Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và phân tích hữu tỷ của hàm phân hình phức
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM §µO Anh tuÊn NGHIỆM PHÂN HÌNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI HỆ SỐ KHÁC HẰNG VÀ PHÂN TÍCH HỮU TỶ CỦA HÀM PHÂN HÌNH PHỨC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH Hà Huy Khoái Thái Nguyên- Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 LỜI NÓI ĐẦU Trong những năm gần đây, lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna là một trong những hướng nghiên cứu cơ bản của giải tích phức và vẫn đang thu hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà toán học trên khắp thế giới. Sự phân tích nghiệm phân hình cuả phương trình hàm là một trong những vấn đề quan trọng của giải tích phức, có nhiều ứng dụng trong lý thuyết hệ động lực. Mục đích của luận văn là trình bày cơ sở lý thuyết Nevanlinna và áp dụng tìm nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và sự phân tích hữu tỷ của hàm phân hình phức. Sau quá trình nghiên cứu, tôi đã hoàn thành luận văn với đề tài: “ Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và phân tích hữu tỷ của hàm phân hình phức”. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương I: Trình bày định nghĩa các hàm đặc trưng, hai định lý cơ bản của Nevanlinna, Chương II: Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và phân tích hữu tỷ của hàm phân hình. Ngoài kiến thức cơ sở, luận văn được trình bày dựa theo hai bài báo sau : 1/ P. Li and C C. Yang, Meromorphic solutions of functional equations with nonconstant coefficients. Proc. Japan Acard., 82, ser. A (2006). 2/ Alain Escassut and E. Mayerhofer, Rational Decomposition of Complex Meromorphic Function. Complex Variables, Vol.49, No. 14,15 November 2004, pp. 991-996 Kết quả này có được là nhờ sự hướng dẫn tận tình của GS. TSKH Hà Huy Khoái. Thầy không chỉ tận tình hướng dẫn mà còn động viên tôi trong suốt Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy! Đồng thời, em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng bảo vệ luận văn thạc sỹ đã tạo điều kiện thuận lợi để em vững tin hơn trong việc chuẩn bị bảo vệ luận văn của mình. Xin chân thành cảm ơn Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm - ĐHTN, Khoa Sau đại học của trường Đại học Sư phạm, khoa Toán cùng các thầy cô giáo đã tạo điều kiện tốt nhất cho em học tập cũng như nghiên cứu và hoàn thành luận văn của mình. Xin cảm ơn các anh, chị, các bạn học viên lớp cao học Toán-K17 Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cùng tôi trong suốt thời gian viết luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã cổ vũ, động viên tôi trong quá trình làm luận văn. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, vì vậy rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy, cô giáo, các bạn đồng nghiệp, các bạn học viên để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 CHƢƠNG I HAI ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA NEVANLINNA 1.1. Hàm phân hình Định nghĩa 1.1. Điểm a được gọi là điểm bất thường cô lập của hàm ()fz nếu hàm ()fz chỉnh hình trong một lân cận nào đó của a, trừ ra tại chính điểm đó. Điểm bất thường cô lập za của hàm ()fz được gọi là a) điểm bất thường khử được nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của ()fz khi z dần đến a. b) cực điểm của ()fz nếu lim ( ) za fz . c) điểm bất thường cốt yếu nếu không tồn tại lim ( ) za fz . Hàm ()fz chỉnh hình trong toàn mặt phẳng phức được gọi là hàm nguyên. Như vậy, hàm nguyên là hàm không có các điểm bất thường hữu hạn. Hàm ()fz được gọi là hàm phân hình trong miền D nếu nó là hàm chỉnh hình trong D, trừ ra tại một số điểm bất thường là cực điểm. Nếu D thì ta nói ()fz phân hình trên , hay đơn giản, ()fz là hàm phân hình. Nhận xét. Nếu ()fz là hàm phân hình trên D thì trong lân cận của mỗi điểm , ( )z D f z có thể biểu diễn được dưới dạng thương của hai hàm chỉnh hình. Với các phép toán cộng và nhân các hàm số thông thường trên lớp các hàm nguyên và phân hình, tập hợp các hàm nguyên sẽ tạo thành một vành và gọi là vành các hàm nguyên, kí hiệu là ()A . Tập hợp các hàm phân hình trên sẽ tạo thành một trường và gọi là trường các hàm phân hình, kí hiệu là ()M . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Định nghĩa 1.2. Điểm 0 z gọi là cực điểm cấp m>0 của hàm ()fz nếu trong lân cận của 0 z , thì hàm 0 1 ( ) ( ) () m f z h z zz , trong đó ()hz là hàm chỉnh hình trong lân cận của 0 z và 0 ( ) 0hz . Tính chất 1.1. Nếu ()fz là hàm phân hình trên D thì ()fz cũng là hàm phân hình trên D. Hàm ()fz và ()fz cũng có các cực điểm tại những điểm như nhau. Đồng thời, nếu 0 z là cực điểm cấp m>0 của hàm ()fz thì 0 z là cực điểm cấp m+1 của hàm ()fz . Nhận xét. Hàm ()fz không có quá đếm được các cực điểm trên D. Tính chất 1.2. Cho hàm ()fz chỉnh hình trong , điều kiện cần và đủ để ()fz không có các điểm bất thường khác ngoài cực điểm là ()fz là hàm hữu tỷ. 1.2. Công thức Poisson – Jensen Định lý 1.1. Giả sử ()fz là hàm phân hình trong hình tròn zR , 0 R , có các không điểm ( 1,2, , )aM ; các cực điểm ( 1,2, , )bN trong hình tròn đó (mỗi không điểm hoặc cực điểm được tính một số lần bằng bội của nó). Khi đó, nếu ;(0 ), ( ) 0, i z re r R f z ; ta có : 2 22 22 0 1 log ( ) log (Re ) 2 2 ( ) i Rr f z f d R Rrcos r 22 11 () () log log . MN R z a R z b R a z R b z Hệ quả 1.1. Trong những giả thiết của Định lý, đồng thời nếu 0,fz , ta có : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 2 11 0 1 log (0) log (Re ) log 2 MN i a b f f d RR . Khi 00f hoặc công thức trên thay đổi chút ít. Thật vậy, nếu 00f hoặc 0f hàm ()fz có khai triển tại lân cận 0z dạng : ( )f z C z . Xét hàm R f z z z . Ta thấy 0, , đồng thời khi Re , i f . Từ đó ta có : 2 11 0 1 log log Re log log log 2 MN i v v a b C f d R RR . Nhận xét. Giả sử ()fz là hàm phân hình trong một miền G nào đó. Ta gọi cấp của hàm ()fz tại điểm 0 zG , kí hiệu 0 z ord f , là số nguyên m sao cho hàm 0 m gz fz zz chỉnh hình và khác không tại 0 z . Ví dụ 1.1. (1) 0 z là 0 điểm cấp k của 0 0 z f z ord f k k . (2) 0 z là cực điểm cấp k của 0 z f z ord f k . (3) Tại 0 z hàm ()fz chỉnh hình, khác 0 0 0 z ord f . Công thức Poison – Jensen có thể viết dưới dạng : 2 2 2 2 2 0 1 ( ) log log Re log 2 Re i i Rz Rz f z f d ord f Rz z , trong đó tổng lấy theo mọi trong hình tròn R . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 1.3. Hàm đặc trƣng – Định lý cơ bản thứ nhất Định nghĩa 1.3. Giả sử x là số thực dương, ta định nghĩa : log max 0;logxx . Ta có : 1 log log logxx x , vì x>1 : log 0 log logx x x 11 log 0 log 0 xx . 