Luận văn xấp xỉ khung gabor đối ngẫu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PH ẠM HÀ NỘI H O À N G T H Ị B ÍC H T H Ủ Y XẤP XỈ KHUNG GABOR Đ ố i NGẪU LU Ậ N VĂN T H Ạ C Sĩ T O Á N H Ọ C H À NỘI, 2015 BỌ GIÀO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G ĐẠ I HỌC s P H Ạ M H À NỘ I H O À N G T H Ị B ÍC H T H Ủ Y XẤP XỈ KHUNG GABOR Đ ố i NGẪU C h u y ê n n g n h : T o n g iả i t í c h M ã số : 60 46 01 02 LU Ậ N VĂN T H Ạ C Sĩ T O Á N H Ọ C N g i h n g d ẫ n k h o a học: TS N G U Y Ễ N Q U Ỳ N H N G A H À NỘI, 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô giáo T S N g u y ễ n Q u ỳ n h N g a tận tâm truyền thụ kiến thức hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Hà Nội, thấng năm 2015 T ác giả H o n g T h ị B ích T h ủ y Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng bảo hướng dẫn T S N g u y ễ n Q u ỳ n h N g a Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn, kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, thấng năm 2015 T ác giả H o n g T h ị B ích T h ủ y M ục lục M đầu K iế n th ứ c c h u ẩ n b ị 1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn không gian H i l b e r t 1.2 Toán tử giả nghịch đ ả o 1.3 Phép biến đổi Fourier phép biến đổi Fourier thời gian ngắn 10 1.4 Khung sở Riesz không gian H i l b e r t 11 X ấ p xỉ k h u n g G a b o r đ ối n g ẫ u 25 2.1 Khung Gabor L ( R ) 25 2.2 Phương pháp lát cắt hữu h n .31 2.3 Xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu K ế t lu ậ n T ài liệu t h a m k h ả o 34 49 50 M đầu Lí chọn đề tài Khái niệm khung đưa vào năm 1952 Duffin Schaeffer [6] họ nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa Tuy nhiên phải đến năm 1986 sau báo Daubechies, Grossmann Meyer [4] khung nhận quan tâm rộng rãi cộng đồng nhà khoa học Khung thường sử dụng xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, nén liệu lý thuyết mật mã Một khung không gian Hilbert H có tính chất 00 phần tử / E H biểu diễn dạng / = aifi i= { s ~ i i= i=1 {S'_ 1/ i } ° l thường gọi khung đối ngẫu khung (2) Nếu ta có thông tin khung đối ngẫu {*S'_ 1/ j }°^1 theo ( 2) ta khôi phục lại / Tuy nhiên, thực tế khó tìm toán tử nghịch đảo s s thường tác động không gian vô hạn chiều H Do mong muốn tìm xấp xỉ khung đối ngẫu phương pháp hữu hạn chiều Một khung Gabor L (R) khung tạo thành từ hàm g £ L 2(R) nhờ phép tịnh tiến biến điệu, tức khung {gna mị,} z, gna,mb(t) = e 2*imhtg(t - na) với fl, e l Khung Gabor có tính chất khung đối ngẫu khung Gabor Do khung Gabor đóng vai trò quan trọng xử lí tín hiệu truyền thông kỹ thuật số nên nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Một vấn đề quan tâm xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu Do tính ứng dụng cao khung Gabor nên hướng dẫn cô giáo TS Nguyễn Quỳnh Nga, định chọn nghiên cứu đề tài “Xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu” để thực luận văn tốt nghiệp M ục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu N h iệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu, trình bày khung Gabor L 2(R), phương pháp lát cắt hữu hạn, xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu Đ ối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: khung Gabor, xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu Phạm vi nghiên cứu: kiến thức liên quan đến xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu 5 