Vấn đề biểu diễn số tự nhiên dưới dạng tổng các bình phương

Mục lục1 Bài toán biểu diễn số nguyên thành tổng các bình phương 1 1.1 Vấn đề biểu diễn một số nguyên thành tổng các lũy thừa.. 3 2 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng của một số chẵn các b

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa họcPGS.TS NÔNG QUỐC CHINH

THÁI NGUYÊN-2015

Mục lục

1 Bài toán biểu diễn số nguyên thành tổng các bình phương 1

1.1 Vấn đề biểu diễn một số nguyên thành tổng các lũy thừa 1

1.2 Một số kết quả của bài toán 3

2 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng của một số chẵn các bình phương 12 2.1 Tổng các bình phương của 2 số nguyên 12

2.2 Tổng các bình phương của 4 số nguyên 19

2.3 Tổng các bình phương của 6 số nguyên 25

2.4 Tổng các bình phương của 8 số nguyên 32

2.5 Tổng các bình phương của 10 số nguyên 39

Mở đầu

Bài toán biểu diễn một số nguyên n dưới dạng tổng của k số nguyênbình phương là một trong những vấn đề rất lý thú trong lý thuyết số.Các nhà số học như Fermat, Lagrange, đều quan tâm tới việc giảiquyết của bài toán này và đều gặp khó khăn, rồi lại âm thầm với cáckhó khăn đó của mình

Năm 1632, Albert Girard là người đầu tiên đưa ra nhận xét rằng: Mỗi

số nguyên tố lẻ bất kì mà đồng dư với 1 theo modul 4 đều được biểudiễn dưới dạng tổng của hai số chính phương Fermat là người đưa

ra chứng minh đầu tiên Bài toán này Fermat đã thông báo điều nàytrong một lá thư gửi cho Marin Mersenne vào ngày 25 tháng 4 năm1640

Lagrange đã giải quyết được bài toán mỗi số nguyên không âm bất kỳluôn biểu diễn thành tổng các bình phương của 4 số nguyên Nghĩa

là ∀n ≥ 0, tồn tại các số nguyên x1, x2, x3, x4 sao cho:

n = x21 + x22 + x23 + x24

Tổng quát hơn, bài toán sau đây do Waring đề xuất đã được coi làmột trong những bài toán nổi tiếng nhất của lý thuyết số Bài toán cónội dung như sau: Với mỗi số nguyên k ≥ 2, tồn tại số nguyên dương

h thỏa mãn mỗi số nguyên không âm bất kỳ đều có thể biểu diễnthành tổng của đúng h hạng tử là lũy thừa bậc k của các số nguyên

Số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được kí hiệu là g(k)

Năm 1909, nhà Toán học Đức đã chứng minh bài toán Waring đốivới mọi lũy thừa bậc k Đặc biệt năm 1943, nhà Toán học Nga làYu.V.Linnick đã để lại chúc thư, trong đó có đưa ra cách chứng minhbài toán Waring mà chỉ cần sử dụng đến kiến thức cơ bản của lýthuyết số

Trong khuôn khổ của luận văn này chỉ xét trường hợp khi k = 2.Nghĩa là chỉ xét bài toán biểu diễn số tự nhiênn cho trước dưới dạngtổng các bình phương của các số nguyên không âm.

Mục tiêu của luận văn là trình bày những kết quả nghiên cứu củaviệc biểu diễn một số tự nhiên n thành tổng của một số chẵn bìnhphương của các số nguyên và một số ví dụ ứng dụng trong toán sơcấp

Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Bài toán biểu diễn số nguyên thành tổng các bình phương.Chương 2: Biểu diễn số tự nhiên thành tổng của một số chẵn các bìnhphương

Để hoàn thành luận văn, tác giả xin bầy tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tớiPGS.TS Nông Quốc Chinh, người Thầy hướng dẫn đã động viên vàgiúp đỡ tôi trong quá tình viết và hoàn thành luận văn Tôi cũng xinbầy tỏ lòng biết ơn của mình tới các Thầy Cô trong trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp đỡ tôi trong quátrình học để tôi hoàn thành khóa học

