Luận văn thạc sĩ xấp xỉ euler maruyama cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không bị chặn tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘI B Ù I TH Ị N H U N G XẤP x ỉ EULER-MARUYAMA CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI HỆ SỐ KHÔNG BỊ CHẶN TUYẾN TÍNH • L U Ậ N V Ă N TH Ạ C SĨ T O Á N HỌC Hà N ội - 2015 • • BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘI B Ù I TH Ị N H U N G XẤP XỈ EULER-MARUYAMA CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI HỆ SỐ KHÔNG BỊ CHẶN TUYẾN TÍNH • • C huyên ngành: Toán ứ n g dụng M ã số: 60 46 01 12 L U Ậ N V Ă N TH Ạ C SĨ T O Á N HỌC N g i h n g d ẫ n k h o a h ọ c: T S N G Ô H O À N G L O N G Hà N ội - 2015 • Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành với lòng tri ân sâu sắc mà kính gửi đến thầy cô, bạn đồng khóa gia đình thân thương Trước tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến T S N g ô H o n g L o n g , người thầy định hướng chọn đề tài, trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán thầy cô trường Đại học Sư Phạm Hà Nội nhiệt tình giúp đỡ, giảng dạy, tạo điều kiện tố t cho thời gian học tập trường Tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến bố mẹ - người sinh thành, nuôi dưỡng tạo điều kiện học tập tốt cho Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn bạn đồng khóa cao học K17 - đợt (2013-2015) nói chung chuyên ngành Toán ứng dụng nói riêng giúp đỡ, động viên hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Học viên Bùi Thị N Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn T S N g ô H o n g L o n g Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Học viên Bùi Thị N M ục lục M ỏ dầu K iế n th ứ c c h u ẩ n b ị 1.1 Khống; gian xác suất 1.1.1 Định nghĩa không gian xác s u ấ t_ 1.1.2 Biến ngẫu nhiên hàm phân phối 1.1.3 Kì vọng 1.1.4 Một số định lý giới h n | 1.1.5 Một số bất đẳng thức 1.1.6 Một số dạng hội t ụ | 1.2 1.3 1.4 Quá trình ngẫu n h iê n 1.2.1 Đai cương trình ngẫu n h iê n 1.2.2 Thời điểm dừng 1.2.3 Martinealel 1.2.4 Môt số bất đẳng thức 1.2.5 Chuyển đông Brown Giải tích ngẫu nhiên Itô 1.3.1 Xây dưng tích p'lân It với w m ột chuyển động Brown tích phân dWị hiểu tích phân ngẫu nhiên Itô Trong ứng dụng thực tế mô hình trên, vấn đề cần giải thường đưa toán xác định kì vọng phiếm hàm X Do phần lớn phương trình vi phân ngẫu nhiên giải nghiệm m ột cách tường minh, việc xấp xỉ nghiệm cần thiết Một phương pháp xấp xỉ đơn giản hiệu sử dụng rộng rãi thực tế phương pháp Euler-Maruyama: Ta chia đoạn [0,T] thành n kỉ „ đoạn