Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và phân tích hữu tỷ của hàm phân hình phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - §µO Anh tuÊn NGHIỆM PHÂN HÌNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI HỆ SỐ KHÁC HẰNG VÀ PHÂN TÍCH HỮU TỶ CỦA HÀM PHÂN HÌNH PHỨC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH Hà Huy Khoái Thái Nguyên- Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Trong năm gần đây, lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna hướng nghiên cứu giải tích phức thu hút quan tâm rộng rãi nhà toán học khắp giới Sự phân tích nghiệm phân hình cuả phương trình hàm vấn đề quan trọng giải tích phức, có nhiều ứng dụng lý thuyết hệ động lực Mục đích luận văn trình bày sở lý thuyết Nevanlinna áp dụng tìm nghiệm phân hình phương trình hàm với hệ số khác phân tích hữu tỷ hàm phân hình phức Sau trình nghiên cứu, hoàn thành luận văn với đề tài: “ Nghiệm phân hình phương trình hàm với hệ số khác phân tích hữu tỷ hàm phân hình phức” Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương I: Trình bày định nghĩa hàm đặc trưng, hai định lý Nevanlinna, Chương II: Nghiệm phân hình phương trình hàm với hệ số khác phân tích hữu tỷ hàm phân hình Ngoài kiến thức sở, luận văn trình bày dựa theo hai báo sau : 1/ P Li and C.-C Yang, Meromorphic solutions of functional equations with nonconstant coefficients Proc Japan Acard., 82, ser A (2006) 2/ Alain Escassut and E Mayerhofer, Rational Decomposition of Complex Meromorphic Function Complex Variables, Vol.49, No 14,15 November 2004, pp 991-996 Kết có nhờ hướng dẫn tận tình GS TSKH Hà Huy Khoái Thầy không tận tình hướng dẫn mà động viên suốt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy! Đồng thời, em xin chân thành cảm ơn thầy cô hội đồng bảo vệ luận văn thạc sỹ tạo điều kiện thuận lợi để em vững tin việc chuẩn bị bảo vệ luận văn Xin chân thành cảm ơn Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm ĐHTN, Khoa Sau đại học trường Đại học Sư phạm, khoa Toán thầy cô giáo tạo điều kiện tốt cho em học tập nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin cảm ơn anh, chị, bạn học viên lớp cao học Toán-K17 Đại học Sư phạm Thái Nguyên giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm suốt thời gian viết luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè cổ vũ, động viên trình làm luận văn Mặc dù cố gắng chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp ý kiến thầy, cô giáo, bạn đồng nghiệp, bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Thái Nguyên, tháng năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG I HAI ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA NEVANLINNA 1.1 Hàm phân hình Định nghĩa 1.1 Điểm a gọi điểm bất thường cô lập hàm f ( z ) hàm f ( z ) chỉnh hình lân cận a, trừ điểm Điểm bất thường cô lập z  a hàm f ( z ) gọi a) điểm bất thường khử tồn giới hạn hữu hạn f ( z ) z dần đến a b) cực điểm f ( z ) lim f ( z )   z a c) điểm bất thường cốt yếu không tồn lim f ( z ) z a Hàm f ( z ) chỉnh hình toàn mặt phẳng phức  gọi hàm nguyên Như vậy, hàm nguyên hàm điểm bất