(Luận văn thạc sĩ) rèn luyện tư duy phê phán cho sinh viên thông qua dạy học một số phần ví dụ trong giải tích

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC -*** - BÙI THỊ NHUNG RÈN LUYỆN TƯ DUY PHÊ PHÁN CHO SINH VIÊN THƠNG QUA DẠY HỌC MỘT SỐ PHẢN VÍ DỤ TRONG GIẢI TÍCH LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TỐN Chun ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN TOÁN) Mã số: 60 14 10 HÀ NỘI - 2012 -1- ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC BÙI THỊ NHUNG RÈN LUYỆN TƯ DUY PHÊ PHÁN CHO SINH VIÊN THÔNG QUA DẠY HỌC MỘT SỐ PHẢN VÍ DỤ TRONG GIẢI TÍCH LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN) Mã số: 60 14 10 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Nhụy HÀ NỘI – 2012 -2- MỤC LỤC trang MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Lịch sử nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Mẫu khảo sát Câu hỏi nghiên cứu Giả thuyết nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu 10 Dự kiến luận 11 Cấu trúc luận văn Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số khái niệm liên quan đến đề tài 1.1.1 Kĩ giải toán 1.1.2 Kĩ sáng tạo toán 1.1.3 Rèn luyện kĩ sáng tạo toán cho học sinh Thực trạng việc dạy học bất đẳng thức trường THPT 1.2.1 Thực trạng việc học bất đẳng thức trường THPT 1.2 1.2.2 Thực trạng việc dạy bất đẳng thức trường THPT 10 1.3 Kết luận chương 12 Chƣơng 2: RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI CHO HS LỚP 10 THÔNG QUA BĐT AM – GM VÀ CAUCHY – SCHWARZ 13 2.1 Giải sáng tạo toán từ bất đẳng thức AM – GM 13 2.1.1 Bất đẳng thức AM – GM cho n số thực không âm 13 2.1.2 Một số ví dụ áp dụng 15 2.2 Giải sáng tạo tốn thơng qua BĐT Cauchy – Schwarz 49 2.2.1 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 49 2.2.2 Một số ví dụ áp dụng 49 2.2.3 Dạng hệ 53 2.2.4 Dạng hệ 59 2.2.5 Dạng hệ 63 2.3 Bài giảng vận dụng bất đẳng thức AM – GM 67 2.4 Bài giảng vận dụng BĐT Cauchy – Schwarz 72 2.5 Kết luận chương 78 Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 80 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 80 3.2 Đối tượng địa bàn thực nghiệm 80 3.3 Thời gian thực nghiệm 80 3.4 Nội dung tổ chức thực nghiệm 80 3.5 Kết dạy thực nghiệm 81 3.6 Phân tích kết đánh giá 81 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 83 Kết luận 83 Khuyến nghị 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO 85 PHỤ LỤC 86 Phụ lục 86 Phụ lục 87 Phụ lục 89 Phụ lục 90 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT 1, BĐT Bất đẳng thức 2, ĐPCM Điều phải chứng minh 3, GTLN Giá trị lớn 4, GTNN Giá trị nhỏ 5, THPT Trung học phổ thông 6, GV Giáo viên 7, HS Học sinh 8, KL Kết luận MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một dân tộc muốn đứng đỉnh cao văn minh thịnh vƣợng dân tộc phải phát huy đƣợc truyền thống lịch sử, phát huy đƣợc tố chất tƣ tiếp thu có phê phán tinh hoa thời đáp ứng đƣợc nhu cầu phát triển Để trở thành chủ nhân tƣơng lai đất nƣớc kế thừa điều tốt đẹp dân tộc học sinh, sinh viên phải trang bị cho hành trang kiến thức vững vàng, khả tƣ độc lập, nâng cao khả tƣ phê phán khả tƣ sáng tạo Khả tƣ sáng tạo học sinh sinh viên phụ thuộc vào tố chất cá nhân phải đƣợc rèn luyện thƣờng xuyên, khả tƣ độc lập phê phán lại phụ thuộc vào nhiều vào chất lƣợng đào tạo, học tập môi trƣờng giáo dục óc liên tƣởng Điểm yếu sinh viên Việt Nam đƣợc nhiều nhà giáo dục nghiên cứu nhận xét, thái độ thụ động học tập, không chịu đào sâu suy nghĩ , lâ ̣t ngƣơ ̣c la ̣i các vấ n đề mang tiń h phủ đinh ̣ hay khẳ ng đinh ̣ Chính lẽ phải rèn luyện cho sinh viên phong cách tƣ có kĩ tƣ phê phán Các nhà giáo dục phải ln tìm cách đƣa họ vào tình thế, họ ln phải tự đặt cho câu hỏi: Có thiết nhƣ vâ ̣y không ? Nế u giả thiế t khác thì có kế t luâ ̣n đó không ? Khi đă ̣t vấ n đề ngƣơ ̣c la ̣i có nh ận đƣợc mệnh đề đảo hay không? Nhƣ nào? Tại sao? Phải suy nghĩ để có đƣợc câu trả lời thỏa đáng Hãy đặt câu hỏi thuô ̣c nhiề u khiá ca ̣nh khác vấn đề mà bạn tìm cách giải quyết, việc đặt câu hỏi xung quanh vấn đề đƣợc nêu, ta có nhiều khả thấu hiểu vấn đề cách tồn diện sâu sắc Để làm đƣợc việc đó, địi hỏi sinh viên phải đƣợc rèn luyện ý thức, tƣ phê phán từ ngồi ghế nhà trƣờng -8- Tốn học mơn khoa học tƣ logic có liên hệ mật thiết với thực tiễn có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác khoa học, công nghệ nhƣ sản xuất đời sống.Với vai trị đặc biệt, Tốn học trở nên thiết yếu ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống kinh tế - xã hội ngày phát triển Để theo kịp phát triển mạnh mẽ khoa học công nghệ, cần đào tạo ngƣời lao động có hiểu biết, có kĩ ý thức vận dụng thành tựu Toán học điều kiện cụ thể nhằm mang lại kết thiết thực Vì thế, việc dạy mơn Tốn phải ln gắn liền thực tiễn gắn với mục tiêu: “Đào tạo người lao động tự chủ, động sáng tạo, có lực giải vấn đề thực tiễn đặt ra, tự lo việc làm, lập nghiệp thăng tiến sống, qua góp phần xây dựng đất nước giàu mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh” (Nghị TW4, khóa VII) Rèn luyện tƣ phê phán cho sinh viên mục tiêu giáo dục, đƣợc nhiều tác giả ngồi nƣớc nghiên cứu Và thơng qua việc dạy học mơn Tốn, tơi muốn đóng góp phần nhỏ vào việc bồi dƣỡng rèn luyện tƣ phê phán cho sinh viên Cho nên chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: “Rèn luyện tư phê phán cho sinh viên thông qua dạy học số phản ví dụ Giải tích” Lịch sử nghiên cứu Có nhiều đề tài