các phương pháp số giải phương trình vi phân ngẫu nhiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG Chủ nhiệm đề tài: ThS.Hoàng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG

Chủ nhiệm đề tài: ThS.Hoàng Thị Minh Thảo

TP.HCM, tháng 11 năm 2010

CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN NGẪU NHIÊN

Mã số: T2010-47

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG

CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN NGẪU NHIÊN

TP.HCM, tháng 11 năm 2010

Mục lục Trang

Mục lục 1

Bảng kí hiệu 2

Thông tin kết quả nghiên cứu 3

Mở đầu 5

Chương 1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 7

§1.1 Không gian xác suất và biến ngẫu nhiên 7

§1.2 Quá trình ngẫu nhiên 10

Chương 2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 14

§2.1 Tích phân Wiener 14

§2.2 Tích phân Ito 17

§2.3 Quá trình Ito 21

§2.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) 24

Chương 3 KHAI TRIỂN ITO-TAYLOR 25

§3.1 Khai triển Taylor tất định 25

§3.2 Khai triển Ito-Taylor của quá trình Ito 27

Chương 4 PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 29

§4.1 Một số khái niệm 29

§4.2 Các phương pháp số tìm xấp xỉ Taylor 31

4.2.1 Phương pháp Euler-Maruyama 31

4.2.2 Phương pháp Milstein 32

4.2.3 Phương pháp Taylor mạnh bậc 1.5 34

§4.3 Sai số tuyệt đối 38

Kết luận và kiến nghị 42

Tài liệu tham khảo 43

không gian Euclide d-chiều

không gian Euclide 1-chiều, tập số thực

tập A chứa trong tập B phần bù của tập B trong tập A

không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích

hàm chỉ tiêu của tập A

hầu chắc chắn giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình

ĐH SPKT TP HCM

Đơn vị: Khoa KHCB

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Thông tin chung:

- Tên đề tài: CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

NGẪU NHIÊN

- Mã số: T2010 - 47

- Chủ nhiệm: ThS Hoàng Thị Minh Thảo

- Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh

- Thời gian thực hiện: từ tháng 12 năm 2009 đến tháng 12 năm 2010

2 Mục tiêu: Nghiên cứu các phương pháp số giải phương trình vi phân ngẫu nhiên

như phương pháp Euler, phương pháp Milstein, phương pháp Taylor mạnh bậc 1.5

Áp dụng các phương pháp này để giải phương trình vi phân ngẫu nhiên với phần

mềm Matlab

3 Tính mới và sáng tạo: Minh họa sự khác nhau về bậc hội tụ mạnh của các

phương pháp được nghiên cứu và tính phù hợp giữa bậc hội tụ mạnh với sự biến thiên sai số tuyệt đối theo bước thời gian trong từng phương pháp

4 Kết quả nghiên cứu: Phương pháp Euler, phương pháp Milstein, phương pháp

Taylor mạnh bậc 1.5 và ví dụ minh họa việc áp dụng các phương pháp này để giải

phương trình vi phân ngẫu nhiên

5 Sản phm: Báo cáo đề tài nghiên cứu khoa học “CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN”

6 Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng: Sản phNm có thể dùng làm tài liệu tham khảo thích hợp cho sinh viên trường

Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1 General information:

Project title: Numerical methods for stochastic differential equation

Code number: T2010 - 47

Coordinator: Hoang Thi Minh Thao, M.S

Implementing institution: Ho Chi Minh City University of Technical

Education Duration: from December 2009 to December 2010

2 Objective(s): Researching numerical methods for stochastic differential equation

such as Euler method, Milstein method, order 1.5 strong Taylor method Applying these methods to solve stochastic differential equation with Matlab

3 Creativeness and innovativeness: Illustrating the difference of strong

convergence order of researched methods and the correspondence between the strong convergence order and the dependence of the absolute error on the step size

4 Research results: Euler method, Milstein method, order 1.5 strong Taylor

method and the examples of applying these methods to solve stochastic differential

equation

5 Products: Report of scientific research “NUMERICAL METHODS FOR STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATION”

6 Effects, transfer alternatives of reserach results and applicability: Report of

scientific research “NUMERICAL METHODS FOR STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATION” can be used as suitable reference for students of Ho Chi Minh City University of Technical Education

Mở đầu

1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài ở trong và ngoài nước

Giải tích ngẫu nhiên nói chung và phương pháp số giải phương trình vi phân ngẫu nhiên nói riêng đã và đang là lĩnh vực được các nhà nghiên cứu xác suất thống

kê ở khắp các quốc gia trên thế giới quan tâm, nhưng đáng tiếc rằng ở Việt Nam đến nay vẫn chưa có nhiều nghiên cứu về lĩnh vực này

Đến nay, một phần trọng yếu của vấn đề giải gần đúng phương trình vi phân ngẫu nhiên đã được giải quyết và kết quả chính là các phương pháp số cho phép xấp

xỉ nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên

2 Tính cấp thiết của đề tài

Phương trình vi phân ngẫu nhiên có nguồn gốc phát sinh từ mô hình toán của các hệ thống vật lý có nhiễu bản chất và tính không ổn định Tiếp đó, các mô hình toán có liên quan đến phương trình vi phân ngẫu nhiên tương tự như thế trở nên phổ dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học ứng dụng như sinh học, dịch tễ học, cơ học, kinh tế học và tài chính, v.v… Tuy nhiên, hầu hết các phương trình vi phân ngẫu nhiên phát sinh từ thực tế nghiên cứu của các ngành khoa học ứng dụng lại không thể được giải một cách chính xác Do đó, việc xây dựng phương pháp để xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên một cách hiệu quả với sự trợ giúp của

máy điện toán là rất cần thiết

3 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu khai triển Ito-Taylor của quá trình Ito và các phương pháp số cho phương trình vi phân ngẫu nhiên như phương pháp Euler-Maruyama, phương pháp Milstein, phương pháp Taylor mạnh bậc 1.5 Thực hiện các phương pháp này để

giải phương trình vi phân ngẫu nhiên với phần mềm Matlab

5 Phương pháp nghiên cứu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu, nội dung nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu: thu thập và tổng hợp tài liệu về các phương pháp

số được nghiên cứu, áp dụng từng phương pháp số được nghiên cứu để giải gần đúng phương trình vi phân ngẫu nhiên cụ thể, từ đó thNm định bậc hội tụ của phương pháp qua mối liên hệ giữa sai số tuyệt đối với bước thời gian

- Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: trong đề tài khoa học này, chúng tôi nghiên cứu các bước xây dựng khai triển Ito-Taylor (còn gọi là khai triển Taylor ngẫu nhiên) của quá trình ngẫu nhiên Ito và một số phương pháp số được xây dựng trên cơ sở khai triển Ito-Taylor như phương pháp Euler, phương pháp Milstein, phương pháp Taylor mạnh bậc 1.5, các phương pháp

số này cho phép tìm xấp xỉ Taylor của quá trình ngẫu nhiên Ito thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito

- Nội dung nghiên cứu: đề tài gồm 4 chương có nội dung tổng quan như sau:

Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản trong lý thuyết xác suất và quá

trình ngẫu nhiên sẽ được đề cập đến nhiều lần trong nội dung các

chương tiếp theo của đề tài

Chương 2 trình bày một số kiến thức quan trọng về tích phân ngẫu nhiên và

phương trình vi phân ngẫu nhiên làm cơ sở cho việc nghiên cứu các phương pháp số bao gồm tích phân Wiener, tích phân Ito, quá trình

Ito, phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) và nghiệm của nó

Chương 3 xây dựng khai triển Taylor của quá trình Ito Khai triển

Ito-Taylor được ví như chiếc chìa khóa mở cánh cửa dẫn tới các phương pháp số xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên

Chương 4 trình bày các phương pháp số cho phép tìm xấp xỉ rời rạc thời gian

của quá trình ngẫu nhiên Ito thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) Các phương pháp số này được xây dựng trên cơ sở giản lược khai triển Ito-Taylor của quá trình ngẫu nhiên Ito, chỉ giữ lại một số lượng thích hợp những số hạng đầu trong khai triển Xấp xỉ cho bởi các phương pháp số này được gọi là xấp xỉ Taylor của quá

trình Ito

Chương 1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

§1.1 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT VÀ BIẾN NGẪU NHIÊN

Cho tập hợp Ω ≠ ∅ , đặt P( )Ω là tập hợp tất cả các tập con của Ω

Định nghĩa 1.1.1 Lớp A⊂P( )Ω được gọi là một σ- đại số nếu:

Định nghĩa 1.1.2 Cho A là một σ- đại số các tập con của Ω, hàm tập P xác định

trênA được gọi là độ đo xác suất σ-c ộng tính trên A nếu:

n n

a) Ω là tập hợp bất kỳ (khác ∅), được gọi là không gian các biến cố sơ cấp;

b) A là σ- đại số các tập con của Ω;

c) P là độ đo xác suất σ-c ộng tính trên A (gọi tắt là xác suất trên A).

Định nghĩa 1.1.4 Biến ngẫu nhiên X xác định trên không gian xác suất (Ω,A,P) là

Định nghĩa 1.1.5 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X xác định trên

Định nghĩa 1.1.7 Cho X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất

(Ω,A,P) và A ∈ A sao cho P( ) 0A > , khi đó kỳ vọng của X với điều kiện A là

Định nghĩa 1.1.8 Cho không gian xác suất (Ω,A,P) và F là một σ- đại số con của A

a) Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên X ≥ đối với 0 F là biến ngẫu nhiên

suy r ộng không âm E X( F):Ω →[0,∞] sao cho:

Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên

Cho biến ngẫu nhiên X và dãy các biến ngẫu nhiên ( )X n cùng xác định trên không gian xác suất cố định (Ω,A,P)

Định nghĩa 1.1.9 (Hội tụ hầu chắc chắn) Dãy biến ngẫu nhiên ( )X n được gọi là

h ội tụ h.c.c đến biến ngẫu nhiên X khi

Định nghĩa 1.1.10 (Hội tụ bình phương trung bình) Dãy biến ngẫu nhiên ( )X n

được gọi là hội tụ bình phương trung bình đến biến ngẫu nhiên X khi

→∞ − = (1.1.15)

Định nghĩa 1.1.11 (Hội tụ theo xác suất) Dãy biến ngẫu nhiên ( )X n được gọi là

h ội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X khi

Sự hội tụ của dãy hàm phân phối

Định nghĩa 1.1.12 Dãy hàm phân phối ( )F X n xác định trên R được gọi là hội tụ

c ăn bản đến hàm phân phối F khi X

( ) ( ), ( )

n

F x →F x ∀ ∈x C F (1.1.17)

(trong đó C F( )X là t ập hợp các điểm liên tục của hàm F X)

Định nghĩa 1.1.13 Dãy hàm phân phối ( )F X n được gọi là hội tụ yếu đến hàm phân

Định lý giới hạn trung tâm

Gi ả sử ( )X n là dãy các bi ến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối và có phương

sai h ữu hạn Đặt m=EX1,σ2 =VarX1, khi đó với mọi a b, ∈R ta có :

x n

k n

§1.2 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Định nghĩa 1.2.1 Xét tập hợp vô hạn T ⊂ R , một quá trình ngẫu nhiên là một họ

các bi ến ngẫu nhiên { }X t t T∈ xác định trên không gian xác suất (Ω,A,P)

Chú ý : Có thể xem một quá trình ngẫu nhiên như một hàm hai biến : xX T Ω → R

mà với mỗi t cố định thuộc T ta có một biến ngẫu nhiên X t( ,ω), và với mỗi ω cố định thuộc Ω ta có một hàm X t( ,ω) mà đồ thị của nó theo t được gọi là một quỹ

đạo (hay một đường mẫu) của X t

Định nghĩa 1.2.2 Quá trình ngẫu nhiên { }X t t T∈ được gọi là quá trình Gauss khi

phân ph ối của vector ngẫu nhiên ( 1, , )

t s T ∈ thì { }X t t T∈ được gọi là quá trình Gauss dừng

Định nghĩa 1.2.3 Quá trình ngẫu nhiên { } (X t t T∈ T ⊂ R là quá trình số gia độc lập )

khi các s ố gia của nó trên các khoảng thời gian rời nhau là các biến ngẫu nhiên độc

l ập, tức là với mỗi phân hoạch hữu hạn t0 < < <t1 t n (t k∈T k, =0,1, ,n) các số

ii) { }W t t∈ ∞[0, ) là quá trình số gia độc lập;

iii) Bi ến ngẫu nhiên W t −W s, 0≤ ≤ có phân phối chu"n với kỳ vọng 0 và s t

ph ương sai (t−s);

iv) H ầu hết các quỹ đạo của { }W t t∈ ∞[0, ) là hàm liên tục

Định nghĩa 1.2.5 (tương đương với định nghĩa 1.2.4) Quá trình ngẫu nhiên

{ }W t t∈ ∞[0, ) được gọi là quá trình Wiener với tham số phương sai σ2khi { }W t t∈ ∞[0, ) là quá trình Gauss th ỏa mãn E W( )t =0 và R t s( ), =E W W( t s)=σ2min , ,( )t s ∀t s, ≥ 0

Định nghĩa 1.2.6 Quá trình Wiener tiêu chu"n là quá trình Wiener với tham số

ph ương sai σ2 = 1

Đặc điểm quỹ đạo của quá trình Wiener : Xét W t là một quỹ đạo (tương ứng với một ω cố định thuộc Ω) của quá trình Wiener, ta có :

i) W t liên tục h.c.c;

ii) W t không đơn điệu trên bất kỳ đoạn [ , ] [0, )a b ⊂ ∞ nào;

iii) W t không khả vi tại bất kỳ điểm nào

Chú ý : Quá trình Wiener có đạo hàm suy rộng là nhiễu trắng - thường được ký

hiệu bởi W• t - là quá trình Gauss dừng có hàm tương quan R t s( ), =δ(t− , trong s)

Định nghĩa 1.2.7 Xét không gian xác suất (Ω,A,P) và tập hợp T ⊂ R

a) H ọ các σ- đại số At ⊂A (t∈T) được gọi là bộ lọc nếu nó thỏa mãn các

điều kiện sau:

• Nếu A∈A và P( ) 0 A = thì A∈A 0 (1.2.4)

b) Quá trình ng ẫu nhiên { }X t t T∈ được gọi là tương thích với họ { }At t T∈ n ếu

• Họ { }At t T∈ không gi ảm

• X là t A -đo được, t T t ∀ ∈

c) Cho quá trình ng ẫu nhiên { }X t t T∈ t ương thích với bộ lọc { }At t T∈ và th ỏa

mãn các điều kiện sau:

Định nghĩa 1.2.8 Cho (Ω,A,P) là không gian xác suất đầy đủ (tức là, A ch ứa tất cả

các t ập có xác suất 0) và { }At t T∈ là h ọ các σ- đại số con của A sao cho m ỗi A chứa t

t ất cả các tập có xác suất 0 Ta gọi biến ngẫu nhiên :τ Ω →[0, )∞ là thời điểm

Phân hoạch [0,T thành N đoạn con bằng nhau: ] 0= < <t0 t1 L<t N−1<t N =T ,

mỗi đoạn con như vậy đều có độ dài dt T

N

= Đặt W t( )j =W j( ) với mỗi t j = jdt (j=0,1, ,N)

