(Luận văn thạc sĩ) rèn luyện tư duy thông qua giải toán phương trình hàm cho học sinh khá, giỏi toán trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC PHÙNG VĂN ĐỒN RÈN LUYỆN TƢ DUY THƠNG QUA DẠY HỌC GIẢI TỐN “PHƢƠNG TRÌNH HÀM” CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC CHUYÊN NGHÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN) Mã số: 60 14 10 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Phạm Văn Quốc HÀ NỘI – 2011 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài………………………………………………………… Mục tiêu nghiên cứu………………………………………………… 3 Đối tƣợng khách thể nghiên cứu……………………………………… Vấn đề nghiên cứu……………………………………………………… Giả thuyết khoa học……………………………………………………… Phƣơng pháp nghiên cứu………………………………………………… Phạm vi nghiên cứu……………………………………………………… Một số nét đề tài………………………………………………… Cấu trúc luận văn………………………………………………………… Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN……………………… 1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu……………………………………………… 1.2 Tƣ vai trò dạy học chuyên đề “Phƣơng trình hàm” cho học sinh khá, giỏi Toán THPT………………………………………………… 1.2.1 Khái niệm tƣ duy………………………………………………… 1.2.2 Một số đặc điểm tƣ duy………………………………… 1.2.3 Tƣ Toán học………………………………………………… 1.2.4 Dạy học giải tốn “Phƣơng trình hàm”……………………………… 10 1.2.5 Cơng tác bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi Toán THPT chuyên đề “Phƣơng trình hàm”………………………………………………………… 11 Chƣơng 2: PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN “PHƢƠNG TRÌNH HÀM” VÀ VIỆC RÈN LUYỆN TƢ DUY CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG………… 13 2.1 Một số kiến thức hàm số…………………………………… 13 2.1.1 Hàm số…………………………………………………………… 13 2.1.2 Đặc trƣng số hàm số chƣơng trình Tốn THPT……… 16 2.1.3 Khái niệm “Phƣơng trình hàm”…………………………………… 17 2.2 Phƣơng pháp giải số dạng “Phƣơng trình hàm”………………… 18 2.2.1 Phƣơng pháp đƣa hệ phƣơng trình………………………………… 18 2.2.2 Phƣơng pháp đƣa phƣơng trình “Sai phân cấp 2”………………… 26 2.2.3 Phƣơng pháp sử dụng giới hạn tính liên tục hàm số………… 31 2.2.4 Phƣơng pháp Quy nạp Toán học…………………………………… 46 2.2.5 Phƣơng pháp biến………………………………………………… 57 2.2.6 Phƣơng pháp sử dụng phƣơng trình hàm Cauchy…………………… 78 2.2.7 Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu , cộng tính nhân tính hàm số, tính đối xứng biến…………………………………………… 94 2.3 Rèn luyện số phẩm chất tƣ thông qua số toán ……… 117 2.3.1 Rèn luyện tƣ “Khái qt hóa” “Đặc biệt hóa” thơng qua số toán………………………………………………………………… 117 2.3.2 Tiếp cận giải tốn “Phƣơng trình hàm” theo nhiều cách………… 134 2.3.3 Nhận dạng đẳng thức qua “Phƣơng trình hàm”……… 136 Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM………………………………… 139 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm…………………………………… 139 3.1.1 Mục đích thực nghiệm……………………………………………… 139 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm……………………………………………… 139 3.2 Tổ chức thực nghiệm………………………………………………… 139 3.2.1 Đề kiểm tra lần 1…………………………………………………… 140 3.2.2 Đề kiểm tra lần 2…………………………………………………… 140 3.2.3 Bài tập làm nhà…………………………………………………… 140 3.3 Kết lần kiểm tra số nhận xét sau thực nghiệm………… 141 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ……………………………………… 144 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………… 145 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT APMO: Cuộc thi Toán châu Á – Thái Bình Dƣơng Balkan: Cuộc thi Tốn vùng Ban Căng IMO: Ơlimpic Tốn Quốc tế IMO Sortlist : Đề dự tuyển Ơlimpic Tốn Quốc tế KHTN: Khoa học Tự nhiên KoMal: Tạp chí Tốn học – Vật lí Hungary ¥: Tập hợp số tự nhiên ¥ *: Tập hợp số tự nhiên khác Nxb: Nhà xuất Putnam: Cuộc thi Toán cho sinh viờn M v Canaa Ô : Tp hp cỏc s hu t Ô+: Tp hp cỏc s hu t dng Ô-: Tp hp cỏc s hu t õm Ă : Tập hợp số thực ¡ *: Tập hợp số thực khác ¡ ¡ + + : Tập hợp số thực không âm : Tập hợp số thực dƣơng ¡ -: Tập hợp số thực âm THPT: Trung học Phổ thơng THTT: Tốn học Tuổi trẻ TST: Đề thi chọn đội tuyển MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Luật giáo dục Việt Nam nêu rõ “ Phƣơng pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tƣ sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập học sinh” ( Điều 24, chƣơng I luật giáo dục năm 2005 ) Trong thời đại khoa học công nghệ phát triển mạnh mẽ, hội nhập trở thành xu tất yếu yêu cầu xã hội ngƣời ngày cao Do việc phát triển giáo dục không nhằm “nâng cao dân trí” mà cịn phải “đào tạo nhân lực, bồi dƣỡng nhân tài” Kiến thức lại mênh mơng, sau học xong nhiều kiến thức mà ngƣời đƣợc học bị quên đi, nhƣng lại lâu dài ngƣời sau học tƣ đƣợc thể xã hội, sống hàng ngày nhƣ giao tiếp ứng xử, giải vấn đề … Việc dạy học ngày để đạt đƣợc mục tiêu hình thành phát triển lực tƣ duy, trí tuệ học sinh Để phát triển đƣợc tƣ học sinh, phải đầu tƣ thời gian cho chƣơng trình rèn luyện kỹ phát triển tƣ duy, phải có ý thức thƣờng xuyên khuyến khích giúp đỡ học sinh thơng qua việc dạy học nhằm nâng cao trình độ lực tƣ phù hợp với khả tâm sinh lí học sinh Qua trình đổi phƣơng pháp dạy học tồn ngành giáo dục nƣớc ta nay, vai trò ngƣời học đƣợc nâng cao, giáo dục đòi hỏi ngƣời học phải cá nhân tích cực, chủ động, sáng tạo trình dạy học nhƣng vai trị nhiệm vụ ngƣời thầy khơng bị mờ nhạt mà đƣợc coi trọng đòi hỏi cao khắt khe nhiều trƣớc Muốn phát triển lực tƣ học sinh, giáo viên khơng dạy theo chuẩn kiến thức mà cịn phải mở rộng, nâng cao cho học sinh tiếp cận với vấn đề khoa học theo nhiều khía cạnh khác nhau, đặt nhiều tình có vấn đề đòi hỏi học sinh phải tƣ để giải Khi học sinh học đƣợc cách giải vấn đề khoa học giáo viên lại yêu cầu giải nhanh hơn, chí giải theo nhiều phƣơng án khác Làm nhƣ không đơn để nâng cao hiệu dạy học, vƣợt qua kì thi mà cịn để phát triển lực tƣ duy, từ học sinh xử lý tốt vấn đề phức tạp, luôn thay đổi mà sống đại đặt sau Trong chƣơng trình Tốn học THPT nay, hàm số khái niệm quan trọng, có nhiều ứng dụng thực tế, dùng để mơ tả mối liên hệ đối tƣợng, thuộc tính thay đổi với Trong nội dung hàm số chƣơng trình Tốn THPT có nhiều vấn đề thƣờng gặp dạy học bồi dƣỡng học sinh nhƣ xây dựng hay thiết lập hàm số sơ cấp theo quy tắc đó, tốn cịn đƣợc gọi “Các tốn Phƣơng trình hàm” , nghiên cứu khảo sát tính chất số hàm số thƣờng gặp, dựng đồ thị chúng, xem xét việc ứng dụng hàm số để giải số dạng tốn nhƣ giải phƣơng trình, bất phƣơng trình… Trong vấn đề hàm số “ Phƣơng trình hàm” vấn đề hấp dẫn nhiên lại khó cho ngƣời dạy lẫn ngƣời học, chúng thƣờng có mặt kì thi học sinh giỏi Tốn cấp Tỉnh, Thành phố, Quốc gia, Khu vực Quốc tế Hệ thống tập “ Phƣơng trình hàm” đa dạng phong phú, cách giải chúng không đơn giản phƣơng pháp hay phải kết hợp nhiều phƣơng pháp giải đƣợc, bồi dƣỡng cho học sinh khá, giỏi vấn đề rèn luyện, phát triển tƣ linh hoạt, sáng tạo cho ngƣời học nâng cao đƣợc chất lƣợng giáo dục Hiện nay, việc dạy học giải tập “ Phƣơng trình hàm” để rèn luyện tƣ duy, phát triển trí tuệ cho học sinh cịn ít, trọng công tác ôn luyện, bồi dƣỡng đội tuyển thi học sinh giỏi trƣờng THPT chuyên nƣớc Vì học sinh khá, giỏi Toán trƣờng THPT, học sinh trƣờng THPT chuyên không nằm đội tuyển hầu nhƣ khơng có hội đƣợc học chun đề “Phƣơng trình hàm” để rèn luyện tƣ duy, phát triển trí tuệ Với mong muốn xây dựng đƣợc số dạng tập phƣơng pháp giải “ Phƣơng trình hàm” để rèn luyện tƣ cho học sinh THPT qua việc dạy học theo chuyên đề bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi tốn THPT, chúng tơi chọn đề tài “Rèn luyện tư thông qua dạy học giải tốn “ Phương trình hàm” cho học sinh khá, giỏi Tốn Trung học Phổ thơng” làm đề tài để nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu Hệ thống tập phƣơng trình hàm tài liệu chuyên khảo mơn Tốn, diễn đàn tốn học, đề thi học sinh giỏi Toán địa phƣơng, Quốc gia Quốc tế, để từ xem xét phân loại nghiên cứu phƣơng pháp giải chúng Qua đƣa đƣợc số dạng tập phƣơng trình hàm khai thác để rèn luyện thao tác kĩ tƣ cho học sinh Với mục tiêu hy vọng đề tài đóng góp phần nhỏ vào việc nâng cao chất lƣợng dạy học Tốn THPT nói chung cơng tác bồi dƣỡng học sinh giỏi nói riêng Đối tƣợng khách thể nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Việc khai thác sử dụng tập “Phƣơng trình hàm” để rèn luyện tƣ cho học sinh THPT 3.2 Khách thể nghiên cứu Quá trình dạy học bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi toán THPT Vấn đề nghiên cứu - Các “Phƣơng trình hàm” đƣợc phân loại theo dạng phƣơng pháp giải nhƣ ? - Các tốn, dạng tốn “Phƣơng trình hàm” đƣợc khai thác để rèn luyện tƣ cho học sinh khá, giỏi Toán THPT nhƣ nào? Giả thuyết khoa học Qua việc dạy học giải số dạng tốn “Phƣơng trình hàm” rèn luyện đƣợc cho học sinh số phẩm chất, lực tƣ Tốn học, qua góp phần nâng cao đƣợc chất lƣợng dạy học Tốn mang tính chiều sâu trƣờng THPT Phƣơng pháp nghiên cứu 6.1 Nghiên cứu lí luận Nghiên cứu sở lí luận tƣ tài liệu tâm lý học, giáo dục học, lý luận dạy học mơn Tốn Nghiên cứu tài liệu giải tích, tài liệu viết hàm số phƣơng trình hàm Nghiên cứu đề thi học sinh giỏi Toán địa phƣơng, cấp Quốc gia, vơ địch Tốn nƣớc giới, vơ địch Tốn khu vực vùng lãnh thổ, vơ địch Tốn quốc tế Nghiên cứu vấn đề “Phƣơng trình hàm” diễn đàn toán học 6.2 Nghiên cứu thực tiễn Tìm hiểu số dạng tập “Phƣơng trình hàm” qua số giáo viên có kinh nghiệm việc bồi dƣỡng học sinh chuyên Toán số trƣờng THPT chuyên Đánh giá rèn luyện, phát triển tƣ học sinh thông qua thực nghiệm sƣ phạm trƣờng THPT Ngơ Quyền – Ba Vì thuộc thành phố Hà Nội Phạm vi nghiên cứu Bài tập “Phƣơng trình hàm” số phƣơng pháp giải “Phƣơng trình hàm” thƣờng dùng Một số nét đề tài Tuyển chọn đƣợc phƣơng pháp giải số dạng “Phƣơng trình hàm” để dùng để dạy học bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi toán THPT Khai thác đƣợc số tập “Phƣơng trình hàm” để rèn luyện số phẩm chất tƣ cho học sinh khá, giỏi Toán THPT Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn đƣợc trình bày chƣơng Chƣơng : Cơ sở lý luận thực tiễn Chƣơng : Phƣơng pháp giải số dạng “Phƣơng trình hàm” việc rèn luyện tƣ cho học sinh khá, giỏi Toán Trung học Phổ thông Chƣơng : Thực nghiệm sƣ phạm CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu Từ trƣớc đến có số tác giả nghiên cứu vấn đề phát triển tƣ thông qua dạy học số chủ đề thuộc mơn tốn THPT, có tác giả nghiên cứu “Phƣơng trình hàm” qua luận văn thạc sĩ bảo vệ hội đồng chấm luận văn trƣờng Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội nhƣ : Nguyễn Hoàng Cƣơng với đề tài “Phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh chun tốn thơng qua giảng dạy chun đề “phép biến hình mặt phẳng” Tơ Thị Linh với đề tài “Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh giỏi dạy học phương trình, bất phương trình chứa thức trường THPT” Phạm Thị Thảo với đề tài “Phát bồi dưỡng học sinh khiếu qua việc giảng dạy phương trình hàm” Và nhiều tác giả khác nghiên cứu vấn đề tƣ qua dạy học Nhƣng vấn đề rèn luyện tƣ qua việc dạy học chuyên đề “Phƣơng trình hàm” hầu nhƣ chƣa có tác giả đề cập nghiên cứu đến Chuyên đề “Phƣơng trình hàm” hay, lại có nhiều dạng tốn địi hỏi ngƣời học phải có kiến thức chuyên sâu, phải tƣ nhiều giải đƣợc Vì qua việc dạy học chun đề “Phƣơng trình hàm” giúp ích phần nhỏ vào việc rèn luyện tƣ cho học sinh để nâng cao chất lƣợng giáo dục, nên tác giả chọn đề tài để nghiên cứu 1.2 Tƣ vai trò dạy học chuyên đề “Phƣơng trình hàm” việc rèn luyện tƣ cho học sinh khá, giỏi Toán THPT 1.2.1 Khái niệm tư Tƣ trình nhận thức phản ánh thuộc tính chất, mối quan hệ có tính quy luật vật tƣợng thực khách quan ( Dựa theo [4] ) Tƣ trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngơn ngữ - q trình tìm tịi sáng tạo yếu, q trình phản ánh cách phần hay khái quát thực tế phân tích tổng hợp Tƣ sinh sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính vƣợt xa giới hạn ( Dựa theo [17] ) 1.2.2 Một số đặc điểm tư Tƣ nảy sinh gặp hồn cảnh có vấn đề, tƣ có tính khái qt, tƣ có tính gián tiếp; Tƣ ngƣời có quan hệ mật thiết với ngơn ngữ: tƣ ngơn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau, nhƣng không đồng với Sự thống giữ tƣ ngôn ngữ thể rõ khâu biểu đạt kết trình tƣ duy; Tƣ có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, tƣ thƣờng