Tính ổn định của các g khung

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN NGỌC MAI TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC G-KHUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN NGỌC MAI TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC G-KHUNG Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN QUỲNH NGA HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô giáo TS Nguyễn Quỳnh Nga tận tâm truyền thụ kiến thức hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy giáo giảng dạy chun ngành Tốn giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Hà Nội, tháng 11 năm 2016 Tác giả Nguyễn Ngọc Mai Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng tơi bảo hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga Trong trình nghiên cứu hồn thành luận văn, tơi kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 11 năm 2016 Tác giả Nguyễn Ngọc Mai Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert 1.2 Khung không gian Hilbert 1.3 G-khung không gian Hilbert 15 Tính ổn định g-khung 32 2.1 Tính ổn định khung 32 2.2 Tính ổn định g-khung 45 2.3 Tính ổn định khung đối ngẫu 51 2.4 Tính ổn định g-khung đối ngẫu 54 Kết luận Tài liệu tham khảo 57 58 Mở đầu Lí chọn đề tài Khung R J Duffin A C Schaeffer [6] đưa vào năm 1952 Tuy nhiên phải đến năm 1986, sau báo [5] I Daubechies, A Grossmann Y Meyer khung nhà khoa học quan tâm rộng rãi Khung sử dụng nhiều lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý hình ảnh, nén liệu, lý thuyết mẫu, lý thuyết mật mã, lý thuyết lượng tử Gần có số khái niệm tổng quát hóa khái niệm khung đưa ra, ví dụ khung không gian [1], [2] (Frames of subspaces), khung nghiêng [4] (Oblique frames), giả khung [9] (Pseudoframes) Tất khái niệm chứng minh hữu ích nhiều ứng dụng xem trường hợp đặc biệt g-khung, khái niệm đưa W Sun [10] năm 2006 Nhiều tính chất khung cho g-khung Tính ổn định khung có ý nghĩa quan trọng ứng dụng, nghiên cứu rộng rãi nhiều tác giả Gần đây, W Sun [11] Y Zhu [12] nghiên cứu tính ổn định g-khung không gian Hilbert Với mong muốn hiểu biết sâu sắc g-khung tính ổn định chúng, nhờ giúp đỡ, hướng dẫn tận tình cô giáo, TS Nguyễn Quỳnh Nga, mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài "Tính ổn định g-khung" để thực luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày g-khung tính ổn định chúng khơng gian Hilbert Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về: Tính ổn định khung, tính ổn định g-khung tính ổn định g-khung đối ngẫu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu khung, g-khung khơng gian Hilbert, tính ổn định khung, g-khung g-khung đối ngẫu Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước liên quan đến g-khung tính ổn định g-khung không gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề Đóng góp luận văn Luận văn trình bày tổng quan g-khung tính ổn định g-khung không gian Hilbert Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tốn tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert Trong mục trình bày khái niệm tính chất tốn tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert để chuẩn bị cho mục Nội dung mục trích dẫn từ tài liệu tham khảo [8] Tốn tử tuyến tính T từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert K liên tục bị chặn, nghĩa là, tồn số c > cho T x ≤ c x , với x ∈ H (1.1) Ký hiệu L(H, K) tập tất tốn tử tuyến tính bị chặn từ H vào K Khi H = K L(H, K) ký hiệu đơn giản L(H) Chuẩn T ∈ L(H, K) định nghĩa số c nhỏ thỏa mãn (1.1) Nói cách tương đương, T = sup { T x : x ∈ H, x ≤ 1} = sup { T x : x ∈ H, x = 1} Mệnh đề 1.1.1 Giả sử H, L, K không gian Hilbert Nếu T ∈ L(H, K) tồn phần tử T ∗ ∈ L(K, H) cho T ∗ x, y = x, T y , (x ∈ K, y ∈ H) Hơn nữa, (i) (aS + bT )∗ = aS ∗ + bT ∗ (ii) (RS)∗ = S ∗ R∗ (iii) (T ∗ )∗ = T (iv) I ∗ = I ∗ (v) Nếu T khả nghịch T ∗ khả nghịch (T −1 ) = (T ∗ )−1 , S, T ∈ L(H, K), R ∈ L(K, L) a, b ∈ C Toán tử T ∗ Mệnh đề 1.1.1 gọi toán tử liên hợp toán tử T Mệnh đề 1.1.2 Giả sử T ∈ L(H, K) S ∈ L(K, L) Khi (i) T x ≤ T x , ∀x ∈ H (ii) ST ≤ S T (iii) T = T ∗ (iv) T T ∗ = T Cho T ∈ L(H) T gọi toán tử tự liên hợp T ∗ = T , unita T ∗ T = T T ∗ = I T gọi dương (ký hiệu T ≥ 0) T x, x ≥ với x ∈ H T, K ∈ L(H), T ≥ K T − K ≥ T gọi xác định dương tồn M > cho T x, x ≥ M x , ∀x ∈ H Chú ý với T ∈ L(H) T ∗ T x, x = T x, T x ≥ với x ∈ H Do T ∗ T dương Mệnh đề 1.1.3 Giả sử T ∈ L(H) Khi (i) T tự liên hợp T x, x thực với x ∈ H Đặc biệt, toán tử dương tự liên hợp (ii) T unita T ánh xạ bảo toàn chuẩn (hay tương đương bảo tồn tích vơ hướng) từ H lên H Mệnh đề 1.1.4 Nếu U ∈ L(H) tốn tử tự liên hợp U = sup | U f, f | f =1 Định lý 1.1.1 Cho X không gian Banach Nếu U : X → X tuyến tính bị chặn I − U < U khả nghịch U −1 = Ngồi U −1 ≤ 1− I −U ∞ (I − U )k k=0 Chúng ta thường mong muốn tìm dạng nghịch đảo cho tốn tử mà khả nghịch theo nghĩa hẹp Bổ đề đưa điều kiện để đảm bảo tồn nghịch đảo phải Bổ đề 1.1.1 Cho H, K không gian Hilbert, giả sử U : K → H tốn tử bị chặn với miền giá trị đóng RU Khi tồn tốn tử bị chặn U † : H → K mà U U † f = f, ∀f ∈ RU Toán tử U † xây dựng Bổ đề 1.1.1 gọi giả nghịch đảo U Trong tài liệu ta thường thấy giả nghịch đảo tốn tử U với miền giá trị đóng RU định nghĩa toán tử thỏa mãn NU † = RU⊥ , RU † = NU⊥ U U † f = f , ∀f ∈ RU Định nghĩa tương đương với việc xây dựng Bổ đề sau cho ta số tính chất U † mối quan hệ với U Bổ đề 1.1.2 Cho U : K → H toán tử bị chặn với miền giá trị đóng Khi i) Phép chiếu trực giao H lên RU cho U U † ii) Phép chiếu trực giao K lên RU † cho U † U iii) U ∗ có miền giá trị đóng, (U ∗ )† = (U † )∗ iv) Trên RU , toán tử U † cho U † = U ∗ (U U ∗ )−1 Điều phải chứng minh 2.2 Tính ổn định g-khung Trong mục nghiên cứu tính ổn định g-khung Tương tự khung thường, g-khung ổn định nhiễu nhỏ Đặc biệt ta có điều sau Định lý 2.2.1 [11] Cho {Λj }j∈J g-khung U {Vj }j∈J Cho A, B cận khung Giả sử Γj ∈ L(U, Vj ) tồn √ số λ1 , λ2 , µ ≥ cho max λ1 + µ A, λ2 < hai điều kiện sau thỏa mãn: 1/2 (Λj − Γj ) f j∈J 1/2 ≤ λ1 Λj f 1/2 + λ2 j∈J Γj f ∀f ∈ U, +µ f , j∈J (2.9)  Λ∗j − Γ∗j gj ≤ λ1 j∈J1 Λ∗j gj + λ2 j∈J1 Γ∗j gj + µ j∈J1 1/2 gj  j∈J1 (2.10) với tập hữu hạn J1 ⊂ J gj ∈ Vj Khi {Γj }j∈J g-khung U với cận  √ 2 A λ1 + λ2 + µ ,  A 1− + λ2  B 1 + λ1 + λ2 + µ − λ2 √ 2 B  Chứng minh Trước tiên, ta giả sử (2.9) thỏa mãn Do {Λj } g-khung với cận A nên f ≤ Λj f A j∈J 45 Từ (2.9) ta suy 1/2 1/2 µ (Λj − Γj ) f ≤ λ1 + √ A j∈J Từ bất đẳng thức tam giác, ta có Λj f (Λj − Γj ) f ≥ Λj f 1/2 (1 + λ2 ) Γj f j∈J Vì thế, 1/2 − j∈J Γj f j∈J 1/2 j∈J Do +λ2 j∈J 1/2 2 1/2 Γj f j∈J µ ≥ − λ1 − √ Λj f A j∈J µ √ √ A f ≥ − λ1 − A 1/2 √ 2 A λ1 + λ2 + µ  f ≥ A1 − + λ2  Γj f j∈J Một cách tương tự ta chứng minh  √ 2 B λ1 + λ2 + µ  f Γj f ≤ B 1 + − λ2 j∈J Tiếp theo, ta giả sử (2.10) thỏa mãn Do Λ∗j gj = gj , ej,k uj,k Γ∗j gj = k∈Kj gj , ej,k u˜j,k k∈Kj uj,k = Λ∗j ej,k , u˜j,k = Γ∗j ej,k , j ∈ J, k ∈ Kj , (2.10) viết lại gj , ej,k uj,k − j∈J1 k∈Kj gj , ej,k u˜j,k j∈J1 k∈Kj 1/2 ≤ λ1 gj , ej,k uj,k + λ2 j∈J1 k∈Kj gj , ej,k u˜j,k + µ j∈J1 k∈Kj gj j∈J1 (2.11) Mỗi gj ∈ Vj có khai triển gj = k∈Kj Từ (2.11) lại viết lại 46 cj,k ej,k {cj,k }k∈Kj ∈ l2 (Kj ) cj,k (uj,k − u˜j,k ) j∈J1 k∈Kj 1/2 ≤ λ1 cj,k uj,k + λ2 |cj,k | cj,k u˜j,k + µ j∈J1 k∈Kj j∈J1 k∈Kj j∈J1 k∈Kj Theo Định lý 1.3.1, {Λj }j∈J g-khung U Vj {uj,k }j∈J,k∈Kj khung U với cận Theo Định lý 2.1.2, {˜ uj,k }j∈J,k∈Kj khung U với cận cận  A1 − λ1 + λ2 + µ + λ2 √ 2 A   λ1 + λ2 + µ B 1 + − λ2 √ 2 B  Lại theo Định lý 1.3.1, Γj g-khung U Vj với cận   √ 2 √ 2 λ1 + λ2 + µ A B λ1 + λ2 + µ   ,  B + A 1− + λ2 − λ2 điều phải chứng minh Nhận xét 2.2.1 Nói chung bất đẳng thức 1/2 cj (Λj − Γj ) ≤ λ1 j∈J1 cj Λj + λ2 j∈J1 |cj |2 cj Γj + µ j∈J1 j∈J1 không suy {Γj }j∈J g-khung tham số λ1 , λ2 , µ nhỏ Sau phản ví dụ Giả sử U = V {ej }j∈J sở trực chuẩn U Cố định ε > Cho Λj f = f, ej e1 Γj f = Λj f + ε f, e1 ej Với c := {cj }j∈Z ∈ l2 (Z) , ta có cj Λj = sup j∈Z f =1 cj Λj f = sup j∈Z f =1 j∈Z Do đó, 47 cj f, ej = c cj (Λj − Γj ) = sup j∈J cj ε f, e1 ej j∈J f =1 1/2 |cj f, e1 | = sup ε j∈J f =1 1/2 |cj | =ε j∈J =ε cj Λj (2.12) j∈Z Cho nên cj (Γj − Λj + Λj ) ≥ (1 − ε) c cj Γj = j∈J j∈J Vì thế, cj (Γj − Λj ) = ε c ≤ j∈J Mặt khác, Γj f j∈J j∈J = Λj f ε 1−ε | f, ej |2 = f = cj Γj (2.13) j∈J < +∞ j∈J Λj f + ε f, e1 ej ( Λj f − ε | f, e1 |)2 = ∞ ≥ j∈J j∈J f, e1 = Do đó, {Λj }j∈Z g-khung U {Γj }j∈J khơng g-khung với ε > Từ (2.12) (2.13) cho thấy khơng có bất đẳng thức đây: cj (Λj − Γj ) ≤ λ1 c j Λj , j∈J1 j∈J1 cj (Λj − Γj ) ≤ λ2 cj Γj , j∈J1 j∈J1 1/2 |cj | cj (Λj − Γj ) ≤ µ j∈J1 j∈J1 48 , suy {Γj }j∈Z g-khung Từ Định lý 2.2.1 ta có hệ sau g-khung khung thông thường Hệ 2.2.1 Giả sử {fj }∞ j=1 khung không gian Hilbert H với cận khung A, B Giả sử λ1 , λ2 , µ ≥ cho √ max λ1 + µ A, λ2 < hai điều kiện sau thỏa mãn 1/2  | f, fj − gj |2 ≤ λ1  j | f, fj |2  1/2  | f, gj |2  + λ2  j +µ f j (2.14) 1/2  cj (fj − gj ) ≤ λ1 j∈J1 cj gj + λ2 j∈J1 cj fj + µ j∈J1 |cj |2  j∈J1 (2.15) với tập hữu hạn J1 ⊂ J cj ∈ C Khi {gj }j∈J khung H với cận  √ 2 √ 2 A λ1 + λ2 + µ B λ1 + λ2 + µ  , B 1 +  A1 − + λ2 − λ2  Điều kiện (2.15) điều kiện (2.10) Định lý 2.2.1 Với trường hợp Vj = V, ∀j ∈ J dim V < +∞, ta có kết sau Định lý 2.2.2 Cho {Λj }j∈J g-khung U V Cho A, B cận khung Giả sử Vj = V, ∀j ∈ J, K := dim V < ∞ Γj ∈ L (U, V ) Nếu tồn số µ ≥ cho µ < (A/K)1/2 49 1/2  |cj |2  cj (Λj − Γj ) ≤ µ j∈J1 (2.16) j∈J1 với tập hữu hạn J1 ⊂ J số phức cj , {Γj }j∈J g-khung U với cận K A 1−µ A 1/2 K B 1+µ B , 1/2 Chứng minh Do (2.16), theo Bổ đề 1.3.3 ii, {Λj − Γj }j∈J dãy gBessel với cận µ2 K Từ (Λj − Γj ) f ≤ µ2 K f j∈J hay 1/2 (Λj − Γj ) f √ ≤µ K f j∈J Sử dụng Định lý 2.2.1 với λ1 = λ2 = 0, ta suy Γj g-khung với cận √ √ √ √ A ,B + µ K B A 1−µ K Điều phải chứng minh Nhận xét 2.2.2 Cận ổn định (A/K)1/2 tốt J = Z Để chứng minh điều này, cho Λj định nghĩa Nhận xét 1.3.2 Khi {Λj : j ∈ Z} g-khung chặt với cận K Cho  ≤ j ≤ K Γj =  Λ j ∈ Z\ {1, 2, , K} j Ta có cj (Γj − Λj ) = sup c =1 j∈Z 50 Do 1/2 cj (Γj − Λj ) ≤ j∈Z |cj | , j∈Z tức (2.16) thỏa mãn với µ = = (A/K)1/2 Tuy nhiên, Γj u0 = 0, ∀j ∈ Z, {Γj }j∈Z không g-khung 2.3 Tính ổn định khung đối ngẫu Tính ổn định khung đối ngẫu cần thiết thực tiễn Tuy nhiên có tương đối kết chủ đề Trong mục này, nghiên cứu tính ổn định khung đối ngẫu Giả sử {gn }n∈Z khung không gian Hilbert H Định nghĩa toán tử khung S sau f, gn gn , ∀f ∈ H Sf = n∈Z Khung đối ngẫu tắc {˜ gn }n∈Z định nghĩa g˜n = S −1 gn Định lý sau hai khung gần khung đối ngẫu tắc chúng gần Định lý 2.3.1 Cho {gn }n∈Z {˜ gn }n∈Z , {hn }n∈Z ˜n h n∈Z hai cặp khung đối ngẫu tắc không gian Hilbert H Các cận khung {gn }n∈Z {hn }n∈Z tương ứng (A1 , B1 ) (A2 , B2 ) ˜n (i) Nếu {gn − hn }n∈Z dãy Bessel với cận δ , g˜n − h dãy Bessel với cận δ 1/2 1/2 B1 B2 A1 + B1 + A1 A2 (ii) Nếu | f, gn |2 − n∈Z | f, hn |2 n∈Z 51 δ f , ∀f ∈ H, n∈Z | f, g˜n |2 − n∈Z ˜n f, h δ f , ∀f ∈ H A1 A2 n∈Z Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh (i) Đặt Sf = f, gn gn T f = n∈Z f, hn hn n∈Z ˜ n = T −1 hn , A1 I Khi S T tự liên hợp, g˜n = S −1 gn , h A2 I S B1 I B2 I Với f ∈ H, ta có T Sf − T f = ( f, gn gn − f, hn hn ) n∈Z f, gn − hn gn + n∈Z 1/2 B1 δ 1/2 f, hn (gn − hn ) n∈Z 1/2 | f, gn − hn | n∈Z 1/2 B1 1/2 +δ 1/2 | f, hn | n∈Z 1/2 + B2 f Do 1/2 δ 1/2 B1 S−T 1/2 + B2 Vì vậy, S −1 − T −1 = T −1 (T − S) S −1 1/2 1/2 1/2 δ B1 + B2 A1 A2 T −1 T − S S −1 Hệ là, f, S −1 − T −1 gn n∈Z n∈Z B1 S −1 −T −1 f B1 1/2 1/2 δ B1 + B2 2 A1 A2 2 S −1 − T −1 f, gn = f Mặt khác, f, T −1 (gn − hn ) n∈Z T −1 f, gn − hn = n∈Z Do đó, 52 δ T −1 f δ f 2 A2 ˜n f, g˜n − h f, S −1 gn − T −1 hn = n∈Z n∈Z = f, S −1 −T −1 gn + f, T −1 (gn − hn ) n∈Z 1/2 B 1/2 1/2 + B1 + B2 δ A2 A1 A2 1/2 1/2 A1 + B1 + B1 B2 =δ A1 A2 2 f f Tiếp theo ta chứng minh (ii) Vì S T tự liên hợp, ta có S − T = sup | (S − T ) f, f | = sup | Sf, f − T f, f | f =1 f =1 | f, gn |2 − = sup f =1 n∈Z | f, hn |2 δ n∈Z Vì vậy, S −1 − T −1 T −1 T − S S −1 δ A1 A2 Vì g˜n = S −1 gn , ta có | f, g˜n |2 = n∈Z f, S −1 gn n∈Z S −1 f, gn = n∈Z −1 = f, S −1 f −1 = SS f, S f Tương tự, ˜n f, h = f, T −1 f n∈Z Suy ˜n f, h | f, g˜n | − n∈Z = f, S −1 − T −1 f n∈Z S −1 − T −1 f 53 δ f A1 A2 2.4 Tính ổn định g-khung đối ngẫu Trong mục ta nghiên cứu tính ổn định g-khung đối ngẫu Nội dung mục tham khảo [11] Sau phiên tương tự Định lý 2.3.1 cho g-khung ˜j Λ Định lý 2.4.1 Cho {Λj }j∈J j∈J , {Γj }j∈J ˜j Γ j∈J hai cặp g-khung đối ngẫu tắc U {Vj }j∈J Ký hiệu cận g-khung {Λj }j∈J {Γj }j∈J tương ứng (A1 , B1 ) (A2 , B2 ) ˜j − Γ ˜j (i) Nếu {Λj − Γj } dãy g-Bessel với cận δ , Λ j∈J 1/2 dãy g-Bessel với cận δ 1/2 A1 + B1 + B1 B2 (A1 A2 ) (ii) Nếu Λj f − j∈J Γj f ≤ δ f 2, ∀f ∈ U, j∈J ˜jf Λ j∈J ˜jf Γ − δ f 2, A1 A2 ≤ j∈J Chứng minh Đặt Sf = j∈J Λ∗j Λj f T f = ˜ j = Λj S Khi S T tự liên hợp, Λ −1 j∈J ∀f ∈ U Γ∗j Γj f ˜ j = Γj T −1 , A1 I ≤ S ≤ B1 I ,Γ A2 I ≤ T ≤ B2 I Với f ∈ H, ta có Λ∗j Λj f − Γ∗j Γj f Sf − T f = j∈J ≤ j∈J ≤ Λ∗j (Λj − Γj ) f + 1/2 B1 ≤ δ 1/2 (Λj − Γj ) f j∈J 1/2 B1 j∈J 1/2 Λ∗j − Γ∗j Γj f 1/2 + δ 1/2 Γj f j∈J 1/2 + B2 54 f j∈J 2 1/2 1/2 Do đó, S − T ≤ δ 1/2 B1 + B2 1 , S −1 ≤ Theo (1.17), T −1 ≤ A2 A1 Vì vậy, S −1 − T −1 = T −1 (T − S) S −1 ≤ T −1 T − S S −1 1/2 1/2 ≤ δ 1/2 B1 + B2 A1 A2 Hệ là, 2 Λj S −1 − T −1 f ≤ B1 S −1 − T −1 f j∈J ≤ B1 1/2 1/2 δ B1 + B2 2 A1 A2 f Mặt khác, (Λj − Γj ) T −1 f ≤ δ T −1 f ≤ j∈J Do ˜j − Γ ˜j f Λ Λj S −1 − Γj T −1 f = δ f 2 A2 j∈J j∈J Λj S −1 − T −1 f + (Λj − Γj ) T −1 f = j∈J 1/2 B 1/2 1/2 + B1 + B2 ≤δ A2 A1 A2 1/2 1/2 2 f A1 + B1 + B1 B2 f = δ A1 A2 Tiếp theo ta chứng minh (ii) Do S T tự liên hợp, ta có S − T = sup | (S − T ) f, f | = sup | Sf, f − T f, f | f =1 = sup f =1 j∈J f =1 Λj f − Γj f j∈J ≤ δ Vì thế, S −1 − T −1 ≤ T −1 T − S S −1 ≤ ˜ j = Λj S −1 , ta có Do Λ 55 δ A1 A2 ˜jf Λ Λj S −1 f, Λj S −1 f = = j∈J j∈J = SS −1 f, S −1 f j∈J −1 Λ∗j Λj S −1 f, S −1 f = f, S f Tương tự ˜ j f = f, T −1 f Γ j∈J Suy ˜jf Λ j∈J ˜jf Γ − = f, S −1 − T −1 f j∈J ≤ δ f A1 A2 56 ≤ S −1 − T −1 f Kết luận Luận văn trình bày lại cách hệ thống, bổ sung chứng minh chi tiết vấn đề sau: - Một số kết khung, tính ổn định khung khung đối ngẫu - Các khái niệm kết mở rộng cho g-khung, tính ổn định g-khung g-khung đối ngẫu 57 Tài liệu tham khảo [1] M S Asgani, A Khosravi (2005), “Frames and bases of subspaces in Hilbert spaces”, J Math Anal Appl , Vol 308, 541 – 553 [2] P Casazza, G Kutyniok (2004), “Frames of subspaces”, Wavelets, Frames and operator theory, Contemp Math.,Amer Math Soc., Vol 345, 87-113 [3] O Christensen (2003), An introduction to frames and Riesz bases, Binkhă auser, Boston [4] O Christensen and Y C Eldar (2004), “Oblique dual frames and shift invariant spaces”, Appl Comp Harm Anal., Vol 17, 48-68 [5] I Daubechies, A Grossmann and Y Meyer (1986), “Painless nonorthogonal expansions”, J Math Phys , Vol 72, 1271 – 1283 [6] R J Duffin and A C Schaeffer (1952), “A class of nonharmonic Fourier series”, Trans Amer Math Soc , Vol 72, 341 – 366 [7] S J Favier and R A Zalik (1995), “On the stability of frames and Riesz bases”,Comp Harm Anal., Vol.2, 160-173 [8] R Kadison and R Ringrose (1983), Fundamentals of the theory of operator algebras, Vol.1, Academic Press, New York [9] S Li and H Ogawa (2004), “Pseudoframes for subspaces with applications”, J Fourier Anal Appl., Vol 10, 409-431 58 [10] W Sun (2006), “G-frames and g-Riesz bases”, J Math Anal Appl., Vol 72, 341-366 [11] W Sun (2007), “Stability of g-frames”,J Math Anal Appl., Vol 326, 858-868 [12] Y C Zhu (2008), “Characterizations of g-frames and g-Riesz bases in Hilbert spaces”, Acta Math Sinica ,English series., Vol 24, No.10, 1727-1736 59 ... khơng gian Hilbert Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về: Tính ổn định khung, tính ổn định g- khung tính ổn định g- khung đối ngẫu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu khung, g- khung. .. g- khung không gian Hilbert, tính ổn định khung, g- khung g- khung đối ngẫu Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước liên quan đến g- khung tính ổn định g- khung khơng gian Hilbert Phương pháp nghiên... Tính ổn định g- khung 32 2.1 Tính ổn định khung 32 2.2 Tính ổn định g- khung 45 2.3 Tính ổn định khung đối ngẫu 51 2.4 Tính ổn định g- khung đối ngẫu