Lý thuyết nevanlinna và ứng dụng nghiên cứu phương trình hàm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - MỞ ĐẦU Vấn đề phân tích hàm phân hình, hàm nguyên vấn đề quan trọng lý thuyết hàm giải tích phức, có nhiều ứng dụng lý thuyết hệ động lực Trong năm gần đây, kết công cụ lý thuyết Nevanlinna áp dụng rộng rãi vào toán phân tích hàm LÝ ANH TIẾN nguyên hàm phân hình Mục đích luận văn trình bày sở lý thuyết Nevanlinna, đặc biệt phần liên quan đến toán phân tích hàm phân hình trình bày LÝ THUYẾT NEVANLINNA VÀ ỨNG DỤNG NGHIÊN CỨU PHƯƠNG TRÌNH HÀM số kết gần lý thuyết phân tích hàm nguyên hàm phân hình Nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Cơ sở lý thuyết Nevanlinna, chương trình bày Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 định lý bản, quan hệ số khuyết số ví dụ ứng dụng Chương 2: Phương trình hàm P ( f )  Q (g ) , chương trình bày tồn nghiệm f , g phương trình hàm P ( f )  Q (g ) , LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC P ,Q đa thức thuộc [z ] Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới GS-TSKH Hà Huy Khoái, người thầy tận tình dạy bảo, hướng dẫn tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH Hà Huy Khoái Tác giả xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giáo trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Đại học sư phạm Hà Nội, Viện toán học Việt Nam giảng dạy giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá học Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục đào tạo tỉnh Bắc Giang, trường THPT Lục Ngạn số Bắc Giang, gia đình bạn Thái nguyên 2008 đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt suốt trình tác giả học tập hoàn thành luận văn Thái Nguyên tháng năm 2008 gọi vành hàm nguyên, kí hiệu  () Tập hợp hàm phân hình CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT NEVANLINNA tạo thành trường gọi trường hàm phân hình, kí hiệu  () 1.1.5 Định nghĩa Điểm z gọi cực điểm cấp m  hàm f (z ) lân cận z , hàm f (z )  1.1 Hàm phân hình 1.1.1 Định nghĩa Điểm a gọi điểm bất thường cô lập hàm f (z ) hàm f (z ) chỉnh hình lân cận a, trừ điểm 1.1.2 Định nghĩa Điểm bất thường cô lập z  a hàm f (z ) gọi a) Điểm bất thường khử tồn giới hạn hữu hạn f (z ) h (z ) , h (z ) hàm chỉnh (z  z )m hình lân cận z h (z )  1.1.6 Tính chất Nếu f (z ) hàm phân hình D f (z ) hàm phân hình D Hàm f (z ) f (z ) có cực điểm điểm Đồng thời, z cực điểm cấp m  hàm f (z ) z cực điểm cấp m  hàm f (z ) z dần đến a * Nhận xét Hàm f (z ) đếm cực điểm D b) Cực điểm f (z ) lim f (z )   z a c) Điểm bất thường cốt yếu không tồn lim f (z ) z a 1.1.3 Định nghĩa Hàm f (z ) chỉnh hình toàn mặt phẳng phức  1.1.7 Tính chất Cho hàm f (z ) chỉnh hình  , điều kiện cần đủ để f (z ) điểm bất thường khác cực điểm f (z ) hàm hữu