thường hữu hạn Hàm f ( z ) gọi hàm phân hình miền D   hàm chỉnh hình D, trừ số điểm bất thường cực điểm Nếu D   ta nói f ( z ) phân hình  , hay đơn giản, f ( z ) hàm phân hình Nhận xét Nếu f ( z ) hàm phân hình D lân cận điểm z  D, f ( z ) biểu diễn dạng thương hai hàm chỉnh hình Với phép toán cộng nhân hàm số thông thường lớp hàm nguyên phân hình, tập hợp hàm nguyên tạo thành vành gọi vành hàm nguyên, kí hiệu A ( ) Tập hợp hàm phân hình  tạo thành trường gọi trường hàm phân hình, kí hiệu M ( ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.2 Điểm z0 gọi cực điểm cấp m>0 hàm f ( z ) lân cận z0 , hàm f ( z )  h( z ) , h( z ) hàm chỉnh ( z  z0 ) m hình lân cận z0 h( z0 )  Tính chất 1.1 Nếu f ( z ) hàm phân hình D f ( z ) hàm phân hình D Hàm f ( z ) f ( z ) có cực điểm điểm Đồng thời, z0 cực điểm cấp m>0 hàm f ( z ) z0 cực điểm cấp m+1 hàm f ( z ) Nhận xét Hàm f ( z ) đếm cực điểm D Tính chất 1.2 Cho hàm f ( z ) chỉnh hình  , điều kiện cần đủ để f ( z ) điểm bất thường khác cực điểm f ( z ) hàm hữu tỷ 1.2 Công thức Poisson – Jensen Định lý 1.1 Giả sử f ( z ) hàm phân hình hình tròn  z  R , 0 R, có không a (  1,2, , M ) ; cực điểm điểm b (  1,2, , N ) hình tròn (mỗi không điểm cực điểm tính số lần bội nó) Khi đó, z  rei ;(0  r  R), f ( z)  0,  ; ta có : log f ( z )  2 2 i  log f (Re ) M R ( z  a )  1 R  a z   log R2  r d R  Rrcos(   )  r N   log  1 R( z  b ) R  b z Hệ 1.1 Trong giả thiết Định lý, đồng thời f  z   0,  , ta có : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn log f (0)  2 2 M a  1 R f (Re ) d   log  log i N   1 b R Khi f     công thức thay đổi chút Thật vậy, f    f  0   hàm f ( z ) có khai triển lân cận z  dạng : f  z   C z   (  ) R f  z  Xét hàm   z   z Ta thấy     0,  , đồng thời   Rei ,     f   Từ ta có : 2  log f  Re log C  2 i M a  1 R  d   log N   log v 1 bv  log R R Nhận xét Giả sử f ( z ) hàm phân hình miền G Ta gọi cấp hàm f ( z ) điểm z0  G , kí hiệu ord z0 f , số nguyên m cho hàm f  z   g  z  z  z0  m chỉnh hình khác không z0 Ví dụ 1.1 (1) z0 điểm cấp k f  z   ord z0 f  k  k   (2) z0 cực điểm cấp k f  z   ord z0 f  k (3) Tại z0 hàm f ( z ) chỉnh hình, khác  ord z0 f  Công thức Poison – Jensen viết dạng : log f  z   2 2  log f  Re i  R2  z Rei  z d   ord f  log R( z   ) , R2   z tổng lấy theo  hình tròn    R Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.3 Hàm đặc trƣng – Định lý thứ Định nghĩa 1.3 Giả sử x số thực dương, ta định nghĩa : log  x  max 0;log x Ta có : log x  log  x  log  , x x>1 : log x   log  x  log x 1 log   log   x x  x  1: log x   log x  1 log   log   log   log x x x x Như vậy, ta có 2 2 0 log f  Re  d  2 Đặt m  R, f   i 2 2 2 0 log f  Re  d  2  i 2  log  d f  Rei    log f  Re  d  i Giả sử f có cực điểm b (  1, N ) (mỗi cực điểm tính số lần bậc nó), không điểm a (  1, M )  z  R; n(t , f ) số cực điểm f  z  t N R R dt Đặt N  R, f    log   n(t , f ) b t  1 R  1 M   dt R   n  t,  Như vậy, N  R,    log a  f  t  f   1 Khi công thức Poisson – Jensen viết dạng : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  1  1 log f    m  R, f   m  R,   N  R, f   N  R,   f   f   1  1  m  R, f   N  R, f   m  R,   N  R,   log f    f   f  Đặt T  R, f   m  R, f   N  R, f  , (1.1)  1 Thì T  R, f   T  R,   log f    f  (1.2) T  R, f  gọi hàm đặc trưng Nevanlinna f Tính chất 1.3 (Tính chất hàm đặc trƣng) Giả sử f1  z  , , fl  z  hàm phân hình, ta có bất đẳng thức sau  l  l (1) m  r ,  f k  z     m  r , f k   log l  k 1  k 1  l  l (2) m  r ,  f k  z     m  r , f k   k 1  k 1 (3)  l  l N  r,  fk    N  r, fk   k 1  k 1 (4)  l  l N  r,  fk    N  r, fk   k 1  k 1 (5)  l  l T  r ,  f k   T  r , f k   log l  k 1  k 1 (6)  l  l T  r ,  f k   T  r , f k   k 1  k 1 Đặc biệt với hàm phân hình f ( z ) với a  C ta có : T  r , f   T  r , f  a   log  a  log Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.3) http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 1.2 (Định lý thứ nhất) Giả sử f ( z ) hàm phân hình hình tròn  z  R, R  0, a số phức tuỳ ý Khi ta có :     m  R,  N  R,    T  R, f   log f    a    a, R  , f  a f  a       a, R   log  a  log Nhận xét Từ định nghĩa hàm Nevanlinna ta thấy rõ ý nghĩa Định lý   thứ Hàm đếm N  R,  cho công thức : f  a     M R N  R,   log ,  a  f  a   1 a nghiệm phương trình f  z   a hình tròn z  R   Hàm xấp xỉ m  R,   f  a  2 2   log f  R ei  a  d Như vậy, f nhận nhiều giá trị gần a (tức f  R ei  a  nhỏ) hàm m lớn Như nói tổng vế trái Định lý thứ hàm “đo độ lớn tập hợp nghiệm phương trình f  z   a ” “độ lớn tập hợp f  z  nhận giá trị gần a” Trong vế phải đẳng thức Định lý thứ xem không phụ thuộc a Vì Định lý thứ cho thấy hàm phân hình f  z  nhận giá trị a (và giá trị gần a) số lần Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.4 Định lý 1.4 (Định lý thứ hai) Giả sử r số dương, f ( z ) hàm phân hình  ; a1, a2 , aq số phức phân biệt Khi ta có: q (q  1)T  r , f    N (r , av ) N  r ,    N1 (r )  S (r ) , v 1 q (q  1)T  r , f   N (r , f )   N (r , v 1 )  S (r ) f  av đó:  1 N1 (r )  N  r , '   N  r , f   N  r , f '   f  S (r )  log(T  r, f   log r ) N (r , f )   log r ; tổng lấy theo cực điểm b hàm b , b  r ; đồng thời cực điểm tính lần f a 1.5 Số khuyết Định nghĩa 1.4 Giả sử f ( z ) hàm phân hình  , a  Ta đặt:  (a )   (a, f )  lim với N (r , f )   log m( r , a ) N (r , a)   lim T  r; f  T  r; f  r ; tổng lấy theo cực điểm b hàm , b r; b f a đồng thời cực điểm tính lần (a)  (a, f )   lim  (a)   (a, f )  lim Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên N (r , a) T  r; f  N (r , a )  N (r , a ) T  r; f  http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... dụng lý thuyết hệ động lực Mục đích luận văn trình bày sở lý thuyết Nevanlinna áp dụng tìm nghiệm phân hình phương trình hàm với hệ số khác phân tích hữu tỷ hàm phân hình phức Sau trình nghiên... Chương I: Trình bày định nghĩa hàm đặc trưng, hai định lý Nevanlinna, Chương II: Nghiệm phân hình phương trình hàm với hệ số khác phân tích hữu tỷ hàm phân hình Ngoài kiến thức sở, luận văn trình. .. hình phức Sau trình nghiên cứu, hoàn thành luận văn với đề tài: “ Nghiệm phân hình phương trình hàm với hệ số khác phân tích hữu tỷ hàm phân hình phức Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung,