PHƯƠNG PHÁP SỐ HÓA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI CÁC XẤP XỈ TAYLOR

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  HOÀNG THN MINH THẢO PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI CÁC XẤP XỈ TAYLOR Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số : 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TÔ ANH DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 1 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành với lòng tri ân sâu sắc mà tôi kính gửi đến quí thầy cô, đồng nghiệp, bạn đồng khóa và gia đình thân thương của tôi. Trước tiên, tôi hết lòng tri ân thầy hướng dẫn TS.Tô Anh Dũng, những kiến thức chuyên môn và kinh nghiệm quí báu mà thầy đã tận tình truyền đạt cho tôi trong suốt quá trình học tập cũng như thực hiện luận văn. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán – Tin học cùng các cán bộ công nhân viên khác thuộc Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian theo học tại trường. Đặc biệt, tôi vô cùng cảm ơn PGS.TS.Nguyễn Bác Văn, TS.Dương Tôn Đảm đã tận tâm trong giảng dạy, kiến thức mà tôi tiếp thu được từ các thầy là nền tảng quan trọng giúp tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ ở đây lòng biết ơn đối với Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM, các đồng nghiệp công tác tại Khoa Khoa học Cơ bản, các anh Dương Ngọc Hảo, Phạm Duy Khánh và các bạn lớp Cao học Xác suất Thống kê K17, sự giúp đỡ, động viên quí báu cùng những điều kiện thuận lợi mà Ban Giám hiệu và các anh chị dành cho tôi đã giúp tôi hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng kính yêu vô hạn đến song thân của tôi, những người luôn luôn kiên nhẫn, không bao giờ nề hà gian lao, khó nhọc để sinh thành, nuôi dưỡng, dạy bảo tôi một cách tốt nhất. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2010 Tác giả luận văn Hoàng Thị Minh Thảo 2 Lời nói đầu Phương trình vi phân ngẫu nhiên có nguồn gốc phát sinh từ mô hình toán của các hệ thống vật lý có nhiễu bản chất và tính không ổn định. Tiếp đó, các mô hình toán có liên quan đến phương trình vi phân ngẫu nhiên tương tự như thế trở nên phổ dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học ứng dụng như sinh học, dịch tễ học, cơ học, kinh tế học và tài chính, v.v… Tuy nhiên, hầu hết các phương trình vi phân ngẫu nhiên phát sinh từ thực tế nghiên cứu của các ngành khoa học ứng dụng lại không thể được giải một cách chính xác. Do đó, xây dựng phương pháp để xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên một cách hiệu quả với sự trợ giúp của máy điện toán trở thành vấn đề rất quan trọng. Đến nay, một phần trọng yếu của vấn đề vừa nêu đã được giải quyết và kết quả chính là các sơ đồ số cho phép xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên. Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi giới thiệu một số sơ đồ số được xây dựng trên cơ sở khai triển Ito-Taylor (còn gọi là khai triển Taylor ngẫu nhiên) của quá trình ngẫu nhiên Ito, các sơ đồ số này cho phép tìm xấp xỉ Taylor của quá trình ngẫu nhiên Ito thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito. Luận văn gồm có 4 chương: Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản trong lý thuyết xác suất sẽ được đề cập đến nhiều lần trong nội dung các chương tiếp theo của luận văn. Chương 2 trình bày một số kiến thức quan trọng làm cơ sở cho việc nghiên cứu phương pháp số giải phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) bao gồm quá trình Wiener, tích phân Wiener, tích phân