0 1:log 0 log 0x x x 1 1 1 log 0 log log logx x x x . Như vậy, ta có 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 log Re log Re log 2 2 2 Re ii i f d f d d f . Đặt 2 0 1 , log Re 2 i m R f f d . Giả sử f có các cực điểm ( 1, )bN (mỗi cực điểm được tính một số lần bằng bậc của nó), và các không điểm ( 1, )aM trong ; ( , )z R n t f là số cực điểm của f trong zt . Đặt 1 0 , log ( , ) R N R dt N R f n t f bt . Như vậy, 1 0 11 , log , R M R dt N R n t f f t a . Khi đó công thức Poisson – Jensen viết dưới dạng : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 11 log 0 , , , ,f m R f m R N R f N R ff 11 , , , , log 0m R f N R f m R N R f ff . Đặt , , ,T R f m R f N R f , (1.1) Thì 1 , , log 0T R f T R f f . (1.2) ,T R f được gọi là hàm đặc trưng Nevanlinna của f. Tính chất 1.3 (Tính chất hàm đặc trƣng). Giả sử 1 , , l f z f z là các hàm phân hình, ta có các bất đẳng thức sau đây (1) 11 , , log ll kk kk m r f z m r f l . (2) 1 1 ,, l l kk k k m r f z m r f . (3) 11 ,, ll kk kk N r f N r f . (4) 1 1 ,, l l kk k k N r f N r f . (5) 11 , , log ll kk kk T r f T r f l . (6) 1 1 ,, l l kk k k T r f T r f . Đặc biệt với mọi hàm phân hình ()fz và với mọi aC ta có : , , log log2T r f T r f a a . (1.3) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Định lý 1.2. (Định lý cơ bản thứ nhất) Giả sử ()fz là hàm phân hình trong hình tròn , 0,z R R a là số phức tuỳ ý. Khi đó ta có : 11 , , , log 0 ,m R N R T R f f a a R f a f a , trong đó , log log2a R a . Nhận xét. Từ định nghĩa các hàm Nevanlinna ta thấy rõ ý nghĩa của Định lý cơ bản thứ nhất. Hàm đếm 1 ,NR fa được cho bởi công thức : 1 1 , log M R NR fa a , trong đó a là các nghiệm của phương trình f z a trong hình tròn zR . Hàm xấp xỉ 2 0 1 1 1 , log 2 e i m R d fa f R a . Như vậy, nếu f nhận càng nhiều giá trị gần a (tức là e i f R a nhỏ) thì hàm m càng lớn. Như vậy có thể nói tổng trong vế trái của Định lý cơ bản thứ nhất là hàm “đo độ lớn của tập hợp nghiệm phương trình f z a ” và “độ lớn tập hợp tại đó fz nhận giá trị gần bằng a”. Trong khi đó vế phải của đẳng thức trong Định lý cơ bản thứ nhất có thể xem là không phụ thuộc a. Vì thế Định lý cơ bản thứ nhất cho thấy rằng hàm phân hình fz nhận mỗi giá trị a (và giá trị gần a) một số lần như nhau. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 1.4. Định lý 1.4. (Định lý cơ bản thứ hai) Giả sử r là một số dương, ()fz là hàm phân hình trong ; 12 , , q a a a là các số phức phân biệt. Khi đó ta có: 1 1 ( 1) , ( , ) , ( ) ( ) q v v q T r f N r a N r N r S r , hoặc 1 1 ( 1) , ( , ) ( , ) ( ) q v v q T r f N r f N r S r fa . trong đó: ' 1 ' 1 ( ) , 2 , ,N r N r N r f N r f f . ( ) log( , log )S r T r f r . ( , ) log r N r f b ; tổng lấy theo mọi cực điểm b của hàm 1 fa , br ; đồng thời mỗi cực điểm chỉ được tính một lần. 1.5. Số khuyết Định nghĩa 1.4. Giả sử ()fz là hàm phân hình trong , a Ta đặt: ( , ) ( , ) ( ) ( , ) lim 1 lim ;; m r a N r a a a f T r f T r f . với ( , ) log r N r f b ; tổng lấy theo mọi cực điểm b của hàm 1 fa , br ; đồng thời mỗi cực điểm chỉ được tính một lần. ( , ) ( ) ( , ) 1 lim ; N r a a a f T r f . ( , ) ( , ) ( ) ( , ) lim ; N r a N r a a a f T r f . [...]... khuyết ………………………………………………………….….9 Chương II :Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và phân tích hữu tỷ của hàm phân hình phức ………… … ….11 2.1 Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng .….11 2.2 Phân tích hữu tỷ của hàm phân hình phức ……… ….… .