Phương trình lượng giác và ứng dụng

Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn MỤC LỤC Trang Công thức lượng giác cần nắm vững A – Phương trình lượng giác Bài tập áp dụng Hướng dẫn giải tập áp dụng - Bài tập rèn luyện - 29 B – Phương trình bậc hai bậc cao hàm lượng giác 32 Bài tập áp dụng 33 Hướng dẫn giải tập áp dụng - 35 Bài tập rèn luyện - 56 C – Phương trình bậc theo sin cos 59 Bài tập áp dụng 59 Hướng dẫn giải tập áp dụng - 62 Bài tập rèn luyện - 81 D – Phương trình lượng giác đẳng cấp - 84 Bài tập áp dụng 85 Hướng dẫn giải tập áp dụng - 87 Bài tập rèn luyện - 92 E – Phương trình lượng giác đối xứng - 93 Bài tập áp dụng 94 Bài tập rèn luyện - 96 F – Phương trình lượng giác chứa thức trị tuyệt đối - 97 Bài tập áp dụng 97 Bài tập rèn luyện - 99 G – Phương trình lượng giác không mẫu mực - 101 Bài tập áp dụng 102 Bài tập rèn luyện - 104 H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương - 106 Bài tập áp dụng 106 Bài tập rèn luyện - 112 I – Hệ phương trình lượng giác - 116 Bài tập áp dụng 117 J – Hệ thức lượng tam giác – Nhận dạng tam giác - 121 Bài tập áp dụng 122 Bài tập rèn luyện - 125 “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com -1- www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG Công thức ● + ● ● = ● = ● = + = = ● os + = Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba ● = ● = ● =  =   ● − os ● − = os − − = − + os ● = ● os ( ± )= ● ( )= − Công thức cộng cung ● ( ± )= ● ( + )= ● ± + − π   +  = +  −   ● − ∓ − + π  −  −  =  +  Công thức biến đổi tổng thành tích ● + = ● + = ● + ( = + − + − + ) ● − =− ● − = ● − + − + ( = − − ) Công thức biến đổi tích thành tổng ● = ● = ( + )+ ( − ) ( − )− ( + ) ● = ( + )+ ( − ) Một số công thức thông dụng khác ● ● -2- + +  π  +  =   = = − =  π  −  ●   + ● − +    − π  =    = = − www.DeThiThuDaiHoc.com =    + π     + www.MATHVN.com Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) Ths Lê Văn Đoàn Để giải phương trình lượng giác ứng dụng nó, bạn học sinh cần nắm vững tất công thức lượng giác Đó hành trang, công cụ cần thiết để chinh phục giới mang tên: "Phương trình lượng giác" Một số lưu ý:  =α là: Điều kiện có nghiệm phương trình  =α  Khi giải phương trình có chứa hàm số phải đặt điều kiện để phương trình xác định − ≤α ≤ , có mẫu số bậc chẵn thiết π ( ∈ ℤ)  Phương trình chứa , điều kiện: ≠ ⇔ ≠  Phương trình chứa , điều kiện: ≠ ⇔ ≠ π ( ∈ ℤ) , điều kiện: π ( ∈ ℤ)  Phương trình chứa ≠ + π Khi tìm nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện Ta thường dùng cách sau để kiểm tra điều kiện:  Kiểm tra trực tiếp cách thay giá trị vào biểu thức điều kiện Nếu vào, giá trị làm đẳng thức nhận nghiệm, sai loại nghiệm  Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa biểu diễn cung điều kiện cung nghiệm Nếu cung trùng ta loại nghiệm, không trùng ta nhận nghiệm có Cách biểu diễn cung – góc lượng giác đường tròn: " Nếu cung góc lượng giác π   với ∈ ℤ ∈ ℕ + có điểm số đo α + + đường tròn     lượng giác cách nhau" π π Ví dụ 1: Nếu sđ = + π có điểm vị trí (ta chọn = ) Ví dụ 2: Nếu sđ = Ví dụ 3: Nếu sđ = Ví dụ 4: Nếu sđ = (ứng với vị trí π π π + π có điểm π + + = π có điểm = π + π π vị trí có điểm π π (ta chọn π vị trí = π π , , = ) ( π ) = , π ; π ) Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung =− Biểu diễn cung =− Biểu diễn cung = “Cần cù bù thông minh…………” vị trí π π π + π = π + π + π đường tròn có điểm vị trí: − π + π đường tròn có www.DeThiThuDaiHoc.com -3- π www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn điểm vị trí: π Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) π π/3 Tổng hợp hai cung gồm điểm hình vẽ π π cung tổng hợp là: = + 5π/6 O     = =± –π/6   Đối với phương trình  ⇔ ta không nên giải   4π/3 = =±     trực tiếp có tới nghiệm, kết hợp so sánh với điều kiện phức tạp, ta nên hạ bậc tối ưu Nghĩa là:    =  − = =   Tương tự phương trình ⇔ ⇔   = − =     =      = =±   ⇔ ta không nên giải thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức   =± =      = = = + = Lúc đó:  ⇔  ⇔  = = =    Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo ''  Đây xem câu thần ''đơn giản, dễ nhớ'' lượng giác lại đóng vai trò nhân tố cần thiết, hiệu giải phương trình lượng giác  Cos đối, nghĩa cos hai góc đối nhau, tức (−α ) = α , cung góc lượng giác lại '' – '' nó: (−α ) = − α (−α ) = − α (−α ) = −  Sin bù, nghĩa sin hai góc bù nhau, tức góc lượng giác lại '' – '' nó: (π − α ) = − α (π − α ) = − α α (π − α ) = (π − α ) = − α , cung α  Phụ chéo, nghĩa với hai góc phụ (có tổng 90 ) sin góc cos góc ngược lại, tức là:       π   π − α  =  π − α  =  π − α  =  − α  = α α α α              Ta thử đến với ví dụ nhỏ sau để thấy hiệu '' câu thần '' này: = Giải phương trình lượng giác: Rõ ràng, phần phương trình lượng giác bản, ta biết cách giải cho phương trình = , phương trình = ? π   −  Câu trả lời phụ chéo, bởi: = ⇔ =    = π − + π ∨ = π + + π ( ∈ ℤ) Qua ví dụ này, hẳn gặp phương trình dạng -4- = www.DeThiThuDaiHoc.com  π   −     www.MATHVN.com Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) Ths Lê Văn Đoàn bạn học sinh không cảm thấy lúng túng  Một số cung góc hay dùng khác:      ( ( + π) = + π) =      ( ( +π+ π) = − +π+ π) = − ( ∈ ℤ) A – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Dạng: Dạng: Dạng: Dạng: =  = + π ⇔   = π − + = = = Đặc biệt: π  = + π ⇔   = − + π Đặc biệt: ⇔ = + π π ≠ + π ⇔ = Đặc biệt: + π Đặc biệt: ≠ π                              = ⇒ = π π = + = ⇒ =− ⇒ = ⇒ =− = π π π + + π = ⇒ = π =− ⇒ =π+ = ⇔ π = π =± ⇔ = π ⇔ =± = =± ⇔ π π + π + π =± π + π BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Giải phương trình: Bài Giải phương trình: Bài Giải phương trình: Bài Giải phương trình: + Bài Giải phương trình: ( Bài Giải phương trình: + Bài Giải phương trình: − ( “Cần cù bù thông minh…………” + − + )( + − +  π  −    (∗) (∗) = = + =  π   −       + π       (∗) + )+ = ∀ ∈  − (∗) )= − = + + + (∗) − = (∗) π  −  www.DeThiThuDaiHoc.com    (∗) -5- Ths Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Bài Giải phương trình: Bài Giải phương trình: + π   −      π   −  =       Bài 10 Giải phương trình: Bài 11 Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) π  +     π  +  π −  =     + π  =    (∗) =       + π     () ()    + π  =    π −  =  Bài 12 Giải phương trình: Bài 13 Giải phương trình:    Bài 14 Giải phương trình: + () () + + (∗) (∗) + + = Bài 16 Giải phương trình: + + = Bài 17 Giải phương trình: + = + Bài 18 Giải phương trình: − Bài 19 Giải phương trình: + Bài 20 Giải phương trình: = Bài 21 Giải phương trình: = Bài 22 Giải phương trình: −   −  (∗) − = + Bài 23 Giải phương trình: = + + (∗) + (∗) = Bài 24 Giải phương trình: + + Bài 25 Giải phương trình: + − + (∗) (∗) + + ( (∗) (∗) π = sin  +  + (∗) = Bài 15 Giải phương trình: Bài 26 Giải phương trình: () )( = − + = − )+ + = ( + ) (∗) Bài 28 Giải phương trình: + = + )+ Bài 29 Giải phương trình: + = ( ( Bài 31 Giải phương trình: -6- − − = = (∗) (∗) ) (∗) + + (∗) = Bài 27 Giải phương trình: Bài 30 Giải phương trình: (∗) + − (∗) (∗) www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) Bài 32 Giải phương trình: = + Bài 34 Giải phương trình: + + − + − + + Bài 37 Giải phương trình: + + Bài 38 Giải phương trình: − Bài 39 Giải phương trình: + Bài 40 Giải phương trình:  π  −    ( Bài 41 Giải phương trình: ( Bài 43 Giải phương trình: − ) ) +( − ( Bài 46 Giải phương trình: Bài 47 Giải phương trình: Bài 48 Giải phương trình: − “Cần cù bù thông minh…………” ( + ) )= (∗) − = ( + )+ (∗) (∗) − = − (   +  (∗) = ) + = + (∗) (∗) + = + ) + ) − (∗) + + Bài 49 Giải phương trình: Bài 50 Giải phương trình: ( = − ( (∗) = )= = + (∗) = + ( (∗) + + Bài 44 Giải phương trình: ) (∗) + = − Bài 42 Giải phương trình: (∗) = = (∗) =− (∗) = + Bài 36 Giải phương trình: (∗) − + + Bài 35 Giải phương trình: Bài 45 Giải phương trình: (∗) = Bài 33 Giải phương trình: Ths Lê Văn Đoàn (∗) − +  =   (∗) www.DeThiThuDaiHoc.com (∗) -7- www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Bài Giải phương trình:  ∀ ∈    Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2002 − + (∗) − = Lời bình: Từ việc xuất ba cung , giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng ? Các bạn trả lời câu hỏi dựa vào quan cung Nhưng đưa cung hay cung niệm sau: " Trong phương trình lượng giác tồn ba cung , ta nên đưa cung 2 biểu thức có chứa sin x (hoặc cos x) Còn không chứa sin2x (hoặc trung gian cos x), nên đưa cung " Bài giải tham khảo (∗) ⇔ ( ( ⇔ ∈  " )− ( −   −  ⇔   )= ∈ℤ⇔ ≤ Bài Giải phương trình: π ( )+ − ( )⇔ (! ) = = π = − ≤ ⇔   ∈ ℤ  + π≤ − − = )( ⇔ + π ≤≈ ( = ∈ ℤ)  π ∈   ⇒ )= + − π π π    (∗) − Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2004 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ ( ⇔( ⇔(  ⇔   − − − )( )( ) ( + + + − = + =   ⇔   Bài Giải phương trình: )= )− )− − ( − =  π = =− + )= ⇔( −   = ±π + π  ⇔  = − π + #π   − − = )( ( )= + # ∈ ℤ) (∗) Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2006 Lời bình: Từ việc xuất cung , nghĩ đến việc đưa chúng cung x công thức nhân ba công thức nhân đôi hàm cos Bài giải tham khảo (∗) ⇔ ⇔ -8- − ( + + )−( − − + )= − = ⇔( ⇔ + + )( − − )= www.DeThiThuDaiHoc.com − = www.MATHVN.com Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) ⇔ −( + )   ⇔   = Bài Giải phương trình: Ths Lê Văn Đoàn  = π  ⇔  =± π +# π =−  = + + + + ( # ∈ ℤ) (∗) = Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ ( ⇔( ⇔(   ⇔   )+ )+ )( + + + + + ( =− )= + )=   ⇔   =− = =− = ( Bài Giải phương trình:   = −π + π  π⇔  =± π +# π   )+ + ( # ∈ ℤ) (∗) = + Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2008 Lời bình: Từ việc xuất cung cung mà ta nghĩ đến việc chuyển cung cung công thức nhân đôi hàm sin cos, từ xuất nhân tử chung hai vế (∗) ⇔ ( + − ⇔ ⇔( )+ + + )( = + = + − Bài Giải phương trình: )=   ⇔   + Lời bình: Từ việc xuất hai cung ( ⇔ =− =   =± π+  ⇔  = π + #π   + π )−( ( + )= # ∈ ℤ)  π   −    (∗)    − π     Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008 = − π π − giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung khác cung chung Để làm điều đó, ta dùng công thức cộng cung dùng câu thần "cos đối – sin bù – phụ chéo'' Ta thực hai ý tưởng qua hai cách giải sau Bài giải tham khảo Cách giải Sử dụng công thức cộng cung: “Cần cù bù thông minh…………” ( ± )= www.DeThiThuDaiHoc.com ± -9- www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn (∗) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔( + π + = +  −   (  + ⇔   + = = (   ⇔    π    − Điều kiện: ≠ ⇔ ≠ ) + )+ + π  )  + ( =−  =   π − Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) )= + =− =− ⇔(   = −π + π   π ⇔  = − + #π   π + $π  =  )( + ( )= + # $ ∈ ℤ) Cách giải Sử dụng "cos đối – sin bù – phụ chéo''    Ta có:      (∗) ⇔  π  −  =    π   −  =    + =    − π − π −  =           π −  + π  = −        −  + ( )        + π  = −    ( ) + Giải tương tự cách giải      + π   π −  (∗)       Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp HCM năm 1999 Bài Giải phương trình: Lời bình: Từ tổng hai cung    + π    + +   π −  π +  =  = π − = π giúp ta liên tưởng đến câu ''phụ chéo'' , thật vậy:    + π    π π    −  +  Công việc lại dùng công thức: nhận xét này, mà ta tiến hành biến đổi tan   =      + π     + = − =    + π  =    Nếu , qui đồng toán trở nên phức tạp, chưa tính đến việc đối chiếu nghiệm với điều kiện Bài giải tham khảo    ĐK:     - 10 -    + π  ≠    π   −  ≠    ⇔  π  +    π  −   ≠   ⇔    π −  ≠  ⇔ www.DeThiThuDaiHoc.com    π −  ≠  Ths Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com    Bài 413 Giải hệ phương trình:         Bài 414 Giải hệ phương trình:      Bài 415 Giải hệ phương trình: Bài 416 Giải hệ phương trình: Bài 417 Giải hệ phương trình: Bài 418 Giải hệ phương trình: Bài 419 Giải hệ phương trình: Bài 420 Giải hệ phương trình: Bài 421 Giải hệ phương trình: Bài 422 Giải hệ phương trình: Bài 423 Giải hệ phương trình: Bài 424 Giải hệ phương trình: - 118 - Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) − = + = + = () + =− ()   + = −    = +    = +    =   − =    − =   + =    ( − )=   =    π π  ∈  π −  ∈         =     (π ) (π ) =    (π ) = (π )   < + <    − = − ()   = ()    π + =   +        π + =  −       + = ( + )    + =   ( + )+ =   = +  () () www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) Bài 425 Giải hệ phương trình: Bài 426 Giải hệ phương trình: Bài 427 Giải hệ phương trình: Bài 428 Giải hệ phương trình: Bài 429 Giải hệ phương trình: Bài 430 Giải hệ phương trình: Bài 431 Giải hệ phương trình: Bài 432 Giải hệ phương trình: Bài 433 Giải hệ phương trình: Bài 434 Giải hệ phương trình: Bài 435 Giải hệ phương trình: Bài 436 Giải hệ phương trình: Bài 437 Giải hệ phương trình: “Cần cù bù thông minh…………”  +  − =   + − =   − = −   + = π  [...]... giữa sinx và cosx) www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths Lê Văn Đoàn BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 51 Giải phương trình: + Bài 52 Giải phương trình: − Bài 53 Giải phương trình: Bài 54 Giải phương trình: = Bài 55 Giải phương trình: = Bài 56 Giải phương trình: Bài 57 Giải phương trình: Bài 58 Giải phương trình: Bài 59 Giải phương trình: Bài 60 Giải phương trình: ... Giải phương trình: + = Bài 74 Giải phương trình: = Bài 75 Giải phương trình: Bài 76 Giải phương trình: + = Bài 77 Giải phương trình:  π  −  =   Bài 78 Giải phương trình: Bài 79 Giải phương trình: Bài 80 Giải phương trình: Bài 81 Giải phương trình: Bài 82 Giải phương trình: Bài 83 Giải phương trình: Bài 84 Giải phương trình: Bài 85 Giải phương trình: Bài 86 Giải phương trình: Bài 87 Giải phương. .. Giải phương trình: Câu 9 Giải phương trình: + Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) = − − = + + ( ) − + =  π  −    − − Câu 10 Giải phương trình: + = = Câu 11 Giải phương trình: + + = + Câu 12 Giải phương trình: + + − = ( Câu 13 Giải phương trình:     −   + Câu 14 Giải phương trình: − Câu 15 Giải phương trình: − + − Câu 18 Giải phương trình: = Câu 19 Giải phương trình: ... Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Câu 26 Giải phương trình: − Câu 27 Giải phương trình: = + − = Câu 28 Giải phương trình: −     +   =     =   ( Câu 31 Giải phương trình: − − Câu 32 Giải phương trình: + = −    )= − + + Câu 38 Giải phương trình: = + + ) − + Câu 40 Giải phương trình: + + Câu 41 Giải phương trình: + + + ( ( + Câu 47 Giải phương trình: ( Câu 48 Giải phương. .. Giải phương trình: = − − Câu 36 Giải phương trình: Câu 43 Giải phương trình: +  π  +    ( + = Câu 35 Giải phương trình: π −  =  Câu 34 Giải phương trình: Câu 30 Giải phương trình: Câu 33 Giải phương trình: + Câu 29 Giải phương trình: Ths Lê Văn Đoàn ( + + )+ − + ( )= − + www.DeThiThuDaiHoc.com - 31 - www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng... www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Bài 94 Giải phương trình: + + Bài 95 Giải phương trình: + = Bài 96 Giải phương trình: Bài 97 Giải phương trình: Bài 98 Giải phương trình: Bài 99 Giải phương trình: ( +    + Bài 100 Giải phương trình: (∗) (∗) − (∗) = π +  +  π −  +  + + − + )= + −    Ths Lê Văn Đoàn ( = + + ) (∗) − (∗) = (∗) = (∗) = HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH... phương trình:    + =  = +   + + +  π  π  −   −  − = (∗)       π   − π  = + ∀ ∈  π (∗)      π   −  ( − = ) − )− + (∗)    = )− + + Bài 62 Giải phương trình: Bài 63 Giải phương trình: Bài 64 Giải phương trình: Bài 65 Giải phương trình: Bài 66 Giải phương trình: Bài 67 Giải phương trình: + Bài 68 Giải phương trình: − Bài 69 Giải phương trình: ... Giải phương trình: + Câu 24 Giải phương trình: Câu 25 Giải phương trình: - 30 - = + − + = π + + + + ( + = + Câu 23 Giải phương trình:  π   ∀ ∈    + π )= )  π  = = Câu 22 Giải phương trình: = + + + π ∀ ∈   ) π+ − Câu 17 Giải phương trình: Câu 21 Giải phương trình: ( = + + Câu 16 Giải phương trình:    − π  = +    = = www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Phương. .. của phương trình là = + π ∨ = + #π = π +    =    + π ( # ∈ ℤ) BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1 Giải phương trình: − Câu 2 Giải phương trình: + = Câu 3 Giải phương trình: Câu 4 Giải phương trình: Câu 5 Giải phương trình: “Cần cù bù thông minh…………” + = + − + = + − = =    π +    www.DeThiThuDaiHoc.com - 29 - Ths Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Câu 6 Giải phương trình: Câu 7 Giải phương trình: ... Giải phương trình: Câu 49 Giải phương trình: Câu 50 Giải phương trình: “Cần cù bù thông minh…………” ( + + − + = = + )+ − − + = + = )=    + π  =    + = = )− − < = + = + + ∀ = )( −  −   ) + ) + Câu 46 Giải phương trình: ( =    + + − − Câu 45 Giải phương trình:   +  π  −  = + ( Câu 42 Giải phương trình: = + Câu 39 Giải phương trình: Câu 44 Giải phương trình: ) − ... π BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Giải phương trình: Bài Giải phương trình: Bài Giải phương trình: Bài Giải phương trình: + Bài Giải phương trình: ( Bài Giải phương trình: + Bài Giải phương trình: − ( “Cần... Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) Bài 32 Giải phương trình: = + Bài 34 Giải phương trình: + + − + − + + Bài 37 Giải phương trình: + + Bài 38 Giải phương trình: − Bài 39 Giải phương trình: ... Giải phương trình: Câu Giải phương trình: + Phương trình lượng giác ứng dụng (Nâng cao) = − − = + + ( ) − + =  π  −    − − Câu 10 Giải phương trình: + = = Câu 11 Giải phương trình: