Luận văn thạc sĩ Tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN HOÀNG THẢO TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA KHUNG VÀ Cơ SỞ RIESZ LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 CÁC NGUYỄN HOÀNG THẢO TÍNH ON ĐỊNH CUA CÀC KHUNG VÀ Cơ SỞ RIESZ LUẬN VẰN THẠC sĩ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Quỳnh Nga Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga Tôi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc cô, người giao đề tài tận tình hướng dẫn hoàn thành luận văn Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới Thầy, Cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Viện Toán học Hà Nội, trang bị kiến thức phương pháp nghiên cứu để hoàn thành khóa học Và cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, tập thể lớp Toán giải tích K17 (đợt l)-trường Đại học Sư phạm Hà Nội động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Hoàng Thảo Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Tính ổn định khung sở Riesz" hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Hoàng Thảo Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phép biến đổi Fourier 4 1.1.1 Phép biến đổi Fourier không gian L (R d ) 1.1.2 Phép biến đổi Fourier không gian L (R d ) 1.2 Khung không gian Hilbert 1.3 Cơ sở Riesz 14 1.4 Khung hàm số mũ 19 1.5 Khung sóng nhỏ 27 Chương Tính ổn định khung sở Riesz 31 2.1 Tính ổn định khung sở Riesz tổng quát 31 2.2 Tính ổn định khung sở Riesz hàm số mũ 49 2.3 Tính ổn định khung sở Riesz sóng nhỏ 58 Kết luận Mở đầu 70 71 Tài liệu tham khảo Lý chọn đề tài Cơ sở trực giao cho phép biểu diễn phần tử không gian Hilbert thành chuỗi vô hạn Đó cách dễ để biểu diễn véc tơ phức tạp qua véc tơ đơn giản Đây toán thường xuyên xuất nhiều lĩnh vực toán học, vật lý kỹ thuật giải tích điều hoà, phương trình vi phân, lượng tử, xử lý tín hiệu hình ảnh Mặc dù lý thuyết dễ thực khai triển theo chuỗi trực giao gặp rắc rối Ví dụ luôn dễ dàng tìm sở trực giao có trường hợp khai triển theo chuỗi trực giao hay chí theo chuỗi sinh sở tổng quát phương pháp biểu diễn thích hợp Khung có nhiều tính chất mong ước sở lại khác sở khía cạnh quan trọng: chúng phụ thuộc tuyến tính tính biểu diễn sở bị Chính tính thừa khung có ứng dụng quan trọng, ví dụ xử lý tín hiệu hình ảnh đảm bảo tính bền vững: chất lượng tín hiệu bị ảnh hưởng tiếng ồn tín hiệu khôi phục lại từ mẫu có độ xác tương đối thấp Khung đưa Duffin Schaeffer [5] vào năm 1952 họ nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hoà Tuy nhiên phải đến năm 1986 sau báo Daubechies, Grossmann Meyer [4] khung nhận quan tâm rộng rãi cộng đồng nhà khoa học Cho H không gian Hilbert khả ly Một dãy {/n}nejv H gọi khung tồn số A,B > hữu hạn cho với / € H ta có A||/||2|2 C|/ đo f \f (x)\p dx < 00 < p < 00 p / L P ( Md) — Lp (Md) không gian Banach với chuẩn L°° (Md) := {/ : Md —> C|/ đo 3C, I/ (a;)| < c h.k.n } L°° (Md) không gian Banach với chuẩn ll/L-(H j k , j , k G l d } dãy Do đó, ta 2.1.6 Định lí 2.1.8 suy điều phải □ Bessel với cận (B/A) \\ệ — iị>||2, từ Định lí chứng minh Một hàm ệ{x) G L2(Kd) gọi làm trực giao a với cặp j, m G Ế mà j Ỷ m cách chọn ổ A G Kd, hàm ệ(a j x + ỗ) ệ(a m x + A) trực giao L2(Md) Điều giống nói với cặp j,m G lý mà j Ỷ m) cách chọn