… ….16 KẾT LUẬN …………………………………………………………………24 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………… 25 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái... VỚI HỆ SỐ KHÁC HẰNG VÀ PHÂN TÍCH HỮU TỶ CỦA HÀM PHÂN HÌNH 2.1 Nghiệm phân hình của phƣơng trình hàm với hệ số khác hằng Định nghĩa 2.5 + Giả sử f ( z ) là hàm phân hình khác hằng số trên , ta định nghĩa S r, f là một đại lượng xác định thoả mãn S r, f o(T (r, f )) khi r có thể trừ đi một tập E của r có độ đo hữu hạn + Giả sử aj là hàm phân hình khác không, nghiệm phân hình f của phương. .. điểm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 KẾT LUẬN Luận văn trình bày cơ sở lý thuyết Nevanlinna và áp dụng để tìm nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và sự phân tích hữu tỷ của hàm phân hình phức Cụ thể là : + Trình bày một số điều kiện để phương trình hàm không có nghiệm phân hình khác không + Trình bày lại một số lớp phương trình. .. trong đó h là hàm phân hình tuỳ ý sao cho a(z) là hàm nhỏ của h Nếu như hàm nhỏ a(z) trong phương trình (2.12) được thay thế bởi ae khi đó ta có định lý sau : Định lý 2.11 Giả sử rằng a(z) là hàm phân hình khác hằng, P(z) là đa thức có bậc là n với công thức (2.11) Nếu k>1 và n>4k+2 thì với mọi hàm nguyên thì phương trình sau : P(f) = ae P(g) (2.14) không có cặp nghiệm phân hình f và g chấp nhận... mãn a là một hàm nhỏ đối với f và g Các Định lý 2.8, 2.9, 2.10, 2.11 nói về điều kiện để phương trình hàm không có nghiệm phân hình chấp nhận được khác không , chứng minh chi tiết của các định lý có thể xem ở [6] Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 2.2 Sự phân tích hữu tỷ của hàm phân hình Định nghĩa 2.6 Giả sử F A / B x với A, B x và gcd A,... a e2 z 2e z a ; g a e2 z e2 z a thoả mãn phương trình (2.12) đối với mọi hàm hữu tỉ khác hằng a Định lý 2.10 Giả sử trong phương trình (2.12) mà a(z) là hàm phân hình khác hằng, P(z) là một đa thức có bậc n có dạng : P( z) ( z z1 )n1 ( z z2 ) (2.13) trong đó z1 và z2 là những số phức phân biệt, khi đó mọi cặp nghiệm của phương trình (2.12) được viết dưới dạng : f z1 ( z2 z1... của phương trình hàm được gọi là nghiệm chấp nhận được nếu điều kiện T r , a j S r , f thoả mãn với mọi hệ số của phương trình + Hàm phân hình a a z là một hàm nhỏ của f nếu T r, a S r , f khi r Định lý 2.7 Giả sử ai, bi (i=1,2) và c là các hàm phân hình không đồng nhất không Giả sử n,m ( 2) là số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và n > 2m + 3 thì phương trình sau đây... a4 0 (2.9) không có nghiệm phân hình siêu việt f và g Định lý 2.8 Giả sử a1, a2, a3 là hàm phân hình và a1 0 hoặc a3 0 Nếu bộ ba số nguyên dương (n,m,k) thoả mãn k>1,mk(m+2)/(k – 1) hoặc n2k+1 Khi đó tồn tại các hàm không phân hình f và g với a là các hàm nhỏ của chúng, thoả mãn phương trình sau : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 P(f) = a P(g) (2.12) Chú ý: Điều kiện n>2k+1 trong Định lý 2.9 là cần thiết Ví dụ 2.2 Giả sử P(z)= - 1 + z2 thì hàm f e2 z 2ae . hệ số khác hằng và sự phân tích hữu tỷ của hàm phân hình phức. Sau quá trình nghiên cứu, tôi đã hoàn thành luận văn với đề tài: “ Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và. lý cơ bản của Nevanlinna, Chương II: Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và phân tích hữu tỷ của hàm phân hình. Ngoài kiến thức cơ sở, luận văn được trình bày dựa. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 CHƢƠNG II NGHIỆM PHÂN HÌNH CỦA PHƢƠNG TRÌNH HÀM VỚI HỆ SỐ KHÁC HẰNG VÀ PHÂN TÍCH HỮU TỶ CỦA HÀM PHÂN