nghiên cứu việc rèn luyện tƣ phê phán cho học sinh sinh viên dạy học mơn, nhiều cơng trình nghiên cứu mơn Giải tích, nhƣng việc nghiên cứu rèn luyện tƣ phê phán cho sinh viên thông qua dạy học phản ví dụ Giải tích chƣa nhiều Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu đề xuất số vấn đề nhằm góp phần rèn luyện tƣ phê phán cho sinh viên qua dạy học phản ví dụ Giải tích -9- Khách thể đối tƣợng nghiên cứu 4.1 Khách thể nghiên cứu Quá trình dạy học Giải tích trƣờng Cao đẳng, Đại học 4.2 Đối tượng nghiên cứu Xây dựng tuyể n cho ̣n hệ thống phản ví dụ Giải tích nhằ m rèn luyện tƣ phê phán cho sinh viên trƣờng Cao đẳng, Đại học Phạm vi nghiên cứu - Phạm vi thời gian: Từ tháng 12/2011 đến 10/2012 kinh nghiệm thực giảng trƣờng Cao đẳng Thƣơng mại Du lịch Hà Nội - Phạm vi nội dung: Các phản ví dụ Giải tích để rèn luyện tƣ phê phán cho sinh viên Câu hỏi nghiên cứu Rèn luyện tƣ phê phán cho sinh viên phƣơng pháp nào? Giả thuyết khoa học Nếu dạy học phản ví dụ Giải tích nhằm rèn luyện tƣ phê phán cho sinh viên làm sinh viên chủ động chiếm lĩnh tri thức, nội dung kiến thức học, trở thành ngƣời có tƣ độc lập tự chủ, động nắm bắt vấn đề cách sâu sắc toàn diện Nhiệm vụ nghiên cứu 8.1 Làm sáng tỏ khái niệm tư duy, tư phê phán 8.2 Đề xuất số biện pháp nhằm rèn luyện lực tư phê phán cho sinh viên 8.3 Xây dựng, tuyển chọn phản ví dụ Giải tích phù hợp với phát triển tư phê phán sinh viên 8.4 Chỉ số phương pháp sử dụng phản ví dụ dạy học 8.5 Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính thực tính hiệu đề tài - 10 - Phƣơng pháp nghiên cứu 9.1 Nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu tài liệu toán học, tài liệu lý luận phƣơng pháp dạy học, tài liệu tâm lý học, tài liệu lý luận dạy học mơn Tốn, đặc biệt Giải tích - Các báo, viết phục vụ đề tài - Các cơng trình nghiên cứu liên quan đến đề tài 9.2 Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn - Dự quan sát hoạt động dạy thầy hoạt động học trò lớp học - Quan sát học rút kết luận trình giảng dạy - Trao đổi kinh nghiệm với giáo viên khác việc sử dụng phản ví dụ dạy học nhằm rèn luyện tƣ phê phán cho sinh viên - Dùng thống kê toán học để xử lý số liệu thống kê 9.3 Thực nghiệm sư phạm - Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm với lớp học thực nghiệm lớp học đối chứng đối tƣợng học 10 Các luận 10.1 Luận lý thuyết - Đƣa lý luận nhà tâm lý học nghiên cứu việc rèn luyện tƣ phê phán cho sinh viên - Lý luận phƣơng pháp dạy học - Lý luận phƣơng pháp dạy học mơn Tốn 10.2 Luận thực tiễn - Thực tiễn phƣơng pháp học tập học sinh, sinh viên thụ động, dập khn máy móc, chƣa trọng đến rèn luyện tƣ phê phán - Phƣơng pháp giảng dạy nhiều giáo viên nặng đọc chép, nhồi nhét kiến thức chƣa quan tâm tới phát triển lực, phát - 11 - triển kĩ ngƣời học đặc biệt tƣ phê phán 11 Đóng góp luận văn - Góp phần làm rõ thêm vai trị quan trọng việc rèn luyện cho học sinh, sinh viên lực tƣ phê phán để nâng cao chất lƣợng đào tạo nguồn nhân lực; - Xây dựng đƣợc hệ thống phản ví dụ Giải tích 12 Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, phụ lục, nội dung luận văn đƣợc trình bày chƣơng: Chƣơng 1: Cơ sở lý luận đề tài nghiên cứu Chƣơng 2: Tƣ phê phán qua phản ví dụ Giải tích Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm - 12 - đoạn [-2;2] lim g ( x)  lim  x   x02  g ( x0 ) x  x0 2) h( x)  x  liên tục x  x0 Nên g ( x) liên tục khoảng (2;2) Ngồi ta có nửa khoảng [ ; ) lim  g ( x)  lim   x   g (2) x ( 2) x ( 2) lim g ( x)  lim  x   g (2) x 2 x 2 Vậy g ( x) liên tục đoạn [-2;2] 2) h( x) xác định nửa khoảng 1 [ ; ) x0  ( ; ) , 2 lim h( x)  lim x   x0   h( x0 ) x  x0 x  x0 Nên h( x) liên tục khoảng - Ghi ( ; ) Ngoài lim  h( x)  lim  x    h( ) 1 1 x   x   + Hàm số liên tục  2  2 khoảng hay Vậy h( x) liên tục nửa khoảng đoạn có đồ thị - Phát biểu [ ; ) đường liền nét Hàm số định lý gián đoạn điểm Nhận xét đồ thị khơng - Ghi 1) Tổng, hiệu, tích, thƣơng hai đường liền nét hàm số liên tục điểm - Nêu nhận xét hàm số liên tục điểm - Nêu định lý (trong trƣờng hợp thƣơng, giá trị mẫu điểm phải khác 0) 2) Hàm đa thức hàm phân thức hữu tỉ (thƣơng hai đa thức) liên tục tập xác định chúng (tức liên tục điểm thuộc - 111 - tập xác định chúng) Định lý 1: Các hàm số lượng giác liên tục tập xác định chúng - Yêu cầu SV làm ví dụ - Thực 1.3 Tính chất hàm số liên tục sau lên bảng trình theo yêu cầu Giải bày: GV a f(-1) = 5, f(3) = 1 Cho hàm số - Có thể chia Vậy f(-1) ≠ f(3) y  f  x   x  3x  thành b Ta có liên tục đoạn [-1;3] nhóm làm f(c) = - c + 3c + việc theo M = có đồ thị nhƣ hình vẽ a Tính f(-1), f(3) Hãy nhóm, - Nộp kết so sánh f(-1) f(3) Và f(c) = M nên : b Với M=3 nằm f(- làm việc chung 1), f(3), tìm c(-1;3) nhóm cho GV cho f(c) = M  - c3 + 3c2 + – = - c3 + 3c2 + =  - c3 + 3c2 - =  (c – 1)(- c2 + 2c + 2) =0  c 1    c  2c    c 1  c    c   Vậy có giá trị c thỏa mãn yêu + Cho hàm số y = f(x) cầu đề (có đồ thị hình vẽ) Định lý liên tục đoạn [a;b] Hàm số f liên tục đoạn f(a) ≠ f(b), điểm [a;b] Nếu f(a)  f(b) với số M nằm f(a), f(b) thực M nằm f(a) f(b), tồn Phán đốn có tồn tại điểm c  (a; b) - 112 - cho f  c   M c(a;b) cho f c  M ? Ý nghĩa hình học định lý - Có Nếu hàm số f liên tục đoạn - Nêu định lý (định lý - Ghi nhớ [a;b] M số thực nằm giá trị trung gian f(a) f(b) đƣờng thẳng - Phát ý y=M cắt đồ thị hàm số nghĩa định y  f ( x) điểm có - Hƣớng dẫn cho Sv lý nhờ đồ thị hoành độ c  (a; b) hàm số liên tục) cách phân tích Hệ đồ thị để rút nhận xét ý nghĩa hình học Nếu hàm f liên tục đoạn [a;b] - Theo dõi ghi bài, vận dụng vào ví dụ cụ thể f(a).f(b) < tồn điểm c(a;b) cho f(c) = Ý nghĩa hình học hệ Nếu hàm f liên tục đoạn [a;b] + Hàm f liên tục f(a).f(b) < đồ thị hàm đoạn [a;b], M nằm số y  f ( x) cắt trục hoành f(a) f(b) Khi M = 0, điểm có hồnh độ c  (a; b) f(a).f(b) < Theo định - Phát biểu thành lời ý lí 2: tồn nghĩa điểm c(a;b) cho - Hệ f(c) = có ứng dụng Giải 1) f  x   x3  2x  liên tục  Đoạn 0,1   ên hàm f liên tục đoạn [0;1] nhƣ Lại có : f(0) = - ; f(1) = việc giải - Nêu hệ phƣơng trình? f(0).f(1) = -2.1 = -2 < Theo hệ quả, tồn điểm c(0;1) cho f(c) = + Ta có: f(c) = Khi Vậy x  c nghiệm c gọi nghiệm - 113 - pt f  x   - Ghi phƣơng trình f(x)= (đpcm) - Nêu ý nghĩa hình học - Chia nhóm 2) Xét hàm f(x) = x + x + liên nhóm giải tục R hệ +Ứng dụng hệ ví Ta có  1,0   nên hàm f liên chứng minh phương dụ tục đoạn [-1;0] trình có nghiệm thuộc - Làm Lại có : f(0) = 1; f(-1) = -1 khoảng - Lên bảng - Yêu cầu SV làm Ví dụ trình bày Theo hệ quả, tồn 1) CM hàm số - Nhận xét điểm c(-1;0) cho f(c) = f  x   x  2x  có Vậy x = c nghiệm pt nghiệm dƣơng - Làm x3 + x + 1= có nghiệm - Sửa chữa sai Hàm số f liên tục đoạn [0;2], lầm có f (0)  1; f (2)  - Sv làm việc theo nhóm 3) Cho hàm số f ( x)  f(x)= (đpcm) Giải nhỏ 2) CMR pt f(-1).f(0) = -1 < Vì 0.8  (1;2) nên theo định lý giá trị trung gian hàm số liên tục, tồn điểm x2  5x  2x  c  (0; 2) cho f (c)  0.8 Chứng minh tồn điểm c  (a; b) cho f (c)  0.8 Củng cố - Nhắc lại nội dung học - Kiểm tra trắc nghiệm Đề kiểm tra 15 phút - 114 - Câu Hàm số f  x  liên tục tập X f  x  liên tục X, điều ngƣợc lại hay sai? A Đ B S C vừa vừa sai Câu 2.Với giá trị a hàm số sau liên tục x =  x²  5x  x   x2 f(x) =  x  a  A a = B a=3 C a = -2 D a = -1 Câu Những điểm gián đoạn hàm số sau x    f(x) =  2( x  1) x    x²  3x  A -1; B 1; C 1; D 1; -2 Câu Số nghiệm phân biệt phƣơng trình x³ – 3x +1 = A có nghiệm Tên học: B có nghiệm phân biệt C có nghiệm phân biệt CHUỖI SỐ ( tiết ) I Mục tiêu - 115 - Về kiến thức: SV nêu đƣợc khái niệm chuỗi số, tiêu chuẩn hội tụ chuỗi số Phân biệt đƣợc chuỗi số dƣơng, chuỗi đan dấu, chuỗi có từ Về kỹ năng: SV biết vận dụng định nghĩa, tính chất tiêu chuẩn cần đủ để xét tính hội tụ chuỗi Về tư thái độ: Có tinh thần tích cực tham gia học, rèn luyện tƣ logic, có kĩ phê phán II Chuẩn bị Giáo viên: giáo án, giảng, giáo trình, dụng cụ dạy học Sinh viên: Tài liệu, giáo trình III Phƣơng pháp dạy học - Thuyết trình, gợi mở, vấn đáp, đàm thoại, phƣơng pháp thảo luận nhóm - Phƣơng pháp trực quan: sử dụng máy chiếu đa Phương tiện dạy học - Các phiếu học tập dƣới dạng slide, máy chiếu để chiếu phiếu học tập, kết phiếu học tập, đề tập, kết luận sau SV thảo luận xong IV Tiến trình dạy học Ổn định lớp Kiểm tra cũ: - Gọi hai SV lên bảng nêu định nghĩa dãy số, tiêu chuẩn hội tụ dãy số - Giảng viên nhận xét dẫn dắt vào Bài HĐ GV HĐ SV Nội dung - GV nêu định nghĩa - Nghiên cứu tài 1.1 Các định nghĩa - 116 - chuỗi số cho ví dụ liệu kiến Cho dãy số {un} = u1, u2, VD1: Chuỗi thức liên quan để , un, a  aq  aq   aq n  hình Có niệm chuỗi số, Sn  a  aq  aq   aq n  qn a 1 q thành khái thức phân biệt đƣợc khái niệm quan đến biểu  u n 1 n  u1  u2  (1) liên đƣợc gọi chuỗi số, số u1, u2, đƣợc gọi từ hay số hạng a Nếu q  Sn  1 q chuỗi từ un từ tổng n   S đƣợc gọi - Từ chuỗi số quát chuỗi số tổng cấp số nhân lùi vô cho SV nêu Tổng n từ đƣợc số hạng tổng chuỗi (1) đƣợc gọi hạn VD2: Xét chuỗi có từ tổng quát, quát un = n(n  1) tổng, riêng Sn = u1 + u2 + + un Nếu Sn có giới hạn S 1    1.2 2.3 n  n  1 (hữu hạn) n   chuỗi (1) đƣợc gọi hội Ta viết: 1   nên: n  n  1 n n  tụ S tổng Ngƣợc lại chuỗi (1) 1 1 1  Sn             3  n n 1 = 1- chuỗi đƣợc ký hiệu Sn: Ta lập tổng riêng thứ n: Sn  tổng tổng riêng thứ n đƣợc gọi phân kỳ  n   n 1 Chú ý: Nếu ta bỏ khỏi chuỗi (1) số hữu hạn Vậy chuỗi cho hội tụ số hạng tính tổng chất hội tụ hay phân kỳ VD3: Xét chuỗi có từ tổng chuỗi khơng thay quát un = (-1)n - 117 - đổi Ta có: Sn = n n chẵn, Sn = -1 n lẻ, Sn khơng có giới hạn n   Chuỗi phân kỳ - GV cho SV tìm hiểu tiêu VD: Chuỗi điều 1.2 Tiêu chuẩn cần chuẩn cần, tiêu chuẩn đủ hoà: hội tụ tài liệu học hội tụ 0 n n limun  lim n tập nhƣng chuỗi Nếu chuỗi (1) hội tụ lim un = n Thật vậy, ta có: - yêu cầu SV phát biểu tiêu phân kỳ (chứng Sn-1 = u1 + u2 + + un-1 minh sau) chuẩn phân kì Sn = u1 + u2 + + un VD Nên: un = Sn - Sn-1   Do chuỗi hội tụ nên: a  n b  q n  q  1 n 1 n 1 lim Sn  S lim Sn1  S n n Phản ví dụ Từ lim un = S - S =   1 n a)  ln 1    n n 1 Chú ý: Tiêu chuẩn b) Chuỗi điều hồ: cần, khơng 1+ 1 + + + +… n phải đủ GV nêu tiêu chuẩn so sánh 1.3 Các tiêu chuẩn đủ hƣớng dẫn SV chứng hội tụ chuỗi minh số dƣơng  Giả sử VD1: Xét hội tụ n1 số dƣơng (un> n) Vì chuỗi 1 1      1.2 1.2.3 n!  un chuỗi - Phải đƣợc Sn+1 = Sn + un+1, un+1 > 0, chuỗi số cần để ta có: Sn+1> Sn Vậy {Sn} - 118 - Với n > 3:  n 1 Chuỗi  n! n so sánh qua dãy số tăng Do đánh giá đƣợc tính dãy số {Sn} bị hội tụ, suy chuỗi hội tụ hay không Sn, chuỗi số hội tụ, hội tụ VD2: Chuỗi  Vì chặn tồn lim dãy số {Sn} khơng bị n chặn lim Sn = , phân kỳ chuỗi số phân kỳ > mà chuỗi điều n n 1 Tiêu chuẩn so sánh Giả sử hai chuỗi hoà  phân kỳ n  u n 1  n (2),  (3) n 1 thoả mãn điều kiện : un  , n  N ; N  const thì: a/ Nếu chuỗi (3) hội tụ chuỗi (2) hội tụ b/ Nếu chuỗi (2) phân kỳ chuỗi (3) phân kỳ Tìm hiểu tài liệu học - SV đƣợc Tiêu chuẫn Đa-lăm-be tập nội dung tiêu chuẩn Đa- l  không lăm-be Sau hƣớng dẫn lim un+1/un: chuỗi SV chứng minh Tuy nhiên trƣờng hợp ta có chuỗi điều hồ  u hội tụ n 1 phân kì lim  VD  n 1 n n n (2) có giới hạn un1 = l un a/ Nếu l < chuỗi số hội tụ b/ Nếu l > chuỗi số chuỗi phân kỳ 2n VD: Xét chuỗi  n! Giả sử chuỗi số dương - Chứng minh - Nhận xét: Trƣờng - 119 - phân kỳ c/ Nếu l = : chưa rõ lim n hợp a = un1 an = lim = VD : Xét chuỗi  n 1 un n tiêu chuẩn Đa-lăm- Chuỗi hội tụ be ta kết an VD : Xét chuỗi  n luận đƣợc Ta có lim n - Tuy nhiên un1 = a un trƣờng hợp ta có chuỗi điều hồ Kết luận theo tiêu chuẩn Đa- chuỗi phân kỳ lăm-be - SV chứng minh Tiêu chuẩn Cô-si - GV nêu tiêu chuẩn Cơ-si, Giả sử ta có chuỗi số hƣớng dẫn SV cách chứng - Nhận xét đƣợc dương minh tƣơng tự với tiêu chuẩn Tiêu chuẩn Cosi u1 + u2 + + un + (2) Đa-lăm-be đƣợc dùng giả sử tồn giới trƣờng hợp hạn lim n n un = l a Nếu l  chuỗi số hội tụ b Nếu l  chuỗi số phân kỳ c Nếu l = : chưa rõ - GV nêu định lý hƣớng - Áp dụng tích Tiêu chuẩn tích phân dẫn SV chứng minh chất tích phân Giả sử f(x) hàm VD: Khảo sát hội tụ suy rộng để giải số dương, liên tục đơn  phân kỳ chuỗi  n tuỳ vấn đề điệu giảm đoạn [1,+) Khi chuỗi n1 theo giá trị    un n1 - 120 - với un = f(n) Hàm f(x) = x  hội tụ phân kỳ đồng dƣơng, liên thời với tích phân suy tục đơn điệu giảm  rộng [1, +) un = f(n)  f (x)dx a) a  1: Ta xét tích phân    1.Nếu tích phân dx  lim b 1  1   b   x  f (x)dx hội tụ lim In = I tồn n   =    nÕu      nÕu   tại, Sn < I + u1, Sn bị chặn nên có giới b) a = 1: Ta xét tích phân hạn, chuỗi hội tụ  dx (ln b  ln1)   1 x  blim  Suy chuỗi số hội tụ với Nếu tích phân phân kỳ Sn > In+un, Sn tăng   1; phân kỳ với   vô hạn: chuỗi phân kỳ GV cho SV tìm hiểu Làm ví dụ 1.4 Chuỗi số với từ có tài liệu học tập, hƣớng dẫn SV chứng minh   n 1  1 n 1 dấu  n2 Xét chuỗi - Chú ý chuỗi (5)  un (4) với n1 phân kỳ chuỗi (4) có từ un có dấu thể hội tụ, ta nói Định lý: Nếu chuỗi  chuỗi (4) bán hội tụ  | un | Chuỗi |un| hội tụ  Chuỗi (5) n1 un hội tụ gọi hội tụ - Sai  |un| phân kỳ mà từ trị tuyệt đối nhƣng u hội tuyệt đối từ n Chiều ngƣợc lại có tụ: Bán hội tụ chuỗi (4) hội tụ chuỗi khơng ? (4) hội tụ Kết luận Chứng minh: (giáo trình) - 121 - +  |un| hội tụ  un hội tụ : hội tụ tuyệt đối Vd: Chuỗi +  |un| phân kỳ, un hội tụ :  sin na n2 chuỗi hội tụ tuyệt đối bán hội tụ + un phân kỳ   |un| phân kỳ VD: Chuỗi đan dấu 1 Nhận xét xem với 1.5 Chuỗi đan dấu 1 n 1      1 n (Chuỗi Leibniz) có chuỗi đan dấu có Một trƣờng hợp đặc biết sử dụng đƣợc chuỗi với từ có tiêu chuẩn hội tụ dấu chuỗi đan 1     n xét dấu Đó chuỗi mà từ âm dƣơng xen kẽ lim  nên hội tụ n n nhau: u1  u2  u3    1 un  n Vì chuỗi trị