Ito, quá trình Ito, phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) và nghiệm của nó. Chương 3 trình bày các khái niệm liên quan đến khai triển Ito-Taylor cho hàm đủ trơn của quá trình Ito như tích phân Ito lặp, công thức khai triển 3 Ito-Taylor. Khai triển Ito-Taylor được ví như chiếc chìa khóa mở cánh cửa dẫn tới các sơ đồ số xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên. Chương 4 trình bày các sơ đồ số cho phép tìm xấp xỉ rời rạc thời gian của quá trình ngẫu nhiên Ito thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito). Các sơ đồ số này được xây dựng trên cơ sở giản lược khai triển Ito- Taylor của quá trình ngẫu nhiên Ito, chỉ giữ lại một số lượng thích hợp những số hạng đầu trong khai triển. Các xấp xỉ cho bởi các sơ đồ số này được gọi là xấp xỉ Taylor và được chia thành hai loại là xấp xỉ Taylor mạnh và xấp xỉ Taylor yếu. 4 Mục lục Trang Lời cảm ơn Lời nói đầu Mục lục Bảng kí hiệu Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT §1.1. Không gian xác suất Định nghĩa 1.1.1 σ-đại số Định nghĩa 1.1.2 Độ đo xác suất Định nghĩa 1.1.3 Không gian xác suất §1.2. Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.2.1 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.2.2 Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.2.3 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.2.4 Kỳ vọng có điều kiện Định nghĩa 1.2.5 Kỳ vọng có điều kiện §1.3. Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.3.1 Hội tụ hầu chắc chắn Định nghĩa 1.3.2 Hội tụ bình phương trung bình Định nghĩa 1.3.3 Hội tụ theo xác suất Định nghĩa 1.3.4 Hội tụ căn bản Định nghĩa 1.3.5 Hội tụ yếu Định lý giới hạn trung tâm §1.4. Vector ngẫu nhiên Định nghĩa 1.4.1 Vector ngẫu nhiên Định nghĩa 1.4.2 Hàm phân phối của vector ngẫu nhiên Định nghĩa 1.4.3 Hàm đặc trưng của vector ngẫu nhiên 1 2 4 9 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 5 Định nghĩa 1.4.4 Các biến ngẫu nhiên độc lập Chương 2. MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN §2.1. Quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa 2.1.1 Quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa 2.1.2 Quá trình Gauss Định nghĩa 2.1.3 Quá trình số gia độc lập Định nghĩa 2.1.4 Quá trình Wiener Định nghĩa 2.1.5 Quá trình Wiener Định nghĩa 2.1.6 Quá trình Wiener tiêu chuNn Định nghĩa 2.1.7 Bộ lọc và martingale Định nghĩa 2.1.8 Thời điểm dừng Ví dụ 2.1.1 Ví dụ 2.1.2 Ví dụ 2.1.3 Ví dụ 2.1.4 §2.2. Tích phân Wiener Định nghĩa 2.2.1 Hàm đơn giản trên [0, ] T Định nghĩa 2.2.2 Tích phân Wiener của hàm đơn giản Định nghĩa 2.2.3 Tích phân Wiener Ví dụ 2.2.1 Ví dụ 2.2.2 §2.3. Tích phân Ito 2.3.1 Tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên thuộc lớp T N Ví dụ 2.3.1 2.3.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên thuộc lớp T N 2.3.3 Tích phân Ito nhiều chiều 13 14 14 14 14 14 14 15 15 15 16 16 17 17 17 18 18 18 19 20 20 21 21 23 24 25 6 §2.4. Quá trình Ito 2.4.1 Quá trình Ito 1-chiều Định nghĩa 2.4.1 Định lý 2.4.1 Công thức Ito 1-chiều Ví dụ 2.4.1.1 Ví dụ 2.4.1.2 Ví dụ 2.4.1.3 2.4.2 Quá trình Ito nhiều chiều Định nghĩa 2.4.2 Định lý 2.4.2 Công thức Ito nhiều chiều Ví dụ 2.4.2 §2.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) Định nghĩa 2.5.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1-chiều Định nghĩa 2.5.2 Nghiệm mạnh Định nghĩa 2.5.3 Nghiệm yếu Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Định nghĩa 2.5.