Dựa vào đặc điểm của quá trình Wiener ta chọn W( )0 = và 0

tW(t)

Hình 1.2.1

Trên không gian xác suất (Ω,A,P) cho quá trình ngẫu nhiên X ={X t t, ∈T}

Với mỗi t T∈ và B là σ-đại số Borel của R ta có σ-đại số σ( )X t =X t− 1( )B

Ký hiệu σ( {X t t, ∈T} )là σ-đại số con bé nhất của A chứa tất cả các σ-đại số

Cho {X t t, ∈T} là quá trình số gia độc lập tương thích với bộ lọc {At,t∈T}

sao cho E X t < ∞ ∀ ∈, t T và E X( t−X s)=0 ,∀ <s t s t; , ∈ Khi đó ta có T X s

độc lập với các số gia X t −X s (s< nên t) X t−X s độc lập với As, hơn nữa, X s

là As-đo được Vì vậy

Chương 2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN

VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN

Ký hiệu S là không gian các hàm đơn giản trên [0,T] thì S là không gian tuyến tính

đồng thời là tập trù mật trong không gian Hilbert L2( [0,T] )

Định nghĩa 2.1.2 Với f ∈ và có dạng (2.1.3), tích phân Wiener của f trên S [0,T]

được định nghĩa bởi:

( ) ( ) ( 1 )

1 0 0

Hơn nữa, với 0 s t T≤ ≤ ≤ ta có ( ) ( ) ( )

Tích phân (2.1.4) có các tính chất cơ bản sau:

(i) I f( )là biến ngẫu nhiên có phân phối chuNn với kỳ vọng bằng 0 và

Vậy {I f( )n } là dãy Cauchy trong L2( )Ω (là không gian đủ) nên tồn tại giới hạn

theo nghĩa bình phương trung bình ( )

j T

§2.2 TÍCH PHÂN ITO

Cho không gian xác suất (Ω,A,P) và số T không âm

Giả sử đã cho họ không giảm các σ-đại số At ⊂A(t∈[0,T] ) và quá trình Wiener

{ }W t t∈[0,T] tương thích với họ { }At sao cho số gia W u−W u t ( > sau thời điểm t t)

độc lập với σ-đại số At

Ký hiệu NT là lớp các hàm ngẫu nhiên f : 0,[ T] x Ω → R thỏa mãn:

• f t ( , ω ) là hàm đo được (theo hai biến);

• f t là tương thích đối với At (nghĩa là, f t là At-đo được);

=

= I +∑ I (2.2.1) trong đó, 0= < < < = là phân hoạch của t0 t1 t n T [0,T],

λ là biến ngẫu nhiên A0-đo được,

Định nghĩa 2.2.1 Với ϕ∈ N là hàm sơ cấp có dạng (2.2.1), tích phân Ito của T ϕ

được định nghĩa bởi:

( ) ( ) ( ) ( 1 )

1 0 0

T

∫  (2.2.4)

Từ các xấp xỉ:

a) Với g∈ NT bị chặn và g( )⋅,ω liên tục với mỗi ω thì tồn tại dãy hàm

sơ cấp ϕn∈ NT sao cho ( )2

0

T n

b) Với h∈ NT bị chặn thì tồn tại dãy hàm g n∈ N bị chặn và T g n( )⋅,ω

liên tục với mỗi ω sao cho ( )2

0

T n

∫  Do đó I( )ϕn là dãy Cauchy trong L2( )Ω

Định nghĩa 2.2.2 Tích phân Ito của f ∈ N được định nghĩa bởi: T

0 1 0

2

1 0

1

j

j j j

j j

t n

22

T

n dần đến 0, vì vậy

1 0

0

0

2 2

j j j

n

n j T

T

2.2.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên thuộc lớp NT