Tính ổn định của các G-khung

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I NGUYEN NGOC MAI TÍNH ON бNH CÚA CÁC G-KHUNG LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC HÀ N®I, 2016 B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I NGUYEN NGOC MAI TÍNH ON бNH CÚA CÁC G-KHUNG Chuyên ngành : Toán giái tích Mã so : 60 46 01 02 LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS NGUYEN QUỲNH NGA Lài cám ơn Tôi xin đưoc bày tó lòng biet ơn chân thành tói giáo TS Nguyen Quỳnh Nga t¾n tâm truyen thu kien thúc hưóng dan tơi hồn thành lu¾n văn Tơi xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói Phòng Sau đai hoc, thay giáo giáng day chun ngành Tốn giái tích, trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i giúp đõ tơi suot q trỡnh hoc tai trũng H Nđi, thỏng 11 nm 2016 Tác giá Nguyen Ngoc Mai Lài cam đoan Tôi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn chí báo hưóng dan cna TS Nguyen Quỳnh Nga Trong trình nghiên cúu hồn thành lu¾n văn, tơi ke thùa nhung ket cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 11 năm 2016 Tác giá Nguyen Ngoc Mai Mnc lnc Má đau 1 Kien thNc chuan b% 1.1 Toán tú tuyen tính b% ch¾n khơng gian Hilbert 1.2 Khung không gian Hilbert 1.3 G-khung không gian Hilbert 15 Tính on đ%nh cúa g-khung 2.1 Tính on đ%nh cna khung 2.2 Tính on đ%nh cna g-khung 32 32 45 2.3 Tính on đ%nh cna khung đoi ngau 51 2.4 Tính on đ%nh cna g-khung đoi ngau 54 Ket lu¾n Tài li¾u tham kháo 57 58 Má đau Lí chon đe tài Khung đưoc R J Duffin A C Schaeffer [6] đưa vào năm 1952 Tuy nhiên phái đen năm 1986, sau báo [5] cna I Daubechies, A Grossmann Y Meyer khung mói đưoc nhà khoa hoc quan tâm r®ng rãi Khung đưoc sú dung nhieu lĩnh vnc xú lý tín hi¾u, xú lý hình ánh, nén du li¾u, lý thuyet mau, lý thuyet m¾t mã, lý thuyet lưong tú Gan có m®t so khái ni¾m tong qt hóa khái ni¾m khung đưoc đưa ra, ví du khung cna khơng gian [1], [2] (Frames of subspaces), khung nghiêng [4] (Oblique frames), giá khung [9] (Pseudoframes) Tat cá khái ni¾m đeu đưoc chúng minh huu ích nhieu úng dung có the xem nh cỏc trũng hop ắc biắt cna g-khung, mđt khỏi ni¾m đưoc đưa bói W Sun [10] năm 2006 Nhieu tính chat bán cna khung van cho g-khung Tính on đ%nh cna khung có ý nghĩa quan trong úng dung, đưoc nghiên cúu r®ng rãi bói nhieu tác giá Gan đây, W Sun [11] Y Zhu [12] nghiên cúu tính on đ%nh cna g-khung khơng gian Hilbert Vói mong muon hieu biet sâu sac ve g-khung tính on đ%nh cna chúng, nhò sn giúp đõ, hưóng dan t¾n tình cna giáo, TS Nguyen Quỳnh Nga, manh dan chon nghiên cúu đe tài "Tính on đ%nh cna g-khung" đe thnc hi¾n lu¾n văn tot nghi¾p Mnc đích nghiên cNu Đe tài nham nghiên cúu, trình bày ve g-khung tính on đ%nh cna chúng khơng gian Hilbert Nhi¾m nghiên cNu Tìm hieu ve: Tính on đ%nh cna khung, tính on đ%nh cna g-khung tính on đ%nh cna g-khung đoi ngau Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong nghiên cúu: Nghiên cúu ve khung, g-khung không gian Hilbert, tính on đ%nh cna khung, g-khung g-khung đoi ngau Pham vi nghiên cúu: Các tài li¾u, báo ngồi nưóc liên quan đen g-khung tính on đ%nh cna g-khung khơng gian Hilbert Phương pháp nghiên cNu Sú dung kien thúc cna giái tích hàm đe nghiên cúu van đe Đóng góp mái cúa lu¾n văn Lu¾n văn trình bày tong quan ve g-khung tính on đ%nh cna g-khung không gian Hilbert Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Tốn tN tuyen tính b% ch¾n khơng gian Hilbert Trong muc chúng tơi se trình bày khái ni¾m tính chat bán cna tốn tú tuyen tính b% ch¾n khơng gian Hilbert đe chuan b% cho muc tiep theo N®i dung cna muc đưoc trích dan tù tài li¾u tham kháo [8] Tốn tú tuyen tính T tù khơng gian Hilbert H vào không gian Hilbert K liên tuc chí b% ch¾n, nghĩa là, ton tai hang so c > cho "T x" ≤ c "x" , vói moi x ∈ H (1.1) Ký hi¾u L(H, K) t¾p tat cá tốn tú tuyen tính b% ch¾n tù H vào K Khi H = K L(H, K) đưoc ký hi¾u đơn gián L(H) Chuan cna T ∈ L(H, K) đưoc đ%nh nghĩa hang so c nhó nhat thóa mãn (1.1) Nói m®t cách tương đương, "T " = sup {"T x" : x ∈ H, "x" ≤ 1} = sup {"T x" : x ∈ H, "x" = 1} M¾nh đe 1.1.1 Giá sú H, L, K không gian Hilbert Neu T ∈ L(H, K) ton tai nhat m®t phan tú T ∗ ∈ L(K, H) cho (T ∗x, y) = (x, T y) , (x ∈ K, y ∈ H) Hơn nua, (i) (aS + bT )∗ = aS∗ + bT ∗ (ii) (RS)∗ = S∗ R∗ ∗ (iii) (T ∗) = T (iv) I ∗ = I ∗ (v) Neu T ngh%ch T ∗ ngh%ch (T −1) = (T ∗) −1 , S, T ∈ L(H, K), R ∈ L(K, L) a, b ∈ C Toán tú T ∗ ó M¾nh đe 1.1.1 đưoc goi tốn tú liên hop cna tốn tú T M¾nh đe 1.1.2 Giá sú T ∈ L(H, K) S ∈ L(K, L) Khi (i) "T x" ≤ "T " "x" , ∀x ∈ H (ii) "ST " ≤ "S" "T " (iii) "T " = "T ∗ " (iv) "T T ∗ " = "T" Cho T ∈ L(H) T đưoc goi toán tú tn liên hop neu T ∗ = T , unita neu T ∗ T = T T ∗ = I T đưoc goi dương (ký hi¾u T ≥ 0) neu (T x, x) ≥ vói moi x ∈ H T, K ∈ L(H), T ≥ K neu T − K ≥ T đưoc goi xác đ%nh dương neu ton tai M > cho (T x, x) ≥ M "x , ∀x ∈ H " Chú ý rang vói moi T ∈ L(H) (T ∗ T x, x) = (T x, T x) ≥ vói moi x ∈ H Do T ∗ T dương M¾nh đe 1.1.3 Giá sú T ∈ L(H) Khi (i) T tn liên hop neu chs neu (T x, x) thnc vói moi x ∈ H Đ¾c bi¾t, tốn tú dương tn liên hop (ii) T unita neu chs neu T ánh xa báo toàn chuan (hay tương đương báo tồn tích vơ hưóng) tù H lên H ≤j ≤K Λj j ∈ Z\ {1, 2, , K} sup c (Γ − Λ ) = j j j "c"=1 j∈Z Do c (Γ − Λ ) j j j 1/2 j∈Z |cj| , j∈Z túc (2.16) thóa mãn vói µ = = (A/K) = 0, ∀j ∈ Z, {Γj}j∈Z khơng m®t g-khung 2.3 1/2 Tuy nhiên, Γju0 Tính on đ%nh cúa khung đoi ngau Tính on đ%nh cna khung đoi ngau can thiet thnc tien Tuy nhiên có tương đoi ket ve chn đe Trong muc này, nghiên cúu tính on đ%nh cna khung đoi ngau Giá sú rang {gn}n∈Z m®t khung cna khơng gian Hilbert H Đ%nh nghĩa tốn tú khung S sau Sf = (f, gn) gn, ∀f ∈ H n∈Z Khung đoi ngau tac {g˜n }n∈Z đưoc đ%nh nghĩa bói g˜n = gn S− Đ%nh lý sau chí rang neu hai khung gan khung đoi ngau tac cna chúng gan Đ%nh lý 2.3.1 Cho {gn }n∈Z {g˜n }n∈Z , {hn }n∈Z , hai , n∈Z h n c¾p khung đoi ngau tac cúa khơng gian Hilbert H.