Phương trình truyền sóng và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN HỌC LÊ VĂN ĐƠNG Đề tài: PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH ĐÀO TẠO: TOÁN ỨNG DỤNG Giảng viên hướng dẫn: TS CHỬ VĂN TIỆP Đà Nẵng, tháng 04 năm 2019 Lời cảm ơn Lời khóa luận tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Chử Văn Tiệp tận tình hướng dẫn tác giả suốt q trình thực để tác giả hồn thành khóa luận Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy tận tình dạy bảo tác giả suốt thời gian học tập Khoa Toán Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến bạn lớp 15CTUD nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập lớp Vì thời gian kiến thức hạn chế nên thân cố gắng luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp q báu từ thầy, bạn để khóa luận hồn thiện Tác giả Lê Văn Đơng MỤC LỤC Mở đầu Chương Cơ sở lý thuyết 1.1 Một số khái niệm 1.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai 1.3 Bài toán dây rung Chương Phương trình truyền sóng 11 2.1 Phương trình truyền sóng chiều 11 2.2 Bài toán biên hỗn hợp 21 2.3 Bài toán Cauchy 26 2.4 Phương pháp tách biến 34 2.5 Phương trình truyền sóng nhiều chiều 41 2.6 Một số ví dụ minh họa 2D 47 Phụ lục 53 Tài liệu tham khảo 56 Mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu lần vào kỷ 18 cơng trình nhà toán học Euler, Dalambert, Lagrange Laplace công cụ quan trọng để mô tả mơ hình vật lý học (xem [1, 2, 5, 7]) Đến kỷ 19, phương trình đạo hàm riêng trở thành cơng cụ mạnh dùng lĩnh vực toán học khác toán lý thuyết đặc biệt toán thực tiễn Rất nhiều toán lĩnh vực khác như: thủy động học, điện học, nhiệt học, quang học, lý thuyết đàn hồi, v.v nghiên cứu cơng cụ giống - phương trình đạo hàm riêng Trong loại phương trình đạo hàm riêng, phương trình truyền sóng đóng vai trị quan trọng sóng tượng phổ biến tự nhiên ví dụ sóng nước, sóng âm thanh, sóng siêu thanh, sóng điện từ, sóng ánh sáng, sóng hấp dẫn, sóng lượng tử Giải phương trình truyền sóng nghiên cứu tính chất nghiệm giúp hiểu giải thích nhiều tượng vật lý sống thường ngày tượng phản xạ âm thanh, lan truyền sóng nước, tượng giao thoa ánh sáng, tượng sóng dừng, cấu tạo hộp cộng hưởng đàn, sáo âm nhạc v.v tốn khó vật lý đại chẳng hạn sóng vật chất học lượng tử Bởi lý trên, định nghiên cứu tham khảo số tài liệu phương trình truyền sóng chọn đề tài: "Phương trình truyền sóng ứng dụng" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp 2 Mục đích nghiên cứu Thực đề tài “Phương trình truyền sóng ứng dụng”, em hướng đến mục đích rèn luyện khả tiếp cận, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Tốn học cịn thân Từ đó, hình thành khả trình bày vấn đề Toán học trừu tượng cách logic có hệ thống Khóa luận nhằm nghiên cứu tồn nghiệm toán biên tốn Cauchy, tính trơn nghiệm, cách giải ứng dụng phương trình truyền sóng Thực luận văn này, em có hội tìm hiểu vấn đề phương trình đạo hàm riêng mà thân chưa học làm quen với cách nghiên cứu khoa học vấn đề Tốn học Đối tượng nghiên cứu Phương trình truyền sóng, tốn giá trị ban đầu toán biên toán Cauchy nghiệm cổ điển nhiều chiều Phạm vi nghiên cứu Đề tài hoàn thành dựa tảng kiến thức Giải tích, Giải tích số, Phương trình vi phân, Phương trình đạo hàm riêng Trên sở dịch, đọc tìm hiểu kiến thức tài liệu [1, 4, 5, 6, 8, 9] số tài liệu liên quan, từ xếp hệ thống lại kiến thức, chứng minh chi tiết số định lý, bổ đề, hệ quả, giải ví dụ minh họa để hoàn thành việc nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu dựa phương pháp: - Sưu tầm tài liên quan đến đề tài bao gồm sách kinh điển tiếng Việt tài liệu tiếng Anh - Đọc dịch, tổng hợp, trình bày lại theo chủ đề, bổ sung chi tiết, ví dụ minh họa - Trao đổi, thảo luận với cán hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn 6.1 Khóa luận góp phần bổ sung thêm tính chất, cách giải toán Cauchy, toán giá trị ban đầu tốn biên 6.2 Khóa luận sử dụng làm tài liệu tham khảo tài liệu tự học cho sinh viên ngành toán ngành vật lý nghiên cứu mảng Cấu trúc khóa luận Khóa luận chia thành hai chương phụ lục: Chương trình bày số kiến thức sử dụng chương sau Chương trình bày tốn phương trình truyền sóng khơng gian chiều nhiều chiều, tồn tại, ổn định nghiệm toán Cauchy, toán giá trị ban đầu giá trị biên, công thức nghiệm cổ điển ví dụ minh họa có sử dụng phần mềm Matlab để so sánh với nghiệm số Phụ lục trình bày code matlab sửa dụng khóa luận Chương Cơ sở lý thuyết Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức phương trình đạo hàm riêng (PTĐHR), khái niệm tính chất chương chúng tơi trình bày nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết chương sau Chi tiết tham khảo tài liệu sau [1, 5, 8] 1.1 Một số khái niệm Phương trình đạo hàm riêng phương trình nêu lên mối quan hệ ẩn hàm hàm nhiều biến, biến độc lập (một số hữu hạn) đạo hàm riêng Ta sử dụng số kí hiệu sau: • Biến độc lập: x = (x1 , , xn ) ∈ Rn • Ẩn hàm: u(x) = u(x1 , , xn ) • Đạo hàm riêng: Sử dụng khái niệm đa số α = (α1 , , αn ) αi số ngun khơng âm, |α| := α1 + + αn , ta ký hiệu ∂ |α| u(x) Dα u(x) = α1 ∂x1 · · · ∂xαnn Với m số