Chỉnh hóa nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường

BỘ CÔNG THƯƠNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌCCẤP TRƯỜNG Tên đề tài: Chỉnh hóa nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Mã số đề tài: 21/1CB02 Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Đức Phương Đơn vị thực hiện: Khoa Khoa học Cơ Tp Hồ Chí Minh, 2022 LỜI CÁM ƠN Để thực hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học này, nhận hỗ trợ, giúp đỡ quan tâm, động viên từ gia đình, bạn bè, lãnh đạo Khoa Ban giám hiệu nhà trường Chúng xin trân trọng cám ơn Ban giám hiệu nhà trường có sách khuyến khích nghiên cứu khoa học, hỗ trợ tài chính, tạo nhiều điều kiện để tơi thực đề tài Chúng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Lãnh đạo Phòng QLKH&HTQT, Khoa Khoa học Cơ đồng nghiệp động viên tạo điều kiện cho tơi hồn thành đề tài Tơi xin giử lời cảm ơn Nguyễn Diệu Linh - chuyên viên Phòng Quản lý Khoa học Hợp tác quốc tế có hướng dẫn hồ sơ thủ tục chi tiết, kịp thời Tuy có nhiều cố gắng, đề tài nghiên cứu khoa học khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi kính mong chuyên gia, người quan tâm đến đề tài, đồng nghiệp, gia đình bạn bè tiếp tục có ý kiến đóng góp, giúp đỡ để đề tài hồn thiện Một lần chúng tơi xin chân thành cám ơn! Chủ nhiệm đề tài Nguyễn Đức Phương PHẦN I THƠNG TIN CHUNG I Thơng tin tổng quát 1.1 Tên đề tài: Chỉnh hóa nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.2 Mã số: 21/1CB02 1.3 Danh sách chủ trì, thành viên tham gia thực đề tài TT Họ tên (học hàm, học vị) Đơn vị cơng tác Vai trị thực đề tài ThS Nguyễn Đức Phương Khoa KHCB Chính TS Ngô Ngọc Hưng Khoa KHCB Tham gia 1.4 Đơn vị chủ trì: 1.5 Thời gian thực hiện: 1.5.1 Theo hợp đồng: từ tháng năm 2021 đến tháng năm 2022 1.5.2 Gia hạn (nếu có): đến tháng năm 2022 1.5.3 Thực thực tế: từ tháng năm 2021 đến tháng năm 2022 1.6 Những thay đổi so với thuyết minh ban đầu (nếu có): Khơng có 1.7 Tổng kinh phí phê duyệt đề tài: 70 triệu đồng II Kết nghiên cứu Đặt vấn đề Xét miền    N , N  , miền bị chận, có biên  trơn Ký hiệu A toán tử Laplace dương  , A (   ) toán tử Laplace cấp không nguyên định nghĩa \ref{deffo} Ta biết W : L2 ( ) không gian Hilbert với sở { k } bao gồm vector riêng A tương ứng với trị riêng {k } , ( k ,  k ) thỏa k 1   k  với k  , k dần đến vô hạn k   , A k   k  k  ,  k   Trong đề tài này, xét tốn phương trình khuếch tán cấp khơng ngun ngẫu nhiên (CF t  A ) X (t )  f (t , X (t ))  g (t ) B (t ), t  (0, T ],   X (t ) |  0, t  (0, T ],  X (T )  X T  Trong B(t ) q trình Q -Wiener có giá trị W (xem định nghĩa \ref{Qw}), B (t ) (gọi white noise) ký hiệu đạo hàm B(t ) , toán tử CF t , với    , đạo hàm cấp phi tham số Caputo-Fabrizio Giá trị cuối T  Lr (, W  ) , hàm nguồn phi tuyến f  FKr , ,  giới thiệu phần giả định, { g  Lr (0, T ; Lr (, L0Q , )) thỏa g (0)  (điều kiện đo tính liên tục nhân Caputo-Fabrizio theo biến t ) Theo tìm hiểu chúng tơi, khơng có cơng bố tốn giá trị cuối cho phương trình khuếch tán liên quan đến đạo hàm cấp không nguyên CaputoFabrizio nhiễu ngẫu nhiên cấp thiết 2 Mục tiêu Chỉnh hóa nghiệm phương trình Phương pháp nghiên cứu Dùng công cụ giải tích Tổng kết kết nghiên cứu Kết đề cập đến tính chỉnh toán trường hợp giả định thỏa, nghĩa  đủ lớn để   (    , ) Các điều kiện có nghĩa hàm nguồn đủ trơn Mục tiêu chúng tơi kiển tra tồn tính nghiệm không gian Holder liên tục   ([0, T ]; Lr (,W  )) Kết thứ hai liên quan đến tính khơng chỉnh phương pháp chỉnh hóa cho tốn trường hợp giả định thỏa  thỏa mãn điều kiện       Điều nghĩa điều kiện hàm nguồn không nghiêm ngặt trường hợp thứ Bài toán chúng tơi khơng chỉnh vi phạm tính liên tục liệu Vì vậy, chúng tơi cần phải xây dựng nghiệm chỉnh hóa hay nghiệm xấp xỉ cho nghiệm xác Theo hiểu biết chúng tơi, nay, tốn chỉnh hóa nghiệm cho toán ngược liên quan đến nhiễu ngẫu nhiên chưa có nhiều nghiên cứu Đánh giá kết đạt kết luận Lưu ý r  2,     ([0, T ]; Lr (,W  )) trở thành   ([0, T ]; L2 (, W )) không gian  ([0, T ]; L2 (,W )) Việc giải tốn khơng gian hàm   ([0, T ]; Lr (, W )) phức tạp không gian  ([0, T ]; L2 (,W )) (thường coi phương trình vi phân ngẫu nhiên Sự khác biệt khơng thể áp dụng trực tiếp đẳng thức Ito (được sử dụng làm việc L2 (,W ) ); nữa, để có tính liên tục Hodel  , ta cần phải thiết lập đánh giá Holder cho tất thành phần thay cần chúng liên tục Tóm tắt kết (tiếng Việt tiếng Anh) Trong đề tài chúng tơi quan tâm đến tốn giá tric5 cuối cho Phương trình khuếch tán với đạo hàm cấp khơng ngun Cuputo-Fabrizio Yếu tố ngẫu nhiên xét tiếng ồn trắng nhận giá trị W Đóng góp đề tài khảo sát tính chỉnh khơng chỉnh tốn cho trường hợp không gian Hilbert scale W không gian Khi W đủ trơn nghĩa tham số  đủ lớn, tốn chỉnh có nghiệm không gian Holder liên tục Trường hợp ngược lại khó khan hơn, tốn khơng chỉnh chúng tơi thiết lập nghiệm chỉnh hóa In this work, we investigate a terminal value problem for stochastic fractional diffusion equations with Cuputo-Fabrizio derivative The stochastic noise we consider here is the white noise taken value in the Hilbert space W The main contribution is to investigate the well-posedness and ill-posedness of such problem in two distinct cases of the smoothness of the Hilbert scale space W which is a subspace of W When W is smooth enough, i.e the parameter  is sufficiently large, our problem is well-posed and it has a unique solution in the space of Holder continuous functions In contract, in the different case when ν is smaller, our problem is ill-posed; therefore, we construct a regularization result III Sản phẩm đề tài, công bố kết đào tạo 3.1 Kết nghiên cứu ( sản phẩm dạng 1,2,3) TT Ghi chú: Tên sản phẩm Bài báo Yêu cầu khoa học hoặc/và tiêu kinh tế - kỹ thuật Đăng ký Đạt 1 - Các ấn phẩm khoa học (bài báo, báo cáo KH, sách chuyên khảo…) chấp nhận có ghi nhận địa cảm ơn trường ĐH Công Nghiệp Tp HCM cấp kính phí thực nghiên cứu theo quy định - Các ấn phẩm (bản photo) đính kèm phần phụ lục minh chứng cuối báo cáo (đối với ấn phẩm sách, giáo trình cần có photo trang bìa, trang trang cuối kèm thông tin định số hiệu xuất bản) 3.2 Kết đào tạo Thời gian Tên đề tài TT Họ tên thực đề tài Tên chuyên đề NCS Đã bảo vệ Tên luận văn Cao học Nghiên cứu sinh Học viên cao học Sinh viên Đại học Ghi chú: - Kèm photo trang bìa chuyên đề nghiên cứu sinh/ luận văn/ khóa luận bằng/giấy chứng nhận nghiên cứu sinh/thạc sỹ học viên bảo vệ thành công luận án/ luận văn;( thể phần cuối báo cáo khoa học) IV Tình hình sử dụng kinh phí T T A B Nội dung chi Chi phí trực tiếp Th khốn chun mơn Ngun, nhiên vật liệu, Thiết bị, dụng cụ Cơng tác phí Dịch vụ thuê Hội nghị, hội thảo,thù lao nghiệm thu kỳ In ấn, Văn phịng phẩm Chi phí khác Chi phí gián tiếp Quản lý phí Kinh phí duyệt Kinh phí thực 69,612,800 69,612,800 387,200 387,200 Ghi Chi phí điện, nước Tổng số 70,000,000 70,000,000 V Kiến nghị ( phát triển kết nghiên cứu đề tài) - Thay đạo hàm Caputo-Fabrizio đạo hàm cấp không nguyên khác - Nghiên cứu tính ứng dụng tốn VI Phụ lục sản phẩm ( liệt kê minh chứng sản phẩm nêu Phần III) Minh chứng nhận đăng Minh chứng tạp chí Chủ nhiệm đề tài Phịng QLKH&HTQT Tp HCM, ngày 12 tháng 08 năm 2022 Khoa KHCB Trưởng (đơn vị) (Họ tên, chữ ký) Chỉnh hóa nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Nguyễn Đức Phương Ngày 13 tháng 07 năm 2022 Chương Đặt toán Xét miền D ⊂ RN , N ≥ 1, miền bị chận, có biên ∂D trơn Ký hiệu A toán tử Laplace dương −∆, Aβ (β > 0) tốn tử Laplace cấp khơng ngun định nghĩa 2.3 Ta biết W := L2 (D) không gian Hilbert với sở {Ξk } bao gồm vector riêng A tương ứng với trị riêng {µk }, (µk , Ξk ) thỏa µk+1 ≥ µk > với k ≥ 1, µk dần đến vô hạn k → ∞, AΞk = µk Ξk D, Ξk = ∂D Trong đề tài này, xét tốn phương trình khuếch tán cấp khơng ngun ngẫu nhiên  CF
˙  t ∈ (0, T ], ∂tα + Aβ X (t) = f (t, X (t)) + g(t)B(t),  (1.1) X (t)|∂D = 0, t ∈ (0, T ],   X (T ) = XT ˙ Trong B(t) q trình Q-Wiener có giá trị W (xem định nghĩa 2.5), B(t) CF α (gọi white noise) ký hiệu đạo hàm B(t), toán tử ∂t , với < α < 1, đạo hàm cấp phi tham số Caputo-Fabrizio định nghĩa 2.1 Giá trị cuối ′ XT ∈ Lr (Ω, Wν ′ ), hàm nguồn phi tuyến f ∈ FKr,ν,ν giới thiệu phần giả định 3.1, g ∈ Lr (0, T ; Lr (Ω, L0Q,ν )) (xem định nghĩa 2.6 với L0Q,ν ) thỏa g(0) = (điều kiện đo tính liên tục nhân Caputo-Fabrizio theo biến t) Bài toán xác định X thời điểm t ∈ (0, T ) cho trước điều kiện cuối X (T ) gọi toán giá trị cuối Các tốn có vai trị quan trọng việc mơ hình hóa nhiều tượng thực tế, ta trạng thái ban đầu (tại thời điểm t = 0) thay vào có giá trị đo thời điểm cuối (khắc phục ảnh nhòe ví dụ điển hình cho ứng dụng dạng này) Trong trường hợp đạo hàm cấp không nguyên CF ∂tα thay đạo hàm cổ điển ∂t khơng có ˙ thành phần nhiễu ngẫu nhiên g(t)B(t), mơ hình (1.1) tốn giá trị cuối cho phương trình khuếch tán (cịn gọi phương trình nhiệt phương trình parabolic), phương trình tiếng nghiên cứu nhiều năm gần ứng dụng việc mơ hình hóa tượng khuếch tán mơi trường đồng nhất, truyền nhiệt xử lý hình ảnh [17; 22–24; 27; 29; 34; 37; 43; 44] Tuy nhiên, thực tế người ta nhận thấy số hệ thống phức tạp, đồng mơi trường tạo khuếch tán phụ; đó, phương trình khuếch tán cổ điển (với đạo hàm cổ điển) khơng mơ tả tốt tượng u cầu phát triển mơ hình liên quan đến đạo hàm cấp không nguyên Trang [10; 14; 15; 18; 26; 30; 31; 41; 42; 47] Ngồi ra, bên cạnh nguồn kiểm sốt, cịn tồn nguồn khơng kiểm sốt nhiễu Do đó, việc đưa khái niệm nguồn nhiễu ngẫu nhiên vào mơ hình tốn học hợp lý Do hai lý đề cập trên, chúng tơi đặc biệt quan tâm đến tốn (1.1) liên quan đến đạo hàm hàm cấp không nguyên hàm nguồn nhiễu ngẫu nhiên Đạo hàm cấp không nguyên mà xem xét đạo hàm Caputo-Fabrizio, đạo hàm M Caputo M Fabrizio đề xuất Đạo hàm ý khơng có nhân kỳ dị [8; 39] mơ hình hóa lớp hệ thống phi địa phương liên quan đến cấu trúc không đồng vật liệu, mà đạo hàm cấp không nguyên với nhân kỳ di không mô tả tốt [1–4; 13; 