tuyệt đối tƣơng un  (6) ứng chuỗi điều hồ Tiêu chuẩn hội tụ Leibniz (phân kỳ) nên chuỗi Leibniz Nếu chuỗi đan dấu (6) chuỗi bán hội tụ n  ln n  VD:   1 3n n2  n - Xét lim n un n thoả mãn điều kiện : a/ un dãy giảm: u1 > u2 > > un > b/ lim un = chuỗi (6) hội tụ có tổng S < u1 Củng cố - GV nhắc lại nội dụng bài, giao tập nhà - Cho SV làm việc thông qua phiếu học tập sau Phiếu học tập - 122 - Bài Phát biểu điều kiện cần để chuỗi hội tụ Sử dụng điều kiện cần để xét xem chuỗi sau chuỗi phân kì, hội tụ a  n1 2n n n1 2n c   1 b  n 1 n1 2n  n1 3n  d. Bài Khảo sát hội tụ chuỗi có số hạng tổng quát sau: 1, un  n  n  n 3, un   cos 2, u n  (n  1)(n  2) n (n  3)   4, u n  ln 1  tg  n   n Phụ lục 2: Đề kiểm tra 45 phút Đề kiểm tra số Bài Phát biểu tiêu chuẩn hội tụ dãy? Hãy ví dụ dãy số bị chặn nhƣng không hội tụ? Bài Cho dãy (un) xác định u1 = ; un+1 = + un - 123 - a) Chứng minh (un) bị chặn dãy số tăng b) Suy (un) có giới hạn tính giới hạn Bài Xét tính liên tục hàm số sau:  x3  x   f ( x)   x  7 x  x  , x0  x  Bài Chứng minh phƣơng trình x3  x   có nghiệm âm lớn -1 Đề kiểm tra số   an hội tụ chuỗi Bài Chứng minh chuỗi số dƣơng n 1  a n 1 n hội tụ Điều ngƣợc lại có khơng? Lấy ví dụ? Bài Xét tính liên tục tính có đạo hàm hàm số 3  2x  x   x x = f ( x)    x   Bài Xác định a để f(x) liên tục x = 1  cos x x    x sin x f(x) =  x  a x   x  Bài Các chuỗi có số hạng tổng quát sau có hội tụ khơng? Tính tổng chúng chúng hội tụ: a) un = n +1 b) un = (–1)n 2n + n(n + 1) Đề kiểm tra số  Bài Chứng minh chuỗi hàm  f  x n 1  n hội tụ đoạn  a, b chuỗi hàm  f n  x  hội tụ đoạn n 1 - 124 - Bài Tính tích phân sau x4  a)  dx x 1  b)  sin x.dx x Bài Tính 2 sin dx x   Bài Xét hội tụ chuỗi sau  n 1 n  n  1   n 1 2n  3n 5n Đề kiểm tra số Bài Giả sử f(x) xác định đoạn  a, b Nếu f  x  hàm khả tích đoạn  a, b hàm f(x) có khả tích đoạn hay khơng? Bài Tính giới hạn a) lim x 0  cos 6x x2 b) lim x 0 cos x  cos 3x 2x Bài Tính tích phân  a) I=  x3dx b) J   e2 x cosx dx  x  1 10  2x   Bài Chứng minh chuỗi hàm số  n1   hội tụ  x2  n 1  đoạn [–1; 1] - 125 - n ... phản ví dụ Giải tích để rèn luyện tƣ phê phán cho sinh viên Câu hỏi nghiên cứu Rèn luyện tƣ phê phán cho sinh viên phƣơng pháp nào? Giả thuyết khoa học Nếu dạy học phản ví dụ Giải tích nhằm rèn luyện. ..ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC BÙI THỊ NHUNG RÈN LUYỆN TƯ DUY PHÊ PHÁN CHO SINH VIÊN THÔNG QUA DẠY HỌC MỘT SỐ PHẢN VÍ DỤ TRONG GIẢI TÍCH LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM... niệm tư duy, tư phê phán 8.2 Đề xuất số biện pháp nhằm rèn luyện lực tư phê phán cho sinh viên 8.3 Xây dựng, tuyển chọn phản ví dụ Giải tích phù hợp với phát triển tư phê phán sinh viên 8.4 Chỉ số