l f (k) = k +1 Ta cƯn chựng minh (1.22) cụng úng khi n = k + 1, tực l chựng minh f (k + 1)... vã phữỡng trẳnh hm D'Alembert trản têp số tỹ nhiản l Tẳm hm f : X Y thọa mÂn N, N ; Y cõ th l N, N , Z, R) Tẳm số hÔng tờng quĂt cừa dÂy X iãu kiằn no õ (trong õ cõ th số cho trữợc 1.3.2 CĂc vẵ dử Vẵ dử 1.21 f : N N Biát rơng f (n + f (n)) = f (n), n N (1.29) [Korea 1999]Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số tỗn tÔi n0 N Lới giÊi sao cho f (n0 ) = 1 v GiÊ sỷ tỗn tÔi hm số f (n) thọa mÂn yảu cƯu bi ra (1.29)... minh f (n) = n, n N Lới giÊi GiÊ sỷ tỗn tÔi hm số 8 Thêt vêy, ta chựng minh bơng phữỡng phĂp quy nÔp f (1) = 1, f (2) = 2 GiÊ sỷ khng nh f (n) = n  úng tợi n = k, k 2 Lúc ny f (k) = k , ta cƯn chựng minh f (k + 1) = k + 1 Náu k l số l thẳ k + 1 l số chđn v k+1 k+1 k+1 f (k + 1) = f (2 ) = f (2).f ( ) = 2 = k + 1 2 2 2 k+2 Náu k l số chđn thẳ k + 2 l số chđn v do k nản theo giÊ thiát 2 Ta cõ quy... (n) = n + 1, n N thọa mÂn phữỡng trẳnh f (n) = n + 1, n N Mt khĂc, dạ thĐy hm số d cho nản ta cõ Ăp số Vẵ dử 1.15 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số f :NN thọa mÂn iãu kiằn f (f (n)) + f (n) = 2n + 3k, n N, (trong õ Lới giÊi t k (1.9) l số tỹ nhiản cho trữợc) f thọa mÂn yảu cƯu bi t an+1 = f (an ), khi õ tứ GiÊ sỷ tỗn tÔi hm số a1 = n v vợi n1 ta toĂn (1.9) ta ữủc 2an + 3k = an+1 + an+2 , (1.10) 2an+1... n1 l phƯn tỷ lợn nhĐt cừa S ) iãu vổ lẵ õ chựng tọ S = v ta ữủc f 1, (n N ) Náu tỗn tÔi 19 Dạ thĐy hm số ny thọa mÂn cĂc yảu cƯu cừa bi ra nản chẵnh l hm số cƯn tẳm Vẵ dử 1.22 XĂc nh hm số f :NR ữủc cho bi phữỡng trẳnh: f (0) = ; f (n + 1) = 2f 2 (n) 1, n N Lới giÊi GiÊ sỷ tỗn tÔi hm số f (n) thọa mÂn yảu cƯu bi ra = 1 thẳ: f (0) = 1; f (1) = 2f 2 (0) 1 = 1; f (2) = 2f 2 (1) 1; f (3) =... N Thỷ lÔi thĐy úng Náu Vẵ dử 1.11 [IMO-1977]Cho f : N N vổ lỵ l hm số thọa iãu kiằn f (n + 1) > f (f (n)), n N Chựng minh rơng Lới giÊi f (n) = n, n N GiÊ sỷ tỗn tÔi hm số thọa mÂn yảu cƯu bi toĂn d l phƯn tỷ nhọ nhĐt trong miãn giĂ tr cừa hm số f , d = min {f (n) : n N } theo nguyản lẵ sưp thự tỹ tốt, d tỗn tÔi v Gồi tực l l duy nhĐt m N sao cho f (m) = d Náu m > 1 thẳ d = f (m) > f (f... dử 1.16 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số f :NN bi toĂn thọa mÂn iãu kiằn: f (f (f (n))) + 6f (n) = 3f (f (n)) + 4n + 2007, n N Lới giÊi GiÊ sỷ hm số f thọa mÂn yảu cƯu bi toĂn Vợi (xn ) nhữ sau x0 = k n bi xn , ta ữủc: nhiản bĐt kẳ, xt dÂy Tứ (1.13) thay v k l số tỹ xn+1 = f (xn ) xn+3 = 3xn+2 6xn+1 + 4xn + 2007, n N Phữỡng trẳnh c trững (1.13) (1.14) 3 32 + 6 4 = 0 1, 1 i 3 Số hÔng tờng quĂt cừa dÂy