19; 25] Mặt khác, nhiều loại nhiễu ngẫu nhiên khác nhau, đặc biệt quan tâm đến chuyển động Brown tiêu chuẩn minh họa cách rõ ràng thuận tiện phương pháp chúng tôi, kết hướng dẫn để mở rộng đến loại nhiễu ngẫu nhiên phức tạp hơn, xem [5; 6; 9; 11; 16; 32; 33; 49–53] kết nghiên cứu liên quan nhiễu ngẫu nhiên thời gian gần Theo tìm hiểu chúng tơi, khơng có cơng bố toán giá trị cuối cho phương trình khuếch tán liên quan đến đạo hàm cấp khơng ngun Caputo-Fabrizio nhiễu ngẫu nhiên cấp thiết Do đó, đề tài này, chúng tơi xem xét tốn chỉnh (và khơng chỉnh) (1.1) với hai giả định khác hàm nguồn f g Những đóng góp đề tài sau • Kết đề cập đến tính chỉnh toán (1.1) trường hợp giả định 3.1 thỏa, nghĩa ν đủ lớn để ν ∈ (ν ′ − 2β, ν ′ ) Các điều kiện có nghĩa hàm nguồn đủ trơn Mục tiêu chúng tơi kiển tra tồn tính nht ca nghim khụng gian Hăolder liờn tc C θ ([0, T ]; Lr (Ω, Wν ′ )) Lưu ý r = 2, ν ′ = C θ ([0, T ]; Lr (Ω, Wν ′ )) trở thành C θ ([0, T ]; L2 (Ω, W )) không gian C([0, T ]; L2 (Ω, W )) Việc giải tốn khơng gian hàm C θ ([0, T ]; Lr (Ω, W )) phức tạp không gian C([0, T ]; L2 (Ω, W )) (thường coi phương trình vi phân ngẫu nhiên ([12; 45; 46]) Sự khác biệt khơng thể áp dụng trực tiếp đẳng thức Itô (được sử dụng làm việc L2 (Ω, W )); nữa, để có c tớnh liờn tc Hăodel ca , ta cn phi thit lp cỏc ỏnh giỏ Hăolder cho tt c cỏc thành phần thay cần chúng liên tục • Kết thứ hai liên quan đến tính khơng chỉnh phương pháp chỉnh hóa cho tốn (1.1) trường hợp giả định 3.1 thỏa ν thỏa mãn điều kiện ν < ν ′ − 2β Điều nghĩa điều kiện hàm nguồn không nghiêm ngặt trường hợp thứ Bài tốn chúng tơi khơng chỉnh vi phạm tính liên tục liệu (chi tiết thêm, người đọc tham khảo [12]) Vì vậy, chúng tơi cần phải xây dựng nghiệm chỉnh hóa hay nghiệm xấp xỉ cho nghiệm xác Theo hiểu biết chúng tơi, nay, tốn chỉnh hóa nghiệm cho toán ngược liên quan đến nhiễu ngẫu nhiên chưa có nhiều nghiên cứu, (xem [12; 20; 35; 36; 40; 45; 46] để biết số kết gần đây) Phần lại đề tài tổ chức sau: Phần dành trình bày kiến thức, ký hiệu sử dụng suốt đề tài Trong phần 3, kết trình bày bao gồm tính chỉnh khơng chỉnh toán (1.1) tương ứng cho hai hai trường hợp khác tham số ν (xem giả định 3.1) Đối với trường hợp đầu tiên, tồn 3.1 Tính chỉnh ν ′ − 2β ≤ ν ≤ ν ′ Trang 16 ∥X − X [n] ∥C([0,T ];Lr (Ω,Wν ′ )) không hội tụ o n → ∞, X [n] nghiệm [n] (1.1) với liệu nhiễu XT g [n] Nói cách khác, thay đổi nhỏ liệu dẫn đến thay đổi lớn giá trị nghiệm 3.1 Tính chỉnh ν ′ − 2β ≤ ν ≤ ν ′ Định lý 3.1 Cho < α < β > Bài toán thỏa giả định 3.1, ν ′ −2β ≤ ν ≤ ν ′ , r−2 tốn (1.1) có nghiệm X ∈ C 2r ([0, T ]; Lr (Ω, Wν ′ )) Hệ 3.1 Khi ν = ν ′ = 0, ta ký hiệu Wν ≡ Wν ′ ≡ L2 (D) Ta có kết suy từ định lý 3.1 Nếu XT ∈ Lr (Ω, L2 (D)), g ∈ Lr (0, T ; Lr (Ω, L0Q )),  f ∈ f : [0, T ] × Lr (Ω, L2 (D)) → Lr (Ω, L2 (D)) such that: f (t, 0) = ∥f (t, Y1 ) − f (t, Y2 )∥Lr (Ω,L2 (D)) ≤ K∥Y1 − Y2 ∥Lr (Ω,L2 (D)) , với Y1 , Y2 ∈ Lr (Ω, L2 (D)) , r ≥ 2, K > 0, tốn (1.1) có nghiệm r−2 X ∈ C 2r ([0, T ]; Lr (Ω, L2 (D))) Chứng minh Để chứng minh tồn nghiệm cho toán (1.1), chúng tơi thiết lập tốn tử N :C r−2 2r ([0, T ]; Lr (Ω, Wν ′ )) → C r−2 2r ([0, T ]; Lr (Ω, Wν ′ )) định nghĩa sau Z T mα,β eα,β (ζ − t)f (ζ, X (ζ))dζ N X (t) = eα,β (T − t)XT − t Z − T mα,β eα,β (ζ − t)g(ζ)dB(ζ) t r−2 sau toán tử xác định ánh xạ co từ C 2r ([0, T ] ; Lr (Ω, Wν ′ )) r−2 vào Lấy hàm X ∈ C 2r ([0, T ]; Lr (Ω, Wν ′ )), trước tiên ta cần toán r−2 tử N X ∈ C 2r ([0, T ]; Lr (Ω, Wν ′ )) Với ≤ t < t + ϵ ≤ T , ta thấy
N X (t + ϵ) − N X (t) = eα,β (T − t − ϵ) − eα,β (T − t) XT Z T
− mα,β eα,β (ζ − t − ϵ) − eα,β (ζ − t) f (ζ, X (ζ))dζ t+ϵ Z t+ϵ + mα,β eα,β (ζ − t)f (ζ, X (ζ))dζ− t Z T
− mα,β eα,β (ζ − t − ϵ) − eα,β (ζ − t) g(ζ)dB(ζ) t+ϵ Z t+ϵ + mα,β eα,β (ζ − t)g(ζ)dB(ζ) t =: E ϵ (t)XT − Mϵ1 (X )(t) + Mϵ2 (X )(t) − Mϵ3 (t) + Mϵ4 (t) 3.1 Tính chỉnh ν ′ − 2β ≤ ν ≤ ν ′ Trang 17 Bây tiến hành đánh giá thành phần phía hội tụ ϵ → 0+ không gian Lr (Ω, Wν ′ ) cách sử dụng bổ đề 2.1 Trước hết, chặn thành phần thu cách áp dụng mệnh đề 2.1 iii) sử dụng điều kiện XT ∈ Lr (Ω, Wν ′ ) ∥E ϵ (t)XT ∥Lr (Ω,Wν ′ ) r i h  Z ϵ r i r1 h Z ϵ r ∥e˙ α,β (T − t − τ )XT ∥Wν ′ dτ = E e˙ α,β (T − t − τ )XT dτ ≤ E Wν ′ 0  α h  Z ϵ r i r1 α exp T E ∥XT ∥Wν ′ dτ ≤ 1−α 1−α  α  α exp T ϵ∥XT ∥Lr (Ω,Wν ′ ) , ≤ 1−α 1−α nghĩa ∥E ϵ (t)XT ∥Lr (Ω,Wν ′ ) → ϵ → 0+ Thành phần Mϵ1 (X )(t) đánh giá cách sử dụng tính tuyến tính, liên tục hai toán tử mα,β e˙ α,β (t) bổ đề 2.1 i), iii) Bằng cách này, có Z T
ϵ r ∥M1 (X )(t)∥L (Ω,Wν ′ ) ≤ ∥mα,β eα,β (ζ − t − ϵ) − eα,β (ζ − t) f (ζ, X (ζ))∥Lr (Ω,Wν ′ ) dζ t+ϵ Z T h i r1
= E∥mα,β eα,β (ζ − t − ϵ) − eα,β (ζ − t) f (ζ, X (ζ))∥rWν ′ dζ t+ϵ Z T h Z ϵ i r1 ν,ν ′ r ∥e˙ α,β (ζ − t − τ )f (ζ, X (ζ))∥Wν dτ dζ ≤ Cα,β E t+ϵ  α  Z T α ν,ν ′ ∥f (ζ, X (ζ))∥Lr (Ω,Wν ) dζ, exp T ϵ ≤ Cα,β 1−α 1−α t+ϵ ′ ν,ν Cα,β := α ∧ α(1 − α)− ∥Mϵ1 (X )(t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) ν ′ −ν β Tính Lipschitz f dẫn đến  α  Z T α ≤ exp T ϵ ∥X (ζ)∥Lr (Ω,Wν ′ ) dζ 1−α 1−α t+ϵ  α  α ν,ν ′ ≤ KCα,β exp T T ϵ sup ∥X (t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) , 1−α 1−α t∈[0,T ] ν,ν ′ KCα,β điều có nghĩa ∥Mϵ1 (X )(t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) tiến đến ϵ → 0+ Đối với Mϵ2 (X )(t), ước lượng tương tự tính tuyến tính liên tục eα,β (t) bổ đề 2.1 ii) sử dụng thay iii) ∥Mϵ2 (X )(t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) Z t+ϵ = h ≤ ≤ t t+ϵ ∥mα,β eα,β (ζ − t)f (ζ, X (ζ))∥Lr (Ω,Wν ′ ) dζ E∥mα,β eα,β (ζ − t ν,ν ′ Cα,β Z Z t+ϵ h t)f (ζ, X (ζ))∥rWν ′ t)f (ζ, X (ζ))∥rWν i r1 i r1 dζ E∥eα,β (ζ − dζ  α  Z t+ϵ ν,ν ′ ≤ Cα,β exp T ∥f (ζ, X (ζ))∥Lr (Ω,Wν ) dζ 1−α t t 3.1 Tính chỉnh ν ′ − 2β ≤ ν ≤ ν ′ Trang 18 Tính Lipschitz f cho ta ∥Mϵ2 (X )(t)∥Lr (Ω,Wν ′ )  α  Z t+ϵ exp T ∥X (ζ)∥Lr (Ω,Wν ′ ) dζ ≤ 1−α t   α ν,ν ′ T ϵ sup ∥X (t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) , ≤ KCα,β exp 1−α t∈[0,T ] ν,ν ′ KCα,β (3.1) dẫn đến ∥Mϵ2 (X )(t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) hội tụ ϵ → 0+ Tích phân ngẫu nhiên Mϵ3 (t) đánh giá cách áp dụng bất đẳng thức kiểu Burkholder-Davis-Gundy liên quan đến tính tuyến tính liên tục hai tốn tử mα,β , e˙ α,β (t) bổ đề 2.1 i), iii) Bằng cách này, ta dẫn đến r i h Z T
r = E mα,β eα,β (ζ − t − ϵ) − eα,β (ζ − t) g(ζ)dB(ζ) Wν ′ t+ϵ r i1 h Z T 
r ≤ c(r) E ∥mα,β eα,β (ζ − t − ϵ) − eα,β (ζ − t) g(ζ)∥2L0 ′ dζ Q,ν t+ϵ Z Z h  T  ϵ 2  r2 i r1 ν,ν ′ ≤ c(r)Cα,β E ∥e˙ α,β (ζ − t − τ )g(ζ)∥L0Q,ν dτ dζ t+ϵ  α  h Z T  r2 i r1 α ν,ν ′ ≤ c(r)Cα,β exp T ϵ E ∥g(ζ)∥2L0 dζ , Q,ν 1−α 1−α t+ϵ ∥Mϵ3 (t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) c(r) số dương phụ thuộc vào r Để thay đổi thứ tự tích phân kỳ vọng E, cần sử dụng công cụ tiếng gọi l bt bỡnh ng thc Hăolder Nú dn n M3 (t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) Z T  r2  r2 i r1  α  h  Z T  r−2 α r r ∥g(ζ)∥L0 dζ exp T ϵ E dζ ≤ Q,ν 1−α 1−α t+ϵ t+ϵ Z  α  r−2 h T i r1 α ν,ν ′ ≤ c(r)Cα,β exp T T 2r ϵ E∥g(ζ)∥rL0 dζ Q,ν 1−α 1−α t+ϵ   ′ r−2 α α ν,ν exp T T 2r ϵ∥g∥Lr (0,T ;Lr (Ω,L0Q,ν )) , ≤ c(r)Cα,β 1−α 1−α ν,ν ′ c(r)Cα,β nghĩa ∥Mϵ3 (X )(t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) hội tụ ϵ → 0+ Với thành phần cuối Mϵ4 (t), ta đánh giá tương tự tính tuyến tính liên tục eα,β (t) bổ đề 2.1 ii) sử dụng (thay iii)) ∥Mϵ4 (t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) r i h Z t+ϵ r = E mα,β eα,β (ζ − t)g(ζ, X (ζ))dB(ζ) Wν ′ t h  Z t+ϵ  r2 i r1 ≤ c(r) E ∥mα,β eα,β (ζ − t)g(ζ)∥2L0 ′ dζ Q,ν t Z t+ϵ  h   r2 i r1 α ν,ν ′ ≤ c(r)Cα,β exp T E ∥g(ζ)∥2L0 dζ Q,ν 1−α t 3.1 Tính chỉnh ν ′ − 2β ≤ ν ≤ ν ′ Trang 19 Bt ng thc Hăolder cng cho phộp ta i thứ tự tích phân kỳ vọng sau ∥Mϵ4 (t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) h  Z t+ϵ  r−2  α  Z t+ϵ  r2  r2 i r1 r ν,ν ′ r T E dζ ≤ c(r)Cα,β exp ∥g(ζ)∥L0 dζ Q,ν 1−α t t Z  α  r−2 h t+ϵ i r1 ν,ν ′ exp T ϵ 2r ∥g(ζ)∥rLr (Ω,L0 ) dζ ≤ c(r)Cα,β Q,ν 1−α  α  r−2 t ′ ν,ν exp ≤ c(r)Cα,β T ϵ 2r ∥g∥Lr (0,T ;Lr (Ω,L0Q,ν )) , 1−α (3.2) dẫn đến ∥Mϵ4 (X )(t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) hội tụ ϵ → 0+ Bây kết hợp kết đánh giá ý ϵ=ϵ r−2 2r ϵ r+2 2r ≤T r+2 2r ϵ r−2 2r , dẫn đến kết luận tồn số L phụ thuộc vào α, β, ν, ν ′ , r, K cho ∥N X (t + ϵ) − N X (t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) r−2 ϵ 2r
≤ L ∥XT ∥Lr (Ω,Wν ′ ) + sup ∥X (t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) + ∥g∥Lr (0,T ;Lr (Ω,L0Q,ν )) , (3.3) t∈[0,T ] nghĩa N X ∈ C r−2 2r ([0, T ]; Lr (Ω, Wν ′ )) X ∈ C r−2 2r ([0, T ]; Lr (Ω, Wν ′ )) r−2 Tiếp theo, ta N ánh xạ co từ C 2r ([0, T ]; Lr (Ω, Wν ′ )) vào Cơng cụ sử dụng định lý điểm bất động Banach Với X , X ∗ ∈ r−2 C 2r ([0, T ]; Lr (Ω, Wν ′ )), ta thấy Z T
∗ N X (t) − N X (t) = mα,β eα,β (ζ − t) f (ζ, X (ζ)) − f (ζ, X ∗ (ζ)) dζ t Thành phần đánh giá cách sử dụng kỹ thuật tương tự để thu (3.1) Bằng cách ta có ∥N X ∗ (t) − N X (t)∥Lr (Ω,Wν ′ )  α Z T ν,ν ′ ≤ KCα,β exp T ∥X (ζ) − X ∗ (ζ)∥Lr (Ω,Wν ′ ) dζ 1−α t (3.4) Thoạt nhìn, biểu thức dẫn đến tồn tính nghiệm cách ỏp dng bt ng thc Grăonwall hng s K tha mãn  α  ν,ν ′ exp KCα,β T < 1−α Tuy nhiên, tiếc, số dương K tùy ý, ta đảm bảo mong muốn Để vượt qua thử thách này, cần thiết kế ước tính khác cho tốn tử N sau Mục tiêu chứng minh khẳng định sau với tất j ≥ cách áp dụng phương pháp tiếng gọi quy nạp toán học ∥N j X (t) − N j X ∗ (t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) h  ij ν,ν ′ α KCα,β exp 1−α T (T − t)j ≤ sup ∥X (t) − X ∗ (t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) j! t∈[0,T ] (3.5) 3.2 Tính khơng chỉnh ν < ν ′ − 2β Trang 20 Trước hết, đánh giá (3.4) nghĩa (3.5) j = Giả sử với j, cần đánh giá cho trường hợp j + Thật vậy, ta có ∥N j+1 X (t) − N j+1 X ∗ (t)∥Lr (Ω,Wν ′ )  α Z T ν,ν ′ T ∥N j X (ζ) − N j X ∗ (ζ)∥Lr (Ω,Wν ′ ) dζ ≤ KCα,β exp 1−α t  ir(j+1) h ′ ν,ν α Z T exp 1−α T KCα,β (T − ζ)j sup ∥X (t) − X ∗ (t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) dζ ≤ j! t∈[0,T ] t h  i r(j+1) ν,ν ′ α KCα,β exp 1−α T (T − t)j+1 ≤ sup ∥X (t) − X ∗ (t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) , (j + 1)! t∈[0,T ] nghĩa (3.5) với j Bởi h  ij h  ij ν,ν ′ ν,ν ′ α α KCα,β exp 1−α T KCα,β exp 1−α T (T − t)j Tj ≤ −→ 0, j! j! as j → ∞, suy từ (3.5) có j ≥ cho sup ∥N j X (t) − N j X ∗ (t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) < sup ∥X (t) − X ∗ (t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) , t∈[0,T ] t∈[0,T ] nghĩa phương trình N j X = X có nghiệm X ∈ C([0, T ], Lr (Ω, Wν ′ )) Do đó, N j (N X ) = N (N j X ) = X , N X = X có nghiệm X ∈ C([0, T ], Lr (Ω, Wν ′ )) Thiết lập tương tự (3.3), có ∥X (t + ϵ) − X (t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) ϵ r−2 2r
≤ L ∥XT ∥Lr (Ω,Wν ′ ) + sup ∥X (t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) + ∥g∥Lr (0,T ;Lr (Ω,L0Q,ν )) , t∈[0,T ] r−2 nghĩa X ∈ C([0, T ], Lr (Ω, Wν ′ )) X ∈ C 2r ([0, T ], Lr (Ω, Wν ′ )) Do đó, ta kết r−2 luận tốn (1.1) có nghiệm X ∈ C 2r ([0, T ]; Lr (Ω, Wν ′ )) 3.2 Tính khơng chỉnh ν < ν ′ − 2β Nhớ lại trường hợp ν ′ − 2β ≤ ν ≤ ν ′ , tốn (1.1) chỉnh Có thể quan sát kết có nhờ vào tính bị chặn tốn tử mα,β từ Wν ′ đến Wν ν ′ − 2β ≤ ν ≤ ν ′ bổ đề 2.1 (ii) Tuy nhiên, trường hợp ν < ν ′ − 2β, tính bị chặn tốn tử khơng đảm bảo Đây nguyên nhân dẫn đến không ổn định nghiệm, làm cho toán khơng chỉnh Để rõ hơn, ví dụ sau, đưa minh họa đơn giản (khi r = 2) để nghiệm tốn (1.1) khơng ổn định trường hợp ν < ν ′ −2β Ví dụ 3.1 (Tính khơng ổn định nghiệm) Cho < α < β > Hàm f định nghĩa X 2β f (t, Y) = µk (Y, Ξk )Ξk k≥1 3.2 Tính khơng chỉnh ν < ν ′ − 2β Trang 21 Trong ví dụ này, chúng tơi giả sử liệu đầu vào XT g tương ứng bị nhiễu [n] [n] XT g [n] Ký hiệu X [n] nghiệm toán (1.1) với liệu nhiễu XT g [n] Ta có đánh giá [n] • Dữ liệu xác XT liệu nhiễu XT = XT + Πn Ξn ρn ′ n→∞ XT − X [n] = Πn µνn −→ T L (Ω,W ′ ) ν • Dữ liệu xác g liệu nhiễu ∥g − g [n] ∥L2 (0,T ;L2 (Ω,L0Q,ν )) 1 n→∞ g [n] (t)w = g(t)w + Πn bn (t)(w, Ξn )Ξn = λn2 Πn µνn T −→ • Nghiệm X nghiệm với liệu nhiễu X [n] X (t) − X [n] (t) C([0,T ];L2 (Ω,W ν′ ) n→∞ ′ ≳ Πn λn2 µνn −2β −→ ∞ ρn ∼ N (0, 1), bn (t) chuyển động Brownian chiều, Πn , Πn thỏa ′ lim Πn µνn = 0, lim Πn λn2 µνn → = 0, n→∞ n→∞ ′ lim Πn λn2 µνn −2β = ∞ (3.6) n→∞ Nhận xét 3.1 với γ1 > ν ′ , Πn = • Một ví dụ đơn giản cho Πn , Πn thỏa (3.6) Πn = µ−γ n −1 λn µn−γ2 , ν < γ2 < ν ′ − 2β • Hàm f định nghĩa thỏa giả định 3.1 Y1 , Y2 ∈ L2 (Ω, Wν ′ ), tồn số Cν ′ ,ν,β cho ∥f (t, Y1 ) − f (t, Y2 )∥L2 (Ω,Wν ) = ∥Y1 − Y2 ∥L2 (Ω,Wν+2β ) ≤ Cν ′ ,ν,β ∥Y1 − Y2 ∥L2 (Ω,Wν ′ ) Chứng minh Chúng tơi chứng minh ví dụ 3.1 qua hai bước sau: [n] Bước Kiểm tra ∥XT −XT ∥L2 (Ω,Wν ′ ) → ∥g −g [n] ∥Lr (0,T ;Lr (Ω,L0Q,ν )) → n → ∞ Mặt khác, E|ρn |2 = ∥Ξn ∥W = 1, ta thấy ∥XT − [n] XT ∥L2 (Ω,Wν ′ ) i 21 h i1 h ν′ ν′ 2 = E∥A Πn Ξn ρn ∥W = Πn ∥µn Ξn ∥W E|ρn | ′ = Πn µνn (3.7) [n] ′ Bởi Πn µνn → n → ∞, ta có ∥XT − XT ∥L2 (Ω,Wν ′ ) → as n → ∞ Mặt khác, theo tính chất chuyển động Brownian chiều E|bn (ζ)|2 = 1, ta có hZ T X i 12 [n] ∥g − g ∥L2 (0,T ;L2 (Ω,L0Q,ν )) = E∥(g(ζ) − g [n] (ζ))Q Ξk ∥2Wν dζ = hZ k≥1 T 2 λn Πn µ2ν n E∥bn (ζ)Ξn ∥Wν dζ i 21 1 = λn2 Πn µνn T Bởi Πn λn2 µνn → n → ∞, thấy ∥g − g [n] ∥Lr (0,T ;Lr (Ω,L0Q,ν )) → n → ∞ 3.2 Tính khơng chỉnh ν < ν ′ − 2β Trang 22 Bước Kiểm tra ∥X − X [n] ∥C([0,T ];L2 (Ω,Wν ′ )) → ∞ n → ∞ Với t ∈ [0, T ], bất đẳng thức |a + b + c| ≥ |a| − |b| − |c|, với a, b, c ∈ R, suy
X (t)−X [n] (t) eα,β (T − t) XT − X [n] ≥ − − T L (Ω,Wν ′ ) L (Ω,Wν ′ ) Z T
mα,β eα,β (ζ − t) f (ζ, X (ζ)) − f (ζ, X [n] (ζ)) dζ + − L2 (Ω,Wν ′ ) t Z T
mα,β eα,β (ζ − t) g(ζ) − g [n] (ζ) dB(ζ) + L (Ω,Wν ′ ) t [n] [n] [n] =: −J1 (t) − J2 (t) + J3 (t) Kế tiếp, thành phần cuối dần đến vô hai thành phần tiến đế n → ∞ Trước hết, bắt đầu với hai thành phần vế phải Bổ đề 2.1 i) (3.7) dẫn đến

α α ′ [n] T ∥XT − XT ∥L2 (Ω,Wν ′ ) ≤ exp T Πn µνn → 0, 1−α 1−α [n] J1 (t) ≤ exp as n → ∞ (3.8) Thành phần thứ hai đánh giá việc áp dụng bổ đề 2.1 i) ii) [n] J2 (t) Z T
∥mα,β eα,β (ζ − t) f (ζ, X (ζ)) − f (ζ, X [n] (ζ)) ∥L2 (Ω,Wν ′ ) dζ ≤ t Z T h [n]
i 21 (ζ)) ∥Wν ′ dζ E∥mα,β eα,β (ζ − t) f (ζ, X (ζ)) − f (ζ, X Z Th i 21
ν′ [n] ≤ C α,β E∥eα,β (ζ − t) f (ζ, X (ζ)) − f (ζ, X (ζ)) ∥Wν ′ −2β dζ t  α Z T
ν′ ≤ C α,β exp T ∥A−2β f (ζ, X (ζ)) − f (ζ, X [n] (ζ)) ∥L2 (Ω,Wν ′ ) dζ, 1−α t = t ν′ C α,β := α ∧ α(1 − α)−2 Bởi f (t, Y1 ) − f (t, Y2 ) = X µ2β k (Y1 − Y2 , Ξk )Ξk , k≥1 suy [n] J2 (t)  α Z T ≤ exp T ∥X (ζ) − X [n] (ζ)∥L2 (Ω,Wν ′ ) dζ 1−α  α  t ν′ ≤ C α,β exp T T sup ∥X (t) − X [n] (t)∥L2 (Ω,Wν ′ ) 1−α t∈[0,T ] ν′ C α,β [n] (3.9) Kế tiếp, thành phần cuối J3 (t) dần đến vô n → ∞ Theo tính đẳng cự Itơ, ta có i h Z T
[n] J3 (t) = E mα,β eα,β (ζ − t) g(ζ) − g [n] (ζ) dB(ζ) Wν ′ t hZ T i 21
2 [n] = E mα,β eα,β (ζ − t) g(ζ) − g (ζ) L0 dζ t Q,ν ′ 3.3 Nghiệm chỉnh hóa ν < ν ′ − 2β Trang 23 Chú ý (k) eα,β (ζ − t) = exp  αµβ (ζ − t)  k + (1 − α)µβk ≥1 (k) mα,β = α + (1 − α)µβk
−2
−2 −2β
−2 −2β µk µk ≥ α µ−β = α µ−β + (1 − α) k + (1 − α) [n] Ta thu chận cho J3 (t) sau Z