nguyên không âm, ta ký hiệu Dm u(x) vectơ đạo hàm riêng cấp m hàm u(x) Trường hợp m = ta có ∂u ∂u Du = , , ∂x1 ∂xn Đôi ta sử dụng ký hiệu tương đương ∂u ∂u ∂ 2u ux = , uy = , uxy = , ∂x ∂y ∂x∂y Cho k số nguyên dương Ω tập mở Rn Định nghĩa 1.1.1 Phương trình vi phân đạo hàm riêng (gọi tắt phương trình đạo hàm riêng) cấp k phương trình có dạng F (x, u(x), Du(x), , Dk u(x)) = 0, x ∈ Ω (1.1) Ở F hàm nhiều biến thể mối liên hệ ẩn hàm, biến độc lập đạo hàm riêng ẩn hàm, có cấp cao k Ví dụ 1.1.2 • Phương trình Laplace: ∆u = uxx + uyy + uzz = • Phương trình truyền nhiệt (hoặc khuyếch tán) : ut − ∆u = • Phương trình truyền sóng D’Alembert đưa vào năm 1752: utt − ∆u = Định nghĩa 1.1.3 (Nghiệm PTĐHR) Giả sử hàm v : Ω → R có đạo hàm riêng đến cấp k Hàm v(x) gọi nghiệm phương trình đạo hàm riêng (1.1) thỏa mãn F (x, v(x), Dv(x), , Dk v(x)) = x ∈ Ω Định nghĩa 1.1.4 (Phân loại phương trình ĐHR) Ta phân loại phương trình ĐHR sau i) Phương trình ĐHR (1.1) gọi tuyến tính có dạng aα (x)Dα u = f (x), |α|≤k aα (x), f (x) hàm số cho Phương trình tuyến tính gọi f ≡ ii) Phương trình ĐHR (1.1) gọi nửa tuyến tính có dạng aα (x)Dα u + a0 (x, u, Du, , Dk−1 u) = |α|=k iii) Phương trình ĐHR (1.1) gọi tựa tuyến tính có dạng aα (x, u, Du, , Dk−1 u)Dα u + a0 (x, u, Du, , Dk−1 u) = |α|=k iv) Phương trình ĐHR (1.1) gọi phương trình phi tuyến hồn tồn phụ thuộc khơng tuyến tính vào đạo hàm bậc cao 1.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai Trong phần này, liệt kê ba lớp đặc biệt phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai là: phương trình elliptic, hyperbolic parabolic với đại diện chúng phương trình Laplace, phương trình truyền sóng phương trình truyền nhiệt Định nghĩa 1.2.1 Phương trình ĐHR cấp hai dạng n n ∂ 2u = f (x, u, ux1 , , uxn ) aij (x) ∂x ∂x i j i=1 j=1 (1.2) gọi phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính cấp hai Đặc biệt phương trình (1.2) gọi tuyến tính viết dạng n n n ∂u ∂ 2u + + c(x)u = g(x) bk (x) aij (x) ∂x ∂x ∂x i j k i=1 j=1 k=1 Trong trường hợp n = phương trình (1.2) trở thành ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u a11 + 2a12 + a22 = f x, y, u, , ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y Sử dụng phép đổi biến sau ξ = ξ(x, y), (1.3) η = η(x, y), hàm ξ, η ∈ C (Ω) thỏa mãn: ∂(ξ, η) ξ ξ = ηx ηy = Ω x y ∂(x, y) Mục đích phép đổi biến đưa phương trình (1.3) dạng hệ số khơng Tính tốn trực tiếp ta có ∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η = + , ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η = + ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y ∂ u ∂ξ ∂η ∂ u ∂η +2 + + ∂ξ∂η ∂x ∂x ∂η ∂x ∂u ∂ ξ ∂u ∂ η + , + ∂ξ ∂x2 ∂η ∂x2 ∂ 2u ∂ u ∂ξ ∂ξ ∂ u ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η = + + ∂x∂y ∂ξ ∂x ∂y ∂ξ∂η ∂x ∂y ∂y ∂x ∂u ∂ η ∂ u ∂η ∂η ∂u ∂ ξ + + , + ∂η ∂x ∂y ∂ξ ∂x∂y ∂η ∂x∂y ∂ u ∂ u ∂ξ ∂ u ∂ξ ∂η ∂ u ∂η = +2 + + ∂y ∂ξ ∂y ∂ξ∂η ∂y ∂y ∂η ∂y ∂u ∂ ξ ∂u ∂ η + + ∂ξ ∂y ∂η ∂y Khi phương trình (1.3) trở thành ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + a22 = F ξ, η, u, , a11 + 2a12 ∂ξ ∂ξ∂η ∂η ∂ξ ∂η với ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ a11 =a11 + 2a12 + a22 , ∂x ∂x ∂y ∂y ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ ∂ξ ∂η + a12 + + a22 , a12 =a11 ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y ∂η ∂η ∂η ∂η + 2a12 a22 =a11 + a22 ∂x ∂x ∂y ∂y Gọi z = ϕ(x, y) ngiệm phương trình ĐHR cấp sau ∂z ∂z ∂z ∂z a11 + 2a12 = + a22 ∂x ∂x ∂y ∂y Khi phép đổi biến: ∂ 2u ∂ 2u = ∂x2 ∂ξ ∂ξ ∂x ξ =ϕ(x, y) η =η(x, y), làm cho a11 = Tương tự phép đổi biến: ξ =ξ(x, y) η =ϕ(x, y), (1.4) 42 Quay trở lại biến ban đầu cách đặt G = Ψ, F = Φ, ta công thức nghiệm u(x, t) = Φ(x + t) + Ψ(x − t) Giả thiết tính trơn Φ hàm Ψ cho phép ta lấy đạo hàm riêng Hệ 2.5.2 Giả sử u0 ∈ C (R) u1 ∈ C (R) Bài toán Cauchy ∂ 2u ∂ 2u (x, t) − (x, t) = 0, ∀(x, t) ∈ QT , ∂t2 ∂x u(x, 0) = u0 (x), ∀x ∈ R, ∂u (x, 0) = u1 (x), ∀x ∈ R ∂t có nghiệm cổ điển dạng sau: 1 x+t u(x, t) = [u0 (x + t) + u0 (x − t)] + u1 (s)ds 2 x−t Chứng minh Theo Định lý 2.5.1 nghiệm phương trình có dạng u(x, t) = Φ(x + t) + Ψ(x − t) Sử dụng điều kiện ban đầu ta có u(x, 0) = u0 (x) = Φ(x) + Ψ(x), ∂u (x, 0) = u1 (x) = Φ (x) − Ψ (x), ∂t từ suy x Φ(x) = u0 (x) + (u1 (s)ds) + C , x Ψ(x) = u0 (x) − (u1 (s)ds) − C Do ta thu nghiệm dạng sau: x+t u(x, t) = [u0 (x + t) + u0 (x − t)] + u1 (s)ds 2 x−t Tiếp theo, ta xét trường hợp tổng quát Ω = Rn , n ≥ Với hàm F khả tích tập compact Rn × R+ , ta định nghĩa hàm MF sau MF (x, r, t) = ωn F (x + ry, t)dσ(y), S(0,1) (2.36) 43 ωn diện tích mặt cầu đơn vị S(0, 1) ⊂ Rn Mệnh đề 2.5.3 Cho u nghiệm cổ điển toán Cauchy phương phương trình truyền sóng Khi đó, Mu nghiệm toán Cauchy sau ∂ Mu ∂ Mu (x, r, t) = (x, r, t) ∂t2 ∂r2 n − ∂Mu (x, r, t), ∀(x, r, t) ∈ Rn × R × (0, T ), (2.37) + r ∂r Mu (x, r, 0) = Mu0 (x, r), ∀(x, r) ∈ Rn × R, ∂Mu (x, r, 0) = Mu1 (x, r), ∀(x, r) ∈ Rn × R ∂t Phương trình (2.37) gọi phương trình Euler-Possion-Darboux Chứng minh Dựa vào định nghĩa (2.36) ta có u(x + ry, t)dσ(y) Mu (x, r, t) = ωn S(0,1) Dựa vào tính chất u, ta lấy đạo hàm tích