nhận thức cảm tính, dù tƣ có khái quát trừu tƣợng đến đâu nội dung tƣ chứa đựng thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, biểu tƣợng trực quan,…) X L Rubinstein khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính có trừu tƣợng, tựa hồ nhƣ làm thành chỗ dựa cho tƣ duy” ( Dựa theo [3] ) 1.2.3 Tư Toán học Chƣa có định nghĩa thống nhà khoa học tƣ Toán học Cách sử dụng thuật ngữ để đặt tên cho loại hình tƣ chƣa thống nhất, khó mà thống Một loại hình tƣ theo cách hiểu tác giả khơng đồng với loại hình tƣ theo cách hiểu tác giả kia, không phân biệt hồn tồn với loại hình tƣ có tên gọi khác Tuy nhiên, cho dù có quan niệm khác thuật ngữ, nhƣ việc phân chia thành tố tƣ Toán học hay lực tƣ tốn, nhà khoa học thống vai trò quan trọng việc giáo dục tƣ Toán học cho học sinh, tác động nâng cao chất lƣợng dạy học mơn Tốn Có thể nêu số loại hình thao tác tƣ Tốn học dƣới đây: 1.2.3.1 Các loại hình tư Tốn học Vậy a = Þ f (0) = 0, t = f (1) ¹ (vì f đơn ánh) Ta có t - t = Û t (t - 1) = Þ t = ± Suy f (1) = ± Vì a = Þ f ( f (x )) = x f (x ) = ( f (x ))5 , " x Ỵ ¡ Thay y f (y ) vào (213) ta có f (x + f ( f (y ))) = ( f (x ))5 + f (y ) = f (x ) + f (y ) , " x , y Ỵ ¡ Suy f (x + y ) = f (x ) + f (y ) , " x , y Ỵ ¡ Vậy ta có f (x + y ) = f (x ) + f (y ) , " x , y Î ¡ Bằng quy nạp ta chứng minh đƣợc f (nx ) = nf (x ) , " x Ỵ ¡ , n Ỵ ¥ Ta có f ((x + 1)5 ) = ( f (x + 1))5 = ( f (x ) + f (1))5 Þ f (x ) + 5f (x ) + 10f (x ) + 10f (x ) + 5f (x ) + k = ( f (x ))5 + 5( f (x ))4 k + 10( f (x ))3 k + 10( f (x ))2 k + f (x )k + k (214) Với f (1) = k = k = k 5, k = k = từ (214) ta có f (x ) + 2f (x ) + 2f (x ) = ( f (x ))4 k + 2( f (x )) + 2( f (x ))2 k Hay f (x + 2x + 2x ) = ( f (x ))2(k ( f (x ))2 + 2f (x ) + 2k ) (215) Ta có x + 2x + 2x = x 2[(x + 1)2 + 1] ³ , " x Ỵ ¡ g(x )k > , " x Ỵ ¡ (vì g(x ) = k ( f (x ))2 + 2f (x ) + 2k có D ' = - 2k = - < ) Ứng với k = > 0) từ (215) ta có f (x ) ³ , " x ³ Khi Với x ³ y Þ f (x ) = f (x - y ) + f (y ) ³ f (y ) Vậy f đơn điệu tăng Ứng với k = - < 0) từ (215) ta có f (x ) £ , " x ³ Khi Với x ³ y Þ f (x ) = f (x - y ) + f (y ) £ f (y ) Vậy f đơn điệu giảm Vậy hàm số f (x ) cộng tính đơn điệu nên f (x ) = cx , " x Ỵ ¡ , c Ỵ ¡ Với f (1) = Þ c = , f (1) = - Þ c = - Thử lại thấy hai hàm số f (x ) = x , " x Ỵ ¡ f (x ) = - x , " x Ỵ ¡ thỏa mãn yêu cầu toán 132 Nhận xét 17: Từ tốn tổng qt hóa chúng thành tốn tổng qt sau Bài tốn 97 (Trung Quốc TST 2001) Tìm tất hàm số f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f (x n + f (y )) = ( f (x ))n + y , " x , y Î ¡ , " n Î ¥ (n ³ 2) (216) Lời giải Giả sử có y y mà f (y ) = f (y ) với x ta có f (x n + f (y1 )) = f (x n + f (y )) Þ ( f (x ))n + y = ( f (x ))n + y Þ y = y Vậy f (x ) đơn ánh Vế phải (216) biểu thức bậc theo y nên tập giá trị hàm số cần tìm ¡ Suy tồn số a Ỵ ¡ cho f (a ) = Đặt f (0) = b Thay x = vào (216) ta có f ( f (x )) = y + ( f (0))n hay f ( f (x )) = x + bn , " x Ỵ ¡ Thay x = , y = a vào (216) ta có f ( f (a )) = a + f ( f (0))n Þ b = a + bn Lại cho x = y = a vào (216) ta có f (a n + f (a )) = a + ( f (a ))n Þ f (a n ) = a Cho y = a vào (216) ta đƣợc f (x n ) = a + ( f (x ))n , " x Ỵ ¡ (217) Lại cho x = y = a vào (217) ta có f (a n + f (a )) = a + ( f (a ))n Þ f (a n ) = a Þ = f (a ) = f ( f (a n )) = a n + bn íï a n + bn = Vậy ta có ïì ïï b = a + bn ïỵ íï a n + bn = Þ a = b = a ) Nếu n chẵn ïì ïï b = a + bn ïỵ Ta có f (0) = f (x ) = Û x = (vì f đơn ánh) Khi f ( f (x )) = x , " x Ỵ ¡ ; f (x n ) = f (x n + 0) = f (x n + f (0)) = + ( f (x ))n = ( f (x ))n Suy f (1) = ( f (1))n Þ f (1) = (vì f (1) ¹ n - lẻ) Từ ta có với x ³ y Ỵ ¡ f (x + y ) = f (( n x )n + f ( f (y ))) = f (y ) + f (( n x )n ) = f (x ) + f (y ) Với x ³ y x - y ³ Þ f (x - y ) ³ 133 Suy f (x ) = f ((x - y ) + y ) = f (x - y ) + f (y ) ³ f (y ) Suy f (x ) đơn điệu tăng Vậy f cộng tính đơn điệu tăng nên f (x ) = cx , " x Ỵ ¡ Mà f (1) = nên c = Suy f (x ) = x , " x Ỵ ¡ Thử lại thấy hàm số thỏa mãn yêu cầu ïí a n + bn = b) Nếu n lẻ ïì Þ ïï b = a + bn ùợ ùớù b = - a ị ì n ïï a - 2a = ïỵ éa = ê ê n- êëa = ± Ta có f (0) = a + ( f (0))n f (1) = a + ( f (1))n Suy b = f (0) f (1) nghiệm phƣơng trình g(t ) = t n - t + a = Ta có g '(t ) = nt n - - = Û t = ± g( n- )g(- n n- n- )= a - ( n n n- n ) = n- Khi a = ± n - n n (n - 4n - 1) + 2n - n n- n > Suy phƣơng trình g(t ) = t n - t + a = có nghiệm (vơ lí) Vậy a = Þ ( f (1))n - f (1) = Þ f (1) = ± (vì f đơn ánh) Ta có f (x n + f ( f (y ))) = f (x n ) + f (y ) Þ f (x + y ) = f (x ) + f (y ) (vì n lẻ) Suy f (x ) hàm cộng tính ¡ Bằng quy nạp suy f (nx ) = nf (x ) , " x ẻ Ă , " n ẻ Ơ t f (1) = ± = k Dựa vào tính cộng tính f (x ) đẳng thức f (x n ) = (( f (x ))n , f (nx ) = nf (x ) , " x ẻ Ă , " n ẻ Ơ Ta có n å n C ni ( f (x ))n - i k i = i= å C ni f (x n - i ) ( f ((x + 1)n ) ) i= n- Suy f ( å C x i n n n- i )+ C n- n f (x ) + k = i= å C ni ( f (x ))n - i k i i= n- Xét hàm số h(x ) = å C ni x n - i = (x + 1)n - x n - nx - ; i= Ta có h '(x ) = n (x + 1)n - - nx n - - n 134 h "(x ) = n (n - 1)(x + 1)n - - n (n - 1)x n - = n (n - 1)((x + 1)n - - x n - ) > , " x Ỵ ¡ ( n - lẻ) Nên h '(x ) = có nghiệm mà h '(0) = = h(0) , lim h(x ) = + ¥ x® ± ¥ Suy h(x ) ³ , " x Ỵ ¡ h(x ) = Û x = Với k = ta có f (h(x )) = h( f (x )) Theo nhận xét với t > tồn x ¹ cho t = h(x ) Suy h( f (x )) > nên f (t ) = f (h(x )) = h( f (x )) > , " t > Với k = - ta có f (h(x )) = - h(- f (x )) Theo nhận xét với t > tồn x ¹ cho t = h(x ) Suy h(- f (x )) > Þ - h(- f (x )) < Þ f (t ) = f (h(x )) = - h(- f (x )) < , "t > Suy hàm số f (x ) đơn điệu cộng tính ¡ Suy f (x ) = cx , " x ẻ Ă Vi f (1) = ị c = , f (1) = - Þ c = - Thử lại thấy hai hàm số f (x ) = x , " x Ỵ ¡ f (x ) = - x , " x Ỵ ¡ thỏa mãn u cầu tốn Vậy Nếu n chẵn f (x ) = x , " x Ỵ ¡ Nếu n lẻ f (x ) = x , " x Ỵ ¡ f (x ) = - x , " x Î ¡ ( Dựa theo [19] ) 2.3.2 Tiếp cận giải tốn “Phương trình hàm” theo nhiều cách Trong đề thi vơ địch Tốn Balan năm 1990 có tốn sau Bài tốn 98 (Ba Lan 1990) Tìm tất hàm số f : ¡ ® ¡ thỏa mãn (x - y ) f (x + y ) - (x + y ) f (x - y ) = 4xy (x - y ) , " x , y Ỵ ¡ (218) Nhìn vào hai vế (218) ta thấy có hai biểu thức biến x ± y nên thay hai biểu thức biến hai biến Từ ta có cách giải thứ tốn sau 135 íï u = x + y Lời giải Đặt ïì thay vào (218) ta đƣợc ïï v = x - y ỵ vf (u ) - uf (v ) = (u - v )uv , " u, v Ỵ ¡ (219) Chia hai vế (219) cho uv ¹ ta đƣợc f (u ) f (v ) f (u ) f (v ) = u - v hay - u2 = - v , " u, v ẻ Ă ; uv u v u v Từ (220) ta có (220) f (u ) - u = c hay f (u ) = u + cu , " u ¹ u Từ (219) ta cho u = 0, v = ta có f (0) = Vậy f (x ) = x + cx , " x Ỵ ¡ Thử lại ta thấy hàm số thỏa mãn tốn Vậy hàm số cần tìm f (x ) = x + cx , " x Ỵ ¡ , c Ỵ ¡ Từ (220) đáp số tốn ta tìm hàm số f thơng qua hàm số cách đặt hàm phụ Ta có cách giải thứ hai sau Lời giải Thay y = x vào (218) ta đƣợc - 2xf (0) = , " x Ỵ ¡ nên f (0) = Đặt f (x ) = xg(x ) thay vào (218) ta đƣợc g(x + y ) - g(x - y ) = 4xy , " x , y Ỵ ¡ ; xy ¹ (221) Thay y = x vào (221) ta đƣợc g(2x ) - g (0) = 4x , suy g(x ) = x + c Suy f (x ) = x (x + c) = x + cx , " x ẻ Ă ; x Thử lại ta thấy thỏa mãn Vậy hàm số cần tìm f (x ) = x + cx , " x Ỵ ¡ Trong biểu thức (221) ta thay x = a + h h ;y = ta chứng 2 minh hàm số g(x ) khả vi a Ỵ ¡ nên ta có cách giải thứ ba sau Lời giải Đặt f (x ) = xg(x ) thay vào (218) ta đƣợc g(x + y ) - g(x - y ) = 4xy , " x , y ẻ Ă ; xy Thay x = a + h h g(a + h ) - g(a ) ;y = = 2a + h vào (222) ta đƣợc 2 h 136 (222) Cho h ® suy g(x ) khả vi a g '(a ) = 2a, " a ¹ Þ g (x ) = x + c Suy f (x ) = x + cx , " x ¹ Thay x = y = vào (218) ta có f (0) = Vậy công thức f (x ) = x + cx với x Ỵ ¡ Thử lại thấy thỏa mãn Trong phương trình (218), làm giảm số lượng biến có mặt phương trình cách cho x + y x - y số Từ ta có cách giải thứ tư sau Lời giải Cho x - y = Þ y = x - thay vào (218) ta đƣợc f (2x - 1) - (2x - 1) f (1) = 4x (x - 1)(x - (x - 1)2 ) , " x Ỵ ¡ Hay f (2x - 1) = (2x - 1) f (1) + (2x - 1)((2x - 1)2 - 1) , " x Ỵ ¡ Suy f (2x - 1) = (2x - 1)3 + (2x - 1)( f (1) - 1) , " x Ỵ ¡ Suy f (x ) = x + cx , " x Ỵ ¡ ( c = f (1) - ) Thử lại thấy thỏa