các phương pháp số giải phương trình vi phân ngẫu nhiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN S K C 0 9 MÃ SỐ: T2010 - 47 S KC 0 0 Tp Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2010 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Mã số: T2010-47 Chủ nhiệm đề tài: ThS.Hoàng Thị Minh Thảo TP.HCM, tháng 11 năm 2010 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Mã số: T2010-47 Chủ nhiệm đề tài: ThS.Hoàng Thị Minh Thảo Thành viên đề tài: ThS.Hoàng Thị Minh Thảo TP.HCM, tháng 11 năm 2010 Mục lục Trang Mục lục Bảng kí hiệu Thông tin kết nghiên cứu Mở đầu Chương LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN §1.1 Không gian xác suất biến ngẫu nhiên §1.2 Quá trình ngẫu nhiên 10 Chương TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 14 §2.1 Tích phân Wiener 14 §2.2 Tích phân Ito 17 §2.3 Quá trình Ito 21 §2.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) 24 Chương KHAI TRIỂN ITO-TAYLOR 25 §3.1 Khai triển Taylor tất định 25 §3.2 Khai triển Ito-Taylor trình Ito 27 Chương PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 29 §4.1 Một số khái niệm 29 §4.2 Các phương pháp số tìm xấp xỉ Taylor 31 4.2.1 Phương pháp Euler-Maruyama 31 4.2.2 Phương pháp Milstein 32 4.2.3 Phương pháp Taylor mạnh bậc 1.5 34 §4.3 Sai số tuyệt đối 38 Kết luận kiến nghị 42 Tài liệu tham khảo 43 Bảng kí hiệu ∅ tập hợp rỗng Rd không gian Euclide d-chiều R ≡ R1 không gian Euclide 1-chiều, tập số thực A⊆ B tập A chứa tập B A\ B phần bù tập B tập A a∈ A a phần tử tập A UA phần hội tập Ai i i IA i phần giao tập Ai i ∑a i tổng số hạng i ∏a tích thừa số ! phép toán giai thừa i i b ∫ f ( x ) dx tích phân Riemann a L2 ([0, T ]) không gian hàm số bình phương khả tích [a, b] L2 ( Ω ) không gian biến ngẫu nhiên bình phương khả tích IA hàm tiêu tập A h.c.c hầu chắn l.i.m giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình ĐH SPKT TP HCM Đơn vị: Khoa KHCB THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung: - Tên đề tài: CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN - Mã số: T2010 - 47 - Chủ nhiệm: ThS Hoàng Thị Minh Thảo - Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh - Thời gian thực hiện: từ tháng 12 năm 2009 đến tháng 12 năm 2010 Mục tiêu: Nghiên cứu phương pháp số giải phương trình vi phân ngẫu nhiên phương pháp Euler, phương pháp Milstein, phương pháp Taylor mạnh bậc 1.5 Áp dụng phương pháp để giải phương trình vi phân ngẫu nhiên với phần mềm Matlab Tính sáng tạo: Minh họa khác bậc hội tụ mạnh phương pháp nghiên cứu tính phù hợp bậc hội tụ mạnh với biến thiên sai số tuyệt đối theo bước thời gian phương pháp Kết nghiên cứu: Phương pháp Euler, phương pháp Milstein, phương pháp Taylor mạnh bậc 1.5 ví dụ minh họa việc áp dụng phương pháp để giải phương trình vi phân ngẫu nhiên Sản ph m: Báo cáo đề tài nghiên cứu khoa học “CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN” Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết nghiên cứu khả áp dụng: Sản phNm dùng làm tài liệu tham khảo thích hợp cho sinh viên trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM Ngày 01 tháng 12 năm 2010 Trưởng Đơn vị (ký, họ tên, đóng dấu) Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên) TS.Võ Thanh Tân Hoàng Thị Minh Thảo INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General information: Project title: Numerical methods for stochastic differential equation Code number: T2010 - 47 Coordinator: Hoang Thi Minh Thao, M.S Implementing institution: Ho Chi Minh City University of Technical Education Duration: from December 2009 to December 2010 Objective(s): Researching numerical methods for stochastic differential equation such as Euler method, Milstein method, order 1.5 strong Taylor method Applying these methods to solve stochastic differential equation with Matlab Creativeness and innovativeness: Illustrating the difference of strong convergence order of researched methods and the correspondence between the strong convergence order and the dependence of the absolute error on the step size Research results: Euler method, Milstein method, order 1.5 strong Taylor method and the examples of applying these methods to solve stochastic differential equation Products: Report of scientific research “NUMERICAL METHODS FOR STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATION” Effects, transfer alternatives of reserach results and applicability: Report of scientific research “NUMERICAL METHODS FOR STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATION” can be used as suitable reference for students of Ho Chi Minh City University of Technical Education Mở đầu Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài nước Giải tích ngẫu nhiên nói chung phương pháp số giải phương trình vi phân ngẫu nhiên nói riêng lĩnh vực nhà nghiên cứu xác suất thống kê khắp quốc gia giới quan tâm, đáng tiếc Việt Nam đến chưa có nhiều nghiên cứu lĩnh vực Đến nay, phần trọng yếu vấn đề giải gần phương trình vi phân ngẫu nhiên giải kết phương pháp số cho phép xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Tính cấp thiết đề tài Phương trình vi phân ngẫu nhiên có nguồn gốc phát sinh từ mô hình toán hệ thống vật lý có nhiễu chất tính không ổn định Tiếp đó, mô hình toán có liên quan đến phương trình vi phân ngẫu nhiên tương tự trở nên phổ dụng nhiều lĩnh vực khoa học ứng dụng sinh học, dịch tễ học, học, kinh tế học tài chính, v.v… Tuy nhiên, hầu hết phương trình vi phân ngẫu nhiên phát sinh từ thực tế nghiên cứu ngành khoa học ứng dụng lại giải cách xác Do đó, việc xây dựng phương pháp để xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên cách hiệu với trợ giúp máy điện toán cần thiết Mục tiêu nghiên cứu đề tài Nghiên cứu khai triển Ito-Taylor trình Ito phương pháp số cho phương trình vi phân ngẫu nhiên phương pháp Euler-Maruyama, phương pháp Milstein, phương pháp Taylor mạnh bậc 1.5 Thực phương pháp để giải phương trình vi phân ngẫu nhiên với phần mềm Matlab Cách tiếp cận Nghiên cứu sở lý thuyết, bước xây dựng khai triển Ito-Taylor, phương pháp Euler-Maruyama, phương pháp Milstein, phương pháp Taylor mạnh bậc 1.5 qua công trình khoa học công bố giới Phương pháp nghiên cứu, đối tượng phạm vi nghiên cứu, nội dung nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu: thu thập tổng hợp tài liệu phương pháp số nghiên cứu, áp dụng phương pháp số nghiên cứu để giải gần phương trình vi phân ngẫu nhiên cụ thể, từ thNm định bậc hội tụ phương pháp qua mối liên hệ sai số tuyệt bước thời gian - Đối tượng phạm vi nghiên cứu: đề tài khoa học này, nghiên cứu bước xây dựng khai triển Ito-Taylor (còn gọi khai triển Taylor ngẫu nhiên) trình ngẫu nhiên Ito số phương pháp số xây dựng sở khai triển Ito-Taylor phương pháp Euler, phương pháp Milstein, phương pháp Taylor mạnh bậc 1.5, phương pháp số cho phép tìm xấp xỉ Taylor trình ngẫu nhiên Ito thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito - Nội dung nghiên cứu: đề tài gồm chương có nội dung tổng quan sau: Chương trình bày số khái niệm lý thuyết xác suất trình ngẫu nhiên đề cập đến nhiều lần nội dung chương đề tài Chương trình bày số kiến thức quan trọng tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên làm sở cho việc nghiên cứu phương pháp số bao gồm tích phân Wiener, tích phân Ito, trình Ito, phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) nghiệm Chương xây dựng khai triển Ito-Taylor trình Ito Khai triển ItoTaylor ví chìa khóa mở cánh cửa dẫn tới phương pháp số xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Chương trình bày phương pháp số cho phép tìm xấp xỉ rời rạc thời gian trình ngẫu nhiên Ito thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) Các phương pháp số xây dựng sở giản lược khai triển Ito-Taylor trình ngẫu nhiên Ito, giữ lại số lượng thích hợp số hạng đầu khai triển Xấp xỉ cho phương pháp số gọi xấp xỉ Taylor trình Ito Chương LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN §1.1 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT VÀ BIẾN NGẪU NHIÊN Cho tập hợp Ω ≠ ∅ , đặt P ( Ω ) tập hợp tất tập Ω Định nghĩa 1.1.1 Lớp A ⊂ P ( Ω ) gọi σ-đại số nếu: i) Ω∈A (1.1.1) ii) A ∈ A ⇒ Ac = (Ω \ A) ∈ A (1.1.2) iii) An ∈ A ( n = 1, 2, ) ⇒ U An ∈ A ∞ (1.1.3) n =1 Định nghĩa 1.1.2 Cho A σ-đại số tập Ω, hàm tập P xác định A gọi độ đo xác suất σ-cộng tính A nếu: i) P ( A) ≥ 0, ∀A ∈A (1.1.4) ii) P (Ω) = (1.1.5) iii) An ∈ A ( n = 1, 2, ) , Ai ∩ Aj = ∅, i ≠ j, ∞ U A ∈A n n =1 ∞  ∞ ⇒ P  U An  = ∑ P ( An )  n =1  n =1 (1.1.6) Định nghĩa 1.1.3 (Hệ tiên đề Kolmogorov) Ta gọi ba (Ω,A,P) không gian xác suất, với a) Ω tập hợp (khác ∅), gọi không gian biến cố sơ cấp; b) A σ-đại số tập Ω; c) P độ đo xác suất σ-cộng tính A (gọi tắt xác suất A) Định nghĩa 1.1.4 Biến ngẫu nhiên X xác định không gian xác suất (Ω,A,P) ánh xạ X : Ω → R cho: ω a X (ω ) X −1 ( B ) = {ω ∈ Ω X (ω ) ∈ B} ∈A , ∀B ∈B (B σ-đại số Borel R) (1.1.7) 30 Tổng quan phương pháp số trình bày chương Giả sử có trình Wiener {Wt , t ≥ 0} , phương pháp số trình bày sau cho phép tìm xấp xỉ Taylor cho trình Ito { X t , t ∈ [t0 , T ]} - viết ngắn gọn X t - (với ≤ t0 < T ) thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito): dX t = a ( t , X t ) dt + b ( t , X t ) dWt hay tương đương t t t0 t0 X t = X t0 + ∫ a ( s, X s ) ds + ∫ b ( s, X s ) dWs (4.1.1) (4.1.2) Tất phương pháp số trình bày có khái niệm ký hiệu chung sau: • Đặt toán tử : L0 = ∂ ∂ ∂2 + a + b2 ∂t ∂x ∂x L1 = b ∂ ∂x (4.1.3) (4.1.4) • Xét phân hoạch cách t0 = τ < τ < L < τ n < L < τ N −1 < τ N = T có bước thời gian ∆ = τ n +1 − τ n = T − t0 , ∀n ∈ {0, , N − 1} N (4.1.5) • Gọi xấp xỉ Taylor trình Ito { X t , t ∈ [t0 , T ]} trình ngẫu nhiên liên tục {Y ( t ) , t ∈ [ t0 , T ]} có Y (τ n ) = Yn Y0 = X t0 (4.1.6) 31 §4.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ TÌM XẤP XỈ TAYLOR 4.2.1 Phương pháp Euler-Maruyama Phương pháp Euler-Maruyama (cũng gọi phương pháp Euler) cho ta xấp xỉ Taylor trình Ito X t thỏa mãn phương trình (4.1.1) sau: Yn +1 = Yn + a (τ n , Yn ) ∆ + b (τ n , Yn ) ∆W (4.2.1) với Y0 = X t , ∆ = τ n +1 − τ n = T − t0 , N ∆W = Wτ n+1 − Wτ n ∼ N ( 0; ∆ ) số gia trình Wiener Wt [τ n ,τ n +1 ] Nhận xét: • Phương pháp Euler-Maruyama xây dựng dựa khai triển Ito-Taylor giản lược giữ lại số hạng đầu trình Ito X t • Xấp xỉ Euler-Maruyama (cho phương pháp Euler-Maruyama) hội tụ mạnh bậc 0.5 gọi xấp xỉ Taylor mạnh bậc 0.5 (tham khảo [10]) Ví dụ 4.2.1 Cho {Wt , t ≥ 0} trình Wiener { X , t ∈ [0, T ]} t trình Ito thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) tuyến tính dX t = X t dt + X t dWt (1) Tương tự xét ví dụ 2.4, phương trình (1) có nghiệm t +W t X t = X 0e Tương ứng với phân hoạch cách có bước thời gian ∆ [0,T ] , phương pháp Euler-Maruyama cho trình Ito X t thỏa mãn phương trình (1) xấp xỉ Taylor sau: Yn +1 = Yn + 2Yn ∆ + Yn ∆W  Y0 = X 32 Với T = 1, X = ta có quĩ đạo mô nghiệm (với bước thời gian dt = 2−8 ) quĩ đạo mô xấp xỉ Euler-Maruyama (với bước thời gian ∆ = Dt = 16dt = 2−4 ) Hình 4.2.1 nghiem dung xap xi E-M X 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 t Hình 4.2.1 Matlab code: randn(’state’,100) lambda = 2; mu = 1; Xzero = 1; T = 1; N = 2^8; dt = 1/N; dW = sqrt(dt)*randn(1,N); W = cumsum(dW); Xtrue = Xzero*exp((lambda-0.5*mu^2)*([dt:dt:T])+mu*W); plot([0:dt:T],[Xzero,Xtrue],’m-’), hold on R = 16; Dt = R*dt; L = N/R; Xem = zeros(1,L); Xtemp = Xzero; for j = 1:L Winc = sum(dW(R*(j-1)+1:R*j)); Xtemp = Xtemp + Dt*lambda*Xtemp + mu*Xtemp*Winc; Xem(j) = Xtemp; end plot([0:Dt:T],[Xzero,Xem],’r *’), hold off xlabel(’t’,’FontSize’,12) ylabel(’X’,’FontSize’,16,’Rotation’,0,’HorizontalAlignment’,’right ’) 4.2.2 Phương pháp Milstein Ta thêm vào phương pháp Euler-Maruyama (4.2.1) số hạng bb′ ( ∆W ) − ∆    thu phương pháp Milstein, phương pháp cho ta xấp xỉ Taylor trình Ito X t thỏa mãn phương trình (4.1.1) sau: 33 Yn +1 = Yn + a (τ n , Yn ) ∆ + b (τ n , Yn ) ∆W + b (τ n , Yn ) b′ (τ n , Yn ) ( ∆W ) − ∆    (4.2.2) Nhận xét: • Như phương pháp Milstein tương ứng với khai triển Ito-Taylor giản lược giữ lại số hạng đầu trình Ito X t • Xấp xỉ Milstein (cho phương pháp Milstein) hội tụ mạnh bậc 1.0 gọi xấp xỉ Taylor mạnh bậc 1.0 (tham khảo [10]) Ví dụ 4.2.2 (làm lại ví dụ 4.2.1 phương pháp Milstein) Vẫn xét phương trình dX t = X t dt + X t dWt (1) Tương ứng với phân hoạch cách có bước thời gian ∆ [0,T ] , phương pháp Milstein cho xấp xỉ Taylor trình Ito X t thỏa mãn phương trình (1) sau:  Yn +1 = Yn + 2Yn ∆ + Yn ∆W + Yn ( ∆W ) − ∆   Y0 = X Với T = 1, X = , ta có quĩ đạo mô nghiệm (với bước thời gian dt = 2−8 ) quĩ đạo mô xấp xỉ Milstein (với bước thời gian ∆ = Dt = 16dt = 2−4 ) Hình 4.2.2 nghiem dung xap xi Milstein X 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 t Hình 4.2.2 0.7 0.8 0.9 34 Matlab code: randn(’state’,100) lambda = 2; mu = 1; Xzero = 1; T = 1; N = 2^8; dt = 1/N; dW = sqrt(dt)*randn(1,N); W = cumsum(dW); Xtrue = Xzero*exp((lambda-0.5*mu^2)*([dt:dt:T])+mu*W); plot([0:dt:T],[Xzero,Xtrue],’m-’), hold on R = 16; Dt = R*dt; L = N/R; Xem = zeros(1,L); Xtemp = Xzero; for j = 1:L Winc = sum(dW(R*(j-1)+1:R*j)); Xtemp = Xtemp+Dt*lambda*Xtemp+mu*Xtemp*Winc +0.5* mu^2*Xtemp*(Winc^2 - Dt); Xem(j) = Xtemp; end plot([0:Dt:T],[Xzero,Xem],’g o’), hold off xlabel(’t’,’FontSize’,12) ylabel(’X’,’FontSize’,16,’Rotation’,0,’HorizontalAlignment’,’right ’) 4.2.3 Phương pháp Taylor mạnh bậc 1.5 Phương pháp Taylor mạnh bậc 1.5 cho ta xấp xỉ Taylor trình Ito X t thỏa mãn phương trình (4.1.1) sau: Yn +1 = Yn + a (τ n , Yn ) ∆ + b (τ n , Yn ) ∆W + b (τ n , Yn ) b′ (τ n , Yn ) ( ∆W ) − ∆    1  + a′ (τ n , Yn ) b (τ n , Yn ) ∆Z +  a (τ n , Yn ) a′ (τ n , Yn ) + b (τ n , Yn ) a′′ (τ n , Yn )  ∆ 2    +  a (τ n , Yn ) b′ (τ n , Yn ) + b (τ n , Yn ) b′′ (τ n , Yn )  ( ∆W ∆ − ∆Z )   ) ( 1  + b (τ n , Yn ) b (τ n , Yn ) b′′ (τ n , Yn ) + ( b′ (τ n , Yn ) )  ( ∆W ) − ∆  ∆W 3  (4.2.3) τ n+1 s1 với ∆Z = ∫τ τ∫ dW s2 n ds1 có phân phối chuNn và: n • kỳ vọng E ( ∆Z ) = • phương sai Var ( ∆Z ) = E ( ∆Z ) = ∆ 3 ( ) 35 • hiệp phương sai cov ( ∆Z , ∆W ) = E ( ∆Z ∆W ) = ∆ 2 Thật vậy, ( ∆ ) E I (1,0),∆ = ∫ E (Wt ) dt = 0 ∆ ∆  ∆ E  I ( 0,1), ∆  = E  ∫ tdWt ∫ tdWt  = ∫ t dt = ∆   0  ( ) ∆ ∆  ∆   E  I (1),∆ I ( 0,1),∆  = E  ∫ dWt ∫ tdWt  = ∫ tdt = ∆ 2 0  2 E  I (1,0), ∆  = E  I ( 0),∆ I (1), ∆ − I ( 0,1), ∆      ( ) ( ) = E  ( ∆I ( ) − I ( ) )    = ∆ E  ( I ( ) )  − ∆E  I ( )    ,∆ 0,1 , ∆ ( )  I   I + E ,∆ , ∆ ( 0,1), ∆   ( 0,1),∆  1 = ∆ E (W∆ − W0 )  − 2∆ ∆ + ∆   2 1  = ∆3 1 − +  3  = ∆3 E  I (1,0),∆ I (1),∆  = E  I ( 0),∆ I (1),∆ − I ( 0,1),∆ I (1),∆    1 = ∆E (W∆ − W0 )  − E  I ( 0,1),∆ I (1),∆  = ∆ − ∆ = ∆   2 2 ( ) Hơn nữa, xác định cặp biến ngẫu nhiên ( ∆W , ∆Z ) thông qua hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối N ( 0;1) U1 U phép biến đổi: ∆W = U1 ∆ , ∆Z = 32   ∆  U1 + U2    Nhận xét: • Như phương pháp Taylor mạnh bậc 1.5 tương ứng với khai triển ItoTaylor giản lược trình Ito X t số lượng số hạng đầu giữ lại lúc nhiều so với phương pháp Milstein 36 • Xấp xỉ Taylor cho phương pháp Taylor mạnh bậc 1.5 hội tụ mạnh với bậc 1.5 (tham khảo [10]) Ví dụ 4.2.3 (làm lại ví dụ 4.2.1 phương pháp Taylor mạnh bậc 1.5) Vẫn xét phương trình dX t = X t dt + X t dWt (1) Tương ứng với phân hoạch cách có bước thời gian ∆ [0, T ] , phương pháp Taylor mạnh bậc 1.5 cho xấp xỉ Taylor trình Ito X t thỏa mãn phương trình (1) sau:    Yn +1 = Yn + 2Yn ∆ + Yn ∆W + Yn ( ∆W ) − ∆  + 2Yn ∆Z + 2Yn ∆  1   + 2Yn [ ∆W ∆ − ∆Z ] + Yn  ( ∆W ) − ∆  ∆W  3   Y0 = X   Với T = 1, X = , ta có quĩ đạo mô nghiệm (với bước thời gian dt = 2−8 ) quĩ đạo mô xấp xỉ Taylor mạnh bậc 1.5 (với bước thời gian ∆ = Dt = 16dt = 2−4 ) Hình 4.2.3 X nghiem dung xap xi Taylor manh bac 1.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 t Hình 4.2.3 Matlab code: randn('state',100) lambda = 2; mu = 1; Xzero = 1; T = 1; N = 2^8; dt = T/N; dW = sqrt(dt)*randn(1,N); 0.7 0.8 0.9 37 W = cumsum(dW); Xtrue = Xzero*exp((lambda-0.5*mu^2)*([dt:dt:T])+mu*W); plot([0:dt:T],[Xzero,Xtrue],'m-'), hold on R = 16; Dt = R*dt; L = N/R; Xem = zeros(1,L); Xtemp = Xzero; for j = 1:L Winc = sum(dW(R*(j-1)+1:R*j)); Zinc = Dt*(Winc+sqrt(Dt)*randn(1,N)/sqrt(3))/2; Xtemp = Xtemp+Dt*lambda*Xtemp+mu*Xtemp*Winc +0.5*mu^2*Xtemp*(Winc^2-Dt)+lambda*mu*Xtemp*Zinc +0.5*lambda^2*Xtemp*Dt^2+lambda*mu*(Winc*Dt-Zinc) +0.5*Xtemp*mu^3*(Winc^2/3-Dt)*Winc; Xem(j) = Xtemp; end plot([0:Dt:T],[Xzero,Xem],'b s'), hold off xlabel('t','FontSize',12) ylabel('X','FontSize',16,'Rotation',0,'HorizontalAlignment','right ') 38 §4.3 SAI SỐ TUYỆT ĐỐI Cho Y ( t ) xấp xỉ mạnh trình Ito { X ( t ) , t ∈ [t0 , T ]} ( ≤ t0 < T ) tiêu chuNn sai số tuyệt đối ε = E ( X (T ) − Y ( T ) ) (4.3.1) dùng để đánh giá mức độ gần quĩ đạo Y ( t ) X ( t ) điểm cuối khoảng thời gian [t0 , T ] Giả sử với trình ngẫu nhiên X ( t ) , Y ( t ) ( Y ( t ) xấp xỉ mạnh X ( t ) ), ta tìm N mô riêng biệt cho đường mẫu tương ứng với đường mẫu trình Wiener gọi X k (T ) , Yk (T ) giá trị thời điểm T đường mẫu mô thứ k X ( t ) , Y ( t ) Khi đó, sai số tuyệt đối ε ước lượng thống kê εˆ = N N ∑ X (T ) − Y (T ) k k (4.3.2) k =1 Theo định lý giới hạn trung tâm, N lớn εˆ tiệm cận biến ngẫu nhiên Gauss N → ∞ εˆ hội tụ theo phân phối ε Trong thực hành tìm vô hạn quĩ đạo mô nên vấn đề tìm khoảng tin cậy cho sai số tuyệt đối ε quan tâm Để giải vấn đề ta chia quĩ đạo mô tìm thành M nhóm, nhóm gồm N quĩ đạo mô Đặt: X kj (T ) giá trị thời điểm T quĩ đạo mô thứ k thuộc nhóm j X ( t ) Ykj (T ) giá trị thời điểm T quĩ đạo mô thứ k thuộc nhóm j Y ( t ) Ước lượng sai số tuyệt đối nhóm thứ j ∈ {1, , M } là: εˆ j = N N ∑ X ( T ) − Y (T ) kj kj (4.3.3) k =1 Các sai số tuyệt đối nhóm εˆ j , j = 1, , M , độc lập với có phân phối xấp xỉ Gauss N đủ lớn Động tác chia nhóm phục vụ cho việc dùng phân phối 39 Student để xây dựng khoảng tin cậy cho tổng biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Gauss (hoặc xấp xỉ Gauss) với phương sai chưa biết Ước lượng trung bình sai số tuyệt đối nhóm là: εˆ = M εˆ j = ∑ MN j =1 M M N ∑∑ X (T ) − Y (T ) kj kj (4.3.4) j =1 k =1 Ước lượng phương sai εˆ bởi: M σˆ ε = εˆ j − εˆ ) ( ∑ M − j =1 (4.3.5) Khoảng tin cậy 100 (1 − α ) % cho ε có dạng ( εˆ − ∆εˆ, εˆ + ∆εˆ ) với ∆εˆ = t1−α , M −1 σˆ ε2 M (4.3.6) (4.3.7) mà t1−α , M −1 xác định từ phân phối Student ( M − 1) bậc tự Nhận xét: tương ứng với phép rời rạc hóa khoảng thời gian [t0 , T ] có bước thời gian lớn δ ∈ ( 0,1) , Y δ ( t ) xấp xỉ mạnh bậc γ > X ( t ) thời điểm T tồn số c ∈ R + cho sai số tuyệt đối ( ) (4.3.8) lg ε ≤ lg c + γ lg δ (4.3.9) ε = E X (T ) − Y δ (T ) ≤ cδ γ Ta biến đổi tương đương (4.3.8) thành: Ví dụ 4.3 Thay đổi giá trị bước thời gian ta có đồ thị biểu diễn sai số tuyệt đối theo bước thời gian phương pháp Euler-Maruyama Milstein áp dụng cho phương trình dX t = X t dt + X t dWt Hình 4.3 Trong Hình 4.3 dễ nhận thấy đồ thị biểu diễn lg ε theo lg ∆ tương ứng với phương pháp Euler-Maruyama đường thẳng có hệ số góc nhỏ 0.5, tương ứng với phương pháp Milstein đường thẳng có hệ số góc lớn 0.5 nhỏ 1.0, điều hoàn toàn phù hợp với bậc hội tụ mạnh phương pháp 40 sai so tuyet doi phuong phap E-M 10 -1 lgε 10 -2 10 -3 10 -4 10 -3 -2 10 10 lg∆ -1 10 sai so tuyet doi phuong phap Milstein 10 -1 lgε 10 -2 10 -3 10 -4 10 -3 10 -2 10 lg∆ t Hình 4.3 Matlab code: randn('state',100) lambda = 2; mu = 1; Xzero = 1; T = 1; N = 2^9; dt = T/N; M = 1000; Xerr = zeros(M,5); for s = 1:M, dW = sqrt(dt)*randn(1,N); W = cumsum(dW); Xtrue = Xzero*exp((lambda-0.5*mu^2)+mu*W(end)); for p = 1:5 R = 2^(p-1); Dt = R*dt; L = N/R; Xtemp = Xzero; for j = 1:L Winc = sum(dW(R*(j-1)+1:R*j)); -1 10 41 Xtemp = Xtemp + Dt*lambda*Xtemp + mu*Xtemp*Winc; end Xerr(s,p) = abs(Xtemp - Xtrue); end end Dtvals = dt*(2.^([0:4])); subplot(221) loglog(Dtvals,mean(Xerr),'b*-'), hold on loglog(Dtvals,(Dtvals.^(.5)),'r '), hold off axis([1e-3 1e-1 1e-4 1]) xlabel('lg\Delta'), ylabel('lg\epsilon') title('sai so tuyet doi phuong phap E-M','FontSize',10) A = [ones(5,1), log(Dtvals)']; rhs = log(mean(Xerr)'); sol = A\rhs; q = sol(2) resid = norm(A*sol - rhs) randn('state',100) r = 2; K = 1; beta = 0.25; Xzero = 0.5; T = 1; N = 2^(11); dt = T/N; M = 500; R = [1; 16; 32; 64; 128]; dW = sqrt(dt)*randn(M,N); Xmil = zeros(M,5); for p = 1:5 Dt = R(p)*dt; L = N/R(p); Xtemp = Xzero*ones(M,1); for j = 1:L Winc = sum(dW(:,R(p)*(j-1)+1:R(p)*j),2); Xtemp = Xtemp + Dt*r*Xtemp.*(K-Xtemp) + beta*Xtemp.*Winc + 0.5*beta^2*Xtemp.*(Winc.^2 - Dt); end Xmil(:,p) = Xtemp; end Xref = Xmil(:,1); Xerr = abs(Xmil(:,2:5) - repmat(Xref,1,4)); mean(Xerr); Dtvals = dt*R(2:5); subplot(224) loglog(Dtvals,mean(Xerr),'b*-'), hold on loglog(Dtvals,Dtvals,'r '), hold off axis([1e-3 1e-1 1e-4 1]) xlabel('lg\Delta t') ylabel('lg\epsilon') title('sai so tuyet doi phuong phap Milstein','FontSize',10) A = [ones(4,1), log(Dtvals)]; rhs = log(mean(Xerr)'); sol = A\rhs; q = sol(2) resid = norm(A*sol - rhs) 42 Kết luận kiến nghị Kết luận kiến nghị Với phương pháp số xây dựng sở khai triển Ito-Taylor trình ngẫu nhiên Ito tìm xấp xỉ Taylor cho nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito, hiển nhiên, bậc hội tụ xấp xỉ Taylor cao xấp xỉ hiệu Trong phạm vi đề tài nghiên cứu khoa học này, giả sử hệ số dịch chuyển hệ số khuếch tán phương trình vi phân