phân ∂ ∂Mu (x, r, t) = u(x + ry, t)dσ(y) ∂r ωn ∂r S(0,1) u(x + ry, t)ydσ(y) = ωn S(0,1) ∂u = (x + ry, t)dσ(y) ωn S(0,1) ∂γ r = ∆u(x + ry, t)ydy, ωn B(0,1) tích phân cuối có cơng thức Green Sử dụng phép đổi biến x + ry = z, ta ∂Mu (x, r, t) = n−1 ∆u(z, t)dz ∂r r ωn B(x,r) ∂ 2u = n−1 (z, t)dz r ωn B(x,r) ∂t2 r ∂ 2u = n−1 (z, t)dσ(z)dρ, r ωn S(x,ρ) ∂t2 u thỏa mãn phương trình truyền sóng 44 Tiếp tục sử dụng định nghĩa (2.36) ta có ∂ ∂Mu ∂ 2u rn−1 (x, r, t) = (z, t)dσ(z) ∂r ∂r ωn S(x,r) ∂t2 rn−1 ∂ 2u n−1 ∂ Mu = (x + ry, t)dσ(y) = r (x, r, t), (2.38) ωn S(0,1) ∂t2 ∂t2 từ ta có phương trình (2.37)1 Điều kiện biên (2.37)2 (2.37)3 dễ dàng kiểm tra, dựa vào (2.36) điều kiện biên hàm u Định lý sau cho ta cơng thức nghiệm cổ điển tốn Cauchy cho phương trình truyền sóng trường hợp n số nguyên lẻ Định lí 2.5.4 Cho n số nguyên lẻ, u0 ∈ C (n+3)/2 (Rn ) u1 ∈ C (n+1)/2 (Rn ) Khi đó, nghiệm cổ điển tốn Cauchy cho phương trình truyền sóng cho công thức sau (n−3)/2 ∂ 1∂ u(x, t) = 1.3.5 (n − 2)ωn ∂t t ∂t × tn−2 u0 (x + t, y)dσ(y) S(0,1) + 1∂ t ∂t (n−3)/2 tn−2 u1 (x + t, y)dσ(y) S(0,1) Chứng minh Vì n số nguyên lẻ, ta viết n = 2k + Ta sử dụng hàm v(x, r, t), Φ(x, r) Ψ(x, r) định nghĩa dạng sau: ∂ k−1 2k−1 v(x, r, t) = r Mu (x, r, t) , r ∂r ∂ k−1 2k−1 Φ(x, r) = r Mu0 (x, r) , (2.39) r ∂r ∂ k−1 2k−1 Ψ(x, r) = r Mu1 (x, r) , r ∂r Mu định nghĩa tương tự (2.36) Tính tốn trực 45 tiếp, ta chứng cơng thức truy hồi sau: ∂ ∂ k−1 2k−1 ∂ k 2k ∂F r (r) ; r F (r) = ∂r r ∂r r ∂r ∂r k−1 i ∂ k−1 2k−1 i+1 ∂ F (r), r F (r) = ci r i r ∂r ∂r i=0 F hàm tùy ý khả tích tập compact Rn ci hệ số thực với c0 = 1.3.5 (2k − 1) Từ định nghĩa v , ta có ∂ 2v ∂ (x, r, t0 ) = ∂r r ∂r k ∂Mu (x, r, t) ∂r ∂Mu ∂ k−1 ∂ (x, r, t) r2k = r ∂r r ∂r ∂r ∂ k−1 ∂Mu ∂ Mu = 2kr2k−1 (x, r, t) + r2k (x, r, t) r ∂r ∂r ∂r2 ∂ 2v ∂ k−1 2k−1 ∂ Mu (x, r, t) = (x, r, t) = r r ∂r ∂t2 ∂t2 Bây giờ, ta tìm điều kiện ban đầu thỏa mãn hàm v Từ (2.39)1 , với t = 0, ta có: ∂ k−1 2k−1 v(x, r, 0) = r Mu (x, r, 0) r ∂r ∂ k−1 2k−1 r Mu0 (x, r) = Φ(x, r), = r ∂r ∂v ∂ k−1 2k−1 ∂Mu (x, r, 0) = r (x, r, 0) ∂t r ∂r ∂t ∂ k−1 2k−1 = r Mu1 (x, r) = Ψ(x, r) r ∂r Từ quan hệ trên, ta có hàm v(x, r, t) thỏa mãn phương trình truyền sóng với điều kiện ban đầu Φ(x, r) Ψ(x, r) tương ứng Vậy v có dạng sau 1 r+t v(x, r, t) = [Φ(x, r + t) + Φ(x, r − t)] + Ψ(x, s)ds 2 r−t r2k 46 Ta tìm cơng thức hàm u từ công thức v Ta thấy u(x, t) = lim Mn (x, r, t) = lim v(x, r, t) r→0 r→0 c0 r Từ định nghĩa Mu0 Mu1 n − số chẵn, ta suy hàm Mu0 Mu1 hàm chẵn biến r Do đó, Φ Ψ hàm lẻ biến r, ta