ỏ A Md, hàm exp{á~ i 2'KỈ{x ĩ ỗ))ộ{a~ i x) exp(a~ m 2ĩĩi(x, \))ệ(a~ m x) trực giao L2(Md) Định lí 2.3.5 Nếu ộ := {ệjk,j, k G z } dãy nửa trực giao d L2(Md); cho ệ chủ yếu bị chặn supp{ợí>} chứa đoạn I có dạng [0,1/0] + h, ệ trực giao đối vói a Chứng minh Lấy X e R Ể tùy ý Nếu {c k ,k G Ể } day hệ số Fourier e n i h’ x ) ì / ị(t)e ĩ i { t ’ x } lim _ dt N -toa ịkị^N c k e~ n i { t ’ b k } l Ậ{t)e 2"(i'A) - Ậ{t) c k e~ n b i { k ’ t } dt = lim N -too \k\ N^too JỊ ck6 \k\CN 2irbi{k,t ) dt = Điều kéo theo (t)e 27"(i,A^ nằm bao đóng bao tuyến tính k , k G zd} với j G R bao tuyến tính {ệj k , k G zd} d , {ệo Ậ(t)e a J27ri(i’A) thuộc bao đóng Vì ộ nửa trực giao, suy điều phải chứng minh □ Định lí 2.3.6 Cho := {ệj k , j, k G z d } khung sóng nhỏ (cơ sở Riesz sóng nhỏ) L (R d) với cận A B cho ệ G L (R d) ỉà trực d giao a Với r G z , cho I r := [TTT*,TT(T- + 2)], L := sup{|fc - Xj t k\,j, ke z d } < ỉ, M:= B d{L) y- (27TỒ)d^ r’ Mi 9d l Bi(L) (27TÒ)d ^r S r := ess sup{|^(t)|, t G J r } < oo, Nếu ộ khung sóng nhỏ(cơ sở Riesz sóng nhỏ) L2(Md) với cận A B, M < A (đặc biệt, Mị < A), khung sóng nhỏ (cơ sở Riesz sóng nhỏ) L (R d) với cận ^1 — (} + ựị) B A Chứng minh Bổ đề 2.2.5(i) kéo theo M < Mị Ký hiệu II ||r := II \\ L 2ự ) cho {Cj fc} dãy sỗ hữu hạn tùy ý Từ giả thiết tính đẳng cự biến đổi Fourier suy = Ẹ j ^ c iĂi,k - ộ { p }) k ó = E Nhưng a «J J2cj,kị{a j t){e- ĩ i a ~ j { b k ’ t } - -í dt J2cj,kệ{t){e — 2iĩi(bk,t} _— 27ri(bAjfc, =Ị W*)I: -2iĩi(bk,t) 2iĩi(b\j k , yz í \m2 reZ 'y J Jr < (27TÒ yỵ^s, reZ —t } ) dt j,fc(í — 2iĩí(bk,t) —2iĩí(b\ji t , c t} ỵ2 c jÁ e ~ l { k , t } - e~ l { X j ’ k ’ t } ) rel, = (2*0)-« 52 V dt S Mk,t) _ ị { p }) t} ) ) dt Bỏi |fc - (-Aj,_fc)| = \- k- Aj_fc| < Ị, đặt s := ( £ r e Z Sr2)1/2 áp dụng Định lí ^Z c iĂịj,k - $?) 2.2.3, ta thấy ỏ ế (:lTib)- S B d {L)Y,\c ,k Do } V } V c j,k{4 > j,k Pi,k ) phải chứng minh j k ■ '(«/2 j£Z d VÍ -2iĩia }n — 2TT in ^ b k ’^dt In Theo phiên nhiều chiều Định lý lấy mẫu thứ hai {ộb/n j k>3>k £ zd} khung sóng nhỏ với cận n d A n d B Do đó, áp dụng đẳng thức từ phải qua trái với p = < j > ta thu a d j b d {n/ 2)d Í \f(a j t)ị{t)\ dt ^ nd£||/||2 jezd In Bây áp dụng đẳng thức từ trái qua phải, với p = ịI — '0, ta thu 'y y \{fî$b,j,k '4>b,j,k)\ ^ ^ V I (/; (ßb/n ,j,k ,06/n,j,fc)| j,keZd j,keZd = aỂjb ~ Ể i n / ) Ể Ị If{a j t)[ị{t) - î>{t)]\ dt jezd ^ A2 J2 o, Ü b~ d {nl 2)d jezd In J \f{a j t)ị{t)\ dt ^ X n d B\\f\\ In Áp dụng Định lí 2.1.6 Định lí 2.1.8, suy điều phải chứng minh □ Cuối cùng, phương pháp chứng minh dùng định lý trước cho phép ta chứng minh định lý tính ổn định khung sóng nhỏ sở Riesz sóng nhỏ nhiễu dãy lấy mẫu Định lí 2.3.8 Cho a ^ số nguyên cho ệ € L (R d ) cho ệ chủ yếu bị chặn supp{} chứa khoảng có dạng I n := [— (n/2)(l/ò), (n/2)(l/6)], với n số nguyên tố với a Cho |Afc — k\ ^ L , a := (7ĩ / n ) ( A , B ) , M := B ( n / ĩ ĩ ) B ( L ) Giả sử L < - B d (L) < a, a ^ d r d _! _1 /1 L < 7Ĩ cos - -7= - V V2 ) d — Nếu $ khung sóng nhỏ (cơ sở Riesz sóng nhỏ) L (R d) với cận A B, khung sóng nhỏ (cơ sở Riesz sóng nhỏ) L2(M) với cận (1 — M/A) A (1 + M/B) B Chứng minh Nếu a ^ d L < 7Ĩ_1 cos-1 '1 - a9 ~ ' 4: y/2 Bổ đề 2.2.5(11) kéo theo B d (L) < a Cho / phần tử tùy ý thuộc L2(Md) Tiến hành chứng minh định lý trước, ta thấy XI (2.11) jeĩ.đ adib-d2-d Ị In Ngoài \(f,ệb,hk-ệ{bPlk)\2 ^ I {f,ệb/n,j,k-ệịỶnijik)\: \HaH) j,keĩ.ẽ 'cTd jeĩ.đ keZd In — w i n ( b k , t ) _ — w i n ( b X k , t ) — e ] dt j,keĩ.ẽ Từ Định lí |2.2.3|suy {e-^-^bkd} - e - ^ i n ~ \ b x k , t ) k G 2d} dãy Bessel L2ựn) với u a ni In e -2iĩin (2.11) (n/2ĩĩ) d b~ d B d (L) / /(flJ *)(*)[ Do cận (bk,t) kéo (n/2ĩĩ) d b~ d B d (L) í \f(a j t)ị{t)\ dt Jln _ e -2iĩin theo (bAfc,t}j d £ - ệị P lk\ < M\\f\\ j,k€ĩ.d Từ Định lí 2.1.6 Định lí 2.1.8 suy điều phải chứng minh □ Kết luận Luận văn trình bày tổng quan tính ổn định khung sở Riesz tổng quát tính ổn định hai lớp khung sở Riesz có cấu trúc đặc biệt hàm số mũ sóng nhỏ Luận văn cố gắng hệ thống hóa lại kết đề tài cung cấp thêm số chi tiết chứng minh Vì khả điều kiện có hạn, luận văn tránh thiếu sót Kính mong thầy cô bạn đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện tốt Xin chăn thành cảm ơn! 8 [...]... theo Định lí 1.2.11 toán tử tổng hợp T là tuyến tính, liên tục, toàn ánh 00 Điều kiện ỵ , d f i = 0 kéo theo d = 0,với mọi ỉ nói lên T là đơn ánh í= 1 Vậy T là song ánh thỏa mãn f i = Teị, với mọi i Do đó là cơ sở Riesz Mệnh đề được chứng minh □ Định lí 1.3.6 Một cơ sở Riesz của ĩi là một khung của ĩi và các cận của cơ sở Riesz trùng với các cận khung Cơ sở đối ngẫu Riesz là một khung của và các cận của. .. các cận của cơ sở Riesz trùng với các cận khung Theo Định Chứng minh Theo Mệnh đề 1.3.3 một cơ sở Riesz { f k } ^ = i của ĩ i cũng lí 1.3.2, tồn tại duy nhất một dãy 1 trong T - t sao cho / = XV’»*>A,V/e w k =1 và {g k} cung là một cơ sở Riesz của T í Mặt khác, theo Định lí 1.2.10, ta lại có / = Eưs-‘A)A,v/e-H fc = l Từ đó g k = 51-1 f k là cơ sở đối ngẫu của {/fc} và cũng là cơ sở Riesz của n □ Bây... thành của T và T* được gọi là toán tử khung 00 S - H - > H , S Ị = TT'Í = ự, k = 1 là một khung với toán tử khung s và Mệnh đề 1.2.9 Giả sử cận khung A, B Khi đó ta có các khẳng định sau: (i) s bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tử dương (ịị) {S' tối ưu của là khung với các cận B 1,A 1 Nếu A, B là các cận thì các cận B ~ l , A ~ l là tối ưu của {s-1/*;}^ Toán tử khung của {s_1/fc}^1 là s-1 Khung. .. l2(N) lên Tí Định nghĩa 1.2.12 Cho { f k } k L i là một dãy trong Ti Ta gọi { f k } k L i là một d ẫ y đầy đủ nếu span { f k } k L i = T í 1.3 Cơ sở Riesz Định nghĩa 1.3.1 Một cơ sở Riesz trong H là một họ có dạng { ư e k } ^ = 1 , trong đó { e k } ^ = 1 là một cơ sở trực chuẩn của Ti và ư-.n^n là một toán tử tuyến tính song ánh bị chặn Định lí 1.3.2 Nếu { f k } ^ = i là một cơ sở Riesz của Ti thì tồn... cho 00 A\\f\\ 0 sao cho với mỗi dãy hữu hạn {cfc} ta có: (Hi) {/fc}^! là dẫy Bessel đầy đủ và nó có dẫy song trực giao đầy đủ {s'fclfcl 1 cũng là một dẫy Bessel Mệnh đề 1.3.5 là cơ sở Riesz khi và chỉ... = l cũng là một cơ sở Riesz và { f k } k L i ì {ỡfc}fc°= 1 là song trực giao, tức là (fji 9k) ồj,k í 1 khi j = k 0 khi j Ỷ kHơn nữa, chuỗi (1.1) hội tụ không điều kiện với mọi f € Tt Ta gọi { 0 sao cho A\\f\\2 tạo thành một cơ sở trực chuẩn của * U27T ; f ce Z L2 (—7ĩ,7ĩ) Do đó, { e i k x } k z là một khung của L 2 ( — 7ĩ,7ĩ) với các cận A = B = 27Ĩ Tổng quát hơn, cho trước một khoảng I c K và một dãy số thực {Afc} fceZ, một khung trong L 2