Quan hệ giữa hệ số hilbert hiệu chỉnh và môđun cohen macaulay suy rộng dãy (tt)

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN TUẤN LONG QUAN HỆ GIỮA HỆ SỐ HILBERT HIỆU CHỈNH VÀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG DÃY Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2016 Luận án hoàn thành tại: Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Tự Cường GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận án cấp viện họp Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam vào hồi ngày tháng năm 2016 Có thể tìm luận án tại: - Thư viện Quốc gia Hà nội - Thư viện Viện Toán học Mở đầu Cho (R, m) vành giao hoán địa phương Noether với iđêan cực đại m M R-môđun hữu hạn sinh chiều d Khi đó, với x = x1 , , xd hệ tham số M, có ℓ(M/xM) ≥ e(x; M), ℓ(•) hàm độ dài e(x; M) số bội M hệ tham số x Nếu với (hoặc tồn tại) hệ tham số x cho ℓ(M/xM) = e(x; M) M gọi môđun Cohen-Macaulay Lớp Môđun CohenMacaulay đối tượng nghiên cứu trung tâm Đại số giao hoán Một mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay khái niệm môđun Buchsbaum đưa J St¨uckrad W Vogel Môđun M gọi Buchsbaum tồn số C cho ℓ(M/xM) = e(x; M) + C với hệ tham số x Tiếp sau đó, N T Cường-P Schenzel-N V Trung (1978) đưa lớp môđun mà tồn số C cho ℓ(M/xM) ≤ e(x; M) + C với hệ tham số x, gọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng Hằng số C nhỏ thỏa mãn điều kiện gọi số Buchsbaum ký hiệu I(M) Một cách tiếp cận khác tới cấu trúc môđun thông qua hệ số Hilbert Và hướng nghiên cứu luận án Trước hết, cho I iđêan m-nguyên sơ R Khi đó, với n đủ lớn tồn số nguyên ei (I; M) cho d ℓ(M/I n+1 (−1)i ei (I; M) M) = i=0 n+d−i d−i Những số nguyên ei (I; M) gọi hệ số Hilbert M iđêan I Hơn nữa, e0 (I; M) số bội môđun M iđêan I Gần đây, L Ghezzi-S Goto-J.Y Hong-K Ozeki-T T Phuong-W V Vasconcelos (2010) đưa đặc trưng cho môđun Cohen-Macaulay qua hệ số Hilbert Cụ thể, cho M môđun không trộn lẫn (unmixed) Khi đó, môđun M Cohen-Macaulay e1 (q; M) = với (hoặc với một) iđêan tham số q M Ngay sau đó, S Goto-K.Ozeki (2011) M môđun Cohen-Macaulay suy rộng tập hệ số Hilbert ∧i (M) = {ei (q; M)}, q chạy tập iđêan tham số M với i = 1, , d, hữu hạn Ký hiệu U M (0) môđun lớn M cho dim U M (0) < dim M Khi đó, môđun M hai kết thỏa mãn dim U M (0) ≤ Vậy câu hỏi tự nhiên đặt là: Điều xảy dim U M (0) > 0? Trước trả lời cho câu hỏi cần vài khái niệm sau Cho I iđêan m-nguyên sơ R Bậc số học thứ i M iđêan I định nghĩa sau (Mp ))(p)e0 (I; R/p) ℓ(HpR p adegi (I; M) = p∈Ass(M), dim R/p=i Một lọc D : M = D0 ⊃ D1 ⊃ ⊃ Dt = Hm0 (M) M gọi lọc chiều Di+1 môđun lớn Di cho dim Di+1 < dim Di với i = 0, , t − Lưu ý, lọc chiều tồn xác định Khi đó, môđun M gọi CohenMacaulay dãy (tương ứng, Cohen-Macaulay suy rộng dãy) môđun Di /Di+1 Cohen-Macaulay (tương ứng, Cohen-Macaulay suy rộng) với i = 0, , t Một hệ tham số x1 , , xd gọi hệ tham số tách biệt (distinguished) M (xdim Di +1 , , xd )Di = với i = 1, , t iđêan tham số q M gọi iđêan tham số tách biệt q sinh hệ tham số tách biệt N T Cường-S GotoH L Trường (2013) đưa đặc trưng cho môđun Cohen-Macaulay dãy thông qua hệ số Hilbert bậc số học sau: Giả sử R ảnh đồng cấu vành CohenMacaulay địa phương Khi đó, môđun M môđun Cohen-Macaulay dãy (−1)i ei (q; M) = adegd−i (q; M) với i = 0, , d với (hoặc với một) iđêan tham số tách biệt q M Kết xem mở rộng cho kết L Ghezzi-S Goto-J.Y Hong-K Ozeki-T T Phuong-W V Vasconcelos (2010) bỏ điều kiện U M (0) = Phần trả lời lại, cụ thể đặc trưng môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy qua hệ số Hilbert mục tiêu luận án Với gợi ý từ kết N T Cường-S Goto-H L Trường (2013), xét hiệu d ad (n) Hq,M n+1 = ℓ(M/q M) − adegi (q; M) i=0 n+i i hàm số với biến n gọi hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel M đối ad với iđêan q Lưu ý, adegd (q; M) = e0 (q; M) Do đó, với n đủ lớn hàm số Hq,M (n) đa thức có dạng d Pad q,M (n) (−1)i ei (q; M) − adegd−i (q; M) = i=1 n+d−i d−i Ký hiệu PD (M) tập tất đa thức Pad q,M (n), q chạy tập iđêan tham số tách biệt