ngẫu nhiên thỏa mãn đầy đủ điều kiện Lipschitz toàn cục số điều kiện khác (tham khảo [10]) để phương pháp số đạt bậc hội tụ trình bày Những nghiên cứu gần phương pháp số cho phương trình vi phân ngẫu nhiên quan tâm đến hội tụ theo xác suất hội tụ hầu chắn xấp xỉ mà đòi hỏi điều kiện chặt chẽ hệ số dịch chuyển hệ số khuếch tán phương trình vi phân ngẫu nhiên Các phương pháp số mà trình bày đề tài công cụ hữu ích để tìm nghiệm gần cho phương trình vi phân ngẫu nhiên phát sinh trình nghiên cứu lĩnh vực khoa học ứng dụng sinh học, dịch tễ học, học, kinh tế học tài chính, v.v… Định hướng nghiên cứu tương lai Với vốn kiến thức hạn chế giải tích ngẫu nhiên phương pháp số cho phương trình vi phân ngẫu nhiên, tác giả hi vọng đề tài nghiên cứu khoa học phần làm rõ sở lý thuyết cách áp dụng phương pháp số để tìm xấp xỉ Taylor cho nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito Sau đề tài này, tác giả dự định tiếp tục nghiên cứu kỹ lưỡng phương pháp số có bậc hội tụ cao để giải gần phương trình vi phân ngẫu nhiên đồng thời tìm hiểu thêm vấn đề áp dụng phương pháp số cho phương trình vi phân ngẫu nhiên nhiều chiều 43 Tài liệu tham khảo TIẾNG VIỆT [1] A.D Ventxel (1987), Giáo trình lý thuyết trình ngẫu nhiên, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Dương Tôn Đảm (2006), Quá trình ngẫu nhiên – Phần mở đầu, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh [3] Dương Tôn Đảm (2007), Quá trình ngẫu nhiên - Phần I: Tích phân phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh [4] Trần Hùng Thao (2002), Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Khoa học kỹ thuật [5] Nguyễn Duy Tiến , Đặng Hùng Thắng (2002), Các mô hình xác suất ứng dụng,Phần III : Giải tích ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2000), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [7] Nguyễn Bác Văn (1996), Xác suất xử lý số liệu thống kê, NXB Giáo dục TIẾNG ANH [8] D.J Higham, An algorithmic introduction to numerical simulation of stochastic differential equations, SIAM Review, Vol 43, No 3, pp 525-546 [9] Friedman, A (2004), Stochastic Differential Equations and Applications, Dover Publications, Inc, Mineola, New York [10] Kloeden, P.E and Platen, E (1992), Numerical solution of stochastic differential equations, volume 23 of Applications of Mathematics, SpringerVerlag,Berlin [11] Kloeden, P.E and Platen, E and Schurz, H (2003), Numerical solution of SDE through computer experiments, Springer-Verlag,Berlin [12] Oksendal, B (2005), Stochastic Differential Equations – An introduction with Application, Springer [13] Rozsa Horvath Bokor (1999), Numerical methods for solving stochastic differential equations, Mathematical Communications 4: 251-256 [...]... phần chính gồm 4 số hạng đầu của quá trình Ito X t Lặp lại liên tiếp vi c áp dụng (3.2.3) cho các hàm thích hợp ta sẽ thu được khai triển Ito-Taylor với phần chính có số lượng số hạng tùy ý của quá trình Ito X t 29 Chương 4 PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN §4.