˜Các c¾n cúa khung {gn}n∈Z {hn}n∈Z tương úng (A1, B1) (A2, B2) (i) Neu {gn − hn}n∈Z dãy Bessel vói c¾n δ, dãy Bessel vói c¾n δ A + B1 + B 1/2 (ii) Neu B 1/2 ,g˜n h˜ n − , n∈Z th ì A1 A 2 Ç |(f, gn)| − |(f, hn)| δ"f" n∈Z n∈ Z , ∀f ∈ H, |(f, n∈Z g˜n)| f, − n∈Z h˜ n .Ç δ "f " , ∀f ∈ H A A2 ChNng minh Trưóc tiên, ta chúng minh (i) Đ¾t Sf = (f, gn) gn Tf = (f, hn) hn n∈Z n∈Z Khi S T tn liên hop, g˜n = S −1 gn , h˜ n = T −1 hn , A1 I Ç S Ç B1 I A2I Ç T Ç B2I Vói bat kì f ∈ H, ta có "Sf − T f" = ((f, gn) gn − (f, hn) hn) n∈Z Ç (f, gn − hn) gn + (f, hn) (gn − hn) n∈Z n∈Z 1/2 2.1/2 Z |(f, g − n∈ n∈ |(f, hn)| n + Ç Z 1/2 δ1/2 hn)| B 1/2 Ç 1/2 δ1/2 B + "f" B2 Do "S − T" Ç δ1/2 B 1/2 +B 1/2 Vì vắy, S11 T 1/2 ầ = T (T − S) S −1 1/ 1/2 B1 + B2 Ç T −1 "T − S" S−1 δ A A2 H¾ là, −1 −1 −1 −1 −T S −T f, gn f, S 2= gn .2 2 n∈Z 1/2 Bn∈ 1Z ầ B1 S1 T f ầ Mắt khác, −1 (gn − f, T h n) n∈Z Do đó, +B δ B A2 "f" A2 −1 = T f, gn − Ç δ T −1 f Ç hn n∈Z δ A2 2 "f" f, g˜n − h˜ n f, S−1gn − T −1 hn = n∈Z n∈Z −1 −1 −1 = −T gn + f, T (gn − hn) f, S Z n∈ 1/2 1/2 1/ B1 + Çδ B1 + B2 "f" A2 A1A 2 1/2 1/2 A + B1 +1 B B "f" =δ A1 A Tiep theo ta chúng minh (ii) Vì cá S T tn liên hop, ta có "S − T" = sup |((S − T ) f, f)| = |(Sf, f) − (T f, f)| "f"=1 sup sup = |(f, gn)| Vì v¾y, "f"=1 "f"=1 − hn)| Ç δ |(f, n∈Z n∈Z S Ç −1 −T −1 Ç T −1 "T − S" S Vì g˜n = S −1 gn , ta có |(f, = f, −1 )| g˜n S gn = −1 δ A1 A S−1f, gn n∈Z Tương tn, n∈Z = SS n∈Z −1 f, S −1 f = f, S −1 f f, h n ˜ n∈Z Suy n∈Z |(f, g˜n)| − n∈Z = f, T −1 f = f, f, h˜ n Ç −1 S "f" −T −1 S−1 − T −1 f Ç δ A1 A 2 "f" Q 2.4 Tính on đ%nh cúa g-khung đoi ngau Trong muc ta nghiên cúu tính on đ%nh cna g-khung đoi ngau N®i dung cna muc đưoc tham kháo [11] Sau phiên bán tương tn cna Đ%nh lý 2.3.1 cho g-khung , Đ%nh lý 2.4.1 Cho {Λj}j∈J ,Λ ˜ j ∈J , {Γj}j∈J , , j Γ j∈J hai j ˜ c¾p g-khung đoi ngau tac cúa U đoi vói {Vj}j∈J Ký hi¾u c¾n g.khung cúa {Λj}j∈J {Γj}j∈J tương úng (A1, B1) (A2, B2) , ˜ ˜, Λj − (i) Neu {Λj − Γj}j∈J mđt dóy g-Bessel vúi cắn trờn , jJ j thỡ cng mđt dóy g-Bessel vúi cắn trờn A1 + B1 + A1A 2) 1/2 là1/2 B B , ( (ii) Neu 2 ≤ − "Γj f j∈J "Λj f δ"f" j∈J " " th ì ˜ j∈J Λj f ∀f ∈ U, , δ ≤ "f " , ∀f ∈ U j∈J A1 A ChNng minh Đ¾t Sf = Λ∗ Λjf Tf = Γ∗ Γj f f− Γ˜ j j j j∈J j∈J Λ˜ j = Λj S −1, Γ˜ j = Γj T −1, A1 I ≤ S ≤ B1 I Khi S T tn liên hop, A2I ≤ T ≤ B2I Vói bat kì f ∈ H, ta có ∗ ∗ "Sf − T f" = Λ Λ jf − Γ Γ jf j∈J ≤ j j j j j ∗ 1/2 Λ∗ − Γ j f ∗ Γ 1/2 1/2 "(Λ − Γ ) "Γ f j j j B + ≤ " j∈J f δ1/2 " j∈J 1/2 δ1/2 ≤ 1/2 B "f" + B2 j∈J Λ + (Λj − Γj ) f j∈J Do đó, "S − T" ≤ δ1/2 B 1/2 Theo (1.17), T −1 , S −1 ≤ A2 Vì v¾y, 1/2 + B ≤ A1 S−1 − T −1 = T −1 (T − S) S−1 ≤ T −1 "T − S" S−1 1/2 1/2 1/2 δ B +B ≤ A A2 H¾ là, −1 −1 −1 S −T f −1 −T S Λj f ≤B j∈J 1/2 1/ B1 ≤ 2 δ B1 + "f" A B2 1A M¾t khác, 2 δ 2 Do ˜ f Λ (Λj − Γj ) ≤ δ T −1 f ≤ "f" A2 T˜−1 f −1 −1 Λj S − Γj T j − Γ j = f j∈J j∈J = Λ S−1 − T −1 f + − ) T −1 f j (Λj Γj j∈J 1/2 1/2 1/ B1 + ≤δ "f" B1 + B2 A2 A1A 2 1/2 1/2 A + B1 +1 B B "f" = δ A A2 Tiep theo ta chúng minh (ii) Do S T tn liên hop, ta có j∈J "S − T" = sup |((S − T ) f, f)| = |(Sf, f) − (T f, f)| sup "f"=1 = sup "Λj f" "f"=1 − "f"=1 "Γj f" 2 j∈J j∈J ≤ δ Vì the, δ S−1 − T −1 ≤ T −1 "T − S" S −1 A1 A ≤ Do Λ˜ j = Λj S −1, ta có Λ ˜ jf = j∈J ∗ −1 −1 Λj S f, Λj S f = Λ Λj S −1 f, S−1f j j∈J j∈J = f, S−1f = SS −1f, S−1f Tương tn −1 Γ j f = f, T f ˜ j∈J Suy ˜ − Γ˜ j j∈J Λj f f j∈J .T= f, S− − δ f ≤ 2" " A A −1 fT ≤ S − − −1 "f " Q Ket lu¾n Luắn ó trỡnh by lai mđt cỏch hắ thong, bo sung chúng minh chi tiet nhung van đe sau: - M®t so ket bán ve khung, tính on đ%nh cna khung khung đoi ngau - Cỏc khỏi niắm v cỏc ket quỏ mú rđng cho g-khung, tính on đ%nh cna g-khung g-khung đoi ngau 57 Tài li¾u tham kháo [1] M S Asgani, A Khosravi (2005), “Frames and bases of subspaces in Hilbert spaces”, J Math Anal Appl , Vol 308, 541 – 553 [2] P Casazza, G Kutyniok (2004), “Frames of subspaces”, Wavelets, Frames and operator theory, Contemp Math.,Amer Math Soc., Vol 345, 87-113 [3] O Christensen (2003), An introduction to frames and Riesz bases, Binkhaăuser, Boston [4] O Christensen and Y C Eldar (2004), “Oblique dual frames and shift invariant spaces”, Appl Comp Harm Anal., Vol 17, 48-68 [5] I Daubechies, A Grossmann and Y Meyer (1986), “Painless nonorthogonal expansions”, J Math Phys , Vol 72, 1271 – 1283 [6] R J Duffin and A C Schaeffer (1952), “A class of nonharmonic Fourier series”, Trans Amer Math Soc , Vol 72, 341 – 366 [7] S J Favier and R A Zalik (1995), “On the stability of frames and Riesz bases”,Comp Harm Anal., Vol.2, 160-173 [8] R Kadison and R Ringrose (1983), Fundamentals of the theory of operator algebras, Vol.1, Academic Press, New York [9] S Li and H Ogawa (2004), “Pseudoframes for subspaces with applications”, J Fourier Anal Appl., Vol 10, 409-431 [10] W Sun (2006), “G-frames and g-Riesz bases”, J Math Anal Appl., Vol 72, 341-366 [11] W Sun (2007), “Stability of g-frames”,J Math Anal Appl., Vol 326, 858-868 [12] Y C Zhu (2008), “Characterizations of g-frames and g-Riesz bases in Hilbert spaces”, Acta Math Sinica ,English series., Vol 24, No.10, 1727-1736 59 ... ve: Tính on đ%nh cna khung, tính on đ%nh cna g-khung tính on đ%nh cna g-khung đoi ngau Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong nghiên cúu: Nghiên cúu ve khung, g-khung khơng gian Hilbert, tính. .. tuyen tính b% ch¾n khơng gian Hilbert 1.2 Khung không gian Hilbert 1.3 G-khung không gian Hilbert 15 Tính on đ%nh cúa g-khung 2.1 Tính on đ%nh cna khung 2.2 Tính on... khơng gian Hilbert, tính on đ%nh cna khung, g-khung g-khung đoi ngau Pham vi nghiên cúu: Các tài li¾u, báo ngồi nưóc liên quan đen g-khung tính on đ%nh cna g-khung không gian Hilbert Phương pháp nghiên