tỷ gọi hàm nguyên Như vậy, hàm nguyên hàm điểm bất thường hữu hạn 1.1.4 Định nghĩa Hàm f (z ) gọi hàm phân hình miền D   hàm chỉnh hình D, trừ số bất thường cực điểm Nếu D   ta nói f (z ) phân hình  , hay đơn giản, f (z ) hàm phân hình * Nhận xét Nếu f (z ) hàm phân hình D lân cận điểm z  D , f (z ) biểu diễn dạng thương hai hàm chỉnh hình Với phép toán cộng nhân hàm số thông thường lớp hàm nguyên phân hình, tập hợp hàm nguyên tạo thành vành 1.2 Định lý thứ log f (0)  1.2.1 Công thức Poisson – Jensen 2  2 log f (R ei ) d Định lý: Giả sử f (z )  hàm phân hình hình tròn  z  R  với *Với z tuỳ ý, xét ánh xạ bảo giác biến   R thành w  biến  R   Giả sử a  (   1,2, , M ) không điểm, không điểm   z thành w  Đó ánh xạ kể số lần bội nó, b (v  1,2, , N ) cực điểm w f hình tròn đó, cực điểm kể số lần bội Khi z  r e i , (0  r  R ) , f (z )  0; f (z )   thì: log f (z )  2  2   R tương ứng với w  Trên   R , ta có: log w  log R2  r log f (Re ) d R  2Rr cos(   )  r i M   log  1 R (z  a  ) R  a z N   log v 1 R (z  bv ) R  bvz (1.1) { z  R} Khi ta cần chứng minh  2 log f (z )  Mặt khác R r log f (Re ) d R  2Rr cos(   )  r i (R  z )d dw d zd    w   z R  z  (R  z  )(  z ) (1.1a) *Trước hết ta chứng minh công thức z  , nghĩa cần chứng 2  2 log f (R ei ) d Do f (z ) không điểm cực điểm hình tròn nên hàm log f (z ) Do z  z  R suy log f (0)  2 i  z R log f (z ) dz  z 2 Lấy phần thực ta thu kết z   log f (Re i )d (3*) hàm chỉnh hình Như tích phân R2   z vế bên phải (3*) Kết hợp với (1*) (2*) ta có: (R  z )d log f ( )  2 i  R (R  z  )(  z ) log f (z )  Hơn nữa,   R ,   Re i , d  iRe id (R  z  )(  z )  R (R  re i (  ) )(Re i  re i ) = (2*) R2 R2 nằm vòng tròn  R nghĩa điểm z z   R , nên hàm log f ( ) chỉnh hình hình tròn Theo định lý Cauchy ta có: 2 d log f ( ) 2 i  R  z zd d log f ( )  log f ( ) R2 2 i  R R  z  2 i  R   z minh log f (0)  (1*) Do log f (z ) chỉnh hình z  R , theo định lý Cauchy ta có *Trường hợp Hàm f (z ) không điểm cực điểm log f (z )  2 R (  z )  log R  log(  z )  log(R  z  ), R2  z  Nên Chứng minh R (  z ) , R2  z  (1.2)  Re i R  2Rr cos       r  m  z không điểm m  z cực điểm Suy log f (z )  O (log )    kết hợp với (1.2) ta thu log f (z )  2  2 log f (Re i ) (R  r )d R  2Rr cos(   )  r 2 (1.3) Như log f (z )  2  2 log f (Re i )  (R  r )d R  2Rr cos      r 2 M đại lượng bị chặn Ta thấy O (log ).M      Đây điều cần chứng minh *Trường hợp  O (log ).M  ,   2  lấy phần thực hai vế đẳng thức (1.3) ta Hàm f (z ) không điểm cực điểm bên { z  R} , có hữu hạn không điểm cực điểm cj biên   R , Với   nhỏ tuỳ ý, ta đặt: Cho   công thức (1.2a), tính tích phân thứ dần đến tích phân vế phải (1.3) , tích phân thứ hai dần đến Như ta thu công thức (1.3) trường hợp từ suy (1.1) D  { z  R} U j {   c j   } , *Trường hợp