−2 h [n] −β J3 (t) ≥ α µ1 + (1 − α) T 2 E g(ζ) − g [n] (ζ) L0 Q,ν ′ −2β t dζ i 21
−2 ′ ν −2β ≥ α µ−β + (1 − α) Π λ µn (T − t) n n 1 (3.10) ′ Từ (3.8), (3.9), (3.10), ý Πn λn2 µνn −2β → ∞, ta suy X (t) − X [n] (t) → ∞ n → ∞ C([0,T ];L2 (Ω,W ′ ) ν 3.3 Nghiệm chỉnh hóa ν < ν ′ − 2β Không thể phủ nhận rằng, thực tế, phép đo, liệu xác XT g khơng có sẵn chúng xác định giá trị gần đúng, ký hiệu X˜Tϵ g˜ϵ , mô hình sau errϵinput := ∥XT − X˜Tϵ ∥Lr (Ω,Wν ′ ) ∨ ∥g − g˜ϵ ∥Lr (0,T ;Lr (Ω,L0Q,ν )) < ϵ, (3.11) ϵ số dương đủ nhỏ Ký hiệu XTϵ nghiệm toán (1.1) với liệu X˜Tϵ , g˜ϵ errϵoutput := ∥X − X˜ ϵ ∥C([0,T ];Lr (Ω,Wν ′ )) Như mục 3.2, nghiệm tốn khơng phụ thuộc liên tục vào liệu đầu vào ν ′ − 2β ≤ ν ≤ ν ′ Do đó, errϵoutput lớn errϵinput nhỏ Mục tiêc ϵ thiết lập nghiệm chỉnh hóa ký hiệu Xreg , thỏa ϵ errϵoutput := ∥X − X reg ∥C([0,T ];Lr (Ω,Wν ′ )) → 0, as ϵ → 0+ (3.12) ϵ Ở đây, X reg thiết lập sau: thay toán tử eα,β mα,β (2.1) ϑ(ϵ) ϑ(ϵ) xấp xỉ eα,β mα,β Z T ϵ ϑ(ϵ) ϑ(ϵ) ϵ ϵ ˜ X reg := eα,β (T − t)XT − mα,β eα,β (ζ − t)f (ζ, Xreg (ζ))dζ t Z T ϑ(ϵ) mα,β eα,β (ζ − t)˜ g ϵ (ζ)dB(ζ), (3.13) − t ϑ(ϵ) ϑ(ϵ) eα,β mα,β tổng riêng phần eα,β mα,β định nghĩa X X ϑ(ϵ) (k) ϑ(ϵ) (k) eα,β (t) := eα,β (t)(·, Ξk )Ξk , mα,β := mα,β (·, Ξk )Ξk k satisfies µk ≤ϑ(ϵ) k satisfies µk ≤ϑ(ϵ) Hằng số ϑ(ϵ) phụ thuộc vào ϵ gọi tham số chỉnh hóa, chọn để (3.12) 3.3 Nghiệm chỉnh hóa ν < ν ′ − 2β Trang 24 Định lý 3.2 (Kết chỉnh hóa) Lấy < α < β > Giả sử (3.11) thỏa điều kiện ν < ν ′ − 2β Giả sử thêm X (t) ∈ Lr (Ω, Wν ′ +δ ), với t ∈ [0, T ], δ số dương đủ nhỏ δ < ν ′ − ν − 2β Tham số chỉnh hóa ϑ(ϵ) chọn cho   ′ ′ lim+ exp Kκα,T [ϑ(ϵ)]ν −ν−2β T [ϑ(ϵ)]ν −ν−2β ϵ ϵ→0   ν ′ −ν−2β = lim+ exp Kκα,T [ϑ(ϵ)] T [ϑ(ϵ)]−δ = 0, (3.14) ϵ→0
α T Khi đó, tốn (3.13) có nghiệm κα,T := α(1 − α)−2 exp 1−α thuộc C([0, T ]; Lr (Ω, Wν ′ )) errϵoutput bậc hội tụ  h i ′ ′ exp Kκα,T [ϑ(ϵ)]ν −ν−2β T [ϑ(ϵ)]ν −ν−2β ϵ + [ϑ(ϵ)]−δ (3.15) Nhận xét 3.2 Ta xét ví dụ ϑ(ϵ) thỏa (3.14) ϑ(ϵ) =  log(ϵ−σ )  ′ ν −ν−2β , Kκα,T T + ϵ với < σ < Khi errϵoutput hội tụ ϵ → 0+ Mặt khác, X reg xấp xỉ tốt cho X Chứng minh Sự tồn tính nghiệm cho(3.13) không gian C([0, T ]; Lr (Ω, Wν ′ )) kiểm tra cách tương tự mục 3.1 Do đó, bỏ qua chi tiết Tiếp theo, cần kiểm tra xem đánh giá ϵ (3.15) có hay khơng Thật vậy, từ cơng thức X X reg , thấy t ∈ [0, T ] ϑ(ϵ)
ϵ ∥X (t)−X reg (t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) ≤ eα,β (T − t) XT − X˜Tϵ Lr (Ω,W ′ ) ν Z T
ϑ(ϵ) ϵ mα,β eα,β (ζ − t) f (ζ, X (ζ)) − f (ζ, Xreg + (ζ)) dζ Lr (Ω,Wν ′ ) t Z T
ϑ(ϵ) + mα,β eα,β (ζ − t) g(ζ) − g˜ϵ (ζ) dB(ζ) Lr (Ω,Wν ′ ) t
ϑ(ϵ) + eα,β (T − t) − eα,β (T − t) XT Z T ϑ(ϵ)
+ mα,β − mα,β eα,β (ζ − t)f (ζ, X (ζ))dζ+ t Z T X ϑ(ϵ)
+ mα,β − mα,β eα,β (ζ − t)g(ζ)dB(ζ) =: errk (3.16) r L (Ω,Wν ′ ) t 1≤k≤4 Ta đánh giá thành phần thứ tư errk Theo tính chất (2.4), thành phần đánh sau ϑ(ϵ) err1 ≤ eα,β (T − t) L(Wν ,W ′ ) XT − X˜Tϵ Lr (Ω,W ′ ) ν ν ϵ ϵ ˜ ≤ XT − XT Lr (Ω,W ′ ) ≤ errinput (3.17) ν Để đánh giá thành phần tiếp theo, chuẩn bị kết ϑ(ϵ) ′ ∥mα,β ∥L(Wν ,Wν ′ ) ≤ α(1 − α)−2 [ϑ(ϵ)]ν −ν−2β , (3.18) 3.3 Nghiệm chỉnh hóa ν < ν ′ − 2β Trang 25 điều có k thỏa µk ≤ ϑ(ϵ) ′ ′ ′ ′ µνk mα,β ≤ α(1 − α)−2 µνk −2β = α(1 − α)−2 µνk −ν−2β µνk ≤ α(1 − α)−2 [ϑ(ϵ)]ν −ν−2β µνk (k) Sử dụng (3.18) dùng biến đổi tương tự (3.1) (3.2), nhận  α Z T ϵ err2 ≤ Kα(1−α) [ϑ(ϵ)] exp T ∥X (ζ)−Xreg (ζ)∥Lr (Ω,Wν ′ ) dζ, (3.19) 1−α t  α  r−2 −2 ν ′ −ν−2β err3 ≤ c(r)α(1 − α) [ϑ(ϵ)] exp T T 2r errϵinput (3.20) 1−α ν ′ −ν−2β −2 ϑ(ϵ) ϑ(ϵ) Đối với thành phần cuối cùng, mα,β eα,β (ζ − t) = mα,β eα,β (ζ − t), ta có
ϑ(ϵ) err4 = A−δ eα,β (T − t) − eα,β (T − t) XT Z T
ϑ(ϵ) A−δ mα,β eα,β (ζ − t) − eα,β (ζ − t) f (ζ, X (ζ))dζ + t Z T
ϑ(ϵ) −δ + A mα,β eα,β (ζ − t) − eα,β (ζ − t) g(ζ)dB(ζ) r L (Ω,Wν ′ +δ ) t −δ ≤ [ϑ(ϵ)] ∥X (t)∥Lr (Ω,Wν ′ +δ ) (3.21) Kết hợp (3.16), (3.17), (3.19), (3.20), and (3.21), có ϵ ∥X (t)−X reg (t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) ≤ errϵinput +  α Z T ϵ + Kα(1 − α) [ϑ(ϵ)] exp T ∥X (ζ) − Xreg (ζ)∥Lr (Ω,Wν ′ ) dζ+ 1−α t  α  r−2 ′ + c(r)α(1 − α)−2 [ϑ(ϵ)]ν −ν−2β exp T T 2r errϵinput + 1−α −δ + [ϑ(ϵ)] ∥X (t)∥Lr (Ω,Wν ′ +δ ) −2 ν ′ −ν−2β Đặt κα,T := α(1 − α)−2 exp
α T Theo bt ng thc Grăonwall, ta cú   ′ ϵ ∥X (t) − X reg (t)∥Lr (Ω,Wν ′ ) ≤ exp Kκα,T [ϑ(ϵ)]ν −ν−2β (T − t) × h i r−2 ′ × errϵinput + c(r)κα,T [ϑ(ϵ)]ν −ν−2β T 2r errϵinput + [ϑ(ϵ)]−δ ∥X (t)∥Lr (Ω,Wν ′ +δ ) Bởi     ν ′ −ν−2β ν ′ −ν−2β exp Kκα,T [ϑ(ϵ)] (T − t) ≤ exp Kκα,T [ϑ(ϵ)] T errϵinput ≤ ϵ điều dẫn đến (3.15) Tài liệu tham khảo [1] Akman, T., Yildiz, B., & Baleanu, D (2018) New discretization of Caputo–Fabrizio derivative Computational and Applied Mathematics, 37 (3), 33073333 [2] Al-Salti, N., Karimov, E., & Sadarangani, K (2016) On a differential equation with CaputoFabrizio fractional derivative of order < β ≤ and application to mass-spring-damper system arXiv preprint arXiv:1605.07381 [3] Atangana, A., & Baleanu, D (2017) Caputo-Fabrizio derivative applied to groundwater flow within