có 1 lim [Φ(x, r + t) + Φ(x, t − r)] + Ψ(x, t) u(x, t) = c0 r r→0 r Thay hàm Φ Ψ (2.39), ta công thức nghiệm u phát biểu định lý Tiếp theo, ta tìm dạng nghiệm tốn Cauchy kết hợp với phương trình sóng trường hợp n số chẵn Định lí 2.5.5 Cho n số chẵn, n = 2k , u0 ∈ C k+2 (R2k ) u1 ∈ C k+1 (R2k ) Khi đó, nghiệm cổ điển tốn Cauchy cho phương trình truyền sóng cho cơng thức sau: u(x, t) = · · (2k − 1)ω2k+1 ∂ ∂t × 1∂ t ∂t + k−1 t2k−1 1∂ t ∂t u0 (x + t, y) dy − |y|2 B(0,1) k−1 t2k−1 u1 (x + t, y) dy − |y|2 B(0,1) Chứng minh Ta tăng số chiều không gian lên chiều xét hàm u0 u1 định nghĩa không gian Rn+1 , phụ thuộc vào n biến Khi ta áp dụng định lý với số chiều lẻ, nghiệm tốn có dạng sau × · · (2n − 1)ωn+1 k−1 1∂ t2k−1 u0 (x + t, y)dσ(y , yn+1 ) t ∂t S(0,1) u(t, x, xn+1 ) = × ∂ ∂t + 1∂ t ∂t k−1 t2k−1 u1 (x + t, y)dσ(y , yn+1 ) , S(0,1) (2.40) 47 S(0, 1) mặt cầu đơn vị không gian Rn+1 Chú ý hàm u0 u1 không phụ thuộc vào biến yn+1 nửa mặt cầu ta có dy = + |y |2 dσ (y , yn+1 ) Sử dụng định lý Fubini ta công thức u phát biểu định lý 2.6 Một số ví dụ minh họa 2D Trong mục ta xét thêm số ví dụ nâng cao đồng thời so sánh nghiệm giải tích nghiệm số dùng phương pháp sai phân hữu hạn Nghiệm số chạy phần mềm Matlab, code chương trình để phần phụ lục Ví dụ 2.6.1 Xét dao động màng mỏng hình chữ nhật có cạnh ghim cố định có vị trí ban đầu vận tốc ban đầu mơ tả phương trình sau: utt = c2 ∆u, < x < a, < y < b, t > 0, u(x, y, 0) = f (x, y), ≤ x ≤ a, ≤ y ≤ b, ut (x, y, 0) = g(x, y), ≤ x ≤ a, ≤ y ≤ b, u(x, 0, t) = u(x, b, t) = 0, ≤ x ≤ a, t ≥ 0, u(0, y, t) = u(a, y, t) = 0, ≤ y ≤ b, t ≥ Ta tìm nghiệm phương trình dạng u(x, y, t) = v(x, y)T (t) Khi T v phải thỏa mãn T + c2 λ2 T = 0, t > ∆v + λ2 v = 0, ≤ x ≤ a, ≤ y ≤ b v=0 x = 0, a y = 0, b (2.41) (2.42) Để tìm v ta sử dụng phương pháp tách biến lần Thế v(x, y) = 48 X(x)Y (y) vào phương trình (2.42) ta X Y =− + λ2 = −µ2 X Y Từ đó, ta suy X (x) + µ2 X(x) = 0, X(0) = X(a) = 0, Y (y) + (λ2 − µ2 )Y (y) = 0, Y (0) = Y (b) = Từ toán biên cho X suy µ > Từ nπ µ = µn = Xn (x) = sin(µn x), n = 1, 2, a Từ toán biên Y ta suy λ2 − µ2n ≡ ν phải có dạng mπ b với m = 1, 2, cho mπ Ym (y) = sin(νm y) b Do giá trị riêng tốn (2.42) có dạng nπ mπ λ2 = λ2nm = µ2n + νm = + a b hàm riêng có dạng νm = v = vnm (x) = sin(µn x) sin(νm y) Với m n, từ phương trình (2.41) ta suy T = Tnm (t) = Anm cos(λnm ct) + Bnm sin(λnm ct) Sử dụng nguyên lý chống chất nghiệm ta thu nghiệm u toán ban đầu ∞ u(x, y, t) = [Anm cos(λnm ct) + Bnm sin(λnm ct)] sin(µn x) sin(νm y) n,m=1 số Anm