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM Phép rời rạc hóa thời gian Ta rời rạc hóa khoảng thời gian [t0 , T ] bằng cách tạo một phân hoạch t0 =... là martingale 14 Chương 2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN §2.1 TÍCH PHÂN WIENER Cho không gian xác suất (Ω,A,P), số T không âm và quá trình Wiener {W , t ∈ [0, T ]} t L2 ( Ω ) là không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích  L2 ( Ω ) =  X : Ω → R  ∫ X (ω ) Ω 2  dP (ω ) < ∞   (2.1.1) L2 ([0, T ]) là không gian các hàm số bình phương khả tích  L2 ([ 0, T ])... lập khi các số gia của nó trên các khoảng thời gian rời nhau là các biến ngẫu nhiên độc lập, tức là với mỗi phân hoạch hữu hạn t0 < t1 < < tn ( tk ∈ T , k = 0,1, , n ) các số gia X t , X t − X t , , X t − X t 0 1 0 n n−1 là các biến ngẫu nhiên độc lập Định nghĩa 1.2.4 Quá trình ngẫu nhiên {Wt }t∈[0,∞ ) là quá trình Wiener khi : ( h.c.c ) ; i) W0 = 0 (1.2.1) ii) {Wt }t∈[0,∞ ) là quá trình số gia độc... (4.1.5) • Gọi xấp xỉ Taylor của quá trình Ito { X t , t ∈ [t0 , T ]} là quá trình ngẫu nhiên liên tục {Y ( t ) , t ∈ [ t0 , T ]} có Y (τ n ) = Yn và Y0 = X t0 (4.1.6) 31 §4.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ TÌM XẤP XỈ TAYLOR 4.2.1 Phương pháp Euler-Maruyama Phương pháp Euler-Maruyama (cũng được gọi là phương pháp Euler) cho ta xấp xỉ Taylor của quá trình Ito X t thỏa mãn phương trình (4.1.1) như sau: Yn +1 = Yn +... trình Wiener và { X , t ∈ [0, T ]} t là quá trình Ito thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) tuyến tính dX t = 2 X t dt + X t dWt (1) Tương tự như đã xét ở ví dụ 2.4, phương trình (1) có nghiệm đúng là 3 t +W t X t = X 0e 2 Tương ứng với phân hoạch cách đều có bước thời gian ∆ của [0,T ] , phương pháp Euler-Maruyama cho quá trình Ito X t thỏa mãn phương trình (1) xấp xỉ Taylor như sau: Yn +1 =... số dương c < ∞ không phụ thuộc vào δ đồng thời tồn tại ( ) δ 0 ∈ R + sao cho E X T − Y δ (T ) ≤ cδ γ với mỗi δ ∈ ( 0, δ 0 ) 30 Tổng quan về các phương pháp số được trình bày trong chương 4 Giả sử đã có quá trình Wiener {Wt , t ≥ 0} , các phương pháp số sẽ được trình bày sau đây cho phép tìm xấp xỉ Taylor cho quá trình Ito { X t , t ∈ [t0 , T ]} - vi t ngắn gọn là X t - (với 0 ≤ t0 < T ) thỏa mãn phương. .. m ≤ b = e dx k 2π ∫a  ) 1 2 2 (1.1.19) 10 §1.2 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Định nghĩa 1.2.1 Xét tập hợp vô hạn T ⊂ R , một quá trình ngẫu nhiên là một họ các biến ngẫu nhiên { X t }t∈T xác định trên không gian xác suất (Ω,A,P) Chú ý : Có thể xem một quá trình ngẫu nhiên như một hàm hai biến X : T x Ω → R mà với mỗi t cố định thuộc T ta có một biến ngẫu nhiên X ( t , ω ) , và với mỗi ω cố định thuộc Ω ta... = ftYt dWt 24 §2.4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN (ITO) Định nghĩa 2.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) có dạng dX t = a ( t , X t ) dt + b ( t , X t ) dWt (2.4.1) hoặc tương đương t t 0 0 X t = X 0 + ∫ a ( s, X s ) ds + ∫ b ( s, X s ) dWs (2.4.2) Chú ý : Nếu a, b không phụ thuộc vào biến thời gian t (tức là, a ( t , x ) ≡ a ( x ) và b ( t , x ) ≡ b ( x ) ) thì ta nói phương trình (2.4.1) có tính... ylabel(’X’,’FontSize’,16,’Rotation’,0,’HorizontalAlignment’,’right ’) 4.2.2 Phương pháp Milstein Ta thêm vào phương pháp Euler-Maruyama (4.2.1) số hạng 1 2 bb′ ( ∆W ) − ∆  thì   2 thu được phương pháp Milstein, phương pháp này cho ta xấp xỉ Taylor của quá trình Ito X t thỏa mãn phương trình (4.1.1) như sau: 33 1 2 Yn +1 = Yn + a (τ n , Yn ) ∆ + b (τ n , Yn ) ∆W + b (τ n , Yn ) b′ (τ n , Yn ) ( ∆W ) − ∆    2 (4.2.2) Nhận xét: • Như vậy phương pháp Milstein... 1.2.2 Quá trình ngẫu nhiên { X t }t∈T được gọi là quá trình Gauss khi phân phối của vector ngẫu nhiên ( X t , , X t 1 n ) là Gauss với mọi tập con hữu hạn I = {t1 , , tn } ⊂ T Đặc biệt, nếu m ( t ) = EX t = const và R ( t , s ) = cov ( X t , X s ) = R ( t − s ) với mọi t , s ∈ T thì { X t }t∈T được gọi là quá trình Gauss dừng Định nghĩa 1.2.3 Quá trình ngẫu nhiên { X t }t∈T (T ⊂ R ) là quá trình số gia