Thái Nguyên, ngày 01 tháng 6 năm 2015

Đoàn Quang Vụ

Lagrang đã giải quyết được bài toán mỗi số nguyên không âm bất kỳluôn biểu diễn thành tổng các bình phương của 4 số nguyên Nghĩa

là ∀n ≥ 0, tồn tại các số nguyên x1, x2, x3, x4 sao cho:

n = x21 + x22 + x23 + x24

Tương tự, Wieferich đã chứng minh được rằng mỗi số nguyên đềubiểu diễn được thành tổng các lập phương của 9 số nguyên Nghĩa làvới mỗi số nguyên không âm luôn tồn tại các số nguyên x1, x2, , x9

sao cho:

n = x31 + x32 + x33 + x34 + x35 + x36 + x37 + x38 + x39

Tổng quát hơn, bài toán sau đây do Waring đề xuất đã được coi làmột trong những bài toán nổi tiếng nhất của lý thuyết số Bài toán cónội dung như sau: Với mỗi số nguyên k ≥ 2, tồn tại số nguyên dương

h thỏa mãn mỗi số nguyên không âm bất kỳ đều có thể biểu diễnthành tổng của đúng h hạng tử là lũy thừa bậc k của các số nguyên

Số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được kí hiệu là g(k)

Nhận xét, do 7 không thể viết thành tổng các bình phương của 3 sốnguyên, và theo định lý Lagrang ta có: g(2) = 4 Tương tự, do số 23

không thể biểu diễn thành tổng các lập phương của 8 số nguyên, nêntheo định lý Wieferich ta có g(3) = 9

Năm 1909, nhà Toán học Đức đã chứng minh bài toán Waring đốivới mọi lũy thừa bậc k Đặc biệt năm 1943, nhà Toán học Nga làYu.V.Linnick đã để lại chúc thư, trong đó có đưa ra cách chứng minhbài toán Waring mà chỉ cần sử dụng đến kiến thức cơ bản của lýthuyết số

Trong khuôn khổ của luận văn này chỉ xét trường hợp khi k = 2.Nghĩa là chỉ xét bài toán biểu diễn số tự nhiênn cho trước dưới dạngtổng các bình phương của các số nguyên không âm

Với mỗi số nguyên dương s, và số nguyên không âm n, ta kí hiệu

Rs(n) là các bộ sắp thứ tự s số nguyên x1, x2, , xs thỏa mãn :

n = x21 + x22 + + x2s

Các số nguyên xi có thể dương, âm hoặc bằng 0

Với mọi s ≥ 1, dễ nhận thấy

Rs(0) = 1

Vì chỉ có duy nhất một dạng biểu diễn 0 = 02 + + 02

Biểu diễn số nguyên n dưới dạng tổng của s số nguyên bình phương

là bài toán quan trọng trong lý thuyết số, nhưng lời giải của nó khi s

chẵn luôn liên quan tới tổng của các ước của n

Kí hiệu, d và δ là các số nguyên dương và P

d/n và P

n=dδ biểu thịtổng được tính trên các ước dương của n

Ta viết số nguyên dương n dưới dạng n = 2am, với a ≥ và m là sốlẻ

Ta sẽ chứng minh các công thức sau:

1.2 Một số kết quả của bài toán

Định lý 1.1 Với mọi số nguyên dương s và n ta có:

Bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 1.2 Tích của hai số mà mỗi số là tổng của hai bình phươngcủa hai số nguyên không âm cũng là tổng bình phương của hai sốkhông âm

Chứng minh Giả sử m = a2+ b2, n = c2+ d2, a, b, c, d ∈ Z Khi đó

Vì (q + 1)2 > p > q2 nên theo nguyên lý Dirichle tồn tại các cặp

(x1, y1), (x2, y2) sao cho: ax1 + y1 ≡ ax2 + y2 (mod p)

hay a(x1 − x2) + (y1 + y2) chia hết cho p

số nguyên tố p có dạng 4k + 1 có thể biểu diễn được thành tổng cácbình phương của hai số nguyên dương, theo bổ đề 1.3 ta có

Điều kiện cần Giả sử n = a2 + b2, a, b ∈ Z ta sẽ chứng minh các

tj chẵn với mọi j bằng phương pháp phản chứng Giả sử tồn tại qj

nguyên tố dạng 4k + 3 là ước của n có số mũ tj lẻ Khi đó n =

u 2 +dδ=n

F (δ − 2u, u + d, 2u + 2d − δ)