M Kết N T Cường-S Goto-H L Trường (2013) phát biểu lại sau: Giả sử R ảnh đồng cấu vành CohenMacaulay địa phương Khi đó, môđun M môđun Cohen-Macaulay dãy PD (M) = {0} Định lý quan trọng luận án mở rộng kết phát biểu sau Định lý Giả sử R ảnh đồng cấu vành Cohen-Macaulay địa phương Khi đó, M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy tập đa thức PD (M) hữu hạn Để chứng minh điều kiện cần Định lý chính, trước hết xét tập ∨i (M) = {(−1)i ei (q; M) − adegd−i (q; M) | q hệ tham số tách biệt} ý PD (M) hữu hạn ∨i (M) hữu hạn với i = 1, , d Cho M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Khi đó, quy nạp không khó để ∨i (M) hữu hạn với i = 1, , d − Khó khăn ∨d (M) hữu hạn Trước hết, với q iđêan tham số M, gọi ρq (M) số nguyên dương nhỏ cho ℓ(M/qn+1 M) đa thức với n ≥ ρq (M) Khi đó, với n ≥ ρq (M) có công thức | (−1)d ed (q; M)− adeg0 (q; M) | d−1 ≤| ad Hq,M (n) | (−1)i ei (q; M) − adegd−i (q; M) | |+ i=1 n + d − i (†) d−i Từ công thức (†), để ∨d (M) hữu hạn cần giải hai vấn đề sau Vấn đề 1: Cho M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Xác định chặn cho ρq (M) với iđêan tham số tách biệt q M Vấn đề 2: Cho M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Tìm số N ad cho Hq,M (n) ≥ với n ≥ N iđêan tham số tách biệt q M Cho M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Khi hai vấn đề giải quyết, gọi C số thỏa mãn C ≥ N C ≥ ρq (M) với iđêan tham số tách biệt q M Lưu ý, ∨i (M) hữu hạn nên tồn số Ci cho với iđêan tham số tách biệt q M, ta có | (−1)i ei (q; M) − adegd−i (q; M) |≤ Ci với i = 1, , d − Hơn nữa, không khó để tồn đa thức g(n) có hệ số ad không phụ thuộc vào iđêan tham số tách biệt q cho Hq,M (n) ≤ g(n) (Bổ đề 4.2.1) Từ công thức (†), chọn n = C ta có d−1 d | (−1) ed (q; M) − adeg0 (q; M) |≤ g(C) + Ci i=1 C+d−i , d−i với iđêan tham số tách biệt q M Do dó, ∨d (M) hữu hạn Để chứng minh điều kiện đủ Định lý chính, dựa vào kết N T Cương - Đ T Cường (2007) đặc trưng môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy qua đối đồng điều địa phương Luận án chia thành bốn chương Chương chương chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại khái niệm tính chất cần sử dụng chương sau Các kết luận án trình bày Chương 2, Chương Chương Mục tiêu Chương giải Vấn đề Cụ thể, với M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, đưa chặn cho số quy môđun phân bậc liên kết Gq (M) với iđêan tham số tách biệt q M Mục tiêu Chương đưa lời giải cho Vấn đề Cụ thể, q iđêan tham ad số tách biệt tồn số nguyên dương n0 đủ lớn cho hàm số Hq,M (n) tăng nhận giá trị không âm với n ≥ n0 Hơn nữa, M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy chọn số nguyên n0 độc lập với q Với chuẩn bị Chương Chương 3, Chương dành riêng để chứng minh Định lý Cụ thể, với M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, dùng kết chặn ad số quy Chương tính không âm hàm Hq,M (n) Chương để tập PD (M) hữu hạn Chiều lại, với tập PD (M) hữu hạn, xây dựng tập hệ tham số từ hệ tham số cho trước áp dụng quy nạp tập hệ tham số để M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Chương Chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại khái niệm số kết biết lọc chiều, hệ tham số tốt, hệ tham số tách biệt, môđun Cohen-Macaulay dãy, số quy Castelnuovo-Mumford, phần tử lọc quy vành phân bậc, hệ số Hilbert, phần tử bề mặt Trong toàn luận án xét (R, m) vành giao hoán có đơn vị, địa phương, Noether với iđêan cực đại m M R-môđun hữu hạn sinh chiều d 1.1 Lọc chiều, hệ tham số tốt hệ tham số tách biệt Định nghĩa 1.1.1 (N T Cường-L T Nhàn, 2003; N T Cường-Đ T Cường, 2007) (i) Một lọc hữu hạn môđun M F : M = M0 ⊃ M ⊃ ⊃ M s gọi thỏa mãn điều kiện chiều dim Mi > dim Mi+1 với i = 0, , s − Khi đó, ta nói lọc F có độ dài s (ii) Một lọc hữu hạn môđun D : M = D0 ⊃ D1 ⊃ ⊃ Dt = Hm0 (M) M gọi lọc chiều đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau: (1) D lọc thỏa mãn điều kiện chiều, (2) Di môđun lớn Di−1 với i = 1, , t Chú ý 1.1.2 (i) Vì M môđun hữu hạn sinh vành địa phương