confined aquifer Journal of Engineering Mechanics, 143 (5), D4016005 [4] Atanackovi´c, T M., Pilipovi´c, S., & Zorica, D (2018) Properties of the CaputoFabrizio fractional derivative and its distributional settings Fractional Calculus and Applied Analysis, 21 (1), 29-44 [5] Baeumer, B., Geissert, M., & Kovács, M (2015) Existence, uniqueness and regularity for a class of semilinear stochastic Volterra equations with multiplicative noise Journal of Differential Equations, 258 (2), 535-554 [6] Bai, L., & Zhang, F H (2016) Existence of random attractors for 2D-stochastic nonclassical diffusion equations on unbounded domains Results in Mathematics, 69 (1-2), 129-160 [7] Caputo, M., & Fabrizio, M (2015) A new definition of fractional derivative without singular kernel Progr Fract Differ Appl, (2), 1-13 [8] Caputo, M., & Fabrizio, M (2016) Applications of new time and spatial fractional derivatives with exponential kernels Progr Fract Differ Appl, (2), 1-11 [9] Caraballo, T., Garrido-Atienza, M J., & Real, J (2003) Stochastic stabilization of differential systems with general decay rate Systems & control letters, 48 (5), 397-406 [10] Caraballo, T., Ngoc, T B., Tuan, N H., & Wang, R (2021) On a nonlinear Volterra integrodifferential equation involving fractional derivative with MittagLeffler kernel Proceedings of the American Mathematical Society, 149 (08), 33173334 [11] Caraballo, T., Guo, B., Tuan, N H., & Wang, R (2021) Asymptotically autonomous robustness of random attractors for a class of weakly dissipative stochastic wave equations on unbounded domains Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Mathematics, 151 (6), 1700-1730 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 27 [12] Caraballo, T., Ngoc, T B., Thach, T N., & Tuan, N H (2021) On a stochastic nonclassical diffusion equation with standard and fractional Brownian motion Stochastics and Dynamics, 2140011 [13] Calvo, M P., Cuesta, E., & Palencia, C (2007) Runge–Kutta convolution quadrature methods for well-posed equations with memory Numerische Mathematik, 107 (4), 589-614 [14] Z.Q Chen, H.K Kim, P Kim, Fractional time stochastic partial differential equations Stochastic Process Appl 125 (2015), no 4, 1470–1499 [15] F.R Curtain, L.P Falb, Stochastic differential equations in Hilbert space J Differential Equations 10 (1971), 412–430 [16] Chen, P., Wang, B., Wang, R., & Zhang, X (2022) Multivalued random dynamics of Benjamin-Bona-Mahony equations driven by nonlinear colored noise on unbounded domains Mathematische Annalen, 1-31 [17] Denche, M., & Bessila, K (2005) A modified quasi-boundary value method for ill-posed problems Journal of Mathematical Analysis and Applications, 301 (2), 419-426 [18] Eidelman, S D., & Kochubei, A N (2004) Cauchy problem for fractional diffusion equations Journal of differential equations, 199 (2), 211-255 [19] Enelund, M., & Olsson, P (1999) Damping described by fading memory—analysis and application to fractional derivative models International Journal of Solids and Structures, 36 (7), 939-970 [20] Feng, X., Li, P., & Wang, X (2020) An inverse random source problem for the time fractional diffusion equation driven by a fractional Brownian motion Inverse Problems, 36 (4), 045008 [21] Hadamard, J (1902) Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique Princeton university bulletin, 49-52 [22] Hapuarachchi, S., & Xu, Y (2017) Backward heat equation with time dependent variable coefficient Mathematical Methods in the Applied Sciences, 40 (4), 928938 [23] Hao, D N., Van Duc, N., & Sahli, H (2008) A non-local boundary value problem method for parabolic equations backward in time Journal of mathematical analysis and applications, 345 (2), 805-815 [24] Hao, D N., Van Duc, N., & Lesnic, D (2010) Regularization of parabolic equations backward in time by a non-local boundary value problem method IMA Journal of Applied Mathematics, 75 (2), 291-315 [25] Hristov, J (2017) Derivatives with non-singular kernels from the Caputo–Fabrizio definition and beyond: appraising analysis with emphasis on diffusion models Front Fract Calc, 1, 270-342 [26] Kilbas, A A., Srivastava, H M., & Trujillo, J J (2006) Theory and applications of fractional differential equations (Vol 204) elsevier TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 28 [27] Klibanov, M V., & Yagola, A G (2019) Convergent numerical methods for parabolic equations with reversed time via a new Carleman estimate Inverse Problems, 35 (11), 115012 [28] Kovács, M., & Larsson, S (2008) Introduction to stochastic partial differential equations In Publications of the ICMCS (Vol 4, pp 159-232) [29] Johansson, B T., Lesnic, D., & Reeve, T (2012) A method of fundamental solutions for radially symmetric and axisymmetric backward heat conduction problems International Journal of Computer Mathematics, 89 (11), 1555-1568 [30] Li, Y., Wang, Y., & Deng, W (2017) Galerkin finite element approximations for stochastic space-time fractional wave equations SIAM Journal on Numerical Analysis, 55 (6), 3173-3202 [31] Liu, W., Roăckner, M., & da Silva, J L (2018) Quasi-linear (stochastic) partial differential equations with time-fractional derivatives SIAM Journal on Mathematical Analysis, 50 (3), 2588-2607 [32] Liu, Z., & Qiao, Z (2020) Strong approximation of monotone stochastic partial differential equations driven by white noise IMA Journal of Numerical Analysis, 40 (2), 1074-1093 [33] Liu, Z., & Qiao, Z (2020) Strong approximation of monotone stochastic partial differential equations driven by multiplicative noise Stochastics and Partial Differential Equations: Analysis and Computations, 1-44 [34] Lă u, Q (2012) Carleman estimate for stochastic parabolic equations and inverse stochastic parabolic problems Inverse Problems, 28 (4), 045008 [35] Lă u, Q., & Zhang, X (2013) Well-posedness of backward stochastic differential equations with general filtration Journal of Differential Equations, 254 (8), 32003227 [36] Lă u, Q., & Zhang, X (2013) Well-posedness of backward stochastic differential equations with general filtration Journal of Differential Equations, 254 (8), 32003227 [37] Hoang Luc, N., Singh, J., Nguyen Pham, Q T., & Thi Kim Van, H (2021) On inverse problem for linear and semilinear diffusion equation with Caputo–Fabrizio derivative Mathematical Methods in the Applied Sciences [38] McLean, W., & McLean, W C H (2000) Strongly elliptic systems and boundary integral equations Cambridge university press [39] Mozyrska, D., Torres, D F., & Wyrwas, M (2019) Solutions of systems with the Caputo–Fabrizio fractional delta derivative on time scales Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, 32, 168-176 [40] Niu, P., Helin, T., & Zhang, Z (2020) An inverse random source problem in a stochastic fractional diffusion equation Inverse Problems, 36 (4), 045002 [41] Podlubny, I (1998) Fractional differential equations: an introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications Elsevier TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 29 [42] Tarasova, V V., and Tarasov, V E (2018) Dynamic intersectoral models with power-law memory Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 54, 100-117 [43] Tuan, N H., & Quan, P H (2011) Some extended results on a nonlinear illposed heat equation and remarks on a general case of nonlinear terms Nonlinear Analysis: Real World Applications, 12 (6), 2973-2984 [44] Tuan, N H., Lesnic, D., & Van, P T K (2019) Identification of the initial population of a nonlinear predator-prey system backwards in time Journal of Mathematical Analysis and Applications, 479 (1), 1195-1225 [45] Tuan, N H., & Nane, E (2017) Inverse source problem for time-fractional diffusion with discrete random noise Statistics & Probability Letters, 120, 126-134 [46] Tuan, N H., Zhou, Y., Thach, T N., & Can, N H (2019) Initial inverse problem for the nonlinear fractional Rayleigh-Stokes equation with random discrete data Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 78, 104873 [47] Wang, R N., Chen, D H., & Xiao, T J (2012) Abstract fractional Cauchy problems with almost sectorial operators Journal of Differential Equations, 252 (1), 202-235 [48] Wang, R., Shi, L., & Wang, B (2019) Asymptotic behavior of fractional nonclassical diffusion equations driven by nonlinear colored noise on Nonlinearity, 32 (11), 4524 [49] Wang, R., Li, Y., & Wang, B (2020) Bi-spatial pullback attractors of fractional nonclassical diffusion equations on unbounded domains with (p, q)-growth nonlinearities Applied Mathematics & Optimization, 1-37 [50] Wang, R., Li, Y., & Wang, B (2019) Random dynamics of fractional nonclassical diffusion equations driven by colored noise Discrete & Continuous Dynamical Systems, 39 (7), 4091 [51] Wang, R., & Wang, B (2020) Random dynamics of p-Laplacian lattice systems driven by infinite-dimensional nonlinear noise Stochastic Processes and their Applications, 130 (12), 7431-7462 [52] Zou, G A., & Wang, B (2017) Stochastic Burgers’ equation with fractional derivative driven by multiplicative noise Computers & Mathematics with Applications, 74 (12), 3195-3208 [53] Zou, G A., Wang, B., & Zhou, Y (2018) Existence and regularity of mild solutions to fractional stochastic evolution equations Mathematical Modelling of Natural Phenomena, 13 (1), 15 PHẦN III PHỤ LỤC ĐÍNH KÈM (tất văn có sẵn, chủ nhiệm cần photo đính kèm sau nội dung trên, sử dụng lý hợp đồng với phòng kế tốn Chủ nhiệm đề tài khơng đính vào báo cáo Khi lý, báo cáo in thành 03 cuốn, đó, 01 đóng bìa mạ vàng, 02 đóng bìa cứng thường 01 đĩa CD) Hợp đồng thực đề tài nghiên cứu khoa học Thuyết minh đề tài phê duyệt Quyết định nghiệm thu Hồ sơ nghiệm thu (biên họp, phiếu đánh giá, bảng tổng hợp điểm, giải trình, phiếu phản biện) Sản phẩm nghiên cứu (bài báo, vẽ, mơ hình ) 30