Vấn đề biểu diễn số tự nhiên dưới dạng tổng các bình phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN QUANG VỤ VẤN ĐỀ BIỂU DIỄN SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG TỔNG CÁC BÌNH PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN QUANG VỤ VẤN ĐỀ BIỂU DIỄN SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG TỔNG CÁC BÌNH PHƯƠNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN-2015 Mục lục Mở đầu ii Bài toán biểu diễn số nguyên thành tổng bình phương 1.1 Vấn đề biểu diễn số nguyên thành tổng lũy thừa 1.2 Một số kết toán 1 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng số chẵn bình phương 2.1 Tổng bình phương số nguyên 2.2 Tổng bình phương số nguyên 2.3 Tổng bình phương số nguyên 2.4 Tổng bình phương số nguyên 2.5 Tổng bình phương 10 số nguyên 12 12 19 25 32 39 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 i Mở đầu Bài toán biểu diễn số nguyên n dạng tổng k số nguyên bình phương vấn đề lý thú lý thuyết số Các nhà số học Fermat, Lagrange, quan tâm tới việc giải toán gặp khó khăn, lại âm thầm với khó khăn Năm 1632, Albert Girard người đưa nhận xét rằng: Mỗi số nguyên tố lẻ mà đồng dư với theo modul biểu diễn dạng tổng hai số phương Fermat người đưa chứng minh Bài toán Fermat thông báo điều thư gửi cho Marin Mersenne vào ngày 25 tháng năm 1640 Lagrange giải toán số nguyên không âm biểu diễn thành tổng bình phương số nguyên Nghĩa ∀n ≥ 0, tồn số nguyên x1 , x2 , x3 , x4 cho: n = x21 + x22 + x23 + x24 Tổng quát hơn, toán sau Waring đề xuất coi toán tiếng lý thuyết số Bài toán có nội dung sau: Với số nguyên k ≥ 2, tồn số nguyên dương h thỏa mãn số nguyên không âm biểu diễn thành tổng h hạng tử lũy thừa bậc k số nguyên Số nguyên k nhỏ thỏa mãn điều kiện kí hiệu g(k) Năm 1909, nhà Toán học Đức chứng minh toán Waring lũy thừa bậc k Đặc biệt năm 1943, nhà Toán học Nga Yu.V.Linnick để lại chúc thư, có đưa cách chứng minh toán Waring mà cần sử dụng đến kiến thức lý thuyết số ii Trong khuôn khổ luận văn xét trường hợp k = Nghĩa xét toán biểu diễn số tự nhiên n cho trước dạng tổng bình phương số nguyên không âm Mục tiêu luận văn trình bày kết nghiên cứu việc biểu diễn số tự nhiên n thành tổng số chẵn bình phương số nguyên số ví dụ ứng dụng toán sơ cấp Luận văn gồm chương: Chương 1: Bài toán biểu diễn số nguyên thành tổng bình phương Chương 2: Biểu diễn số tự nhiên thành tổng số chẵn bình phương Để hoàn thành luận văn, tác giả xin bầy tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Nông Quốc