điểm chia tk = —— = kA, k = 0, Dãy xấp xỉ x n xác n định K = K t, = K + ( K ) A + V ( K ) (W'h., - w c A f ì A n £ A, u A n e A A gọi m ột ơ-đại số n= n= Đ ịn h n g h ĩa Cho = R" c họ tất tập mở R" ổ (R n) = ơ(C) (là (T-đại số bé chứa c íí) gọi ơ-đại số Borel R" Đ ịn h n g h ĩa Cho íì khác rỗng, A ơ-đại số m ột không gian đo gọi Đ ịn h n g h ĩa Giả sử (fỉ,.4) không gian đo, p : A -» [0,1] thỏa mãn ỉ P (íĩ) = 1; ii V(A„)„>1 c A cho A ị n A j = 0, Vi Ỷ j- Ta có 71=1 71=1 Khi (Í2,.4,P) m ột không gian xác suất với x n{a)pn{a) = Ị ( x ( s ) - X n (/Sn(S) ) ) ^ (aJX ( a) ) - ( S, X n (Kn(a) ) ) ^ + (2.61) + ( x ( s ) - x „ ( /ĩ „ ( s ) ) ) ^ s , I n (ícn( s ) ) j - bn ị^s,Xn (/tn( s ) ) j j + + (* „ ( « „ ( * ) ) - * „ ( « ) ) ( b ( s , X ( s ) ) - 6n ( a , * „ ( « „ ( « ) ) ) ) I [s(s,-Yn («„(s))) - (s)E X nị^s A Vur ) 47 -^n(^n(®) A Vur ) (2.65) C r C r ( p , T , L r ) (định nghĩa lại) c C ( p , T ) số dương Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta có kết lim E sup \ xn(t)\p = , n —>-00 0 , ta chọn ĩ} đủ nhỏ để ^ 2«c < ỉ , q R đủ lớn để g- p q rjP /(Q -p )R P 2C < ị n đủ lớn để E sup \ xn(t)\p L0< t< T e < 3’ kết hợp (2.58) (2.59) ta thu E sup \ X ( t ) - X n(t)\p < e .0 < i < T Vì ta chứng minh kết mong muốn 2.3.4 □ Tốc độ hội tụ Trước tiên giả sử điều kiện A - A - thỏa mãn, sau \b(t,x)\ < \b(t, x ) - ò ( í , ) | + |6(í!0)| < L( í + ỊrcỊ*)Ịa:I + iV0 (i) < N( t ) ( l + |z|ỉ+1), (2.66) với t e [0,T] X e R d tùy ý, N(t) e Lp với p > Chứng minh Hệ 2.1, Đầu tiên ta viết lại phương trình (2.61) theo phương pháp sau X n {s)Pn{s) = Ị ( x ( S) - x n(s ) ) ( b ( s , X ( s ) ) - ò(s , x „ ( s ) ) ) + + ( x ( s ) - x „ ( s ) ) ( & ( s , x „ ( s )) - b ( S,X „ ( K„(S) ) ) ) + + (s) —X n(s)J (2.67) JCn(Kn(s))J —bn (s, X n(/ĩn(s))) ^ ^ ^-[s p > , ta thu kết mong muốn kết hợp (2.581, (2.59) (2 49 Chương s ố hóa m ô m áy tín h 3.1 M ô hình chuyển động B row n hình học Xét phương trình chuyển động Brown hình học dX(t) = bX(t)dt + X ( t)dW(t) Phương trình có nghiệm X ( t ) = X(0) exp ((& - ơ2/ )t + W ( t )) Sau ta cố định = xét hai trường hợp b = b = - 3.1.1 M ô quỹ đạo chuyển động Brow n hình học Các hình 3.1 3.4 mô quỹ đạo chuyển động Brown hình học X đoạn [0 , ] Đường liền nét giá trị xác X Đường gạch — mô tả giá trị xấp xỉ X lược đồ Euler-Maruyama Đường chấm chấm • • ■ mô tả giá trị xấp xỉ X bỏi lược đồ Euler-Maruyama khống chế, số điểm chia đoạn [0 , ] n = hình 3.1 3.3 n = 10 hình 3.2 3.4 3.1.2 X ấp xỉ E[|X!|2] Giá trị 0.0498 b = - E [|X i 148.4132 = Bảng 3.1 3.2 cho giá trị xấp xỉ EỊỊXil2] sử dụng phương pháp Monte Carlo Euler-Maruyma Euler-Maruyama khống chế với số điểm chia đoạn [0 , ] n — 2k 50 Hình 3.1: Chuyển động Brown hình học: n = 27,b = —2 Hình 3.2: Chuyển động Brown hình học: n = 210,ò = —2 51 Hình 3.3: Chuyển động Brown hình học: n = 27,b = Hình 3.4: Chuyển động Brown hình học: n = 210, = 52 к 10 kvEM 0.0451 0.0487 0.0473 0.0469 0.0485 0.0502 0.0475 0.0509 kvKC 0.3471 0.2619 0.1707 0.1272 0.0935 0.0816 0.0665 0.068 Bảng 3.1: Bảng giá trị E[|Xi|2] b — —2 к 10 11 12 15 kvEM 134.98 138.43 145.2 149.64 146.52 150.975 147.37 147.62 kvKC 22.91 28 36.16 44.51 53.5358 64.313 73 104.18 Bảng 3.2: Bảng giá trị E [ 53 [2] = 3.1.3 C ode M atlab C o d e vẽ quỹ đạo %dX(t) = bX(t)dt + smX(t)dW(t) ” / X(0) = xO; % Ve quỹ đạo X đoạn [0,1] clear k = b = -2; T = 1; n = 2~k; % n la so khoang chia doan [0,T] dt = T/n; °/, dt la Delta sdt = sqrt(dt); % sdt la can bac hai cua dt xO = 1; ld = 1/2; % Id la lambda nld = n “ (-ld); °/, nld la n mu - lambda °/,khai bao tham so sm = ; hs = b-sm*sm/2; xEM(l) = xO; °/, euler-maruyama thong thuong xKC(l) = xO;°/o euler-maruyama khong che X(l) = xO; for i = l:n dw = randn; °/,dw co phan phoi chuan N(0,1) xEM(i+l) = xEM(i) + b*xEM(i)*dt + sm*xEM(i)*sdt*dw; xKC(i+l) = xKC(i) + b*xKC(i)*dt/(l + nld*abs(b*xKC(i))) + sm*xKC(i)*sdt*dw; x ( i + l ) = X(i)*exp(hs*dt+sm*dw*sdt) ; end p l o t (X) hold on plot(xEM, plot(xKC) 1— ’ ) C o d e tính kì vọng Efl-X^l2] y,dX(t) = bX(t)dt + smX(t)dW(t) % X(0) = xO; % Tinh E[x(l)~2] clear k = b = -2; T = 1; n = 2'k; % n la so khoang chia doan [0,T] dt = T/n; % dt la Delta sdt = sqrt(dt); % sdt la can bac hai cua dt xO = 1; ld = 1/2; “ /, ld la lambda nid = n “ (-ld); % nid la n mu - lambda %khai bao tham so sm = ; N = n~2; % N la so phep lap Monte Carlo if (N9) N = 50000 end % Neu N qua lon thi cho N = 10000 de han che thoi gian tinh toan sumEM = 0; sumKC = 0; for iMC = 1:N xEM = xO; % euler-maruyama thong thuong xKC = x0;% euler-maruyama khong che for iEu = l:n dw = randn; °/odw CO phan phoi chuan N(0,1) xEM = xEM + b*xEM*dt +sm*xEM*sdt*dw; xKC = xKC + b*xKC*dt/(l + nld*abs(b*xKC) ) + sm*xKC*sdt*dw; end sumEM = sumEM sumKC = sumKC + xEM~2; + xKC~2; end kvEM = sumEM/N kvKC = sumKC/N exactE = xO''2*exp(2*b*T+sm''2*T) % exactE la ket qua dung cua ki vong 3.2 M ô hình G inzburg - Landau Xét phương trình Ginzburg-Landau d X ị = ( ( 7 + ^ 2) với t € [0,T] xt - A X t3) dt + ỡ X tdWt , X o = X(Ị £ ( , 00 ) 77 > 0, A, ỡ > Nghiệm phương trình x (3.1) _ 3:0 exp( 7?