Bây ta xét trường hợp tổng quát, tức f (z ) có Gọi D chu tuyến D   cung lõm vào D Như không điểm cực điểm z  R đặt miền D bao gồm phần đường tròn   R với phần lõm y ( )  f ( ) vào đường tròn nhỏ bán kính  tâm không điểm cực điểm f (z )   R Giả sử z  re i miền z  R , tồn  đủ nhỏ N R (  bv )  R (  a  ) v 1 R  bv   1 R  a   M (1.4) Hiển nhiên hàm  ( ) không điểm cực điểm   R cho z  D Khi đó: Như áp dụng công thức (1.1a) cho hàm  ( ) Hơn (R  z )d log f (  ) 2 i D (R  z  )(  z ) log f (z )   1  2 i D \  2 i  nữa,   Re i thì: R (  a  ) (1.2a) Giả sử z không điểm hay cực điểm f (z ) z  R   R  a   R (  a  )  (  a  ) nên f ( )  y ( ) cung tròn ứng với z D Khi  , f (z )  c (z  z )m  R (  bv ) R (  bv )   1, R  bv  (  bv )  log y (z )  2  2 log y (Re i ) R2  r d = R  2Rr cos(   )  r 2  2  2 log f (Re i ) R2  r d R  2Rr cos(   )  r 2 2 (1.5) Mặt khác 2  log f (Re i )d  2  2 log  f (Re i )d  2  2 log  d f (Re i ) Ta đặt M R (z  a  )  1 R  a z log y (z )  log f (z )  log  R (z  a  ) N  log  v 1 R (z  bv ) R  bvz m (R, f )  N *Ý nghĩa Công thức Poisson-Jensen rằng, biết giá trị modulus f (z ) biên, cực điểm, không điểm hàm f (z ) z  R , ta 2 M a  1 R log f (Re i d   log N   log v 1 bv R  R (1.6) cực điểm không điểm cấp k , cần thay đổi công thức thích hợp v v 1 R R R   log dn (t , f ) rv t Mặt khác không tính tổng quát ta giả sử  r1  r2  rN  R Khi  R n (t , f ) r1 r2 R dt dt dt dt  n (t , f )   n (t , f )    n (t , f ) r1 rN t 0 t t t Ta thấy rằng: víi t  r1 0 1  n (t , f )  2   N cách xét hàm f (z ) / z 1.2.2 Hàm đặc trưng 1.2.2.1 Một số khái niệm Phần trình bày khái niệm hàm đếm, hàm xấp xỉ, hàm đặc trưng Rõ ràng x  log x  log  x  log  (1/ x ) v 1 N   log R R R R R dt log dn (t , f )  log n (t , f ) |R0   n (t , f )d log   n (t , f ) 0 t t t t k log  x  max{log x ,0} R víi r1  t  r2 víi r2  t  r3 víi rN  t  R Nên  R n (t , f ) R dt r1 dt r2 dt dt  n (t , f )   n (t , f )    n (t , f ) = r1 rN t 0 t t t Như vậy: (1.8) Thật vậy, trước hết phương pháp tích phân phần ta có: với giả thiết f (z )  0,  Khi giả thiết không thỏa mãn, tức f (z ) có tính chất chúng Trước hết ta định nghĩa: (1.7) n (t , f ) số cực điểm hàm f (z ) z  t , cực điểm bậc q z  Cho z  định lý (1.2.1) ta thu công thức Jensen N  log b *Nhận xét Một trường hợp quan trọng công thức Poisson-Jensen  log  f (Re i ) d đếm q lần tìm giá trị modulus f (z ) bên đĩa z  R 2 2 z  R Khi Thay log y (z ) vào (1.5) ta thu kết log f (0)   Gọi r1 , r2 , , rN , mô đun cực điểm b1 ,b2 , ,bN f (z ) R (z  bv )  log f (z )   log   log R  a z R  bvz  1 v 1  M 2 (a) r1   0 T (r , f ) gọi hàm đặc trưng f (z ) Nó đóng vai trò quan trọng chủ R dt r2 dt dt     N rN t rr t t yếu lý thuyết hàm phân hình  log t |rr12 2log t |rr32   N log t |rRN 1.2.2.2 Một số tính chất hàm