Chương 2

Biểu diễn số tự nhiên thành tổng

của một số chẵn các bình phương

2.1 Tổng các bình phương của 2 số nguyên

Ta kí hiệu S(n) là tập tất cả các bộ ba (u, d, δ) các số nguyên thỏa

mãn: d, δ ≥ 1 và u2 + dδ = n

Nếu k1 và k2 là các số nguyên lẻ thì hàm số f (x, y) = xk1

1 yk2

1 là hàm

lẻ với mọi biến số x, y

Từ đồng nhất thức Liouvill người ta đã chứng minh được hệ quả

sau: Cho f (x, y) là hàm lẻ đối với các biến x, y Khi đó, với mỗi số

Nhận xét: Nếu (u, d, δ) ∈ S thì (−u, d, δ) ∈ S từ đó suy ra nếu

k là một số nguyên lẻ và g(d, δ) là một hàm tùy ý thì

X

u 2 +dδ=n δ≡1( mod 2)

Khi đó

X

u< √ n

với mọi số nguyên dương n.

Chứng minh Khi p ≡ 3 (mod 4), có p = 4r + 3(r ∈ N+.

Chứng tỏ rằng d1(n) ≥ d3(n) với mọi số nguyên dương n

*) Nếu một pi nào đó là 2, và ti ≥ 1 thì d là số chẵn Khi đó

d ≡ 2(mod4) hoặc d ≡ 0(mod4), khi đó d sẽ không xuất hiện trongtổng d1(n) và trong tổng xác định d3(n)

*) Giả thiết rằng tất cả các pi đều là số nguyên tố lẻ - Ta dễ dàngchứng minh được tích của hai số đồng dư với 1 theo (mod 4) là một

số đồng dư với 1 theo (mod 4)

- Và tích của hai số dương đồng dư với 3 theo (mod 4) là đồng dư với

1 theo (mod 4)

- Từ dó suy ra tích của k số dương đồng dư với 1 thao (mod 4) làđồng dư với 1 theo (mod 4), tích của k (chẵn) số oogf dư với 3 theo(mod 4) cũng đồng dư với 1 theo (mod 4)

*) Từ nhận xét trên ta thấy: Giả sử bắt đầu từ pi+1, , pr là các sốnguyên tố thỏa mãn pk ≡ 3(mod4)

Cho các số mũ của pi+1, , pr lần lượt nhận các giá trị từ 0 đến

αk thì tổng tất cả các số mũ của pti+1

i+1, , ptr

r với (0 ≤ tk ≤ αk) sẽ cónhiều nhất (một nửa) số mũ lẻ (vì tổng ti+1+ + tr hoặc chẵn, hoặclẻ)

Và vì vậy số các ước d của n thỏa mãn ≡ 1(mod4) luôn nhiều hơnhoặc bằng số các ước d của n ≡ 3(mod4)

Do đó d1(n) ≥ d3(n) với mọi số nguyên dương n

Bài toán được chứng minh

2.2 Tổng các bình phương của 4 số nguyên

Ở phần này chúng ta sẽ chứng minh công thức Jacobi xác định sốbiểu diễn của một số nguyên dưới dạng tổng các bình phương của 4

Chứng minh Theo định lý (1.4), nếuF (x, y, z)là một hàm với biến

số,x, y, z nguyên thỏa mãn là hàm lẻ đối với x và là hàm chẵn đối vớicặp (y, z) thì ta có:

là hàm lẻ với bất kì biến số x và là hàm chẵn với cặp biến số (y, z).

Nếu n chẵn thì n = 2am, với a ≥ 1 và m là số lẻ Mọi ước của n cóthể được viết dưới dạng 2bd với 0 ≤ b ≤ a và m = dδ Có

2.3 Tổng các bình phương của 6 số nguyên

Ta có thể tìm được hàm số Φ(n) thỏa mãn đẳng thức sau

Hàm số f (x, y) = x3y là hàm lẻ đối với biến số x, và đối với biến y

Do vậy ứng dụng biểu thức, áp dụng công thức (2.1) cho k1 = 3 và

k2 = 1 nhận được vế trái của đẳng thức là

Nếu n = l2, vế phải của đồng nhất thức là

Nhân với 4 cả hai vế ta có:

Điều phải chứng minh.

Định lý 2.4 Với mọi số nguyên dương n, ta có

Điều phải chứng minh

Ví dụ 2.6 Tìm tất cả các dạng biểu diễn của 5 thành tổng các bình

phương của 6 số nguyên.

Như vậy 5 có 312 cách biểu diễn thành tổng các bình phương của 6

số nguyên cụ thể như trên

Ví dụ 2.7 Tìm tất cả các dạng biểu diễn của 6 thành tổng các bìnhphương của 6 số nguyên

Như vậy 6 có 312 cách biểu diễn thành tổng các bình phương của 6

số nguyên cụ thể như trên

Ví dụ 2.8 Tìm tất cả các dạng biểu diễn của 10 thành tổng của 6 sốnguyên bình phương

2.4 Tổng các bình phương của 8 số nguyên

Định lý 2.5 Cho n là một số nguyên dương, nếu n lẻ thì

tiên của vế trái

trái của đồng nhất thức Liouville là

với mọi số nguyên dương n Nếu n không phải là số chính phương,thì

X

- Có 23.C85.C32 = 1344 bộ tám số mà có 1 số nguyên xi là (±2)2, 2 số

là (±1)2, và 5 số là 02

2.5 Tổng các bình phương của 10 số nguyên

Chúng ta sẽ xác định số lượng các cách biểu diễn một số nguyên thànhtổng các bình phương của mười số nguyên

Định lý 2.6 Cho n là số nguyên dương, n = 2am, khi a ≥ 0 và m

X

n=v 2 +w 2

(v4 − 3v2w2)

(−1)(δ−1)/2(δ − 2u)5(u + d)

u2+dδ=n δ≡1( mod 2)

u 2 +dδ=n δ≡1( mod 2)

(−1)(δ−1)/2d2u2(n − 3u2)

và

X

u2+dδ=n δ≡1( mod 2)

(−1)(δ−1)/2δ2u2(n − 3u2)

Nhân (2.16) với 16, và cộng các vế tương ứng với phương trình (2.14), sau

đó trừ đi phương trình (2.15), nhân với 40

Kí hiệu P (n) là tổng đầu tiên trong phương trình trên và kí hiệu Q(n)

là tổng thứ hai tương ứng Suy ra

P (n) − {25n}n=l2 + Q(n) +



64n33

của hai số nguyên bình phương:

R2(n) = 4 X

δ|n δ≡1( mod 2)

Khi n = 2am, với m lẻ và a ≥ 0 Biểu diễn n = dδ với δ lẻ nếu và chỉ nếu

d có dạng d = 2ad1, với d1 là ước của m, khi đó

Điều phải chứng minh

Ví dụ 2.11 Tìm tất cả các dạng biểu diễn của 5 thành tổng các bìnhphương của 10 số nguyên

Chứng minh

Với n = 5 = 20.5 khi đó a = 0, m = 5

Như vậy có 8424 cách biểu diễn số 5 thành tổng các bình phương của

10 số nguyên, hay nói cách khác có 8424 bộ 10 số nguyên sắp thứ tự

Như vậy có 16320 cách biểu diễn số 6 thành tổng các bình phương của

10 số nguyên, hay nói cách khác có 16320 bộ sắp thứ tự 10 số nguyên

Kết luận

Luận văn đã trình bày tóm lược lại công trình của Nathanson về vấn đềbiểu diễn số tự nhiên thành tổng của một số chẵn các bình phương Cho n

là một số nguyên dương bất kỳ, luận văn đã nêu và chứng minh các định

lý để xác định công thức tínhR2(n), R4(n), R6(n), R8(n), R10(n) Hay nóicách khác nội dung của luận văn đã trình bày các chứng minh cho số cáchbiểu diễn một số nguyên n bất kỳ thành tổng các bình phương của s sốnguyên với s = 2, 4, 6, 8, 10 Và nêu một số ví dụ minh họa

Với khuôn khổ, thời gian và năng lực còn nhiều hạn chế cho nên còn rấtnhiều câu hỏi mở chưa được giải đáp Hy vọng trong thời gian ngắn nhất,với sự giúp đỡ của các thầy cô tôi sẽ trả lời được những thắc mắc đó

Tài liệu tham khảo

[1] Nathanson M.B., Elementary methods in number theory, GraduateTexts in Mathematics, Vol 195, 423-454

[2] Phan Huy Khải (2004), Các bài toán cơ bản của số học, NXB Giáodục

[3] Hà Huy Khoái (2008), Số học, NXB Giáo dục

[4] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng, Đặng HuyRuận (2008), Một số vấn đề số học chọn lọc, NXB Giáo dục

[5] Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Văn Ngọc, Vũ Kim Thủy (2010), Bàigiảng số học, NXB Giáo dục