Bnm chọn cho ∞ u(x, y, 0) = f (x, y) = Anm sin(µn x) sin(νm y) (2.43) λnm cBnm sin(µn x) sin(νm y) (2.44) n,m=1 ∞ ut (x, y, 0) = g(x, y) = n,m=1 49 Sử dụng quan hệ trực giao nπz mπz L 0, n = m, sin sin dz = 1, n = m L L L lấy tích phân số hạng (2.43)-(2.44) ta a b Anm = f (x, y) sin(µn x) sin(νm y)dxdy, ab 0 a b Bnm = g(x, y) sin(µn x) sin(νm y)dxdy, abcλnm 0 Ví dụ 2.6.2 (Phương trình truyền sóng hai chiều) Xét phương trình ∂ u(x, y, t) ∂ u(x, y, t) ∂ u(x, y, t) + = ∂x2 ∂y ∂t2 ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ ≤ t ≤ với điều kiện ban đầu điều kiện biên u(0, y, t) = 0, u(2, y, t) = 0, u(x, 0, t) = 0, u(x, 2, t) = 0, ∂u u(x, y, t) t=0 = 0.1 sin(πx) sin(πy/2), (x, y, t) = ∂t Áp dụng tính tốn tương tự ta giải phương trình Hình 2.7 minh họa nghiệm số 2D thời điểm t = Hình 2.7: Phương trình sóng 2D Ví dụ 2.6.3 Xét phương trình ∂ u(r, t) ∂u(r, t) a2 + ∂r2 r ∂r = ∂ u(r, t) ∂t2 50 với điều kiện biên điều kiện ban đầu ∂u(r, t) = g(r), < r < c ∂t t=0 Sử dụng phương pháp tách biến, ta tìm nghiệm dạng u(c, t) = 0, ∀t ≥ 0, u(r, 0) = f (r) u(r, t) = R(r)T (t) Thế biểu thức vào phương trình ta 1 T (t) = R (r) + R (r) = −λ c2 T (t) R(r) r Từ ta thu hai phương trình vi phân thường T (t) + λc2 T (t) = (2.45) rR (r) + R (r) + λrR(r) = (2.46) Về mặt vật lý, ta kỳ vọng nghiệm toán dao động màng trống tuần hoàn theo thời gian nên ta chọn λ = α2 với α > Khi nghiệm tổng qt phương trình (2.45) có dạng T (t) = A cos cαt + B sin cαt Phương trình (2.46) phương trình Bessel, nghiệm tổng qt có dạng R(r) = c1 J0 (αr) + c2 Y0 (αr) Chú ý hàm Y0 (αr) không bị chặn r dần 0, cách xác ta có Y0 (αr) → −∞ r → 0+ Nghiệm không phù hợp với ý nghĩa vật lý nên c2 = Do R(r) = c1 J0 (αr) Sử dụng điều kiện biên u(c, t) = ta suy R(c) = Nếu c1 = ta thu nghiệm tầm thường, J0 (αc) = Hàm Bessel J0 có vơ số nghiệm dương, ký hiệu < α01 < α02 < · · · Khi ta có αc = α0n , với n = 1, 2, , Vậy α0n R(r) = J0 r a Vậy nghiệm phương trình có dạng u0n (r, t) = (An cos cα0n t + Bn sin cα0n t) J0 (α0n r) for n = 1, 2, , 51 với λ0n = α0n /a Sử dụng nguyên lý chồng chất nghiệm ta thu ∞ u(r, t) = (An cos cα0n t + Bn sin cα0n t) J0 (α0n r) (2.47) n=1 Ta sử dụng điều kiện ban đầu để tính hệ số An , Bn Thật vậy, cho t = sử dụng điều kiện u(r, 0) = f (r) ta ∞ f (r) = ∞ (An cos cα0n + Bn sin cα0n 0) J0 (α0n r) = n=1 An J0 (α0n r) n=1 Đây khai triển Fourier-Bessel hàm f khoảng (0, c) Do đó, hệ số An cho công thức c An = 2 rJ0 (α0n r)f (r)dr c J1 (α0n c) Tiếp theo, đạo hàm (2.47) theo t ta ∞ ∂u(r, t) = (−cα0n An sin