đặc trưng  log r2  log r1  2(log r3  log r2 )   N (log R  log rN ) Chúng ta tiếp tục nghiên cứu số tính chất đơn giản hàm m (R, f ) , N (R, f ) T (R, f ) Chú ý a1 , ,a p số phức  N log R  (log r1  log r2   log rN )  (log R  log r1 )  (log R  log r2 )   (log R  log rN ) N =  log v 1 R rv (b) Từ (a) (b) ta có (1.8) log  v 1 p a v 1 N N (R, f )   log v 1 R R dt  n (t , f ) , bv 0 t N R R dt N (R, )   log   n (t , ) f a f t v 1 (1.9) (1.10) log f (0)  m (R, f )  m (R,1/ f )  N (R, f )  N (R,1/ f ) , v 1 p v  log  (p max av )   log  av  log p v 1, ,p m (R, f )  N (R, f )  m (R,1/ f )  N (R,1/ f )  log f (0) Bây ta đặt: (1.11) Khi công thức Jensen đươc viết lại cách đơn giản (1.12) Giá trị m (R, f ) hàm xấp xỉ độ lớn trung bình log f (z ) Áp dụng bất đẳng thức cho hàm phân hình f1 (z ), , fp (z ) sử  p  p 1) m  r ,  fv (z )    m (r , fv (z ))  log p ,  v 1  v 1  p  p 2) m  r ,  fv (z )    m (r , fv (z )) ,  v 1  v 1  p  p 4) N  r ,  fv (z )    N (r , fv (z )) ,  v 1  v 1 sử dụng (1.11) ta thu  p  p 5) T  r ,  fv (z )   T (r , fv (z ))  log p ,  v 1  v 1  p  p 6) T  r ,  fv (z )   T (r , fv (z ))  v 1  v 1 z  R f lớn Giá trị N (R, f ) có quan hệ với cực điểm Hàm 10 v 1  p  p 3) N  r ,  fv (z )    N (r , fv (z )) ,  v 1  v 1 T (R, f )  T (R, )  log f (0) f p   log  av , dụng (1.7) thu bất đẳng thức sau Với cách định nghĩa công thức Jensen (1.6) viết lại sau T (R, f )  m (R, f )  N (R, f )  log  Ta định nghĩa: p a 11 Trong trường hợp đặc biệt p  2, f1 (z )  f (z ), f2 (z )  a = constant, ta  suy T (r , f  a )  T (r , f )  log a  log Và từ thay f  a , f f , f  a a a , suy ra: T (r , f )  T (r , f  a )  log  a  log (1.13) 1.2.3 Định lý thứ Nevanlinna *Nhận xét Nếu hàm f cố định, ta viết m (R,a ), N (R,a ), n (R,a ),T (R ) thay cho m (R, hữu hạn m (R, ), N (R, ), n (R, ) thay cho m (R, f ), N (R, f ), n (R, f ) Nếu cho R biến thiên định lý thứ viết dạng sau: 1.2.3.1 Định lý Giả sử f hàm phân hình, a số phức tùy ý, ta có     m  R,   N  R, f  a   T (R, f )  log f (0)  a   (a , R ) f  a      (a , R )  log  a  log Ta thường dùng định lý thứ dạng     m  R,   N  R, f  a   T (R, f )  O (1) , f  a     1 ) , N (R, ) , n (R, ), T (R, f ) a f a f a f a m (R,a )  N (R,a )  T (R )  O (1) , với a hữu hạn hay vô hạn Số hạng m (R,a ) dần tới trung bình nhỏ f  a vòng tròn z  R , số hạng N (R,a ) dần đến số nghiệm phương trình f (z )  a z  R Với giá trị a , tổng hai số hạng xem không phụ thuộc vào a 1.2.3.2 Một số ví dụ Ví dụ Xét hàm hữu tỷ O (1) đại lượng giới nội f (z )  c *Ý nghĩa Vế trái công thức định lý đo số lần f  a f gần a , vế phải hàm T (r , f ) không phụ thuộc vào a , sai khác đại lượng giới nội Chứng minh z p   a p z q   bq , c  Đầu tiên giả sử p  q Khi f (z )   z   , a hữu hạn m (r ,a )  với r  r0 Phương trình