Chinh, người Thầy hướng dẫn động viên giúp đỡ tình viết hoàn thành luận văn Tôi xin bầy tỏ lòng biết ơn tới Thầy Cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình giúp đỡ trình học để hoàn thành khóa học Thái Nguyên, ngày 01 tháng năm 2015 Đoàn Quang Vụ iii Chương Bài toán biểu diễn số nguyên thành tổng bình phương 1.1 Vấn đề biểu diễn số nguyên thành tổng lũy thừa Bài toán biểu diễn số nguyên thành tổng k hạng tử lũy thừa bậc m k số nguyên vấn đề nhắc đến nhiều lý thuyết số Lagrang giải toán số nguyên không âm biểu diễn thành tổng bình phương số nguyên Nghĩa ∀n ≥ 0, tồn số nguyên x1 , x2 , x3 , x4 cho: n = x21 + x22 + x23 + x24 Tương tự, Wieferich chứng minh số nguyên biểu diễn thành tổng lập phương số nguyên Nghĩa với số nguyên không âm tồn số nguyên x1 , x2 , , x9 cho: n = x31 + x32 + x33 + x34 + x35 + x36 + x37 + x38 + x39 Tổng quát hơn, toán sau Waring đề xuất coi toán tiếng lý thuyết số Bài toán có nội dung sau: Với số nguyên k ≥ 2, tồn số nguyên dương h thỏa mãn số nguyên không âm biểu diễn thành tổng h hạng tử lũy thừa bậc k số nguyên Số nguyên k nhỏ thỏa mãn điều kiện kí hiệu g(k) Nhận xét, viết thành tổng bình phương số nguyên, theo định lý Lagrang ta có: g(2) = Tương tự, số 23 biểu diễn thành tổng lập phương số nguyên, nên theo định lý Wieferich ta có g(3) = Năm 1909, nhà Toán học Đức chứng minh toán Waring lũy thừa bậc k Đặc biệt năm 1943, nhà Toán học Nga Yu.V.Linnick để lại chúc thư, có đưa cách chứng minh toán Waring mà cần sử dụng đến kiến thức lý thuyết số Trong khuôn khổ luận văn xét trường hợp k = Nghĩa xét toán biểu diễn số tự nhiên n cho trước dạng tổng bình phương số nguyên không âm Với số nguyên dương s, số nguyên không âm n, ta kí hiệu Rs (n) thứ tự s số nguyên x1 , x2 , , xs thỏa mãn : n = x21 + x22 + + x2s Các số nguyên xi dương, âm Với s ≥ 1, dễ nhận thấy Rs (0) = Vì có dạng biểu diễn = 02 + + 02 Biểu diễn số nguyên n dạng tổng s số nguyên bình phương toán quan trọng lý thuyết số, lời giải s chẵn liên quan tới tổng ước n Kí hiệu, d δ số nguyên dương d/n n=dδ biểu thị tổng tính ước dương n Ta viết số nguyên dương n dạng n = 2a m, với a ≥ m số lẻ Ta chứng minh công thức sau: R2 (n) = 24 d\n d n lẻ d\n d n chẵn (−1)(δ−1)/2 d2 R6 (n) = 4(4a+1 − (−1)(m−1)/2 ) m=dδ R8 (n) = 16 d\n d n lẻ (16/7)(8a+1 − 15) R10 (n) = 16a+1 + (−1)(m−1)/2 + 16 d\n d n chẵn (−1)(δ−1)/2 d4 m=dδ (v − 3v w2 ) n=v +w2 1.2 Một số kết toán Định lý 1.1 Với số nguyên dương s n ta có: √ |u|≤ n n − (s + 1)u2 Rs (n − u2 ) = (1.1) Chứng minh Nếu n = x21 + + x2s + x2s+1 x2s+1 ≤ n |xs+1 | ≤ √ n Với j = 1, , Rs+1 (n), có s+1 x2i,j n= i=1 Biểu thị Rs+1 (n) tổng s + số bình phương Với i = 1, , s, ta xác định ánh xạ Ti tập thứ tự gồm (s + 1) thành phần sau: Ti = (x1 , , xi−1 , xi , xi+1 , , xs , xs+1 ) = (x1 , , xi−1 , xs+1 , xi+1 , , xs , xi , ) có Rs+1 (n) Rs+1 (n) x2s+1,j x2i,j = j=1 j=1 Tổng tính tất biểu diễn n, từ suy ra: Rs+1 (n) s+1 x2i,j nRs+1 (n) = j=1 i=1 s+1 Rs+1 (n) x2i,j = i=1 j=1 Rs+1 (n) x2s+1,j = (s + 1) j=1 = (s + 1) √ |u|≤ n Với số nguyên n thỏa mãn |u| ≤ n= s+1 i=1 xi,j √ u2 Rs (n − u2 ) n có Rs (n − u2 ) cách biểu diễn với xs+1,j = u Điều suy rằng: Rs+1 (n) = √ |u|≤ n Rs (n − u2 ) nên nRs+1 (n) = n √ |u|≤ n Rs (n − u2 ) √ |u|≤ n (n − (s + 1)u2 )Rs (n − u2 ) Định lý chứng minh Định lý 1.2 Giả sử Φ hàm số xác dịnh tất số nguyên không âm n cho Φ(0) = (n − (s + 1)u2 )Φ(n − u2 ) = √ |u|≤ n Với n ≥ Thế Φ(n) = Rs (n) với n ≥ Chứng minh Từ định lý 1.1 ta suy với số nguyên dương s n, ta có: nRs (n) = √ 1≤|u|≤ n = √ 1≤|u|≤ n (n − (s + 1)u2 )Rs (n − u2 ) ((s + 1)u2 − n)Rs (n − u2 ) Rs (n) = √ 1≤|u|≤ n (s + 1)u2 − Rs (n − u2 ) n Ví dụ 1.1 Tính R2 (n) với n ≤ Với s = ta có 3.12 R2 (1) = − R3 (1 − 12 ) =4 3.12 − R3 (2 − 12 ) =4 R2 (2) = (1.2) Khi (−1)d d3 Φ(n) = 16(−1)n n=dδ   a = 16(−1)n  d3  (2b d) − b=1 d|m d|m a = 16(−1) n b=1 = 16(−1) n d3 8b − d|m 8a+1 − 15 d3 d|m Định lý chứng minh Ví dụ 2.9 Tìm tất dạng biểu diễn thành tổng bình phương số nguyên Chứng minh Với n = số lẻ, ta có d3 = 16(13 + 53 ) = 16.126 = 2016 R8 (5) = 16 d|n Như số có 2016 cách biểu diễn thành tổng bình phương số nguyên, hay nói cách khác có 2016 số nguyên (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 ) thỏa mãn: x2i 5= i=1 Cụ thể sau: - Có 25 C83 = 1792 tám số mà có giá trị xi (±1)2 , giá trị - Có 22 C86 C21 = 224 tám số mà có giá trị xi (±1)2 , giá trị 38 (±2), lại giá trị Ví dụ 2.10 Tìm tất dạng biểu diễn thành tổng bình phương số nguyên Chứng minh Với n = = 2.3, ta có a = 1, m = 16.(82 − 15 (1 + 33 ) = 16.7.28 = 3136 Như số có 3136 cách biểu diễn thành tổng bình phương số nguyên, hay nói cách khác có 3136 số nguyên (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 ) thỏa mãn: R8 (6) = x2i 6= i=1 Cụ thể sau: - Có 26 C82 = 1792 tám số mà có số nguyên xi (±1)2 , só nguyên - Có 23 C85 C32 = 1344 tám số mà có số nguyên xi (±2)2 , số (±1)2 , số 02 2.5 Tổng bình phương 10 số nguyên Chúng ta xác định số lượng cách biểu diễn số nguyên thành tổng bình phương mười số nguyên Định lý 2.6 Cho n số nguyên