Luận văn thạc sĩ xấp xỉ khung gabor đối ngẫu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘI H O À N G T H Ị B ÍC H T H Ủ Y XẤP x ỉ KHUNG GABOR Đ ố i NGẪU LUẬ N VĂN THẠC s ĩ TO Á N HỌC H À N Ộ I, 2015 BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s P H Ạ M H À N Ộ I H O À N G T H Ị B ÍC H T H Ủ Y XẤP x ỉ KHUNG GABOR Đ ố i NGẪU C h u y ê n n g n h : T o n giải t íc h M ã số : 60 46 01 02 LU Ậ N VĂN THẠC s ĩ TO Á N HỌC N g i h n g d ẫ n k h o a học: TS N G U Y Ễ N Q U Ỳ N H N G A H À N Ộ I, 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô giáo T S N g u y ễ n Q u ỳ n h N g a tận tâm truyền thụ kiến thức hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Hà Nội, tháng năm 2015 T ác giả H o n g T h ị B íc h T h ủ y Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng bảo hướng dẫn T S N g u y ễ n Q u ỳ n h N ga Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn, kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2015 T ác giả H o n g T h ị B íc h T h ủ y M uc luc M đầu K iến th ứ c chuẩn bị 1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn không gian H i l b e r t 1.2 Toán tử giả nghịch đ ả o 1.3 Phép biến đổi Fourier phép biến đổi Fourier thòi gian ngắn 10 1.4 Khung sở Riesz không gian H i l b e r t 11 X ấ p xỉ kh un g G ab or đối ngẫu 25 2.1 Khung Gabor L 2(K) 25 2.2 Phương pháp lát cắt hữu h n 31 2.3 Xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu 34 K ết luận Tài liệu th a m khảo 49 50 M đầu Lí chọn đ ề tà i Khái niệm khung đưa vào năm 1952 Duffin Schaeffer [6] họ nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa Tuy nhiên phải đến năm 1986 sau báo Daubechies, Grossmann Meyer [4] khung nhận quan tâm rộng rãi cộng đồng nhà khoa học Khung thường sử dụng xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, nén liệu lý thuyết m ật mã Một khung không gian Hilbert H có tính chất 00 phần tử / G H biểu diễn dạng / = CLifi í= {dị} G /2(N), thường gọi hệ số khung Các hệ số khung không trường hợp sở Một lựa chọn cho hệ số khung ữị = ( / , S'- /ị) s toán tử khung tương ứng với khung xác định 00 s: -> s / :=£/, (1) i=1 Ta có khai triển khung sau 00 í= 00 í= {5'_ 1/ ị } ° ° thường gọi khung đối ngẫu khung Nếu ta có thông tin khung đối ngẫu {*S'_ 1/ ị } 0° theo (2) ta khôi phục lại / Tuy nhiên, thực tế khó tìm toán tử nghịch đảo S _1 s thường tác động không gian vô hạn chiều H Do mong muốn tìm xấp xỉ khung đối ngẫu phương pháp hữu hạn chiều Một khung Gabor L 2(K) khung tạo thành từ hàm g G L 2(K) nhò phép tịnh tiến biến điệu, tức khung {gna mb} €ĩã, gna,mb{t) = e27ĩimbtg(t - na) vdi a, b e K Khung Gabor có tính chất khung đối ngẫu khung Gabor Do khung Gabor đóng vai trò quan trọng xử lí tín hiệu truyền thông kỹ th u ật số nên nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Một vấn đề quan tâm xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu Do tính ứng dụng cao khung Gabor nên hướng dẫn cô giáo TS Nguyễn Quỳnh Nga, định chọn nghiên cứu đề tài “Xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu” để thực luận văn tốt nghiệp M ụ c đích n gh iên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu N h iệm vụ n gh iên cứu Tìm hiểu, trình bày khung Gabor L 2(R), phương pháp lát cắt hữu hạn, xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu Đ ố i tư ợ n g p h ạm vi n gh iên cứu Đối tượng nghiên cứu: khung Gabor, xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu Phạm vi nghiên cứu: kiến thức liên quan đến xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu 5 P h n g pháp n gh iên cứu Sử dụng kiến thức giải tích hàm giải tích Fourier để nghiên cứu vấn đề Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất khung Gabor, xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu D ự kiến đ ó n g góp củ a luận văn Trình bày cách có hệ thống chi tiết xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu Chương K iến thứ c chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại vài khái niệm, kết dùng chương sau Các kết tham khảo từ tài liệu [2], [4], [8] 1.1 Toán tử tu y ế n tín h bị chặn k h ôn g gian H ilb ert Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert K liên tục bị chặn, nghĩa là, tồn số c > cho ||Ta;|| < c | | í e || , với X € H (1.1) Ký hiệu B ( H , K ) tập tấ t toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào K Khi H = K B ( H , K ) ký hiệu đơn giản B ( H ) Chuẩn T € B ( H , K ) định nghĩa số c nhỏ thỏa mãn (1.1) Nói cách tương đương, ||T|| = sup{||Ta:|| : X € H, ||a;|| < 1} = sup {||Ta;|| : a; € i l , || íe|| = 1} M ệ n h đ ề 1 Giả sử H , L, K không gian Hilbert Nếu T € B ( H , K ) tồn phần tử T* G B ( K , H ) cho (T*x, y ) = (X, T y ) , ( x e K , y e H ) Hơn nữa, i) (a S + b T Ỵ = ãS* + bT* li) (R S Ỵ = S*R * Ill) ( T * y = T iv) T = I v) Nếu T khả nghịch T* khả nghịch (T _1)* = (X1*) 1, S , T G B ( H , K ) , R G B ( K , L) a, h G c Toán tử T* Mệnh đề 1.1.1 gọi toán tử liên hợp toán tử T M ệ n h đề 1.1.2 Giả sử T G B ( H , K ) s G B ( K , L ) Khi i) ||Tæ|| < ||T|| ||æ|| ,Væ G H Il) ||ST|| < II5II ||T|| iii) ||T|| = \\T* Il iv) IlTT* Il = ||T ||2 Cho T G B ( H ) T gọi toán tử tự liên hợp T* = T , unita T*T = TT* = I T gọi chuẩn tắc T*T = TT* T gọi dương (ký hiệu T > 0) (T x , x ) > với X G H T, K G B ( H ) , T > K T — K > T gọi xác định dương tồn M > cho (T x , x ) > M ||æ ||2, Væ G H Chú ý với T G B ( H ) ( T * T x , x ) = ( T x , T x ) > với X G H Do T * T dương M ệ n h đề 1.1.3 Giả sử T G B ( H ) Khi i) T tự liên hợp ( T x , x ) thực với X G H Dặc biệt, toán tứ dương tự liên hợp 36 H ệ q u ả 2.3.1 Cho g G L 2(R) a, b > giả sử {gna mb}m n€ĩl khung Gabor Khi khung đối ngẫu có cấu trúc Gabor cho bở%[{S~l g) J Hệ có ý nghĩa quan trọng việc tính toán khung đối ngẫu Thay tính họ vô hạn kép { s -1 E mỊ,Tnag} z , ta cần tìm s ~ l g sau sử dụng toán tử tịnh tiến biến điệu Hàm s ~ l g thường gọi hàm cửa sổ đối ngẫu Từ Hệ 2.3.1 ta suy / L 2(R) biểu diễn Ị ^ ^ (/> 7raa,mỉ>) gna,mb Tl.meZ ^ ^ (/> SVia.mb) rYna,mb ì n,meZ (2 12 ) khung đối ngẫu { na mb} cho lna,mb = e2lĩimb^ (t - n a ) , n , m e Z;a,b e K, với = S ~ 1g Trong ứng dụng công thức = s ~ l g áp dụng trực tiếp cho việc tính toán , liên quan đến phép nghịch đảo toán tử vô hạn chiều Các tài liệu có cung cấp hai phương pháp tính gần phương pháp hữu hạn chiều Cả hai phương pháp xem xét tập hữu hạn {ỡna,mí,}|n|i|m| Ỵb t ŨLA 17 = toán tử giải tích T đươc cho ( 13 ) { { / , n a rm b ) } n l n € Z , toán tử tổng hợp T * cho T* : c e l2{z X z ) ^ T * c = ^ cnmgna!Tnb (2.14) 1,m e Z Toán tử khung s = T*T Ta có S f = T * T f= ^2 (f,9na,mb)gna,mb■ (2.15) 71,771 e Z Từ { S f , f ) = E n,m&z Nếu khung {gnamb} { f n a , m b ) {9 n a , m b i /)= E I(/! 9na,mb n,m&z )I ■ có cận khung tối ưu A, B theo định nghĩa khung ta có A ||/||2 < E l ( / 9„ , mi) |2 < B | | / l | V / e i 2(K) (2.16) 71,771 Ta viết lại (2.16) qua toán tử khung s sau: v / e i 2(f) Nói cách khác, A I < s < B I I toán tử đồng 38 Từ theo Mệnh đề 1.1.5, ||5'|| = sup ( S f , Ị ) = B Do A I < s < B I 11/ 11=1 1 n_ _ nên — I < s ~ l < - - I Do S'-1 = -7- Tỉ số B Ị A = IIS'll S'-1 số B A 11 11 A ' điều kiện toán tử khung Ron Shen ngưòi đưa mối liên hệ tính chất khung cho hàm g tương ứng với dàn {(na, m b ) } m neZ tương ứng với U n m \ì —, — Ị f Mối liên hệ phát biếu định b a ' ' m,n€Z lý sau, gọi nguyên lý đối ngẫu Ron - Shen Đ ị n h lý 2.3.1 Cho g G L 2(R) v a , b > Khi hệ Gabor {gna mb} eZ khung L 2(R) với cận tối ưu A, B {oạ „ sở Riesz cho bao tuyến tính đóng với cận tối ưu abA, abB Toán tử giải tích H tương ứng với { C \ I n với Cl > nên K n dương Theo Mệnh đề 1.1.3, K n tự liên hợp Do K ~ l < — In nên ( K ~ l x , x ) < ~— { x ,x ) , Væ G Tin Theo Mệnh l l ^ n l = sup \ i K n l x ^ ) \ x€Hn II a: 11= 1 / V < sup — { x ,x) x£Hn |x|| = l _ ~c¡' Từ IIp nx - * [HH*] 1y n y G H Ta có -7 (n) H ' \ H H ' ] - ' o - H'n [HnH'n] - l Pnc oo với 43 < H*[HH*]~l - H*n [HH*]~l + H l [ H H r 1 Theo chứng minh phần [HnH*]-1 Pnơ —> Do II7 W — II —> n —> 00 □ Một câu hỏi thú vị đặt liệu ta đưa số dự đoán tốc độ hội tụ phương pháp lát cắt hữu hạn trường hợp cửa sổ g thỏa mãn điều kiện phân rã theo thòi gian và/hoặc tần số Trong định lý sau ta tập trung vào cửa sổ với phân rã theo hàm số mũ miền thòi gian miền tần số Đ ị n h lý 2.3.3 Cho { gnamb} eZ khung Gabor cho L 2(R) giả sứ tồn số c, D > cho \g{t)\ < Ce -A li |g(cj)| < De —A|u| (2.25) Khi tồn X' < X số C' phụ thuộc vào cận khung X', độc lập với n, cho \\j - 7(^11 < C'e~x'n C h ứ n g m in h Đầu tiên ta (2.25) suy phần tử H H* thỏa mãn (2.26) vói Al < A số D 44 Rõ ràng — \(9k'/b,l'/aĩ 9k/b,l/a) I — K 9(k-k')/b,ự-ư)/a) I (2.27) phép biến đổi Fourier thòi gian ngắn g g thỏa mãn J + 00 iv g{9 )){k/b, l / a ) = — - g{x)g ^ e~2lĩix°dx = (g, gk/bJ/a) , k, l e z 00 (2.28) Bây giò J Ị + 00 l(v,(»))(*, w)| = +00 g ( x ) g ( x - t)e~ 2niuxd x < -00 |^(x)| g{x - t) dx —00 + 00 +00 e-x\x\e-x\x-t\d x < c Ị e - X x e~x x- ' dx - ° 21 — 00 — (2.29) 00 với số Ai < A Đặt £ = A — Ai, + 00 / +/* 00 e-*l* 'e- Al1x- i| d x < C e~ —00 —00 +/» 00 c / e~-£ịxịe~XlWd x = C 2c x + 00 / e~£ịxịdx => l(Ví/(ỡ))(í; ^ ) | < c i e Al|í| (2.30) với số C\ phụ thuộc vào AiTương tự |(V9(ỡ))( í , cj)| = \(Vẫg)(u>,-t)\ < £>ie“ AlH (2.31) Kết hợp (2.30) (2.31) lấy bậc hai ta l(Ví (9))(í,w)| < (2.32) 45 Điều với phương trình (2.27) (2.28) suy (2.26) Bây giò ta xét _ -y(n) = \ \ H ^ a - H ị p na\\ + \\H'H*H\P*Ơ - W H H l P ntT\\ < 11^(0- - í » II + ||fft|| (HnH-n - H H'){H „ H :)-'P „ < t < - H ' H nH ị P nữ II < A -1 Lưu ý (H nH * —H H *) ma trận mà có số hữu hạn cột số vô hạn hàng, hàng với số |fc| < n, |ỉ| < n Theo (2.26) phần tử H nỉỉ* hàng khác (H nH * — H H *) phân rã theo hàm số mũ đưòng chéo Ta có c ond(HnH*) < cond(HH*) với n = ,1 , (2.33) cond(A) ký hiệu số điều kiện A định nghĩa cond(A) = ||Ẩ|| IIA ~ l || Từ (2.33) suy tồn A2 số C phụ thuộc vào A2 số điều kiện H H * cho -ll Jfc,í,0,0 < c 2e—A2(I I+ IíI) điều với v (n) := {Hnỉỉ*n - H H * ) [ ( H nH*) (2.34) Bây dễ thấy tồn A' C' cho V(n) E Vkl» < , —A'n (2.35) fc|,|i|>n □ Để đánh giá đầy đủ tính đơn giản ưu điểm phương pháp đề xuất, ta so sánh với phương pháp khác đề xuất cho việc tính toán khung đối ngẫu, đặc biệt khung Gabor đối ngẫu 46 Phương pháp sau thường xuyên đề xuất cho tính toán số khung đối ngẫu Ta mô tả phạm vi cụ thể khung Gabor, khó khăn toán học phát sinh tương tự cho khung tổng quát Ta giả sử khung thừa, tức là, sở Riesz Ta đồng TT* với biểu diễn ma trận Gram (với sở efc I = i ^ k , k ' ì ^1,1')) > *-^0 ^ ( T T ( S n ' a m ' b ! n a , m b ) VƠI Tĩlj ĩ l j Tĩl Ị ĩ l G z Theo (2.15) ta có [...]... tớch Gabor vi lý thuyt khung n h n g h a 2 1 1 Khung Gabor l mt khung trong L 2(R) cú dng {9na,mb}m neZ, trong ú gna,mb{x) := e2imbxg(x - na) vdi a, b > 0 v g G L 2(R) l hm c nh Khung cú dng ny cũn c gi l khung Weyl - Heisenberg Hm g c gi l hm ca s hay l phn t sinh Chỳ ý khi núi v khung Gabor, ta hm ý l khung cho ton b L 2(R), ngha l, ta s khụng lm vic vi cỏc khung cho cỏc khụng gian con H Gabor. .. cho ta vớ d c th v khung Gabor n h lý 2 1 4 Cho a, b > 0 v hm g(x) = e~x2 Khi ú h Gabor {gnamb} l mt khung trong L 2(K) khi v ch khi ab < 1 Ta ký hiờu D c : L 2(K) > L 2(K) xỏc inh bi D cg ( x ) = 1 / x\ ,g ( ) v|c| M n h 2 1 2 Cho g G L 2(M); a , b , c > 0 cho trc; gi s rng {gnamb} l mt khung Gabor Khi ú vi gc := D cg, h Gabor \g c ^ \ l mt khung vi cỏc cn khung ging nh cỏc cn khung t nac 7 J m,nez... khung vi toỏn t khung s vi cỏc cn khung A, B Khi ú ta cú cỏc khng nh sau i) s b chn, kh nghch, t liờn hp v l toỏn t dng ii) { s -1 f k}^_ỡ l khung vi cỏc cn B ~ l , A ~ l Nu A , B l cỏc cn ti u ca thỡ cỏc cn B ~ l , A ~ l l ti u ca {*S'- 1 / f c } ^ 1 Toỏn t khung ca {Ê'- 1/fc} ^ 1 l S'- 1 Khung { s ~ 1fk} c gi l khung i ngu ca {/fc} Khai trin khung di õy l mt trong nhng kt qu v khung quan trng... theo nh lý 1.4.5 ta suy ra iu phi chng minh n h lý 1.4.6 Mt c s Riesz T ú ca H l mt khung ca H vi cỏc cn ti u ca c s Riesz trựng vi cỏc cn khung ti u C s i ngu Riesz l {Ê'- 1/fc} ^ 1 25 Chng 2 X p x khung G abor i ngu Trong chng ny chỳng ta s i sõu vo nghiờn cu mt lp khung cú cu trỳc c bit, ú l khung Gabor Khung Gabor úng vai trũ quan trng trong vic x lý tớn hiu v truyn thụng k thut s Ni dung ca... Bessel ca l mt khung nu 00 3 A > 0 : A ||/ r < Ê K / , / > l 2, v / e f f =1 Vy ta cú nh ngha khung nh sau: n h n g h a 1.4.2 Mt dóy { / 1}! trong H l mt khung nu tn ti hai hng S O 0 < A < B < O Q sao cho 00 A \ \ f \ \ 1 < , \ U J , ) \ 2 < B \ \ f \ \ 2 , V / e H i =1 Cỏc s A , B c gi l cỏc cn ca khung Chỳng khụng l duy nht Cn khung di ti u l supremum trờn t t c cỏc cn khung di v cn khung trờn... thng gi {gna mb} l khung Gabor u Trc tiờn ta tỡm cõu tr li cho cõu hi lm th no cú c khung Gabor {gnamb} li trong L 2(R) Mt trong nhng kt qu c bn nht 27 núi rng tớch s ab quyt inh liờu {gna mb}777* ]77*t V J LA cú th l mụt khung trong L 2{M) hay khụng n h lý 2.1.1 Gi s g G L 2(K) v cho a,b > 0 Khi ú, ta cú i) Nu ab > 1 thỡ {gna,mb}m neZ khụng l khung trong L 2{K) ) Ncu {na,mb^m ^ khung thl ab = 1 &... khung trờn ti u l infimum trờn t t c cỏc cn khung trờn Chỳ ý rng cỏc cn khung ti u l cỏc cn khung thc s Khung { / 1}! c gi l cht nu A = B v c gi l khung Parseval nu A = B = 1 13 M n h 1.4.1 Cho mt dóy chiu V Khi ú trong khụng gian Hilbert hu hn l mt khung cho span C h n g m in h Ta cú th gi s rng khụng phi t t c cỏc f j u bng m khụng Nh vy ta thy, iu kin khung trờn tha món vi B = \\fj\\ =1 Bõy... trong V l mt khung ca V khi v ch khi span { f j } m=1 = V H qu trờn ch ra mt khung cú th cú s phn t nhiu hn s phn t cn thit l c s c bit, nu { f j } k=ỡ l mt khung ca V v { g j } m=ỡ l mt tp hu hn tựy ý cỏc vec t trong V thỡ { f j } k=ỡ u cng l mt khung ca V t w , 'y/3 l V f 3 -1 V ớ d 1.4.1 Ly H = R 2, d = (0,1) , e2 = 1 -y -, , e3 = ớ -y -, - J { e i,e 2,e 3} l mt khung cht vi cn khung l 2 14... ũ(fc' + 1) l/ll2- Nhng khi ú B khụng th l cn khung trờn ca { E mbTnag } m neZ Chng minh tng t thy rng nu iu kin di trong (2.3) b vi phm, thỡ khụng l cn khung di ca { E mbTnag } m neZ c bit hm g to ra khung Gabor { E mbTnag } m neZ phi b chn Chỳ ý rng Mnh 2.1.1 cho mi quan h gia cỏc cn khung v cỏc cn trờn v di ca hm G trong (2.2) iu kin {gnamb} eZ l khung trong L 2(K) c bit n t nm 1988 do Daubechies... trng nht Nú ch ra rng nu {/fc} l mt khung ca H thỡ mi phn t trong H cú th biu din nh mt t hp tuyn tớnh vụ hn ca cỏc phn t khung Do ú ta cú th xem khung nh mt dng c s suy rng 19 n h lý 1.4.2 Gi s { /fc } ^ i l mt khung vi toỏn t khung l s Khi ú 00 f = 'E(,S-h)h, v/e Jẽ, k=1 chui hi t khụng iu kin vi mi f G H C h n g m inh Gi s f ỗ H S dng cỏc tớnh cht ca toỏn t khung trong B 1.4.3 ta cú 00 / = 00