cα0n t + cα0n Bn cos cα0n t) J0 (α0n r) ∂t n=1 Sử dụng điều kiện ban đầu ∂u(r,0) ∂t = g(r) ta ∞ g(r) = cα0n Bn n=1 Đây khai triển Fourier-Bessel hàm g khoảng (0, c) Do đó, hệ số Bn cho cơng thức Bn = aα0n c2 J12 (α0n c) (a) t = 0.5 c rJ0 (α0n r)g(r)dr (b) t = (c) t = 1.5 Hình 2.8: Dao động màng trống thời điểm t = 0.5, 1, 1.5 52 Kết luận Khóa luận trình bày • Tổng hợp kiến thức để giải phương trình truyền sóng • Tính tốn chi tiết ví dụ • Giải số phương trình truyền sóng phương pháp sai phân hữu hạn Tuy nhiên thời gian thực khóa luận khơng nhiều kiến thức cịn hạn chế nên khóa luận cịn có sai sót, tác giả mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc Hướng nghiên cứu tương lai • Nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn để giải phương trình truyền sóng • Nghiên cứu khái niệm nghiệm yếu • Tìm hiểu thêm phương pháp khác giải phương trình truyền sóng ví dụ phương pháp sử dụng biến đổi Laplace, Fourier 53 Phụ lục Phần trình bày số code Matlab để vẽ hình ví dụ khóa luận Ví dụ 2.4.2 clear a=1; bx0t=@(t)0; bxft=@(t)0; it0=@(x)x.*(1-x); i1t0=@(x)0; xf=1; M=20; tf=2; N=50; [un,x,t]=pde_wave(a,xf,tf,it0,i1t0,bx0t,bxft,M,N); K=10; [ua,A]=pde_wave_ana(a,xf,tf,it0,i1t0,M,N,K); A [T,X]=meshgrid(x,t); ua1=0; for m=1:floor(K/2) nodd=2*m-1; ua1=ua1+8/(nodd*pi)^3*sin(nodd*pi*X).*cos(a*nodd*pi*T); end figure(1), clf mesh(t,x,ua) figure(2), clf mesh(t,x,un) Ví dụ 2.6.2 function [u,x,y,t]=pde_wave2(a,D,tf,it0,i1t0,bxyt,Mx,My,N) dx=(D(2)-D(1))/Mx; x=D(1)+[0:Mx]*dx; dy=(D(4)-D(3))/My; y=D(3)+[0:My]’*dy; dt=tf/N; t=[0:N]*dt; u=zeros(My+1,Mx+1); ut=zeros(My+1,Mx+1); for j=2:Mx for i=2:My, u(i,j)=it0(x(j),y(i)); ut(i,j)=i1t0(x(j),y(i)); end end adt2= a^2*dt*dt; rx= adt2/(dx*dx); ry=adt2/(dy*dy); rxy1= 1-rx-ry; rxy2= rxy1*2; u_1=u; for k=0:N t=k*dt; for i=1:My+1 u(i,[1 Mx+1])= [bxyt(x(1),y(i),t) bxyt(x(Mx+1),y(i),t)]; end for j=1:Mx+1 u([1 My+1],j)= [bxyt(x(j),y(1),t); bxyt(x(j),y(My+1),t)]; end if k==0 54 for i=2:My for j=2:Mx u(i,j)=0.5*(rx*(u_1(i,j-1)+u_1(i,j+1)) +ry*(u_1(i-1,j)+u_1(i+1,j)))+rxy1*u(i,j)+dt*ut(i,j); end end else for i=2:My for j=2:Mx u(i,j)= rx*(u_1(i,j-1)+u_1(i,j+1)) +ry*(u_1(i-1,j)+u_1(i+1,j)) +rxy2*u(i,j) -u_2(i,j); end end end u_2=u_1; u_1=u; mesh(x,y,u), axis([0 2 -0.1 0.1]), pause end clear, clf bxyt=@(x,y,t)0; it0=@(x,y)0.1*sin(pi*x)*sin(pi*y/2); i1t0=@(x,y)0; a=1/2; D=[0 2]; tf=2; Mx=40; My=40; N=40; [u,x,y,t]=pde_wave2(a,D,tf,it0,i1t0,bxyt,Mx,My,N); Ví dụ 2.6.3 function [u,rs,ts,A,B,w]=pde_wave_circle_ana(a,R,tf,i0,i10,bR,Mr,Mt,K) if nargin