Noether nên lọc chiều tồn Hơn nữa, cho = p∈Ass M N(p) phân tích nguyên sơ tối tiểu M Đặt di = dim Di Khi đó, Di = dim(R/p) di−1 N(p) với i = 1, , t (ii) Mọi lọc thỏa mãn điều kiện chiều có độ dài nhỏ độ dài lọc chiều (iii) Trong luận án này, ký hiệu D : M = D0 ⊃ D1 ⊃ ⊃ Dt = Hm0 (M) lọc chiều, t độ dài lọc chiều di = dim Di với i = 0, , t Lọc môđun M hiểu lọc môđun thỏa mãn điều kiện chiều Định nghĩa 1.1.4 (N T Cường-Đ T Cường, 2007; P Schenzel, 1999) Cho x1 , , xd hệ tham số M F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ M s lọc môđun M (i) Hệ tham số x1 , , xd M gọi hệ tham số tốt lọc F (xdim Mi +1 , , xd )M ∩ Mi = với i = 1, , s Một hệ tham số tốt M lọc chiều đơn giản gọi hệ tham số tốt M (ii) Hệ tham số x1 , , xd M gọi hệ tham số tách biệt lọc F (xdim Mi +1 , , xd )Mi = với i = 1, , s Một hệ tham số tách biệt M lọc chiều đơn giản gọi hệ tham số tách biệt M Dễ thấy, hệ tham số tốt hệ tham số tách biệt (iii) Iđêan tham số q M gọi iđêan tham số tốt (tương ứng, iđêan tham số tách biệt) lọc F sinh hệ tham số tốt (tương ứng, hệ tham số tách biệt) M lọc F Iđêan tham số tốt (tương ứng, iđêan tham số tách biệt) M lọc chiều gọi đơn giản iđêan tham số tốt (tương ứng, iđêan tham số tách biệt) M Lưu ý rằng, khái niệm lọc chiều, hệ tham số tách biệt P Schenzel (1999) đưa Hệ tham số tốt N T Cường - Đ T Cường (2007) đưa ra, nhằm mục đích nghiên cứu lớp môđun Cohen-Macaulay dãy Cohen-Macaulay suy rộng dãy Chú ý 1.1.6 (i) Hệ tham số tốt hệ tham số tách biệt tồn Hơn nữa, dim M > tập hệ tham số tốt tập hệ tham số tách biệt vô hạn (ii) Một hệ tham số tốt (tương ứng, hệ tham số tách biệt) M hệ tham số tốt (tương ứng, hệ tham số tách biệt) lọc môđun M 1.2 Môđun Cohen-Macaulay dãy Định nghĩa 1.2.1 (N T Cường-L T Nhàn, 2003) Một lọc F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ M s môđun M gọi lọc Cohen-Macaulay ℓ(M s ) < ∞ Mi /Mi+1 môđun Cohen-Macaulay với i = 0, , s−1 Môđun M gọi Cohen-Macaulay dãy có lọc Cohen-Macaulay Chú ý 1.2.2 Cho M môđun Cohen-Macaulay dãy Khi đó, M có lọc CohenMacaulay lọc chiều Bổ đề sau hệ tham tốt hệ tham số tách biệt trùng M môđun Cohen-Macaulay dãy Bổ đề 1.2.5 Cho M môđun Cohen-Macaulay dãy x = x1 , , xd hệ tham số M Khi mệnh đề sau tương đương: (i) x hệ tham số tốt M (ii) x hệ tham số tách biệt M 1.3 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford Định nghĩa 1.3.1 Cho S = En S n vành Noether phân bậc chuẩn E = n∈Z n≥0 S-môđun phân bậc hữu hạn sinh Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford E gọi ngắn gọn số quy ký hiệu định nghĩa sau reg(E) = sup{n + i | [HSi + (E)]n S + = 0, i ≥ 0}, S n Chỉ số quy hình học g-reg(E) xác định n>0 g-reg(E) = sup{n + i | [HSi + (E)]n 0, i ≥ 1} Do đó, g-reg(E) ≤ reg(E) Cho S vành phân bậc Noether với S vành địa phương Artin E S môđun phân bậc hữu hạn sinh chiều k Ta có En S -môđun có độ dài hữu hạn Khi hàm Hilbert xác định hE (n) = ℓS (En ) Hơn nữa, n đủ lớn tồn đa thức pE (n) bậc k − với hệ số hữu tỷ gọi đa thức Hilbert cho ℓS (En ) = pE (n) Bổ đề sau đưa mối liên hệ hàm Hilbert đa thức Hilbert thông qua đối đồng điều địa phương phân bậc Bổ đề 1.3.3 Với số nguyên n, k (−1)i ℓ(HSi + (E)n ) hE (n) − pE (n) = (∗) i=0 Lưu ý rằng, công thức (∗) Bổ đề 1.3.3 gọi công thức Serre Định nghĩa 1.3.4 Cho S vành phân bậc Noether E S -môđun phân bậc hữu hạn sinh Phần tử z ∈ S gọi phần tử E-lọc quy (0 :E z)n = với n đủ lớn Chú ý 1.3.5 Nếu (S , n0 ) vành địa phương với trường thặng dư S /n0 vô hạn tồn phần tử E-lọc quy z ∈ S Nếu S có trường thặng dư hữu hạn ta xét S [X]n0 S [X] địa phương hóa vành đa thức S [X] iđêan nguyên tố n0 S [X] Khi ′ ′ S = S [X]n0 S [X] vành địa phương có trường thặng dư vô hạn Đặt S ′ = S ⊗ S ′ E ′ = E ⊗ S Chú ý ′ HSi + (E)n ⊗S S ′ HSi ′ (E )n + ′ Do reg(E) = reg(E ) Nói cách khác, không tính tổng quát ta giả sử S vành địa phương có trường thặng dư vô hạn 1.4 Hệ số Hilbert Cho I iđêan m-nguyên sơ R Hàm số HI (n) = n i=0 hGI (M) (i) = ℓ(M/I n M) gọi hàm Hilbert-Samuel M iđêan I P Samuel tồn đa thức PI (n) bậc d với hệ số hữu tỉ, gọi đa thức Hilbert-Samuel cho ℓ(M/I n+1 M) = PI (n) với n đủ lớn Khi tồn số nguyên ei (I; M) cho d (−1)i ei (I; M) PI (n) = i=0 n+d−i d−i Những số nguyên ei (I; M) gọi hệ số Hilbert M iđêan I Số nguyên dương nhỏ n0 để hàm Hilbert-Samuel HI (n) đa thức Hilbert-Samuel PI (n) Chương Chặn số quy cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford bất biến quan trọng đại số giao hoán hình học đại số Nó cung cấp nhiều thông tin cấu trúc phân bậc phức tạp, đơn cử bậc cao không triệt tiêu đối đồng điều địa phương môđun phân bậc Ngoài ra, việc đưa chặn số quy cho chặn kiểu quan hệ (relation type), số Hilbert Mục tiêu chương mở rộng kết C H Linh-N V Trung (2006) chặn số quy cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng Cụ thể, M môđun Cohen-Macaulay suy rộng tồn số C cho reg(Gq (M)) ≤ C với iđêan tham số q M Một câu hỏi tự nhiên là: Kết M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy? I M Aberbach-L.Ghezzi-H H Tai (2006) xây dựng vành R đầy đủ, đẳng chiều, Noether chiều 3, Cohen-Macaulay suy rộng dãy (xem Chú ý 2.2.10) mà kiểu quan hệ không bị chặn Dẫn đến, không tồn chặn cho số quy cho iđêan tham số Do đó, câu hỏi khác yếu hơn: Cho M môđun CohenMacaulay suy rộng dãy Có tồn số C cho reg(Gq (M)) ≤ C với iđêan tham số tách biệt q M? Câu trả lời đầy đủ cho câu hỏi trình bày tiết Lưu ý, khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng N.T Cường-P Schenzel-N V Trung (1978) đưa ra, khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy N.T Cường-L T Nhàn (2003) đưa 10 2.1 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Với iđêan tham số q M đặt I(q; M) = ℓ(M/qM) − e(q; M) Khi đó, M CohenMacaulay suy rộng⇔ I(M) = sup{I(q; M)|q iđêan tham số M} < ∞ ⇔ Các môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M) hữu hạn sinh với i < d Hằng số I(M) d−1 d−1 gọi số Buchsbaum M I(M) = ℓ(Hmi (M)) Hơn nữa, i i=0 I(M) = M môđun Cohen-Macaulay Định nghĩa 2.1.1 (N T Cường - L T Nhàn, 2003) Một lọc F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ M s môđun M gọi lọc Cohen-Macaulay suy rộng ℓ(M s ) < ∞ Mi /Mi+1 môđun Cohen-Macaulay suy rộng với i = 0, , s − Môđun M gọi Cohen-Macaulay suy rộng dãy M có lọc Cohen-Macaulay suy rộng Chú ý 2.1.2 Cho M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy D : M = D0 ⊃ D1 ⊃ ⊃ Dt = Hm0 (M) lọc chiều M Khi đó, F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ M s lọc Cohen-Macaulay suy rộng s = t ℓ(Di /Mi ) < ∞ với i = 0, , t Phần tiết này, M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy với lọc Cohen-Macaulay suy rộng F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mt J iđêan sinh phần hệ tham số tách biệt M môđun Mi /J n Mi + Mi+1 Cohen-Macaulay suy rộng Hơn nữa, đưa liên hệ số Buchsbaum môđun với môđun Mi /Mi+1 với i = 0, , t − Từ có kết sau Định lý 2.1.10 Cho M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy với lọc CohenMacaulay suy rộng F J iđêan R sinh phần hệ tham số tách biệt M lọc F Khi đó, M/J n M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy với số nguyên dương n Trong phần cuối tiết này, từ Định lý 2.1.10 đưa vài tính chất t−1 bất biến I(F , M) = I(Mi /Mi+1 ) + ℓ(Mt ) i=0 11 2.2 Chặn số quy cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Đầu tiên xét số quy trường hợp M môđun CohenMacaulay dãy Mệnh đề 2.2.5 Cho M môđun Cohen-Macaulay dãy Khi reg(Gq (M)) = với iđêan tham số tách biệt q M Theo Bổ đề 1.4.1, ρq (M) ≤ reg(Gq (M)) với iđêan tham số q M Do đó, kết sau lời giải cho Vấn đề Định lý 2.2.6 Cho M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy F lọc CohenMacaulay suy rộng M Khi đó, tồn số CF cho reg(Gq (M)) ≤ CF với iđêan tham số tách biệt q M F Cho M môđun Cohen-Macaulay suy rộng Khi hệ tham số M hệ tham số tách biệt lọc Cohen-Macaulay suy rộng F : M ⊃ Do đó, kết C H Linh-N V Trung (2006) xem hệ trực tiếp Định lý 2.2.6 Hệ 2.2.7 Cho M môđun Cohen-Macaulay suy rộng Khi tồn số C cho reg(Gq (M)) ≤ C với iđêan tham số q M I n tn I Cho I = (x1 , , x s ) iđêan R Đại số Rees R[It] = n≥0 vành thương vành đa thức s biến R Khi đó, tồn toàn cấu φ : R[T , , T s ] −→ R[It] xác định T i → xi t Hạt nhân J φ iđêan R[T , , T s ], gọi f1 , , fm hệ sinh tối tiểu J Khi kiểu quan hệ I định nghĩa ký hiệu sau reltype(I) = max{deg f1 , , deg fm } Từ kết N V Trung (1987) A Ooishi (1987), ta có reltype(I) ≤ reg(G I (R)) + Khi kết sau hệ trực tiếp Định lý 2.2.6 12 Hệ 2.2.9 Cho R vành Cohen-Macaulay suy rộng dãy chiều d F : R = I0 ⊃ I1 ⊃ ⊃ It lọc suy rộng R Khi tồn số C cho reltype(x1 , , xd ) ≤ C với hệ tham số tách biệt x1 , , xd R lọc F Lưu ý, kết H J Wang (1997) chặn kiểu quan hệ cho iđêan tham số vành Cohen-Macaulay suy rộng xem trường hợp Hệ 2.2.9 Chú ý 2.2.10 Lưu ý trường hợp tổng quát, tập hệ tham số thực lớn tập hệ tham số tách biệt, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Vì vậy, tồn vành Cohen-Macaulay suy rộng dãy mà số quy không bị chặn với hệ tham số ví dụ sau đây: Xét vàn địa phương R = k[[X, Y, Z, W]]/(W , WZ) đưa I M Aberbach-L.Ghezzi-H H Tai (2006), với k trường Khi dễ dàng kiểm tra dãy lọc iđêan R = R0 ⊃ (W)/(W , Z) ∩ (W) = R1 ⊃ lọc chiều R, R/R1 k[[X, Y, Z]] Cohen-Macaulay R1 R- môđun Cohen-Macaulay suy rộng chiều Vì R vành Cohen-Macaulay suy rộng dãy Ký hiệu x, y, z, w ảnh X, Y, Z, W R đặt a1,n = xn−1 y + zn , a2,n = xn , a3,n = yn I M Aberbach-L.Ghezzi-H H Tai Qn = (a1,n , a2,n , a3,n ) có kiểu đa thức tổi thiểu n, nói cách khác có số quy tối thiểu n − Lưu ý rằng, với n ≥ iđêans Qn không iđêan tham số tách lọc Cohen-Macaulay suy rộng Thật giả sử u1 , u2 , u3 hệ tham số tách R lọc Cohen-Macaulay suy rộng  F b11  Qn = (u1 , u2 , u3 ) Khi có ma trận B = b21  b 31 : M = M0 ⊃ M1 ⊃ sao cho a1,n  u1  b12 b13       b22 b23  để B a2,n  = u2       u a b b  32 33 3,n cho det(B) khả nghịch Không tổng quát giả sử u1 M = Do ℓ(R1 /M1 ) < ∞ nên tồn số nguyên m đủ lớn cho um R1 = Lưu ý, R1 = (W)/(W , WZ), um ∈ (W , WZ) : W = (W, Z) Vì vậy, u1 = b11 a1,n + b12 a2,n + b13 a3,n ∈ (W, Z) Dẫn đến b11 (X n−1 Y + Z n ) + b12 X n + b13 Y n ∈ (W, Z) Từ đó, ta có b12 ∈ (Y, Z, W), b13 ∈ (X, Z, W) b11 ∈ (X n , Y n , Z, W) : X n−1 Y ⊆ (X, Y, Z, W) với n ≥ Do đó, det(B) không khả nghịch Vì vậy, Qn không iđêan tham số tách với lọc Cohen-Macaulay suy rộng 13 Chương Về hiệu chỉnh hàm Hilbert-Samuel Cho q iđêan tham số M Xét hàm (biến n) d ad Hq,M (n) n+1 = ℓ(M/q M) − adegi (q; M) i=0 n+i , i adegi (q; M) bậc số học thứ i M iđêan tham số q, gọi hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel M iđêan q Trong chương này, q iđêan tham số tách biệt tồn số nguyên dương n0 đủ lớn ad cho hàm số Hq,M (n) tăng nhận giá trị không âm với n ≥ n0 Hơn nữa, M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, số nguyên n0 tồn độc lập với iđêan hệ tham số tách biệt q 3.1 Bậc số học Trước tiên, cần mở rộng khái niệm lọc chiều sau Ký hiệu 3.3.1 Cho D : M = D0 ⊃ D1 ⊃ ⊃ Dt = Hm0 (M) lọc chiều M Tập lọc F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mt môđun M có độ dài với lọc chiều cho ℓ(Di /Mi ) < ∞ với i = 0, , t ký hiệu F (M) Dễ thấy, F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mt lọc F (M) dim Mi = dim Di = di với i = 0, , t − Việc mở rộng khái niệm lọc chiều cần thiết Vì kỹ thuật chứng minh thường xét môđun M/xM với x phần tử bề mặt cần mối 14 liên hệ lọc F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ M s M F /xM : M/xM ⊃ (M1 + xM)/xM ⊃ ⊃ (Mk−1 + xM)/xM ⊃ M/xM, k = s − dim M s−1 = k = s trường hợp lại Thực tế, với D lọc chiều M nói chung chọn x để D/xM lọc chiều M/xM Trong đó, với lọc F ∈ F (M) chọn phần tử x cho F /xM ∈ F (M/xM) Chú ý 3.1.2 Nếu M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy F (M) tập tất lọc Cohen-Macaulay suy rộng M Định nghĩa 3.1.5 Cho I iđêan m-nguyên sơ R Bậc số học thứ i M iđêan I định nghĩa sau adegi (I; M) = mult M (p)e0 (I; R/p), p∈Ass(M), dim R/p=i mult M (p) độ dài Rp -môđun HpR (Mp ) gọi độ dài bội M p iđêan nguyên tố p Phần lại tiết này, đưa vài tính chất lọc F (M) mối liên hệ với bậc số học 3.2 Hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel ad Từ Vấn đề 2, câu hỏi tự nhiên đặt là: Hàm Hq,M (n) ≥ trường hợp tổng quát không? Trong tiết này, đưa phần trả lời cho câu hỏi với kết sau Định lý 3.2.3 Giả sử R ảnh đồng cấu vành Cohen-Macaulay địa phương Cho F lọc F (M) q iđêan tham số tách biệt M lọc F Khi tồn số n0 đủ lớn cho hàm số d ad (n) Hq,M n+1 = ℓ(M/q M) − adegi (q; M) i=0 n+i i tăng nhận giá trị không âm với n ≥ n0 Lưu ý, số n0 = n0 (q) Định lý 3.2.3 phụ thuộc vào iđêan tham số q Vì vậy, kết ad chưa đủ để giải Vấn đề Dưới đây, hàm Hq,M (n) nhận 15 giá trị âm với n ≥ 0, q không iđêan tách biệt với lọc F ∈ F (M) Nói cách khác điều kiện q hệ tham số tách biệt M lọc F ∈ F (M) Định lý 3.2.3 cần thiết Ví dụ 3.2.5 Cho R = k[[X, Y]] vành chuỗi lũy thừa hình thức trường k Xét R-môđun M = k[[X, Y]] ⊕ (k[[X, Y]]/(Y )) Đặt D1 = k[[X, Y]]/(Y ) Chúng ta thấy M môđun Cohen-Macaulay dãy chiều M ⊃ D1 ⊃ lọc chiều Lấy q = (X, Y) Dễ thấy, q iđêan tham số M Do M/D1 môđun Cohen-Macaulay nên ta có ad Hq,M (n) = ℓ(M/qn+1 M) − e0 (q; M) n+2 n+1 − e0 (q; D1 ) = ℓ(M/(qn+1 M + D1 ) + ℓ(D1 /qn+1 D1 ) − e0 (q; M/D1 ) n+2 − e0 (q; D1 )(n + 1) = ℓ(D1 /qn+1 D1 ) − e0 (q; D1 )(n + 1) ad Hơn nữa, e0 (q; D1 ) = ℓ(D1 /qn+1 D1 ) = 2n + Do đó, Hq,M (n) = −1 với n ≥ Mặt khác, q = (u, v) với u, v hệ tham số tách biệt lọc F : M ⊃ M1 ⊃ cho ℓ(D1 /M1 ) < ∞ tồn ta ma trận cấp cho      a b X  u      c d Y  = v ac − bd khả nghịch Giả sử uM1 = Từ ℓ(D1 /M1 ) < ∞ nên tồn số nguyên n cho un D1 = Kéo theo un ∈ (Y ) hay u = aX + bY ∈ (Y) Do đó, a ∈ (Y) hay u = kY với k = a1 X + b Hơn nữa, từ u.M1 ⊆ (Y ), ta có kYm1 = hY với m1 ∈ M1 Suy km1 ∈ (Y), k (Y) m1 ∈ (Y) Khi đó, M1 ⊆ YR/(Y ) ⊆ D1 mà dim D1 /(YR/(Y )) = mâu thuẫn với ℓ(D1 /M1 ) < ∞ Vì vậy, k = a1 X + b ∈ (Y), kéo theo b ∈ (X, Y) Khi đó, ad − bc ∈ (X, Y) không khả nghịch, vô lý Do q không iđêan tham số tách biệt với lọc F ∈ F (M) 3.3 Tính không âm hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Trong tiết này, nhìn lại kết N T Cường- S Goto-H L Trường (2013) sau Với F ∈ F (M), môđun M Cohen-Macaulay dãy 16 ad Hq,M (n) = với n đủ lớn với iđêan tham số tách q biệt M lọc F Bằng cách tính toán lại số n, có kết sau Mệnh đề 3.3.2 Giả sử R ảnh đồng cấu vành Cohen-Macaulay địa phương Cho F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mt lọc F (M) q iđêan tham số tách biệt M lọc F Gọi D : M = D0 ⊃ D1 ⊃ ⊃ Dt = Hm0 (M) lọc chiều ad M Khi đó, M môđun Cohen-Macaulay dãy Hq,M (n) = với n ≥ n0 = maxi=0, ,t ℓ(Di /Mi ) Khác với Định lý 3.2.3, kết sau cho ta giá trị cụ thể n0 xác định theo r = reg(Gq (M)) I(F , M) Định lý 3.3.5 Cho M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, F lọc CohenMacaulay suy rộng M q iđêan tham số tách biệt M lọc F Đặt r = reg(Gq (M)) Khi đó, d ad Hq,M (n) n = ℓ(M/q M) − i=0 với n ≥ r + n+i adegi (q; M) ≥ i r+d−1 I(F , M) + d d−1 Từ Định lý 3.3.5 Định lý 2.2.6, với M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, đưa chặn cho số n0 = n0 (q) Định lý 3.2.3 Và lời giải cho Vấn đề Định lý 3.3.6 Cho M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy F lọc Cohen-Macaulay suy rộng M Khi đó, tồn số N phụ thuộc vào F ad M cho Hq,M (n) ≥ với iđêan tham số tách biệt q M lọc F số nguyên n ≥ N 17 Chương Hệ số Hilbert môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Chương chia làm tiết Tiết đầu tiên, đưa khái niệm đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel Pad q,M (n) xét tập đa thức hiệu chỉnh PF (M), tập tất đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel, q chạy tập iđêan tham số tách biệt M lọc F Tiếp theo, đưa vài tính chất đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel phát biểu lại kết biết, cần thiết cho tiết sau, thông qua đa thức Tiết dành riêng để chứng minh kết quan trọng sau luận án Định lý Giả sử R ảnh đồng cấu vành Cohen-Macaulay địa phương Khi đó, M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy tập đa thức PD (M) hữu hạn Cụ thể, tiết với M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy đưa chặn hệ số đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel Pad q,M (n) cách dựa vào kết chặn số quy chứng minh Chương tính không âm ad hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel Hq,M (n) có Chương Tiết cuối dành riêng để chứng minh điều kiện đủ Định lý chính, với việc xây dựng tập hợp hệ tham số từ hệ tham số cho trước 18 4.1 Đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel ad Cho q iđêan tham số M Hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel Hq,M (n) đa thức Pad q,M (n) với n ≫ 0, gọi đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel, có dạng d Pad q,M (n) ((−1)i ei (q; M) − adegd−i (q; M)) = i=0 n+d−i d−i Với quy ước bậc đa thức −1 Bậc đa thức xác định sau Mệnh đề 4.1.1 Cho F lọc F (M) q iđêan tham số tách biệt M lọc F Khi deg(Pad q,M (n)) = max{−1, di−1 − | Di−1 /Di không môđun Cohen-Macaulay với i = 1, , t}, D : M = D0 ⊃ D1 ⊃ ⊃ Dt = Hm0 (M) lọc chiều M di = dim Di với i = 0, , t Ký hiệu 4.1.2 Cho F lọc M Khi đó, tập tất đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel Pad q,M (n), q chạy toàn iđêan tham số tách biệt M lọc F , ký hiệu PF (M) Chú ý 4.1.3 (i) PD (M) ⊆ PF (M) với lọc F M (ii) Tập đa thức PF (M) hữu hạn hệ số đa thức Pad q,M (n) bị chặn với iđêan tham số tách biệt q M lọc F Ví dụ tập đa thức PF (M) vô hạn Ví dụ 4.1.6 Cho R = k[[X, Y, Z]] vành chuỗi lũy thừa hình thức trường k Xét R-môđun M = k[[X, Y, Z]] ⊕ (k[[X, Y, Z]]/(Z )) Đặt D1 = k[[X, Y, Z]]/(Z ), ta có dim M = 3, dim D1 = lọc chiều M có dạng M ⊃ D1 ⊃ Dễ dàng kiểm tra M/D1 D1 môđun Cohen-Macaulay Do đó, M môđun Cohen-Macaulay dãy Với m số nguyên dương, dễ thấy q = (X m , Y m , Z) 19 iđêan tham số M Do M/D1 môđun Cohen-Macaulay, ta có n+1 Pad M) − e0 (q; M) q,M (n) = ℓ(M/q n+3 n+2 − e0 (q; D1 ) = ℓ(M/(qn+1 M + D1 )) + ℓ(D1 /qn+1 D1 ) − e0 (q; M/D1 ) = ℓ(D1 /qn+1 D1 ) − e0 (q; D1 ) n+3 n+2 − e0 (q; D1 ) n+2 2 Thực tế e0 (q; D1 ) = 2m2 ℓ(D1 /qn+1 D1 ) = m2 (n + 1)2 Cho nên Pad q,M (n) = −m (n + 1) Thêm vào đó, = e1 (q; M/D1 ) = (−1)e1 (q; M) − e0 (q; D1 ) theo kết L Ghezzi-S Goto-J.Y Hong-K Ozeki-T T Phuong-W V Vasconcelos (2010) Do Pad q,M (n) = e2 (q; M) n+1 − e3 (q; M) với n đủ lớn Hơn nữa, hệ số e2 (q; M) = −m2 Lưu ý, q không hệ tham số tách biệt M (đối với lọc chiều D) Tuy nhiên, q iđêan tham số tách biệt M lọc F : M = M0 ⊃ Do đó, tập đa thức PF (M) vô hạn 4.2 Tính hữu hạn tập đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy ad Phần đầu tiết này, đưa chặn cho hàm Hq,M (n) sau Bổ đề 4.2.1 Cho M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy với lọc Cohen-Macaulay suy rộng F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mt q iđêan tham số tách biệt M lọc F Khi t−1 ad Hq,M (n) ≤ i=0 n + di − I(Mi /Mi+1 ) + ℓ(Mt ) − ℓ(Hm0 (M)) di − với n ≥ Lưu ý | (−1)d ed (q; M) − adeg0 (q; M) |≤| ed (q; M)) | +ℓ(Hm0 (M)) Khi đó, kết sau đưa chặn cho hệ số đa thức Pad q,M (n) thông qua số C = CF Định lý 2.2.6 bất biến I(F , M) 20 Định lý 4.2.3 Cho M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy chiều d ≥ 2, F lọc Cohen-Macaulay suy rộng M q hệ tham số tách biệt M lọc F Khi đó, (1) | e1 (q; M) + adegd−1 (q; M) |≤ I(M/M1 ); (2) | (−1)i ei (q; M) − adegd−i (q; M) |≤ 2i−1 (C + 1)d−1 I(F , M) + d + C + i−1 I(F , M) với ≤ i ≤ d − 1; (3)| ed (q; M) |≤ 2d−1 (C + 1)d−1 I(F , M) + d + C + d−1 I(F , M) Do đó, có kết sau Định lý 4.2.4 Cho M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy F lọc Cohen-Macaulay suy rộng M Khi đó, tập đa thức PF (M) hữu hạn 4.3 Đặc trưng môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy qua hệ số Hilbert Trước hết xét tập hệ tham số sau Ký hiệu 4.3.1 Cho x = x1 , , xd hệ tham số tách biệt M Ký hiệu S(x; M) = {{x1n1 , , xdnd } | ni > xini , , xdnd hệ tham số tách biệt ni−1 M/(x1n1 , , xi−1 )M với i = 1, , d}, với quy ước x0 = nd−1 nd nd−1 nd +k , xd } ∈ S(x; M) {x1n1 , , xd−1 Giả sử d ≥ Khi đó, {x1n1 , , xd−1 , xd } ∈ S(x; M) với số nguyên dương k Do đó, S(x; M) ∅ S(x; M) tập có vô hạn phần tử Bổ đề 4.3.2 Giả sử d = dim M ≥ x = x1 , , xd hệ tham số tách biệt M cho S(x; M) ∅ Lấy {y1 , , yd } ∈ S(x; M) Khi đó, phát biểu sau (i) y1 , , yd d-dãy M (ii) Nếu {z2 , , zd } ∈ S(y2 , , yd ; M/y1 M) {y1 , z2 , , zd } ∈ S(x; M) (iii) Nếu M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy S(x; M) chứa dd-dãy M Cho F : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mt lọc F (M) x1 , , xd 21 hệ tham số tách biệt M lọc F Với d j ≤ k < d j−1 , đặt M i = (Mi + (x1 , , xk )M)/(x1 , , xk )M với i = 0, , t Ký hiệu F /(x1 , , xk )M : M = M ⊃ M ⊃ ⊃ M s = lọc M, s = j k = d j s = j + trường hợp lại Hơn nữa, xk+1 , , xd hệ tham số tách biệt M lọc F /(x1 , , xk )M Bổ đề sau hệ tham số x1 , , xd cho F /(x1 , , xk )M ∈ F (M) Bổ đề 4.3.3 Giả sử R ảnh đồng cấu vành Cohen-Macaulay địa phương Khi tồn hệ tham số tách biệt x = x1 , , xd M cho F /(x1 , , xi )M ∈ F (M/(x1 , , xi )M) với i = 0, , d−1 lọc F ∈ F (M) Hơn nữa, S(x; M) ∅ Với x = x1 , , xd Bổ đề 4.3.3, ta ký hiệu ∧(y; M), ∧ x (M) = y∈S(x;M) ∧(y; M) = {| (−1)i ei (y; M) − adegd−i (y; M) | | với i = 1, , d − 1} Định lý 4.3.6 Giả sử R ảnh đồng cấu vành Cohen-Macaulay địa phương d ≥ Cho D : M = D0 ⊃ D1 ⊃ ⊃ Dt = Hm0 (M) lọc chiều M x = x1 , , xd Bổ đề 4.3.3 Khi đó, ∧ x (M) tập hữu hạn mℓ Hmj (M/Di+1 ) = với j = 1, , di − 1, di ≥ i = 0, , t − 1, ℓ = max ∧ x (M) Từ Định lý 4.3.6, kết hợp với kết N T Cường -Đ T Cường (2007) đặc trưng môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy qua đối đồng điều địa phương, suy M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Kết sau hoàn toàn chứa Định lý luận án Định lý 4.3.7 Giả sử R ảnh đồng cấu vành Cohen-Macaulay địa phương Khi đó, mệnh đề sau tương đương: (i) M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy (ii) Với F ∈ F (M), tập đa thức PF (M) hữu hạn (iii) Tồn F ∈ F (M), tập đa thức PF (M) hữu hạn (iv) Tập đa thức PD (M) hữu hạn 22 Kết luận luận án Kết quan trọng luận án chứng minh định lý sau Định lý Giả sử R ảnh đồng cấu vành Cohen-Macaulay địa phương Khi đó, M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy tập đa thức PD (M) hữu hạn Để chứng minh kết cần thực hai bước sau Với M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy F lọc CohenMacaulay suy rộng M, đưa chặn số quy CastelnuovoMumford cho môđun phân bậc liên kết Gq (M) với iđêan tham số tách biệt M lọc F Với q iđêan tham số tách biệt M tồn số n0 cho hàm hiệu ad chỉnh Hilbert-Samuel Hq,M (n) ≥ với n ≥ n0 Hơn nữa, M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy số n0 độc lập với cách chọn hệ tham số q 23 Danh mục công trình tác giả liên quan đến luận án N T Cuong, N T Long and H L Truong (2015), "Uniform bounds in Sequentially generalized Cohen - Macaulay Modules", Vietnam J Math 43, 343-356 N T Long (2015), "On adjusted Hilbert-Samuel function", Acta Math Vietnamica 40, 463-477 N T Cuong, N T Long and H L Truong, "Hilbert coefficients in sequentially generalized Cohen-Macaulay module", preprint, 19 pp Các kết luận án báo cáo thảo luận - Xêmina Đại số Lý thuyết số-Viện Toán học - Hội nghị nghiên cứu sinh Viện Toán học, 10/2009; 10/2010; 10/2011; 10/2012 - Hội nghị Hình học - Đại số - Tô pô, Thái nguyên, 11/2011 - Hội thảo liên kết Nhật Bản - Việt Nam lần thứ 7, Quy Nhơn, 12/2011 - Hội thảo liên kết Nhật Bản - Việt Nam lần thứ 8, Tuần Châu, 3/2016 24 ... Cho M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy F lọc Cohen-Macaulay suy rộng M Khi đó, tập đa thức PF (M) hữu hạn 4.3 Đặc trưng môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy qua hệ số Hilbert Trước hết xét tập hệ. .. đó, M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy tập đa thức PD (M) hữu hạn Cụ thể, tiết với M môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy đưa chặn hệ số đa thức hiệu chỉnh Hilbert- Samuel Pad q,M (n) cách dựa vào... ⊃ M s môđun M gọi lọc Cohen-Macaulay suy rộng ℓ(M s ) < ∞ Mi /Mi+1 môđun Cohen-Macaulay suy rộng với i = 0, , s − Môđun M gọi Cohen-Macaulay suy rộng dãy M có lọc Cohen-Macaulay suy rộng Chú