mãn Vậy hàm số cần tìm f (x ) = x + cx , " x Ỵ ¡ Nhận xét 18: Nhƣ giải phƣơng trình hàm suy nghĩ hƣớng giải theo cách khác tùy theo đặc điểm “Phƣơng trình hàm” mà ta có cách giải khác nhau, tốn có hay có nhiều cách giải tùy thuộc vào tƣ ngƣời học Do việc rèn luyện cho học sinh sáng tạo nhiều cách giải tốn cơng việc phức tạp nhƣng lại cần thiết để giúp học sinh phát triển đƣợc tƣ ngày tốt 2.3.3 Nhận dạng đẳng thức qua “Phương trình hàm” Rất nhiều tốn “Phƣơng trình hàm” đƣợc xây dựng từ đẳng thức Khi giải tốn đó, để xác định đƣợc hƣớng giải ngồi việc dựa vào đặc trƣng hàm số phải tìm ta phải kết hợp với đẳng thức biết Do việc đẳng giúp học sinh thấy đƣợc nguồn gốc xây dựng tốn, từ giúp họ có nhìn rõ tập xác định hàm số Sau số tập “Phƣơng trình hàm” đƣợc xây dựng từ đẳng thức 137 2.3.3.1 Bài tốn “Phương trình hàm” đề thi Rumani TST 1997 Tìm tất hàm f : ¡ ® ¡ + thỏa mãn f (x + y ) = f (x - y ) + f (2xy ) , " x , y Î ¡ Phƣơng trình hàm đƣợc xây dựng từ đẳng thức (x + y )2 = (x - y )2 + (2xy )2 , " x , y Ỵ ¡ Từ thấy đƣợc f (x ) = x , " x Ỵ ¡ hàm số thỏa mãn tốn 2.3.3.2 Bài tốn “Phương trình hàm” đề thi Na Uy 1998 Tìm tất hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f (x + y ) + f (x - y ) = 2f (x ) + 2f (y ) , " x , y Ỵ ¡ Phƣơng trình hàm đƣợc xây dựng từ đẳng thức (x + y )2 + (x - y )2 = 2x + 2y , " x , y Ỵ ¡ Từ thấy đƣợc f (x ) = x , " x Ỵ ¡ hàm số thỏa mãn toán 2.3.3.3 Bài toán “Phương trình hàm” đề thi IMO 2002 Tìm tất hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn ( f (x ) + f (y ))( f (u ) + f (v )) = f (xu - yv ) + f (xv + yu ) , " x , y, u, v Ỵ ¡ Phƣơng trình hàm đƣợc xây dựng từ đẳng thức (x + y )(u + v ) = (xu - yv )2 + (xv + yu )2 , " x , y, u, v Ỵ ¡ Từ thấy đƣợc f (x ) = x , " x Ỵ ¡ hàm số thỏa mãn toán 2.3.3.4 Bài toán “Phương trình hàm” đề thi tạp chí Komal A390 Tìm tất hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn ( f (x ) + f (y ))( f (z ) + 1) = f (xz - y ) + f (x + yz ) , " x , y, z Ỵ ¡ Phƣơng trình hàm đƣợc xây dựng từ đẳng thức (x + y )(z + 12 ) = (xz - y )2 + (x + yz )2 , " x , y, z Ỵ ¡ 138 Từ thấy đƣợc f (x ) = x , " x Ỵ ¡ hàm số thỏa mãn tốn 2.3.3.5 Bài tốn “Phương trình hàm” đề thi Moldova 2004 Tìm tất hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f (x ) - f (y ) = ( f (x ) - f (y ))(x + xy + y ) , " x , y Ỵ ¡ Phƣơng trình hàm đƣợc xây dựng từ đẳng thức x - y = (x - y )(x + xy + y ) , " x , y Ỵ ¡ Từ thấy đƣợc f (x ) = x , " x Ỵ ¡ hàm số thỏa mãn tốn 2.3.3.6 Bài tốn “Phương trình hàm” đề thi Anh 2009 Tìm tất hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f (x ) + f (y ) = (x + y )( f (x ) - f (xy ) + f (y )) , " x , y Ỵ ¡ Phƣơng trình hàm đƣợc xây dựng từ đẳng thức x + y = (x + y )(x - xy + y ) , " x , y Ỵ ¡ Từ thấy đƣợc f (x ) = x , " x Ỵ ¡ hàm số thỏa mãn tốn 2.3.3.7 Bài tốn “Phương trình hàm” đề thi Đức 2006 Tìm tất hàm f : ¤ + ® ¤ + thỏa mãn f (xy ) , " x, y ẻ Ô + f (x + y ) f (x ) + f (y ) + 2xyf (xy ) = Phƣơng trình hàm đƣợc xây dựng từ đẳng thức 1 (x + y )2 + + = , " x, y ẻ Ô + 2 2 xy x y xy Từ thấy đƣợc f (x ) = , " x ẻ Ô + hàm số thỏa mãn x toán 139 CHƢƠNG THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm 3.1.1 Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sƣ phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi hiệu đề tài “Rèn luyện tư thơng qua dạy học giải Tốn “Phương trình hàm” cho hoc sinh khá, giỏi Tốn Trung học Phổ thơng” 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm Thực nghiệm giảng dạy phƣơng pháp giải số dạng Tốn “Phƣơng trình hàm” việc khai thác số tốn “Phƣơng trình hàm” cho nhóm học sinh khá, giỏi Tốn khối 12 trƣờng THPT Ngơ Quyền – Ba Vì thuộc thành phố Hà Nội Kiểm tra trình độ học sinh sau đƣợc học phƣơng pháp giải số dạng “Phƣơng trình hàm” thơng qua kiểm tra tập làm nhà 3.2 Tổ chức thực nghiệm Năm học 2010 – 2011, trƣờng THPT Ngô Quyền – Ba Vì tổ chức thi Tốn cho học sinh khối 11 trƣờng nhằm chọn em học sinh khá, giỏi Tốn để thành lập nhóm làm nịng cốt cho đội tuyển Toán nhà trƣờng tham dự kì thi học sinh giỏi Tốn lớp 12 cấp thành phố Hà Nội năm học 2011 – 2012 Trong đợt thi này, nhà trƣờng chọn đƣợc 30 học sinh để thành lập nhóm tổ chức dạy chun đề Tốn thƣờng có mặt kì thi học sinh giỏi cấp Thành phố, cấp Quốc gia Quốc tế có chuyên đề “Phƣơng trình hàm” Trong trình dạy cho học sinh nhóm này, chúng tơi tiến hành giảng dạy cho em tuần từ đầu tháng năm 2011 đến hết tháng năm 2011, tuần buổi chun đề “Phƣơng trình hàm” Nội dung chúng tơi dạy chuyên đề “Phƣơng trình hàm” cho em phƣơng pháp giải số dạng “Phƣơng trình hàm” thƣờng gặp kì thi học sinh giỏi Tốn cấp từ cấp Thành phố Ơlimpíc Tốn Quốc tế việc khai thác số Toán “Phƣơng trình hàm” nhằm giúp học sinh rèn luyện đƣợc số phẩm chất tƣ nhƣ “Đặc biệt hóa”, “Khái quát hóa” 140 Sau tuần giảng dạy chuyên đề “Phƣơng trình hàm” cho 30 học sinh nhóm, tiến hành tổ chức kiểm tra lần, lần kiểm tra đƣợc tiến hành thời gian 60 phút để đánh giá kết học tập em việc giải “Phƣơng trình hàm” phƣơng pháp mà em đƣợc học suốt tuần Đồng thời chúng tơi đƣa số tập để em làm nhà thời gian tuần nộp, tập nhằm kiểm tra nghiên cứu đào sâu em sau giải xong tốn 3.2.1 Đề kiểm tra lần Bài Tìm tất hàm số f : ¡ ® ¡ thỏa mãn x f (x ) + f (1 - x ) = 2009x - 2012 , " x Î ¡ Bài Tìm tất hàm số liên tục f : ¡ f (x ) - x f (x ) = + ® ¡ thỏa mãn 2011 - 2011x , " x Ỵ ¡ + x 3.2.2 Đề kiểm tra lần Bài Tìm tất hàm liên tục f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f (2011x - 2012y ) = 2011f (x ) - 2012f (y ) , " x , y Ỵ ¡ Bài Tìm tất hàm f : ¡ + f (x ) f (y ) = f (xy ) + ® ¡ thỏa mãn 1 + + 2011 , " x , y Ỵ ¡ x y + 3.2.3 Bài tập làm nhà Bài Tìm tất cỏc hm s f : Ô đ Ô tha f (x + y ) = f (x ) + f (y ) f (xy ) = f (x ) f (y ) , " x , y Ỵ ¤ Bài Tìm cách giải khác tốn Tìm tất hàm số nghịch biến f : ¡ f (x + f (y )) = y , " x, y Ỵ ¡ xy + + + ® ¡ thỏa mãn Điều kiện hàm số f nghịch biến bỏ đƣợc hay không? 141 3.3 Kết kiểm tra số nhận xét sau thực nghiệm 3.3.1 Kết kiểm tra Điểm 0-2 3–4 5-6 7-8 - 10 Tổng số Số lần 11 30 Số lần 2 15 30 Số nhà 18 30 3.3.2 Một số nhận xét sau thực nghiệm Nhìn chung, sau học xong chuyên đề “Phƣơng trình hàm”, em học sinh vận dụng đƣợc phƣơng pháp giải “Phƣơng trình hàm” để làm đƣợc tập “Phƣơng trình hàm” kiểm tra Riêng tập làm nhà, lƣợng thời gian tƣơng đối lớn nên em có thời gian để đầu tƣ, khai thác việc đào sâu nghiên cứu tập Ở số 1, tập em đƣợc học tìm tất hàm số f tập nguồn tập đích ¡ nhƣng gặp phải toán tƣơng ứng tập nguồn v ớch l Ô thỡ cỏc em ó dụng đƣợc phƣơng pháp Quy nạp để giải, qua thể tính linh hoạt tƣ học sinh sau đƣợc học chuyên đề “Phƣơng trình hàm” Ở tập số 2, nhiều học sinh giải đƣợc tốn theo phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số, nhiên có em học sinh đƣa đƣợc cách giải trả lời đƣợc câu hỏi toán Sau đây, xin đƣợc giới thiệu cách giải em Bài Tìm cách giải khác tốn Tìm tất hàm số nghịch biến f : ¡ f (x + f (y )) = y , " x, y Ỵ ¡ xy + + + ® ¡ thỏa mãn Điều kiện hàm số f nghịch biến bỏ đƣợc hay không? Lời giải Thay x f( y- vào phƣơng trình cho ta đƣợc y y- + f (y )) = , " y Ỵ ¡ y + 142 Suy f ( x- y- + f (x )) = f ( + f (y )) , " x , y Ỵ ¡ x y Vì f nghịch biến nên ta có Suy + x- y- + f (x ) = + f (y ) , " x , y Ỵ ¡ x y + x- 1 + f (x ) = a Û f ( x ) = + b , " x Î ¡ + x x Thay vào hệ thức cho ta đƣợc b = , "x Ỵ ¡ + x Vậy hàm số cần tìm f (x ) = Lời giải Nếu tồn y 1, y Ỵ ¡ + cho f (y ) = f (y ) ta có y1 y2 , " x Ỵ ¡ + Suy y = y Vậy f đơn ánh = xy + xy + Thay x f( y- vào phƣơng trình cho ta đƣợc y y- + f (y )) = , " y Î ¡ y Suy f ( x- y- + f (x )) = f ( + f (y )) , " x , y Ỵ ¡ x y Vì f đơn ánh nên ta có Suy + + x- y- + f (x ) = + f (y ) , " x , y Ỵ ¡ x y x- 1 + f (x ) = a Û f ( x ) = + b , " x Ỵ ¡ + x x Thay vào hệ thức cho ta đƣợc b = Vậy hàm số cần tìm f (x ) = , "x Ỵ ¡ + x Lời giải Thay y = vào phƣơng trình cho ta đƣợc f (x + f (1)) = , "x Ỵ ¡ + x+1 143 + Suy f (x ) = , "x Ỵ ¡ + x - f (1) + Thay vào phƣơng trình cho ta đƣợc f (1) = Vậy hàm số cần tìm f (x ) = , "x Ỵ ¡ + x Qua lời giải ta thấy giả thiết tính nghịch biến hàm số khơng cần