Tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển markov

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN THỊ HUYỀN TRANG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI BƯỚC CHUYỂN MARKOV LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN THỊ HUYỀN TRANG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI BƯỚC CHUYỂN MARKOV Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 8460106 Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thanh Diệu Nghệ An - 2019 Mục lục Mở đầu Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Quá trình Markov 1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov Tính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov 14 2.1 Ổn định mũ theo moment 15 2.2 Ổn định theo xác suất 25 2.3 Một số kết mở rộng 32 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 36 BẢNG MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN VĂN Ký hiệu Ý nghĩa h.c.c Hầu chắn P Độ đo xác suất E Kỳ vọng biến ngẫu nhiên F σ-đại số biến cố {Ft } (Ω, F, P) L1 ([t0 , T ]; Rn ) Dãy lọc σ- đại số F Không gian xác suất Không gian hàm f xác định [t0 , T ] nhận giá trị Rn khả tích cấp L2 ([t0 , T ]; Rn×m ) Khơng gian hàm f xác định [t0 , T ] nhận giá trị Rn×m khả tích cấp M2 ([t0 , T ]; Rn ) Khơng gian qt trình ngẫu nhiên f xác định [t0 , T ] nhận giá trị Rn thoả mãn E T t0 |f (s)|2 ds < ∞ C 2,1 (Rn × R+ × S; R+ ) Họ hàm khơng âm V xác định Rn × R+ × S MỞ ĐẦU Lý thuyết ổn định phương trình động lực ngẫu nhiên đưa năm 1965 Bucy với khái niệm ổn định theo xác suất Sau năm 1967, Hasminskii cơng bố kết tính ổn định mũ hầu chắn phương trình vi phân tuyến tính ngẫu nhiên Từ lý thuyết ổn định phương trình động lực ngẫu nhiên thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học giới có nhiều ứng dụng ngành khoa học khác Trong lý thuyết xác suất, có loại hội tụ hội tụ theo xác suất, hội tụ hầu chắn, hội tụ theo trung bình cấp p hội tụ theo phân phối Trên sở loại hội tụ người ta nghiên cứu loại ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên là: Ổn định theo xác suất, ổn định tiệm cận theo xác suất, ổn định moment cấp p, ổn định theo phân phối Cho đến nay, điều kiện ổn định cho hệ khác với khái niệm ổn định khác nhà tốn học quan tâm nghiên cứu Chúng ta kể đến nhà tốn học có nhiều đóng góp lĩnh vực Arnold, Baxendal, Chow, Curtain, Elworthy, Friedman, Ichikawa, Kliemann, Kolmanovskii, Kushner, Ladde, Lakshmikantham, Mohammed, Pardoux, Pinsky, Pritchard, Xuerong Mao nhiều nhà toán học khác Đi theo hướng nghiên cứu chọn đề tài "Tính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov " nhằm mục đích tìm hiểu điều kiện để nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên có bước chuyển Markov ổn định mũ moment cấp p ổn định tiệm cận ngẫu nhiên Các kết nghiên cứu vấn đề nghiên cứu, trình bày [1, 3] số tài liệu khác Trong luận văn này, chủ yếu trình bày cách có hệ thống, ví dụ minh họa cho số kết lý thuyết trình bày luận văn Với mục đích luận văn trình bày thành chương Chương Các kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức trình Markov, phương trình vi phân ngẫu nghiên với bước chuyển Markov làm sở để trình bày kết chương sau Chương Tính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov Trong chương chia làm mục nhỏ Mục 2.1, trình bày định nghĩa ổn định mũ moment cấp p, ổn định mũ hầu chắn, điều kiện đủ để nghiệm phương trình ổn định mũ moment cấp p mối liên hệ ổn định moment cấp p ổn định mũ hầu chắn Mục 2.2, chúng tơi trình bày định nghĩa định lý điều kiện đủ cho tính ổn định ngẫu nhiên (hay ổn định với xác suất 1), ổn định tiệm cận ngẫu nhiên ổn định tiệm cận ngẫu nhiên theo nghĩa rộng Mục 2.3, chúng tơi trình bày kết tính ổn định tiệm cận ngẫu nhiên tham khảo từ [1] Đây kết mở rộng kết Mục 2.2, cách làm giảm nhẹ điều kiện đặt lên hàm Liapunov Luận văn hoàn thiện Trường Đại học Vinh, hướng dẫn TS Nguyễn Thanh Diệu Mặc dù học viên cố gắng, nhiên hạn chế kiến thức thời gian nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý nhận xét quý Thầy người đọc để luận văn hồn thiện Nghệ An, ngày tháng năm 2019 Học viên Phan Thị Huyền Trang Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Quá trình Markov Định nghĩa 1.1.1 Một trình Ft -phù hợp n chiều X = {X(t), t 0} gọi trình Markov tính Markov thỏa mãn Tức là, với s t < ∞ A ∈ B(Rn ), P(X(t) ∈ A|Fs ) = P(X(t) ∈ A|X(s)) Điều tương đương với tính chất sau: Với hàm Borel bị chặn ϕ : Rn → R s t < ∞, E ϕ(X(t))|Fs = E(ϕ(X(t))|X(s)) Định nghĩa 1.1.2 Xác suất chuyển trình Markov hàm P (s, x; t, A) xác định với s t < ∞, x ∈ Rn A ∈ B(Rn ) với điều kiện sau: 1) Với s t < ∞ A ∈ B(Rn ), P (s, X(s); t, A) = P(X(t) ∈ A|X(s)) 2) P (s, x; t, ·) độ đo xác suất B(Rn ) với x ∈ Rn s t 0, ta có P{X(tn+1 ) = j|X(tn ) = i, X(tn−1 ) = in−1 , , X(t1 ) = i1 } = P{X(tn+1 ) = j|X(tn ) = i} Nếu với s, t cho t < ∞ i, j ∈ Ξ, xác suất có s điều kiện P{X(t) = j|X(s) = i} phụ thuộc vào t − s, ta nói q trình X = {X(t), t 0} Trong trường hợp này, P{X(t) = j|X(s) = i} = P{X(t − s) = j|X(0) = i} hàm Pij (t) := P{X(t) = j|X(0) = i}, i, j ∈ Ξ, t gọi hàm chuyển hay xác suất chuyển trình Hàm Pij gọi chuẩn lim Pii (t) = 1, ∀i ∈ Ξ t→0 Định lý 1.1.6 (Anderson (1991)) Cho Pij (t) hàm chuyển chuẩn Khi đó, γi := lim 1−Ptii (t) tồn (có thể ∞) với i ∈ Ξ t→0 Một trạng thái i ∈ Ξ gọi ổn định γi < ∞ Định lý 1.1.7 (Anderson (1991)) Cho Pij (t) hàm chuyển lấy j trạng thái ổn định Khi đó, γij = Pij (0) tồn hữu hạn với i ∈ Ξ Đặt γii = −γi Γ = (γij )i,j∈Ξ , Γ gọi tốn tử sinh xích Markov Nếu khơng gian trạng thái hữu hạn q trình gọi xích Markov hữu hạn trạng thái với thời gian liên tục Trong toàn luận văn này, giả sử xích Markov hữu hạn trạng thái trạng thái ổn định Với xích Markov, hầu hết quỹ đạo hàm bậc thang liên tục phải Định lý 1.1.8 (Anderson (1991)) Cho P (t) = Pij suất chuyển Γ = Γij N ×N N ×N ma trận xác tốn tử sinh xích Markov hữu hạn Khi đó, P (t) = etΓ 1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov Trong mục trình bày kiến thức phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov Cụ thể chúng tơi trình bày định nghĩa nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov, điều kiện để phương trình có nghiệm Lấy {r(t) : t t0 } xích Markov liên tục phải, xác định khơng gian xác suất (Ω, F, P), nhận giá trị không gian trạng thái S = trừ số hữu hạn k Do đó, tồn k0 (ω), ∀ ω ∈ Ω trừ tập có xác suất 0, (2.18) với k k0 Do đó, với hầu hết ω ∈ Ω, log(|x(t)|) t (k − 1)δ t − (λ − 2ε)(k − 1)δ pt kδ k − (λ − 2ε)(k − 1) pk k0 Bởi vậy, lim sup log(|x(t)|) t→∞ t − λ − 2ε h.c.c p Cho ε → ∞, ta có điều phải chứng minh Nhận xét Như vậy, với giả thiết (2.8) điều kiện ổn định mũ moment cấp p kéo theo ổn định mũ hầu chắn Tuy nhiên điều ngược lại không Trong áp dụng cụ thể, thường sử dụng hàm có dạng p V (x, t, i) = (xT Qi x) cho số ma trận dương đối xứng Qi Chú ý rằng, với x = 0, Vx (x, t, i) = p(xT Qi x) p−2 xT Qi Vxx (x, t, i) = p(xT Qi x) p−2 Qi + p−4 p(p − 2) T (x Qi x) Qi xxT Qi Ngồi ra, ta có trace[gT (x, t, i)Qi xxT Qi g(x, t, i)] = xT QI g(x, t, i)g T (x, t, i)Qi x = |xT Qi g(x, t, i)|2 23 (2.19) Do đó, p−2 LV (x, t, i) = p(xT Qi x) xT Qi f (x, t, i) p−2 p + (xT Qi x) trace[gT (x, t, i)Qi g(x, t, i)] p−4 p(p − 2) T (x Qi x) |xT Qi g(x, t, i)|2 + N p γij (xT Qj x) + (2.20) j=1 Từ chứng minh hệ sau Hệ 2.1.5 Giả sử Giả thiết 2.1.1 Cho p > λ > Giả sử tồn N ma trận dương đối xứng Qi cho với (x, t, i) ∈ Rn0 × R+ × S, p pxT Qi f (x, t, i) + trace[g T (x, t, i)Qi g(x, t, i)] p(p − 2) T + (x Qi x)−2 |xT Qi g(x, t, i)|2 N T + (x Qi x) 2−p γij (xT Qj x)p/2 −λ|x|2 (2.21) j=1 Khi đó, nghiệm tầm thường (2.1) ổn định mũ moment bậc p Hơn nữa, điều kiện (2.8) thoả mãn nghiệm tầm thường (2.1) ổn định mũ hầu chắn Chứng minh Cho V (x, t, i) định nghĩa (2.19) Rõ ràng, với (x, t, i) ∈ Rn0 × R+ × S, p [ λmin (Qi ) ]|x|p i N V (x, t, i) p [ max λmax (Qi )] |x|p i N Hơn nữa, sử dụng (2.20) (2.21) ta có LV (x, t, i) −λ|x|2 (xT Qi x)(p−2)/2 24 −[ λmin (Qi )] i N p−2 λ|x|p p 2; LV (x, t, i) −[ max λmax (Qi )] p−2 i N λ|x|p < p < Sử dụng Định lý 2.1.3 2.1.4 ta có điều phải chứng minh 2.2 Ổn định theo xác suất Trong mục trình bày định nghĩa tính ổn định theo xác suất ổn định tiệm cận theo xác suất phương trình (2.1) Từ đó, chúng tơi trình bày điều kiện đủ để nghiệm ổn định ổn định tiệm cận theo xác suất phương trình Định nghĩa 2.2.1 ([3, Definition 5.34, pp.204]) (i) Nghiệm tầm thường (2.1) gọi ổn định ngẫu nhiên hay ổn định theo xác suất với ε ∈ (0, 1), ρ > t t0 , tồn δ = δ(ε, ρ, t0 ) cho P{|x(t, t0 , x0 , i)| < ρ, ∀ t t0 } − ε, với (x0 , i) ∈ Uδ × S (ii) Nghiệm tầm thường (1) gọi ổn định tiệm cận ngẫu nhiên hay ổn định tiệm cận theo xác suất ổn định ngẫu nhiên đồng thời, với cặp ε ∈ (0, 1) t0 0, tồn δ0 = δ0 (ε, t0 ) cho P{ lim x(t, t0 , x0 , i) = 0} t→∞ − ε, với (x0 , i) ∈ Uδ0 × S (iii) Một nghiệm tầm thường (1) gọi ổn định tiệm cận ngẫu nhiên theo nghĩa rộng ổn định ngẫu nhiên, đồng thời, P{ lim x(t, t0 , x0 , i) = 0} = 1, ∀(t0 , x0 , i) ∈ R+ × Rn × S t→∞ 25 Nhận xét Nghiệm phương trình (2.1) ổn định tiệm cận ngẫu nhiên theo nghĩa rộng ổn định tiệm cận ngẫu nhiên nghiệm phương trình ổn định tiệm cận ngẫu nhiên ổn định ngẫu nhiên Điều ngược lại chưa hẳn Định lý 2.2.2 ([3, Theorem 5.35, pp.204]) Cho h > 0, giả sử có hai hàm V ∈ C 2,1 (Uh × R+ ì S; R+ ) v K cho V (0, t, i) ≡ 0, V (x, t, i) µ(|x|) LV (x, t, i) (2.22) với (x, t, i) ∈ Uh × R+ × S Khi đó, nghiệm tầm thường (2.1) ổn định ngẫu nhiên Chứng minh Lấy ε ∈ (0, 1), ρ > t0 tuỳ ý Khơng tính tổng quát, giả sử ρ < h Theo tính liên tục hàm V V (0, t0 , i) ≡ 0, tồn δ = δ(ε, ρ, t0 ) > cho sup V (x, t0 , i) (x,i)U ìS à() (2.23) D dng thy rng δ < ρ Cố định (x0 , i) ∈ Uδ × S để đơn giản đặt x(t, t0 , x0 , i) =: x(t) Lấy τ thời điểm x(t) rời khỏi Uρ , nghĩa τ = inf{t Bằng công thức (2.3), với t t0 : x(t) ∈ / Uρ } (2.24) t0 , τ ∧t EV (x(τ ∧t), τ ∧t, r(τ ∧t)) = V (x0 , t0 , i)+E LV (x(s), s, r(s))ds (2.25) t0 Từ (2.22) (2.25), ta có EV (x(τ ∧ t), τ ∧ t, r(τ ∧ t)) Chú ý |x(τ ∧ t)| = |x(τ )| = ρ τ EV (x(τ ∧ t), τ ∧ t, r(τ ∧ t)) V (x0 , t0 , i) t Do đó, (2.22), ta có E[Ir t V (x(τ ), τ, r(τ ))] 26 (2.26) µ(ρ)P{τ t} Kết hợp với (2.23), (2.26), ta có t} P{τ Cho t → ∞, ta nhận P{τ < ∞} ρ, ∀ t P{|x(t)| ε ε, nghĩa t0 } − ε Như ta có điều phải chứng minh Định lý 2.2.3 ([3, Theorem 5.36, pp.205]) Cho h > 0, giả sử có hàm V ∈ C 2,1 (Uh × R+ × S, R+ ) µ1 , µ2 , µ3 ∈ K cho µ1 (|x|) V (x, t, i) −µ3 (|x|) µ2 (|x|) LV (x, t, i) (2.27) ∀(x, t, i) ∈ Rn × R+ × S Khi đó, nghiệm tầm thường (2.1) ổn định tiệm cận ngẫu nhiên Chứng minh Theo Định lý 2.2.2, ta thấy nghiệm tầm thường ổn định ngẫu nhiên Do đó, ta cần chứng minh với ε ∈ (0, 1) t0 0, tồn δ0 = δ0 (ε, t0 ) cho P{ lim x(t, t0 , x0 , i) = 0} t→∞ Cố định ε ∈ (0, 1) t0 − ε, ∀ (x0 , i) ∈ Uδ0 × S (2.28) tùy ý Theo Định lý 2.2.2, tồn δ0 = δ0 (ε, t0 ) > cho P{|x(t, t0 , x0 , i)| < h } 1− ε (2.29) với (x0 , i) ∈ Uδ × S Cố định (x0 , i) ∈ Uδ0 × S viết x(t, t0 , x0 , i) = x(t) Lấy < β < |x0 | tuỳ ý chọn α ∈ (0, β) đủ nhỏ để µ2 (α) µ1 (β) 27 ε (2.30) Xét thời điểm dừng τα = inf{t t0 : |x(t)| α} τh = inf t t0 : |x(t)| h Bằng công thức (2.3) (2.27), suy với t t0 , EV (x(τα ∧ τh ∧ t), (τα ∧ τh ∧ t), r(τα ∧ τh ∧ t)) τα ∧τh ∧t = V (x0 , t0 , i) + E LV (x(s), s, r(s))ds t0 V (x0 , t0 , i) − µ3 (α)E(τα ∧ τh ∧ t − t0 ) Do vậy, (t − t0 )P{τα ∧ τh t} E(τα ∧ τh ∧ t − t0 ) V (x0 , t0 , i) µ3 (α) Từ ta có, P{τα ∧ τh < ∞} = ε Tuy nhiên, từ (2.29) P{τh < ∞} = P{τα ∧ τh < ∞} Do đó, P{τα < ∞} + P{τh < ∞} ε P{τα < ∞} + , suy P{τα < ∞} ε 1− P{τα < θ} ε 1− (2.31) Chọn θ đủ lớn để Khi P{τα ∧τh ∧θ} P({τα < θ}∩{τh = ∞}) 28 P{τα < θ}−P{τh < ∞} 3ε (2.32) 1− Ta định nghĩa thời điểm dừng   τα τα < τh ∧ θ σ=  ∞ ngược lại τβ = inf{t > σ : |x(t)| Bằng cơng thức (2.3), ta có với t EV (x(τβ ∧ t), τβ ∧ t, r(τβ ∧ t)) Mặt khác, với ω ∈ {τα β} θ, EV (x(σ ∧ t), σ ∧ t, r(σ ∧ t)) τh ∧ θ} ta có V (x(τβ ∧ t), τβ ∧ t, r(τβ ∧ t)) = V (x(σ ∧ t), σ ∧ t, r(σ ∧ t)) = V (x(t), t) Do đó, E[I{τα 0, LV (x, t) N m T GTk (t, i)Qi Gk (t, i) T = x (Qi F (t, i)) + F (t, i)Qi + γij Qj )x + o(|x|2 ) + j=1 k=1 −λ|x|2 + o(|x|2 ) Do đó, LV (x, t, i) xác định âm lân cận x = theo t i ∈ S Vậy với giả thiết điều kiện (2.40) (2.41) thỏa mãn Áp dụng Định lý 2.2.3, nghiệm tầm thường (2.1) ổn định tiệm cận ngẫu nhiên 2.3 Một số kết mở rộng Mặc dù Định lý 2.2.4 áp dụng cho lớp rộng phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov Tuy vậy, điều kiện (2.33) yêu cầu LV (x, t, i) bị chặn |x| dường q ngặt Điều khơng thỏa mãn nhiều phương trình khác Trong mục chúng tơi trình bày kết mở rộng cho Định lý 2.2.4 với giả thiết yếu giả thiết Định lý 2.2.4 Kết trình bày mục tham khảo từ báo [1] Để đơn giản, cần xét cho trường hợp t0 = 0, làm tương tự cho trường hợp t0 > Cố định x0 ∈ Rn r0 ∈ S Đặt x(t; 0, x0 , r0 ) = x(t, x0 , r0 ) = x(t) Để đơn giản cho phát biểu kết quả, xét giả thiết sau Giả thiết 2.3.1 Giả sử phương trình (2.1) có nghiệm toàn cục với điều kiện ban đầu (x0 , t0 , i) ∈ Rn × R+ × S; f (0, t, i) = g(0, t, i) = ∀i ∈ S, t ∈ R+ Hơn nữa, với số nguyên k tồn số hk cho |f (x, t, i) − f (y, t, i)| + |g(x, t, i) − g(y, t, i)| 32 hk (|x − y|), (2.42) với |x| ∨ |y| k, i ∈ S, t ∈ R+ Giả thiết 2.3.2 Tồn hai hàm số V ∈ C 2,1 (Rn × R+ × S; R+ ) w ∈ C(Rn ; R+ ) cho w triệt tiêu với (x, t, i) ∈ Rn × R+ × S γ(t) − α(t)w(x), LV (x, t, i) (2.43) α(.), γ(.) hàm liên tục, bị chặn thỏa mãn t+T αT := inf t∈R+ với T > α(s)ds > t ∞ γ(t)dt < ∞ Định lý 2.3.1 Giả sử Giả thiết 2.3.1 2.3.2 thỏa mãn Khi đó, với điều kiện ban đầu (x0 , i), ta có P{ lim x(t, x0 , i) = 0} = t→∞ Chứng minh Chúng ta cần với σ > P{lim sup |x(t, x0 , i)| σ} = t→∞ > đặt Thật vậy, lấy Aσ, t = {σ |x(t, x0 , i)| }, bσ, = inf{w(x) : σ |x| } Với n ∈ N, xác định thời điểm dừng Tn = inf{s > : |x(s, x0 , i)| > n} ∧ t Sử dụng cơng thức Itơ ta có, EV (x(Tn , x0 , i), Tn , r(Tn )) Tn Tn γ(s)ds + EV (x0 , 0, i) − E α(s)w(x(s, x0 , i))ds Tn Tn γ(s)ds + V (x0 , 0, i) − E 0 33 1Aσ,s α(s)w(x(s, x0 , i))ds (2.44) Do đó, t α(s)P(Aσ, s )ds bσ, lim E 1Aσ,s α(s)w(x(s, x0 , i))ds t Tk k→∞ bσ, t E 1Aσ,s α(s)w(x(s, x0 , i))ds γ(s)ds + V (x0 , 0, i) (2.45) Cho t → ∞ ta ∞ α(s)P(Aσ, s )ds < ∞ (2.46) Giả sử P(Aσ, s ) khơng hội tụ 0, đó, tồn dãy tn ↑ ∞ cho P{Aσ, tn } > , ∀n ∈ N Khơng tính tổng quát giả thiết tn+1 > tn + T , với T số thỏa mãn αT = inf t∈R+ t+T t α(s)ds > Vì f (0, i, t) = g(0, i, t) = 0, từ (2.42) suy |f (x, t, i)| + |g(x, t, i)| hk |x|, ∀ |x| k Sử dụng Bổ đề 2.1.1 tính Markov nghiệm x(t, x0 , i), tồn δ > cho P(Aδ,s ) > , ∀ tn tn +T α(s)P(Aδ,s tn + T Do đó, tn +T )ds α(s) tn Nên s tn αT ∀n ∈ N ∞ α(s)P(Aδ,s )ds = ∞ Điều trái với bất đẳng thức (2.36) với σ, > 0, tức P(Aσ, s ) không hội tụ với (δ, ) Do lim P{Aσ, t } = t→∞ Điều có nghĩa σ > 0, P{lim sup |x(t, x0 , i)| σ} = Ta có điều t→∞ phải chứng minh Ví dụ 2.3.2 Xét phương trình (2.1) với S = {1, 2}, r(t) có hàm tốn tử sinh  Γ= −1 −2 34   Chọn f (x, 1, t) = −(0, + sin+ t)x, g(x, 1, t) = x f (x, 2, t) = − 5x x , g(x, 2, t) = √ cos t sin+ t = ∨ sin t Dễ thấy f g thỏa mãn Giả thiết 2.3.1 Định nghĩa V (x, t, 1) = x2 , V (x, t, 2) = 4x2 Bằng cách tính tốn trực tiếp ta có, LV (x, t, 1) = −2x2 (0, + sin+ t) + x2 = −2x2 sin+ t LV (x, t, 2) = −5x2 + 2x2 cos2 t = −3x2 − 2x2 sin2 t Suy không tồn hàm w(x) triệt tiêu cho LV (x, t, i) −w(x) Do điều kiện Định lý 2.2.4 khơng thỏa mãn Trong đó, ta có LV (x, t, i) −2x2 sin+ t Tức Giả thiết 2.3.2 thỏa mãn Sử dụng Định lý 2.3.1, Phương trình (2.1) ổn định tiệm cận hầu chắn Sử dụng phương pháp xấp xỉ Euler-Maruyama [4], minh họa quỹ đạo nghiệm phương trình (2.1) tương ứng với giá trị số ví dụ Được minh họa hình vẽ sau 2.1 1.6 1.4 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0 10 12 14 16 18 20 Hình 2.1: Quỹ đạo X(t) Ví dụ 2.3.2 35 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: - Trình bày kiến thức trình Markov, phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov - Trình bày định nghĩa điều kiện cho tính ổn định mũ moment cấp p phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov tham khảo từ kết [3] - Trình bày điều kiện đủ cho tính ổn định theo xác suất phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov - Trình bày mở rộng cho điều kiện ổn định tiệm cận ngẫu nhiên Nội dung tham khảo từ báo [1] 36 Tài liệu tham khảo [1] N T Dieu, (2016), Some results on almost sure stability of nonautonomous stochastic differential equations with Markovian switching, Vietnam J Math 44, no 4, 665-677 [2] X Mao, (1997), Stochastic differential equations and their applications, Horwood Publishing chichester [3] X Mao, C Yuan, (2006), Stochastic differential equations with Markovian switching, Imperial College Press, London, xviii+409 pp [4] C Yuan, X Mao, (2004), Convergence of the Euler-Maruyama method for stochastic differential equations with Markovian switching Math Comput Simulation, 64(2), 223-235 37 ... bị 1.1 Quá trình Markov 1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov Tính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov 14 2.1 Ổn định mũ theo... chương chúng tơi trình bày tính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov Kết trình bày mục tham khảo [1, 3] Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov dx(t)... - Trình bày kiến thức trình Markov, phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov - Trình bày định nghĩa điều kiện cho tính ổn định mũ moment cấp p phương trình vi phân ngẫu nhiên với