Phương pháp runge kutta giải phương trình vi phân ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– HỒ THỊ KIM NGÂN PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– HỒ THỊ KIM NGÂN PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ VĂN DŨNG Đà Nẵng - 2018 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1 Xác suất 1.1.1 σ -Đại số 1.1.2 σ -Đại số Borel Rk 1.1.3 Không gian xác suất 1.2 Biến ngẫu nhiên 1.3 Các tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên 1.3.1 Kỳ vọng toán 1.3.2 Phương sai 1.4 Vectơ ngẫu nhiên 1.5 Hiệp phương sai, hệ số tương quan 1.6 Quá trình ngẫu nhiên Chương Phương trình vi phân ngẫu nhiên phương pháp Runge - Kutta 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Lý thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên Khai triển Taylor ngẫu nhiên 13 Nghiệm số phương trình vi phân ngẫu nhiên 15 Phương pháp Runge - Kutta 17 Tính hội tụ sơ đồ yếu 22 2.5.1 Sự xấp xỉ yếu địa phương toàn cục 22 2.6 Lý thuyết có gốc 25 2.6.1 Các ngẫu nhiên 25 2.6.2 Hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ (hệ SDE Itô) 27 2.6.3 Hệ SDE Stratonovich 31 2.7 Phương pháp ngẫu nhiên Runge - Kutta 36 2.8 Sự khai triển phương pháp Runge - Kutta ngẫu nhiên 37 2.9 Các điều kiện bậc tổng quát 40 2.10 Thuật tốn ví dụ 40 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN N Tập hợp số nguyên dương R Tập hợp số thực (Ω, F, P ) Không gian xác suất đầy đủ I(A) Hàm tiêu tập hợp A a := b a gán b h.c.c SDE hầu chắn Phương trình vi phân ngẫu nhiên MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình vi phân ngẫu nhiên đóng vai trị quan trọng kĩ thuật, vật lý, kinh tế số ngành khoa học khác Sự đời xuất phát từ nhu cầu xác định mối quan hệ bên đại lượng biến thiên liên tục với bên độ biến thiên đại lượng Các mối quan hệ xuất thường xuyên ứng dụng thực tế Tuy nhiên, phương trình thường phức tạp khó giải biến đổi đại số Hơn nữa, công thức nghiệm thường phức tạp, cồng kềnh, nên cho dù có cơng thức nghiệm, việc khảo sát tính chất nghiệm qua cơng thức gặp phải nhiều khó khăn Vì vậy, từ thời Archimedes, phương pháp giải gần xây dựng sử dụng rộng rãi thực tế, bật phương pháp Runge-Kutta Phương pháp Runge-Kutta họ phương pháp lặp ẩn hiện, sử dụng việc rời rạc hóa thời gian để tìm lời giải gần cho phương trình vi phân ngẫu nhiên xây dựng vào khoảng năm 1900 hai nhà toán học người Đức C Runge M W Kutta Nhằm tìm hiểu rõ phương pháp này, chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ là: “PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN” Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu làm rõ vấn đề: Nghiên cứu tích phân Itơ, khai triển Taylor, lý thuyết cây, phương trình vi phân ngẫu nhiên, Từ xây dựng cơng thức Runge-Kutta tổng quát theo bậc để giải gần phương trình vi phân ngẫu nhiên, hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu tích phân Itơ, khai triển Taylor, cây, phương trình vi phân ngẫu nhiên Phạm vi nghiên cứu - Phương trình vi phân ngẫu nhiên chiều nhiều chiều - Một số phương pháp Runge-Kutta để giải phương trình vi phân ngẫu nhiên hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên 38 p (0) s ∂ q−1 b(Hj (t))J (ι)(v ) Cij q +q v1 , ,vq−1 vq =1 j=1 p p s + v1 , ,vq =0 l=0 j=1 ∂θv1 ∂θvq−1 (l) ∂ q gl (Hj (t))J (ι)(l) Cij θl (t − t0 ) ∂θv1 θvq Định nghĩa 2.19 Tập dán nhãn riêng với q nút nhánh trừ gốc kí hiệu SLT Sq Cho u ∈ SLT Sq , m = m(u) số nhánh gốc u, ta biểu diễn (M ) SLT Sq với ⊂ SLT Sq , M ⊂ A = {γ, τ, σ}, tập dán nhãn riêng SLT Sq có gốc kiểu π với π ∈ M Định nghĩa 2.20 Cho t = (t′ , t′′ ) ∈ LT S, đệ quy γ(t) ta • γ(t) = l(t) = 1, • γ(t) = m i=1 γ(ti ) • γ(t) = l(t) t = (t1 , , tm ), m i=1 γ(ti ) t = [t1 , , tm ] t = {t1 , , tm } Hình 2.9: Ví dụ cho định nghĩa γ với t ∈ LT S Định nghĩa 2.21 Cho t = (t′ , t′′ ) ∈ LT S dán nhãn với l(t) = q > nút, gốc j1 tập nhãn {j1 < j2 < , jq } Khi ta kí hiệu s Φj1 (t) = j2 , ,jq =1 Zt′ (j2 ),j2 · · Zt′ (jq ),jq , hàm hệ số tương ứng Φj1 (t) = l(t) = 39 Mệnh đề 2.3 Cho q ∈ N, ι ∈ {0, 1} A = {τ, σ} Ta kí hiệu z j1 = (ι) Zi,j1 = z j1 (0) t′′ (j1 ) = τ z j1 (1) t′′ (j1 ) = σ Zi,j1 (ι)(0) t′′ (j1 ) = τ Zi,j1 (ι)(1) t′′ (j1 ) = σ (ι) Khi đó, đạo hàm thành phần thứ J Hi (t0 ) thỏa mãn s D q (ι) Hi (t0 )J = (ι) γ(t) j1 =1 t∈LT S,l(t)=q Zi,j1 · Φj1 (t) · F (t)(Y (t0 ))J , thành phần thứ J nghiệm số Y (t0 ) thỏa mãn s q J D Y (t0 ) = γ(t) j1 =1 t∈LT S,l(t)=q zj1 · Φj1 (t) · F (t)(Y (t0 ))J Hệ 2.1 Giả sử trượt a khuếch tán b vi phân đủ, xấp xỉ bước Y (t0 + h) với h ∈ (0, ∞) cho phương pháp Runge - Kutta ngẫu nhiên trình bày sau s γ(t) j1 =1 Y (t0 + h)J = Y (t0 )J + zi1 · Φj1 · F (t)(Y (t0 ))J l(t)! t∈LT S,l(t)≤m s α(t)γ(t) j1 =1 = Y (t0 )J + zj1 · Φj1 (t) · F (t)(Y (t0 ))J l(t)! t∈T S,l(t)≤m + Rm (t0 + h) + Rm (t0 , h) đó, α(t) số yếu tố t ∈ LT S A = {τ, σ} Sử dụng hàm hệ số Φs, ta Y (t0 + h)J = Y (t0 )J + t∈LT S,l(t)≤m = Y (t0 )J + t∈T S,l(t)≤m ΦS (t) · F (t)(Y (t0 ))J + Rm (t0 , h) l(t)! α(t) · Φs (t) · F (t)(Y (t0 ))J + Rm (t0 , h) l(t)! Định nghĩa 2.22 Cho LT S(∆) tập t = (t′ , t′′ ) ∈ LT S tương thích với A = {γ, τ, σ}, có gốc γ = ⊗ nút nút xác định τ = nút ngẫu nhiên σ = , tức LT S(∆) = {t ∈ LT S : t′′ (1) = γ t′′ (i) ∈ {τ, σ}, i > 1} Hơn nữa, T S(∆) = LT S(∆)/ ∼ lớp tương đương quan hệ Định nghĩa 2.16 bị giới hạn đến LT S(∆) α∆ (t) số yếu tố t LT S(∆) 40 2.9 Các điều kiện bậc tổng quát Mệnh đề 2.4 Cho xấp xỉ bước Y (t0 + h), h ∈ (0, ∞), với Y (t0 ) = x0 xác định phương pháp Runge - Kutta ngẫu nhiên (2.53), hàm f : Rd → R n ∈ N, ta có khai triển sau α∆ (t) · F (t)(x0 ) · E(ΦS (t)) + O(hn+1 ) E t0 ,x0 (f (Y (t0 + h))) = (l(t) − 1)! t∈T S(∆),ρ(t)≤n+ với 2(n+1) f, , bi ∈ CP (Rd , R); i = 1, , d Định lý 2.7 Cho X nghiệm hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên t t a(Xs )ds + X t = x0 + t0 t0 b(Xs ) ∗ dWs tương thích với phép tính Itơ phép tính Stratonovich Hơn nữa,cho 2(p+1) p ∈ N; f, , bi ∈ CP (Rd , R); i = 1, , d Khi đó, rời rạc hóa thời gian xấp xỉ Y phương pháp Runge-Kutta ngẫu nhiên (2.53) với kích thước bước tối đa h bậc yếu p, điều kiện sau thỏa mãn Với t ∈ T S(∗) với ρ(t) ≤ p thì: α∆ (t)E(ΦS (t)) α∗ (t) · hρ(t) = s(t)/2 (l(t) − 1)! · ρ(t)! Với t ∈ T S(∆) \ T S(∗) với ρ(t) ≤ p + thì: E(ΦS (t)) = với ∗ = I trường hợp gồm hệ SDE Itô ∗ = S trường hợp gồm hệ SDE Stratonovich điều kiện moment q E(θq1 (h) · · θPp (h)) = O(h(q1 +···+qp )/2 ) với qi ∈ N0 ; ≤ i ≤ p cố định xấp xỉ Y có moment liên kết tương thích với số bước N 2.10 Thuật tốn ví dụ Thuật tốn 2.1 (Một lớp gồm phương pháp Runge-Kutta ngẫu nhiên có bậc mạnh 1.0) Bắt đầu từ x(t0 ) = x(t0 ) chia khoảng tích phân [t0 , t] thành n khoảng t0 < t1 < t2 < < tn = t cho ∆t = tk+1 − tk Phương pháp tích phân mô tả bảng Butcher mở rộng sau 41 Mỗi bước xấp xỉ k quỹ đạo nghiệm sau s (0) x(tk+1 ) = x(tk ) + (0) αi a(xi , tk + ci ∆t)∆t i=1 s m (1) + (2) √ (n) (γi ∆Wk + γi (n) ∆t)bn (xi , tk + ci (1)∆t) i=1 n=1 với giá đỡ s (0) xi (0) = x(tk ) + (0) (0) Ai,j a(xj , tk + cj ∆t)∆t j=1 s m (0) (l) (1) (l) Bi,j Ll (xj , tk + cj ∆t)∆Wk , + j=1 l=1 s (n) xi (1) = x(tk ) + (0) (0) Ai,j a(xj , tk + cj ∆t)∆t j=1 s m (1) (l) Bi,j Ll (xj , tk + j=1 l=1 (l,n) ∆Wk (1) + cj ∆t) √ ∆t i = 1, 2, , s n = 1, 2, , m Các số gia thuật toán cho tích phân Itơ: tk+1 (i) ∆Wk dW (i) (τ ) = tk tk+1 τ2 (i,j) ∆Wk dW (i) (τ1 )dW (j) (τ2 ), = tk tk (i) i, j = 1, 2, , m Các số gia ∆Wk giá trị ngẫu nhiên phân phối thông thường độc lập Đối với phương pháp này, i = j tích phân Itơ phức tạp viết lại sau (i,j) ∆wk = (i) [∆Wk ]2 − ∆t Ví dụ 2.2 (Bảng Butcher Euler-Maruyama) Phương pháp Euler-Maruyama có bảng Butcher mở rộng sau: 42 có bậc 0.5 Thuật tốn 2.2 Xét phương pháp Runge-Kutta với bảng Butcher mở rộng sau: x(tk+1 ) = x(tk ) + {a(x(tk ), tk ) + a(x2 (0) , tk + ∆t)}∆t m (n) + n=1 + với giá đỡ {∆Wk bn (x(tk ), tk ) 1√ (n) ∆t(bn (x2 , tk + ∆t) − bn (x3 (n), tk + ∆t))} (0) x2 = x(tk ) + a(x(tk ), tk )∆t m (n) x2 = x(tk ) + a(x(tk ), tk )∆t + l=1 m (n) x3 = x(tk ) + a(x(tk ), tk )∆t − (l,n) ∆W W (x(tk ), tk ) √ k ∆t l l=1 (l,n) ∆W W l (x(tk ), tk ) √ k ∆t 43 KẾT LUẬN Luận văn “Phương pháp Runge-Kutta giải phương trình vi phân ngẫu nhiên” đạt kết sau: Tìm hiểu trình bày lại kiến thức xác suất phương trình vi phân ngẫu nhiên Xây dựng công thức Runge-Kutta tổng quát theo bậc để giải gần phương trình vi phân ngẫu nhiên, hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Đặc biệt, luận văn trình bày tường minh cách viết ví dụ minh họa cụ thể cho trường hợp cụ thể Trong suốt thời gian thực luận văn, cố gắng song luận văn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp ý kiến từ q thầy bạn để luận văn tơi hồn thiện 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Ngô Đắc Tân, Lý thuyết tổ hợp đồ thị, Viện toán học, 2004 [2] Trần Hùng Thao, Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 2000 [3] Nguyễn Duy Tiến Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2000 Tiếng Anh [4] R Andreas, Runge-Kutta for the numerical solution of stochastic differential equations, Zugl.: Darmstadt, Techn Univ., Diss., 2003 [5] V Arnold Stochastische Differentialgleichungen, R Oldenbourg Verlag, Munchen, Wien, 1973 [6] K Burage and P M Burrage, Hight strong order explicit Runge-Kutta methods for stochastic ordinary differential equations , Appl Numer Math, 22(1-3):81-101, 1996 [7] K Burage and P M Burrage , General order conditions for stochastic Runge-Kutta methods for both commuting stochastic ordinary differential equation system, App Math, 28(2-4):161-177, 1998 [8] K Burage and P M Burrage, Order conditions of stochastic Runge-Kutta methods by B-series, SIAM J Numer Anal., 38(5):1626-1646, 2000 ... tích phân Itơ, khai triển Taylor, cây, phương trình vi phân ngẫu nhiên Phạm vi nghiên cứu - Phương trình vi phân ngẫu nhiên chiều nhiều chiều - Một số phương pháp Runge- Kutta để giải phương trình. .. Chương trình bày sơ lược số khái niệm vấn đề liên quan đến xác suất phương trình vi phân ngẫu nhiên để làm sở cho chương sau • Chương 2: Phương pháp Runge- Kutta giải phương trình vi phân ngẫu nhiên. .. Quá trình ngẫu nhiên Chương Phương trình vi phân ngẫu nhiên phương pháp Runge - Kutta 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Lý thuyết phương trình vi phân