f (z )  a có p nghiệm cho n (t ,a )  p (t  t0 ) , Theo (1.11) (1.12) ta có:       m  R,   N  R, f  a   T  R, f  a   T (R, f  a )  log f (0)  a  f a      Từ (1.13) ta suy T (R, f  a )  T (R, f )   (a , R ) với  (a , R )  log  a  log Từ ta có r N (r ,a )   n (t ,a ) a Như vậy, r   T (r , f )  p log r  O (1) ,     m  R,   N  R, f  a   T (R, f )  log f (0)  a   (a , R ) , f  a     với  (a , R )  log  a  log Định lý chứng minh xong 12 dt  p log r  O (1) r   t Nếu p  q , N (r ,a )  p log r  O (1) , m (r ,a )  O (1) , với a   T (r , f )  q log r  O (1) , N (r ,a )  q log r  O (1) , m (r ,a )  O (1) , 13 với a  N (r , f )  q log r  O (1) , Nếu p  q , N (r ,a )  q log r  O (1) , Ví dụ Xét P (z )  az p   a p đa thức f (z )  e P (z ) Khi m (r ,a )  O (1) , với a  c Với tính toán ta thấy trường hợp p p a ap p m (r ,a )  O (1) ,  pT (r ,eaz )  O (1) với a  f () p p Bây ta tính T (r ,eaz ) Đặt g  eaz d  max(p ,q ) T (r , g )  m (r , g )  N (r , g ) Như trường hợp này, m (r ,a ) bị chặn r   ngoại trừ giá trị a f () Nếu phương trình f (z )  a có nghiệm bội  Do g chỉnh hình nên p N (r , g )  suy T (r , g )  m (r , g )  m (r ,eaz )  với    d , m (r ,a )   log r  O (1) , N (r ,a )  (d  a )log r  O (1) 2 m (r ,eaz )  2   2  2  loge r cos  víi cos   víi cos < 0  2  2  loge r cos  víi - /2     /  víi  /2 <  < 3 /2 0 = 2 z Ví dụ Xét hàm f (z )  e  e r (cos  i sin  ) i p , với z  re Khi log  f (z )  log  f (re i )  log  e r cosa ir sin   log  e r cos r cos = 0 víi - /2     /2 víi  /2 [...]... pân tích hàm phân hình và ứng dụng vào nghiên cứu phương trình hàm [1] F Gross and C C Yang, On preimages and range sets of meromorphic functions, Proc Japan Acad., 58 (1982), 17-20 [2] Ha Huy Khoai, C C Yang, On the functional equation P ( f )  Q (g ) , Chương 1 trình bày các định lý cơ bản thứ nhất, định lý cơ bản thứ 2 của Nevanlinna, quan hệ số khuyết và một số ví dụ ứng dụng Chương 2 trình bày... 51 2.5 Một số ứng dụng và giả thuyết 2.5.1 Định lý Giả sử P (z ) và Q (z ) là 2 đa thức có bậc lần lượt là p ( 2) Ví dụ 1 Không tồn tại các hàm phân hình f và g khác hằng số sao cho: và q ( 2) Nếu p  q , và nếu tồn tại một không điểm a1 của P (z ) sao cho f  f  g g 3 phương trình Q (z )  P (a1 )  0 không có nghiệm bội, thì tồn tại hàm phân 4 Đối với các đa thức P (z )  z 3  z và Q (z ) ... nguyên xác định, thì phương trình tương ứng F không có P (z )  4z 3  3z và Q (z )  2(2z 2  1) 2  1 Khi đó tồn tại 2 hàm phân hình f và g khác hằng số sao cho P ( f )  Q (g ) hoặc hầu như không có nhiều nghiệm phân hình khác hằng số f ( x ) và g ( y ) 3 Có thể thử lại với f (z )  cos z và g (z )  cos z 4 52 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO KẾT LUẬN Luận văn trình bày cơ sở lý thuyết Nevanlinna, đặc biệt... ) và Q (z )  P (r2 ) không có không s  3 và p1  q1 và kết thúc chứng minh Bổ đề 2.3.2 điểm chung và cả 2 đều không có không điểm bội Theo định lý cơ bản thứ 2 2.3.3 Bổ đề Cho P (z ) và Q (z ) là 2 đa thức có bậc lần lượt là p và q của Nevanlinna, ta có: tương ứng, với 2  p  q Nếu tồn tại hai không điểm khác nhau r1 và r2 của P (z ) sao cho mỗi phương trình Q (z )  P (rj )  0 ( j  1,2) không... Đa thức xác định duy nhất hàm phân hình Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm f , g đối với phương trình hàm P ( f )  Q (g ) , khi P ,Q là 2 đa thức thuộc   z  Ta nhắc lại Bài toán thứ 10 nổi tiếng của Hilbert: tìm thuật toán chỉ ra tất cả nghiệm nguyên của phương trình F (x , y )  0 , khi F (x , y ) là một đa thức Thue đã chứng minh được rằng phương trình F (x , y )  d chỉ... tôi dẫn ra giả thuyết của C.C Yang và P Li, tương tự Ví dụ 3 Cho với giả thuyết nổi tiếng của Mordell như sau: P (z )  (z  a1 ) (z  a 2 ) và Q (z )  (z  b1 ) (z  b2 ) , 2 2 2 (2.26) với a1,a 2 ,b1 và b2 là các số phức Khi đó tồn tại hai hàm phân hình f và g *Giả thuyết Nếu một phương trình Diophant, F (x , y )  0 ( F là một đa thức chứa x khác hằng số sao cho P ( f )  Q (g ) và y bậc lớn hơn... đó suy ra phương trình aC f (z )  a1  0; f (z )  a 2  0 gồm toàn nghiệm bội Khi đó (a1 )  (a 2 )  1/ 2, thế thì (a1 )  (a 2 )  ()  2 để phương a trình f (z )  a gồm toàn nghiệm bội sẽ không quá 4 điểm Trong thực tế tồn tại hàm phân hình mà có 4 giá trị của a để phương trình f (z )  a gồm toàn nghiệm bội 2 Đó chính là hàm elliptic Weiestrass (z ) , là hàm thoả mãn phương trình: (z... của phương trình hàm 2.4.1 Định lý Giả sử rằng P (z ) và Q (z ) là 2 đa thức lần lượt có bậc p và q Khi đó không tồn tại các hàm phân hình khác hằng số f và g thoả mãn: P ( f )  Q (g ) (2.16) T (r , f )  N (r , f )  S (r , f ), nếu P (z ) và Q (z ) thoả mãn một trong các điều kiện sau: g   S (r , f ) , T  r ,  ( f  r  1 )( f  r2  C-1) p  q và q  p không là ước số chung lớn nhất của p và. .. (g ) không có nghiệm hàm phân hình khác hằng số f và g Nếu có một trong hai số r1 và r2 , chẳng hạn r1 , sao cho Q (z )  P (r1 )  0 có ít nhất một nghiệm bội, thì tồn tại các số phức 2.4.4 Định lý Giả sử rằng cả P (z )  a 0z 4  và Q (z )  b0z 4  đều là các đa thức bậc 4, và P (z )  Q (z ) Khi đó phương trình P ( f )  Q (g ) có nghiệm phân hình khác hằng số f và g khi và chỉ khi tồn tại một... tổng quát (Christoffel-Schwarz, Lê Văn là hàm hằng Thiêm, Drasin…) *) f1, f2 là các hàm khác hàm hằng, sử dụng bất đẳng thức cơ bản cho hàm f1 1.4.2 Định lý 5 điểm của Nevanlinna với 5 điểm a1,a 2 ,a3 ,a 4 ,a 5 ta sẽ có: 1.4.2.1 Định nghĩa Giả sử f là hàm phân hình trên  , a   Ta định nghĩa: E f (a )  z   f (z )  a  ( tập các nghiệm phân biệt của phương trình f (z )  a ) 5 1 m (r , )   m