dương, n = 2a m, a ≥ m lẻ Khi R10 (n) = 16a+1 + (−1)(m−1)/2 + 16 (−1)(δ−1)/2 d4 m=dδ (v − 3v w2 ) n=v +w2 39 Chứng minh Để áp dụng định lý (1.2), ta cần xác định hàm Φ(n) cho Φ(0) = (n − 11x2 )Φ(n − x2 ) = √ |x|≤ n số nguyên dương n Chúng ta áp dụng đồng thức (2.1) cho đơn thức x5 y, x3 y xy Với f (x, y) = x5 y , ta nhận (−1)(δ−1)/2 (δ − 2u)5 (u + d) u2 +dδ=n δ≡1( mod 2) (−1)(δ−1)/2 = u2 +dδ=n δ≡1( mod 2)   k  × k (−2)k δ 5−k uk+1 + 0≤k≤5 0≤k≤5 k≡1( mod 2) k≡0( mod 2)  (−2)k dδ 5−k uk  (−1)(δ−1)/2 dδ − 10δ u2 + 40dδ u2 − 80δ u4 = u2 + dδ = n δ ≡ 1(mod2) + 80dδ − 32u6 (−1)(δ−1)/2 δ (n − u2 ) − 10δ u2 + 40δ u2 (n − u2 ) = u2 + dδ = n δ ≡ 1(mod2) − 80δ u4 + 16u4 (5n − 5u2 ) − 32u6 ) (−1)(δ−1)/2 (δ (n − 11u2 ) + 40δ u2 (n − 3u2 ) = u2 +dδ=n δ≡1( mod 2) + 16u (5n − 7u2 )) 40 l = (−1)l−j (2j − 1)5 l j=1 n=l2 = 16n3 − 40n2 + 25n n=l2 Áp dụng (2.1) f (x, y) = x3 y , ta nhận (−1)(δ−1)/2 (δ − 2u)3 (u + d)3 u2 +dδ=n δ≡1( mod 2) (−1)(δ−1)/2 (3dδ u2 + 12d3 δu2 − 6δ u4 = u2 +dδ=n δ≡1( mod 2) − 24d2 u4 + d3 δ − 18d2 δ u2 + 36dδu4 − 8u6 (−1)(δ−1)/2 ((3δ u2 + 12d2 u2 )(n − u2 ) = u2 +dδ=n δ≡1( mod 2) − (3δ u2 + 12d2 u2 )2u2 (dδ − 2u2 )((dδ − 2u2 )2 − 12dδu2 )) (−1)(δ−1)/2 ((3δ u2 + 12d2 u2 )(n − 3u2 ) = u2 +dδ=n δ≡1( mod 2) + (n − 3u2 )3 − 12u2 (n − u2 )(n − 3u2 )) = l3 l (−1)l−j (2j − 1)3 j=1 = 4n3 − 3n2 n=l2 n=l2 Áp dụng (2.1) với f (x, y) = xy , ta có (−1)(δ−1)/2 (δ − 2u) (u + d)5 u2 +dδ=n δ≡1( mod 2) 41 (−1)(δ−1)/2 (d5 δ − 10d4 u2 + 10d3 δu2 = u2 +dδ=n δ≡1( mod 2) − 20d u + 5dδu4 − 2u6 ) (−1)(δ−1)/2 (d4 (n − 11u2 ) + 10d2 u2 (n − 3u2 ) = u2 +dδ=n δ≡1( mod 2) + u (5n − 7u2 )) = l2 l (−1)l−j (2j − 1) j=1 = n3 n=l2 n=l2 Ta nhận dược ba đồng thức sau đây: (−1)(δ−1)/2 (δ (n − 11u2 ) + 40δ u2 (n − 3u2 ) u2 +dδ=n δ≡1( mod 2) +16u4 (5n − 7u2 )) = 16n3 − 40n2 + 25n n=l2 (2.14) (−1)(δ−1)/2 ((3δ u2 + 12d2 u2 )(n − 3u2 ) + (n − 3u2 )3 u2 +dδ=n δ≡1( mod 2) −12u2 (n − u2 )(n − 3u2 )) = 4n3 − 3n2 42 n=l2 (2.15) (−1)(δ−1)/2 (d4 (n − 11u2 ) + 10d2 u2 (n − 3u2 ) u2 +dδ=n δ≡1( mod 2) +u4 (5n − 7u2 )) = n3 (2.16) n=l2 Chúng ta bỏ số hạng (−1)(δ−1)/2 d2 u2 (n − 3u2 ) u2 +dδ=n δ≡1( mod 2) (−1)(δ−1)/2 δ u2 (n − 3u2 ) u2 +dδ=n δ≡1( mod 2) Nhân (2.16) với 16, cộng vế tương ứng với phương trình (2.14), sau 40 Ta có: trừ phương trình (2.15), nhân với (−1)(δ−1)/2 (−1)(δ−1)/2 (n − 11u2 )(16d4 + δ ) + u2 +dδ=n δ≡1( mod 2) u2 +dδ=n δ≡1( mod 2) × 160u2 (n − u2 )(n − 3u2 ) + 32u4 (5n − 7u2 ) = 64n3 25n − 40 (n − 3u2 ) n=l2 Kí hiệu P (n) tổng phương trình kí hiệu Q(n) tổng thứ hai tương ứng Suy P (n) − {25n}n=l2 + Q(n) + 64n3 =0 Đối với số nguyên dương n xác định hàm ϕ(n) (−1)(δ−1)/2 (16d4 + δ ) ϕ(n) = n = dδ d, δ ≥ δ ≡ 1( mod 2) 43 Cho ϕ(n) = Suy (−1)(δ−1)/2 (n − 11u2 )(16d4 + δ ) P (n) = u2 +dδ=n δ≡1( mod 2) (−1)(δ−1)/2 (16d4 + δ ) (n − 11u2 ) = u2 [...]... cách biểu diễn 5 thành tổng của các hạng tử dạng (±1)2 , (±2)2 , 02 , 02 , 02 , 02 Như vậy 5 có 312 cách biểu diễn thành tổng các bình phương của 6 số nguyên cụ thể như trên Ví dụ 2.7 Tìm tất cả các dạng biểu diễn của 6 thành tổng các bình phương của 6 số nguyên Chứng minh Với n = 6 = 21 3, ta có a = 1, m = 3 Vì vậy có R6 (6) = 4.(42 − (−1)1 )[(−1)0 32 + (−1)1 12 ] = 4.17.8 = 544 Vậy có 544 bộ 6 số. .. số chính phương theo mod p nên q = 4k + 1 Mâu thuẫn Bổ đề được chứng minh Bổ đề 1.2 Tích của hai số mà mỗi số là tổng của hai bình phương của hai số nguyên không âm cũng là tổng bình phương của hai số không âm 8 Chứng minh Giả sử m = a2 + b2 , n = c2 + d2 , a, b, c, d ∈ Z Khi đó m.n = (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ad + bc)2 + (ac − bd)2 Bổ đề 1.3 Mọi số nguyên tố dạng 4k + 1 đều có thể biểu diễn thành tổng. .. cả các dạng biểu diễn của 5 thành tổng các bình 30 phương của 6 số nguyên Chứng minh Với n = 5 = 20 5, ta có a = 0, m = 5 Vì vậy có R6 (5) = 4.(40+1 − (−1)2 )[(−1)0 52 + (−1)2 12 ] = 4.3.26 = 312 Vậy có 312 bộ 6 số nguyên (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) thỏa mãn 5 = x21 + x22 + x23 + x24 + x25 + x26 Các số đó cụ thể như sau: - Có 25 C65 = 192 cách biểu diễn 5 thành tổng của các bình phương của 5 số. .. z) Khi đó, với mỗi số nguyên dương n ta có: F (δ − 2u, u + d, 2u + 2d − δ) 2 u2 +dδ=n 10 = F (d + δ, u, d − δ) + {2T1 (l) − 2T2 (l)}n=l2 trong đó 2l−1 T1 (l) = F (j, l, j) j−1 và l−1 T2 (l) = F (2l, j, 2j) j=l+1 11 Chương 2 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng của một số chẵn các bình phương 2.1 Tổng các bình phương của 2 số nguyên Ta kí hiệu S(n) là tập tất cả các bộ ba (u, d, δ) các số nguyên thỏa mãn:... chứng minh 18 2.2 Tổng các bình phương của 4 số nguyên Ở phần này chúng ta sẽ chứng minh công thức Jacobi xác định số biểu diễn của một số nguyên dưới dạng tổng các bình phương của 4 số nguyên Định lý 2.2 (Định lý Jacobi) Với mọi số nguyên dương n R4 (n) = 8 d nếu n lẻ d|n và R4 (n) = d nếu n chẵn d|n d ≡ 1(mod2) Chứng minh Theo định lý (1.4), nếu F (x, y, z) là một hàm với biến số, x, y, z nguyên thỏa... , pr là các số nguyên tố thỏa mãn pk ≡ 3(mod4) Cho các số mũ của pi+1 , , pr lần lượt nhận các giá trị từ 0 đến ti+1 αk thì tổng tất cả các số mũ của pi+1 , , ptrr với (0 ≤ tk ≤ αk ) sẽ có nhiều nhất (một nửa) số mũ lẻ (vì tổng ti+1 + + tr hoặc chẵn, hoặc lẻ) Và vì vậy số các ước d của n thỏa mãn ≡ 1(mod4) luôn nhiều hơn hoặc bằng số các ước d của n ≡ 3(mod4) Do đó d1 (n) ≥ d3 (n) với mọi số nguyên... 1 R3 (8 − 12 ) + 8 5.22 − 1 R3 (8 − 22 ) 8 =6 Định lý 1.3 Giả sử n được biểu diễn dưới dạng phân tích chuẩn n = 2r t psi i qjj , trong đó pi ≡ 1 (mod 4), qj ≡ 3 (mod 4) Điều kiện cần và đủ để n biểu diễn thành tổng của hai bình phương là các số tj chẵn với mọi j Để chứng minh định lý ta sử dụng các mệnh đề sau Bổ đề 1.1 Giả sử số nguyên tố q a2 + b2 Nếu q ≡ 3 (mod 4) thì q |a, q |b Chứng minh Giả... ≤ q 2 < p mà p nguyên tố nên 0 < x2 + y 2 < 2p Suy ra x2 + y 2 = p Rõ ràng x = 0, y = 0 Bổ đề được chứng minh Chứng minh định lý 1.3 Điều kiện đủ Giả sử tj chẵn với mọi j Ta có 2 = 12 + 12 và các 9 số nguyên tố p có dạng 4k + 1 có thể biểu diễn được thành tổng các bình phương của hai số nguyên dương, theo bổ đề 1.3 ta có m = 2r psi i = a2 + b2 , a, b ∈ Z Mặt khác, vì tj chẵn với mọi j nên t qjj = h2... chứng minh định lý Ví dụ Phương trình x2 + y 2 = 50 vì 50 = 52 + 52 = 72 + 12 Số nguyên tố 19 có dạng 4k + 3 nên 19 = x2 + y 2 Phương trình x2 + y 2 = 20032003 vô nghiệm vì số nguyên tố 2003 có dạng 4k + 3 và số mũ của 20032003 là lẻ Ta thừa nhận định lý sau đây về đồng nhất thức Liouville Định lý 1.4 Giả sử F (x, y, z) là một hàm xác định trên tập tất cả các bộ ba (x, y, z) các số nguyên thỏa mãn F (x,... 24.1 = 24 Ví dụ 2.5 Tính R4 (pk) với mọi số nguyên tố p và k ≥ 1 Chứng minh Với k ≥ 1 và p là một số nguyên tố lẻ, xét R4 (pk ) = 8 d d|n (Do n = pk là một số lẻ) Từ đó suy ra R4 (pk ) = 8.(1 + p + p2 + + pk ) 24 2.3 Tổng các bình phương của 6 số nguyên Ta có thể tìm được hàm số Φ(n) thỏa mãn đẳng thức sau (n − 7x2 )Φ(n − x2 ) = 0 |x|≤n Định lý 2.3 Cho n là 1 số nguyên dương n = 2a m khi a > 0 và m ... toán biểu diễn số nguyên thành tổng bình phương 1.1 Vấn đề biểu diễn số nguyên thành tổng lũy thừa 1.2 Một số kết toán 1 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng số chẵn bình phương. .. 2.1 Tổng bình phương số nguyên 2.2 Tổng bình phương số nguyên 2.3 Tổng bình phương số nguyên 2.4 Tổng bình phương số nguyên 2.5 Tổng bình phương 10 số. .. Bài toán biểu diễn số nguyên thành tổng bình phương 1.1 Vấn đề biểu diễn số nguyên thành tổng lũy thừa Bài toán biểu diễn số nguyên thành tổng k hạng tử lũy thừa bậc m k số nguyên vấn đề nhắc