thiết nên ta bỏ qua điều kiện để đƣợc toán gọn Tìm tất hàm số f : ¡ f (x + f (y )) = + ® ¡ thỏa mãn y , " x, y Ỵ ¡ xy + + Nhƣ vậy, sau học xong chuyên đề “Phƣơng trình hàm” em biết sử dụng phƣơng pháp giải “Phƣơng trình hàm” để làm tập “Phƣơng trình hàm” phần biết đào sâu nghiên cứu số vấn đề “Phƣơng trình hàm” Qua việc học chuyên đề “Phƣơng trình hàm”, học sinh đƣợc rèn luyện phát triển loại tƣ nhƣ tƣ hàm, tƣ lôgic, tƣ thuật toán, tƣ trừu tƣợng, tƣ sáng tạo, tƣ biện chứng Vì qua việc dạy học giải tốn “Phƣơng trình hàm” rèn luyện đƣợc tƣ cho học sinh khá, giỏi Toán THPT 144 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Trƣớc nhu cầu to lớn xã hội cần giáo dục nƣớc nhà đào tạo nên ngƣời vừa hồng, vừa chuyên, động, sáng tạo công việc, hồn cảnh dù khó khăn đến đâu phải vƣợt qua để xây dựng phát triển đất nƣớc ngày giàu mạnh Muốn vậy, ngành giáo dục phải rèn luyện cho học sinh trình học nhà trƣờng phẩm chất tƣ cần thiết để họ thích nghi với sống xã hội đại mai sau Chuyên đề “Phƣơng trình hàm” lĩnh vực cịn xa lạ với hầu hết học sinh THPT nay,vì khó Nhƣng bên cạnh khó chun đề lại giúp khơng lợi ích vào việc rèn luyện phát triển tƣ cho học sinh THPT, việc nghiên cứu chuyên đề để sử dụng vào q trình dạy học tốn trƣờng THPT cần thiết Hiện nay, tài liệu tiếng Việt tiếng nƣớc ngồi viết chun đề “Phƣơng trình hàm” cịn nên giáo viên học sinh khơng có nhiều tài liệu tham khảo chun đề để học tập nghiên cứu Do nhiều tập đề tài tài liệu tham khảo bổ ích cho quan tâm đến chuyên đề “Phƣơng trình hàm” Với hy vọng nho nhỏ đó, đề tài đóng góp phần nho nhỏ vào việc nâng cao chất lƣợng giáo dục Mong cấp lãnh đạo từ nơi tác giả học tập, nơi tác giả công tác cấp quản lý tạo điều kiện giúp đỡ tác giả sau trình thực đề tài để đề tài ngày hồn thiện thành cơng 145 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách tiếng Việt Tô Văn Ban Giải tích tập nâng cao Nxb Giáo dục Việt Nam, 2005 Trần Nam Dũng (Chủ biên) Chuyên đề Tốn học số Nxb Thành phố Hồ Chí Minh, 2010 Đavƣđov V.V Các dạng khái quát dạy học(Sách dịch) Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2000 Phạm Minh Hạc (Chủ biên) Tâm lý học Nxb Giáo dục Hà Nội, 1992 Nguyễn Thái Hòe Rèn luyện tư qua việc giải tập Toán Nxb Giáo dục Việt Nam, 2004 Phan Huy Khải Các toán hàm số Nxb Giáo dục Việt Nam, 2007 Nguyễn Bá Kim Phương pháp dạy học mơn Tốn Nxb Đại học Sƣ phạm, 2002 Hƣng Thịnh Lạc Phương pháp tư lôgic (Sách dịch) Nxb Văn hóa Thơng tin, 2008 Nguyễn Phú Lộc Dạy học hiệu mơn Giải Tích trường phổ thơng Nxb Giáo dục Việt Nam, 2010 10 Nguyễn Văn Lộc(Chủ biên) Tuyển chọn thi vơ địch Tốn địa phương, Quốc gia, Quốc tế Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2010 11 Nguyễn Văn Mậu(Chủ biên) Một số chuyên đề Giải Tích bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông Nxb Giáo dục Việt Nam, 2010 12 Nguyễn Văn Mậu Phương trình hàm Nxb Giáo dục, 2001 13 Bùi Văn Nghị Giáo trình phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn Tốn Nxb Đại học Sƣ phạm, 2008 14 Bùi Văn Nghị(Chủ biên) Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên trung học phổ thông Nxb Đại học Sƣ phạm, 2005 15 Bùi Văn Nghị Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học mơn Tốn trường phổ thơng Nxb Đại học Sƣ phạm, 2009 16 Polya Giải toán nào(Sách dịch) Nxb Giáo dục Việt Nam, 1997 17 Sácđacốp Tư học sinh(Sách dịch) Nxb Giáo dục Hà Nội, 1970 146 ... pháp giải “ Phƣơng trình hàm? ?? để rèn luyện tƣ cho học sinh THPT qua việc dạy học theo chuyên đề bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi toán THPT, chọn đề tài ? ?Rèn luyện tư thơng qua dạy học giải tốn “ Phương. .. chun đề ? ?Phương trình hàm? ?? 1.2.5.1 Khái niệm học sinh khá, giỏi Toán THPT Học sinh khá, giỏi Tốn THPT học sinh có khả Tốn đạt thành tích cao học tập mơn Tốn Những học sinh có khả Toán học sinh tiếp... 1(x ) vào phương trình cho ta phương trình hàm Bước 3: Kết hợp phương trình thiết lập với phương trình cho ta hệ phương trình hàm k ẩn Giải hệ phương trình ta tìm hàm số f (x ) thỏa mãn toán Nếu