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên nhiều chiều Ví dụ 2.5.1 Ví dụ 2.5.2 Chương 3. KHAI TRIỂN ITO-TAYLOR §3.1. Giới thiệu 3.1.1 Khai triển Taylor tất định 3.1.2 Xây dựng khai triển Ito-Taylor cho quá trình Ito 1-chiều §3.2. Tích phân Ito lặp 3.2.1 Đa-chỉ số Ví dụ 3.2.1 3.2.2 Tích phân Ito lặp 26 26 26 26 26 28 28 29 29 30 30 32 32 32 32 33 33 34 34 36 36 36 37 40 40 40 41 7 Ví dụ 3.2.2.1 Ví dụ 3.2.2.2 3.2.3 Quan hệ giữa các tích phân Ito lặp Ví dụ 3.2.3.1 Ví dụ 3.2.3.2 §3.3. Khai triển Ito-Taylor 3.3.1 Hàm hệ số Ito Ví dụ 3.3.1.1 Ví dụ 3.3.1.2 3.3.2 Tập có thứ bậc và tập phần dư Ví dụ 3.3.2.1 Ví dụ 3.3.2.2 3.3.3 Khai triển Ito-Taylor Ví dụ 3.3.3.1 Ví dụ 3.3.3.2 Ví dụ 3.3.3.3 Chương 4. PHƯƠNG PHÁP SỐ CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN §4.1. Một số khái niệm 4.1.1 Phép rời rạc hóa thời gian 4.1.2 Hội tụ mạnh 4.1.3 Hội tụ yếu 4.1.4 Tổng quan về các sơ đồ số được trình bày trong chương 4 §4.2. Các sơ đồ số cho xấp xỉ Taylor mạnh 4.2.1 Sơ đồ Euler-Maruyama Ví dụ 4.2.1.1 Ví dụ 4.2.1.2 4.2.2 Sơ đồ Milstein 42 42 42 45 45 47 47 47 48 49 49 49 49 51 52 53 54 54 54 54 55 55 57 57 58 59 59 8 Ví dụ 4.2.2.1 Ví dụ 4.2.2.2 4.2.3 Sơ dồ Taylor mạnh bậc 1.5 Ví dụ 4.2.3.1 Ví dụ 4.2.3.2 §4.3 Các sơ đồ số cho xấp xỉ Taylor yếu 4.3.1 Sơ đồ Euler yếu Ví dụ 4.3.1 4.3.2 Sơ đồ Taylor yếu bậc 2.0 Ví dụ 4.3.2 4.3.3 Sơ đồ Taylor yếu bậc 3.0 Ví dụ 4.3.3 §4.4. Sai số tuyệt đối và sai số trung bình 4.4.1 Sai số tuyệt đối 4.4.2 Sai số trung bình Kết luận Tài liệu tham khảo Phụ lục. MATLAB CODE 61 62 62 66 67 69 69 70 70 73 74 75 77 77 78 81 82 83 9 Bảng kí hiệu ∅ d R 1 ≡ R R A B ⊆ \ A B a A ∈ i i A U i i A I i i a ∑ i i a ∏ ! ( ) b a f x dx ∫ ( ) 2 [0, ] L T ( ) 2 L Ω A I h.c.c . . l i m tập hợp rỗng không gian Euclide d-chiều không gian Euclide 1-chiều, tập số thực tập A chứa trong tập B phần bù của tập B trong tập A a là phần tử của tập A phần hội các tập i A phần giao các tập i A tổng các số hạng i a tích các thừa số i a phép toán giai thừa tích phân Riemann không gian các hàm số bình phương khả tích trên [ , ] a b không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích hàm chỉ tiêu của tập A hầu chắc chắn giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình [...]... lập khi các số gia của nó trên các khoảng thời gian rời nhau là các biến ngẫu nhiên độc lập, tức là với mỗi phân hoạch hữu hạn t0 < t1 < < tn ( tk ∈ T , k = 0,1, , n ) các số gia X t , X t − X t , , X t − X t 0 1 0 n n−1 là các biến ngẫu nhiên độc lập Định nghĩa 2.1.4 Quá trình ngẫu nhiên {Wt }t∈[0,∞ ) được gọi là quá trình Wiener khi : ( h.c.c ) ; i) W0 = 0 ii) {Wt }t∈[0,∞ ) là quá trình số gia độc... NIỆM TRONG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN §2.1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Định nghĩa 2.1.1 Xét tập hợp vô hạn T ⊂ R , một quá trình ngẫu nhiên là một họ các biến ngẫu nhiên { X t }t∈T xác định trên không gian xác suất (Ω,A,P) Chú ý : Có thể xem một quá trình ngẫu nhiên như một hàm hai biến X : T x Ω → R mà với mỗi t cố định thuộc T ta có một biến ngẫu nhiên X ( t , ω ) , và với mỗi ω cố định thuộc Ω ta có một hàm X... 2.1.2 Quá trình ngẫu nhiên { X t }t∈T được gọi là quá trình Gauss khi phân phối của vector ngẫu nhiên ( X t , , X t 1 n ) là Gauss với mọi tập con hữu hạn I = {t1 , , tn } ⊂ T Đặc biệt, nếu m ( t ) = EX t = const và R ( t , s ) = cov ( X t , X s ) = R ( t − s ) với mọi t , s ∈ T thì { X t }t∈T được gọi là quá trình Gauss dừng Định nghĩa 2.1.3 Quá trình ngẫu nhiên { X t }t∈T (T ⊂ R ) là quá trình số gia... trình số gia độc lập; (2.1.1) 15 iii) Biến ngẫu nhiên Wt − Ws , 0 ≤ s ≤ t có phân phối chu n với kỳ vọng 0 và phương sai ( t − s ) ; iv) Hầu hết các quỹ đạo của {Wt }t∈[0,∞ ) là hàm liên tục Định nghĩa 2.1.5 (tương đương với định nghĩa 2.1.4) Quá trình ngẫu nhiên {Wt }t∈[0,∞ ) được gọi là quá trình Wiener với tham số phương sai σ 2 khi {Wt }t∈[0,∞ ) là quá trình Gauss thỏa mãn E (Wt ) = 0 và R ( t ,... quá trình ngẫu nhiên X = { X t , t ∈ T } Với mỗi t ∈ T và B là σ-đại số Borel của R ta có σ-đại số σ ( X t ) = X t−1 (B ) Ký hiệu σ ({ X t , t ∈ T } ) là σ-đại số con bé nhất của A chứa tất cả các σ-đại số σ ( X t ) , t ∈ T và gọi σ ({ X t , t ∈ T } ) là σ-đại số sinh bởi X Đặt σ ≤Xt = σ ({ X s , s ≤ t} ) ( s, t ∈ T ) ta có {σ ≤Xt , t ∈ T } là họ σ-đại số con không giảm của A và quá trình ngẫu nhiên. .. = n →∞ σ n k =1   ( 1 b −x e dx 2π ∫ a ) 1 2 2 (1.3.6) §1.4 VECTOR NGẪU NHIÊN Định nghĩa 1.4.1 X = ( X 1 , , X d ) là một vector ngẫu nhiên d chiều khi mỗi thành phần X k (k = 1, , d ) là một biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω,A,P) Định nghĩa 1.4.2 Hàm phân phối của vector ngẫu nhiên X (hay hàm phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên X 1 , , X d ) được cho bởi FX ( x ) = P ({ω ∈Ω X 1 (ω ) < x1 ,... TÍCH PHÂN ITO Cho không gian xác suất (Ω,A,P) và số T không âm Giả sử đã cho họ không giảm các σ-đại số At ⊂ A ( t ∈ [ 0, T ]) và quá trình Wiener {Wt }t∈[0,T ] tương thích với họ {At } sao cho số gia Wu − Wt ( u > t ) sau thời điểm t độc lập với σ-đại số At Ký hiệu NT là lớp các hàm ngẫu nhiên f : [ 0, T ] x Ω → R thỏa mãn: • f ( t , ω ) là hàm đo được (theo hai biến); • ft là tương thích đối với. .. bt2 X t1dWt 2 b) Nếu Wt1 = Wt 2 = Wt thì có thể vi t lại (*) dưới dạng:  X t1   at1   bt1  d  2  =  2  dt +  2  dWt  X t   at   bt  và công thức Ito nhiều chiều cho ta d ( X t1 X t2 ) = ( at1 X t2 + at2 X t1 + bt1bt2 ) dt + ( bt1 X t2 + bt2 X t1 ) dWt 32 §2.5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN (ITO) Định nghĩa 2.5.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) 1-chiều có dạng dX t = a ( t , X... thì ta nói phương trình (2.5.1) có tính ôtônôm Định nghĩa 2.5.2 Với các yếu tố cho trước: (1) (Ω,A,P) là không gian xác suất cơ bản; (2) {At , t ∈ [ 0, T ]} là họ các σ-đại số con đầy đủ của A; (3) Quá trình Wiener {W , t ∈ [0, T ]} t sao cho {W , A , t ∈ [0, T ]} t t lập thành martingale thì nghiệm mạnh của phương trình (2.5.1) là quá trình ngẫu nhiên liên tục { X , t ∈ [0, T ]} tương thích với {A ,... σ-đại số At ( t ∈ [ 0, T ]) là đầy đủ đối với P (tức là, nếu B ⊂ A ∈At và P ( A) = 0 thì B ∈At ); • {W , A , t ∈ [0, T ]} lập thành martingale t t Định nghĩa 2.4.1 Quá trình Ito 1-chiều là quá trình ngẫu nhiên liên tục { X t } trên (Ω,A,P) có dạng: t t 0 0 X t = X 0 + ∫ a ( s, ω ) ds + ∫ b ( s, ω ) dWs với mỗi t ∈ [ 0, T ] (2.4.1) trong đó {at } , {bt } là các quá trình ngẫu nhiên tương thích với {At . gọi là khai triển Taylor ngẫu nhiên) của quá trình ngẫu nhiên Ito, các sơ đồ số này cho phép tìm xấp xỉ Taylor của quá trình ngẫu nhiên Ito thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito. Luận. sở cho vi c nghiên cứu phương pháp số giải phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) bao gồm quá trình Wiener, tích phân Wiener, tích phân Ito, quá trình Ito, phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito). chìa khóa mở cánh cửa dẫn tới các sơ đồ số xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên. Chương 4 trình bày các sơ đồ số cho phép tìm xấp xỉ rời rạc thời gian của quá trình ngẫu nhiên