í + ỡ W ị ) = + 2xị\ exp(2ĩỊs + ỡWg)ds với t € [0,T] Sau ta sẽcố định Xo = TỊ = X = cho ỡ = ỡ = 3.2.1 M ô quỹ đạo nghiệm phương trình G inzburgLandau Các hình 3.5 3.8 mô quỹ đạo trình X đoạn [0,1] Đường liền nét giá trị X xấp xỉ dựa vào đẳng thức (3.2) Lưu ý phương trình Ginzburg-Landau giải nghiệm dạng hiển ta vẽ xác quỹ đạo X nghiệm có chứa tích phân, ta phải xấp xỉ tích phân công thức hình thang Đường gạch — mô tả giá trị xấp xỉ X lược đồ Euler-Maruyama Đường chấm chấm • • ■ mô tả giá trị xấp xỉ X bỏi lược đồ Euler-Maruyama khống chế, số điểm chia đoạn [0 , ] n = hình 3.5 3.7 n = hình 3.6 3.8 55 Hình 3.5: n = 27, = Hình 3.6: n = 210, = 56 Hình 3.7: n = 27, = 500 1000 1500 Hình 3.8: n = 210, = 57 2000 k kvEM kvKC kvD 10.58 2.05 2.85 E + 13 1.753 1.525 1.0675 1.0918 1.1111 1.0997 1.3887 1.2784 1.2103 0.7179 0.8051 0.9303 1.0027 1.0545 1.0732 1.1123 1.1781 1.0986 1.1115 10 1.1099 1.1056 1.1537 1.1374 1.1244 1.1041 1.1057 11 1.104 Bảng 3.3: Bảng giá trị EỊỊXxỊ2] = k 11 kvEM NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN 2.9651 kvKC 8.04E+06 2.06E+09 1.81E+10 1.47E+07 3.58E+04 5.93E+02 8800 4.75E+02 kvD 0.5586 0.7571 0.9728 1.3524 1.7748 2.1931 2.6161 3.036 Bảng 3.4: Bảng giá trị EỊỊXiỊ2] = 3.2.2 X ấp xỉ E[|X i|2] Bảng 3.1 3.2 cho giá trị xấp xỉ E [|X i|2] sử dụng phương pháp Monte Carlo Euler-Maruyma Euler-Maruyama khống chế với số điểm chia đoạn [0 ,1] n = 2k Cột kvD giá trị xấp xỉ E [|X i|2] dựa vào công thức nghiệm (3.2) với tích phân mẫu ước lượng theo công thức hình thang 3.2.3 C ode M atlab C o d e vẽ quỹ đạo %dX(t) = ((eta + sm~2/2)X(t) - Id x ( t ) " ) d t + smX(t)dW(t) ị X(0) = xó ; clear k = sm = % sm la sigma 58 т = 1; n = ~к; % n l a so khoang c h ia doan [ ,т ] d t = T/n; % d t l a D e lt a sdt = sqrt(dt); “ /, sdt la can bac hai cua dt xO = 1; alphaKC = 1/2; % alphaKC la alpha luoc khong che aKC = n~ (-alphaKC) ; 7o aKC la n mu - alphaKC eta = 1; Id = 1; “ /.Id la lambda hsl = eta + sm~2/2; xEM(l) = xO; °/o euler-maruyama thong thuong xKC(l) = xO;7o euler-maruyama khong che X(l) = x ; W(l) = 0; s= ; tp=0; for i = l:n dw = sdt*randn; %dw CO phan phoi chuan N(0,1) xEM(i+l) = xEM(i) + (hsl*xEM(i)-ld*xEM(i)“3)*dt + sm*xEM(i)*dw; b = hsl*xKC(i)-ld*xKC(i)''3; xKC(i+l) = xKC(i) + b*dt/(l+ aKC*abs(b))+ sm*xKC(i)*dw; W(i+1) = w(i) +dw; s = s + d t; = + exp(2*eta*s + * s m*w(i))* d t ; x(i+l) = xO*exp(eta*s + sm*w(i))/sqrt(l+ 2*x0~2*ld*tp); end plot(X) hold on plot (xEM, plot(xKC) ’— C o d e tính kì vọng ỵ.dX(t) = (Ceta + sm''2/2)X(t) - ld x(t)~3)dt + smX(t)dW(t) ị X(0) = x ộ ; % Tinh E[x(i)~2] k = 11 sm = °/, sm la sigma T = 1; n = 2~k; % n la so khoang chia doan [0,T] dt = T/n; 7, dt la Delta sdt = sqrt(dt); % sdt la can bac hai cua dt xO = 1; alphaKC = 1/2; % alphaKC la alpha luoc khong che aKC = n~ (-alphaKC); °/o aKC la n mu - alphaKC eta = 1; ld = 1; %ld la lambda hsl = eta + sm~2/2; N = n~2; % N la so phep lap Monte Carlo if (N9) N = 50000; end °/, Neu N qua lon thi cho N = 10000 de han che thoi gian tinh toan sumEM = 0; sumKC = 0; sumD = 0; w = 0; for iMC = 1:N w = 0; xEM = xO; °/o euler-maruyama th on g thuong xKC = xO;°/o euler-maruyam a khong che = ; s = 0; for iEu = l:n dw = sdt*randn; %dw CO phan phoi chuan N(0,1) xEM = xEM + (hsl*xEM-ld*xEM''3) *dt + sm*xEM*dw; b = hsl*xKC-ld*xKC"3; xKC = xKC + b*dt/(l+ aKC*abs(b))+ sm*xKC*dw; w = w +dw; s = s + d t; = + exp(2*eta*s + * s m * w ) ; end w = w -dw; sumEM = sumEM + xEM~2; sumKC = sumKC + xKC~2; Xdung = xO*exp(eta*T+sm*W)/sqrt(l+2*x0~2*ld*tp*dt); sumD = sumD + Xdung''2; end kvEM = sumEM/N kvKC = sumKC/N kvD = sumD/N 3.3 Đ ánh giá kết m ô Từ kết mô mục trước, ta rút số kết luận sau Khi hệ số phương trình thỏa mãn điều kiện Lipschitz, lược đồ Euler-Maruyama cổ điển ổn định hội tụ tới nghiệm nhanh lược đồ Euler-Maruyama khống chế Khi hệ số phương trình tăng tuyến tính, lược đồ EulerMaruyama cổ điển bị nổ giống lý thuyết chứng minh Trong trường hợp không bị nổ lý số xác suất để bị nổ nhỏ số phép lặp Monte-Carlo chưa đủ nhiều để biến cố nổ xuất Mặc dù lược đồ Euler-Maruyama không bị nổ tốc độ hội tụ nhanh tốc độ lược đồ Euler-Maruyama khống chế Các lược đồ Euler-Maruyama khống chế không bị nổ tốc độ hội tụ chậm 60 K ết luận Luận văn tập trung nghiên cứu “Xấp xỉ Euler-Maruyama cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không bị chặn tuyến tính” Để thực thành công nhiệm vụ này, nghiên cứu giải vấn đề: • Hệ thống kiến thức phép tính vi phân ngẫu nhiên Itô phương trình vi phân ngẫu nhiên • Nghiên cứu phương pháp xấp xỉ Euler-Maruyama cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số Lipschitz toàn cục • Nghiên cứu phân kỳ phương pháp xấp xỉ Euler-Maruyama cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không bị chặn tuyến tính • Phát triển kỹ chuyển hóa thuật toán thành chương trình máy tính Sử dụng ngôn ngữ Matlab để lập trình số hóa số mô hình • Tìm hiểu mô hình chuyển động Brown hình học, mô hình Ginzburg Landau, mô quỹ đạo chúng ngôn ngữ Matlab để so sánh tốc độ hội tụ lược đồ Euler-Maruyama cổ điển lược đồ Euler-Maruyama khống chế Như nói luận văn hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt Những kết chương trình đạt khuôn khổ luận văn sở để tác giả tiếp tục nghiên cứu chuyên sâu toán có ứng dụng thực tế phức tạp 61 [...]... kiện Lipshitz địa phương và điều kiện đều tức là xTf ( x , t ) + l~\g(x,t)\2 < k( 1 + |x|2), thì phương trình ( 1 4 1 củng có nghiệm duy nhất 28 Chương 2 X ấp xỉ E uler-M aruyam a cho phương trìn h vi phân ngẫu nhiên với hệ số không bị chặn tu y ến tín h 2.1 Phương pháp xấp xỉ E uler-M aruyam a cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số Lipschitz toàn cục Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên Xị = Xị... x(t]to,£) thì từ phương trình (1.5) ta có với mọi s £ [tữ,T], :(t) = x(s) + Ị 5 f ( x ( u ) , u ) ả u + I g(x(u), u)dB(u) với s < t < T (1-6) J s Mặt khác, (1.6) lại là một phương trình vi phân ngẫu nhiên trên đoạn [s,T] với giá trị ban đầu là x(s) = x(s-,to,£) Kí hiệu nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.6) bởi x(t; s, x(s-, to, £)) Khi đó, nếu phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.4) và (1.6)... (^ i)íe [0 T] là quá trình Itô cho bởi công thức (|1.3|) Dặt Yị = F ( t , X ị ) thì dYị = dt + dF ơx Xị)dBị M ệ n h đ ề 1 1 3 Cho hàm số / : [0,T] ->■ R sao cho I / 2(s)ds < +oo Đặt ■'o Xị = J* f (s)d-Bs Thỉ Xị co phan phoi/ chuũĩi 1.4 ( ° ’í f 2(s)ả^ Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.4.1 Đ ịnh • Giả sử (Q, nghĩa phương trình vi phân ngẫu nhiên là không gian xác suất đầy đủ với họ lọc thỏa mãn điều... < +00 sao cho }■ Ta thấy tích phân trên M cũng thỏa mãn các tính chất của Mệnh đề 1.11 Tiếp theo, ta I xét !t * [ 0 ,T] = ịị f/ :■ [0, T] X íì -» R sao cho fị là J'i-do được và /gd s < + 0 0 hầu chắc chắn ị Ta, có M 2 c V 2 Bằng cách xét dãy quá trình dừng, ta cũng có thể định nghĩa được tích phân ngẫu nhiên cho quá trình ngẫu nhiên thuộc V Tuy nhiên tích phân trên V 2 không còn giữ được tính chất... trên không gian (fi,.F ,P ), Bị là J'i-do được 15 Giả sử 0 < ío < T < 00 và £ là véc tơ ngẫu nhiên, Fi0-đo được, nhận giá trị trong R d và E[|£|2] < 00 Giả sử / :R d X [0 , T\ -> R d, g :R d X [0 , T\ -> R d x m là các hàm Borel đo được X ét phương trình vi phân ngẫu nhiên d chiều Ị dx(t) = f(x(t), t)dt + g(x(t), t)dB{t), y x{tữ) = Ệ, ữ < tũ < t < T (1.4) Phương trình trên có thể vi t dưới dạng tích phân. .. Quá trình ngẫu nhiên {a;(í)}i 1 bởi x n (to ) = Xo và với t € (íỊJ_ijífc]j k = 1 , 2 là x n (t) = X n ự l - i ) + Ị ỉ (®n ( t k - i ) , s) ds + «/ +n í g ( x n ( t ^_ 1) , s ) ả B ( s ) (2.2) «/ +n lk-l t/k-l Đặt Ên{t) — 3'Olto (^) + 'y ỳ xn i^k-ì) n>l (2-3) thì phương trình (2 2 ) được vi t lại thành