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức giải tích hàm giải tích Fourier để nghiên cứu vấn đề Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất khung Gabor, xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu D ự kiến đóng góp luận văn Trình bày cách có hệ thống chi tiết xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu Chương K iến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại vài khái niệm, kết dùng chương sau Các kết tham khảo từ tài liệu [2], [4], [8] 1.1 Toán tử tu yến tín h bị chặn không gian H ilbert Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert K liên tục bị chặn, nghĩa là, tồn số c > cho ||Tíc|| < c ||íc|| , với X £ H (1-1) Ký hiệu B ( H , K ) tập tấ t toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào K Khi H = K B ( H , K ) ký hiệu đơn giản B ( H ) Chuẩn T £ B ( H , K ) định nghĩa số c nhỏ thỏa mãn (1.1) Nói cách tương đương, ||T|| = sup{||Tíc|| : X e H, ||íc|| < 1} = sup{||Tíc|| : X e H, ||íc|| = 1} M ệ n h đ ề 1.1.1 Giả sứ H , L, K ỉà không gian Hilbert Nếu T E В ( н , к ) tồn phần tứ T* £ B ( K , H ) cho (T*x,y) = ( x , T y ) , ( x e K , y e H ) Hơn nứa, i) (aS + ьту = ãS* + ÒT* ii) (RSỴ = S*R* Ui) (T*Ỵ = T iv) Г = I v) Nếu T khả nghịch T* khả nghịch (T -1 )* = (T*) 1, S , T £ B ( H , K ) , R e B ( K , L) a,b £ c Toán tử T* Mệnh đề 1.1.1 gọi toán tử liên hợp toán tử T M ệ n h đ ề 1.1.2 Giả s T G B ( H , K ) s G B ( K , L ) Khi ỉ) \\Tx\\ < ||T|| M , V a ; G H a) ||ST|| < ||S|| ||T|| ш л т | = ||т*|| iv) ||TT*|| = ||T ||2 Cho T G B ( H ) T gọi toán tử tự liên hợp T* = T, unita T*T = TT* = I T gọi chuẩn tắc T*T = TT* T gọi dương (ký hiệu T > 0) { T x , x ) > với X £ H T , K £ B ( H ) , T > К T — К > T gọi xác định dương tồn M > cho ( T x , x ) > M ||íc||2, Víc G H Chú ý với T G B ( H ) ( T * T x ,x ) = ( T x , T x ) > với X £ H Do T * T dương M ệ n h đ ề 1.1.3 Giả s T G B ( H ) Khi ỉ) T ỉà tự liên hợp { T x , x ) thực với X £ H Đặc biệt, toán tứ dương tự liên hợp 36 H ệ q u ả 2.3.1 Cho g e L (R) a, b > giả sứ { na,mb}mneZ khung Gabor Khỉ khung đối ngẫu có cấu trúc Gabor cho Hệ có ý nghĩa quan trọng việc tính toán khung đối ngẫu Thay tính họ vô hạn kép {s~l EmiTnag} z , ta cần tìm s ~ xg sau sử dụng toán tử tịnh tiến biến điệu Hàm S ~ ỉ g thường gọi hàm cửa sổ đối ngẫu Từ Hệ 2.3.1 ta suy / L 2(R) biểu diễn khung đối ngẫu {7 na mb} cho lna,mh = e 27rimhi ( t - n a ), n, m £ Z; a, € R, với = S ~ ỉ g Trong ứng dụng công thức = s~xg áp dụng trực tiếp cho việc tính toán , liên quan đến phép nghịch đảo toán tử vô hạn chiều Các tài liệu có cung cấp hai phương pháp tính gần phương pháp hữu hạn chiều Cả hai phương pháp xem xét tập hữu hạn {gnữ,mb}ịnịĩịmị C \ I n với C\ > nên K n dương Theo Mệnh đề 1.1.3, K n tự liên hợp Do Ä "“ < — In nên ( к ~ гх , х ) < — ( x , x ) , VíC G Tin- Theo Mệnh Cl С1 đề 1.1.5, К " II = sup к * » 1®.®)! ÆGHn \\x 11= 1 / Л < sup ^ r { x , x ) x e H n 1^1 | | æ || = _ “ 1 ỠT‘ Từ ||P„I - z[...]... minh Từ đó □ Đ ịn h lý 1.4.6 Một cơ sở Riesz {fk}^Li của H ỉà một khung của H với các cận tối ưu của cơ sở Riesz trùng với các cận khung tối ưu Cơ sở đối ngẫu Riesz là {*S'_ 1/fc} ^ 1 25 Chương 2 X ấp xỉ khung G abor đối ngẫu Trong chương này chúng ta sẽ đi sâu vào nghiên cứu một lớp khung có cấu trúc đặc biệt, đó là khung Gabor Khung Gabor đóng vai trò quan trọng trong việc xử lý tín hiệu và truyền... {/jfe}fcLi ỉà một khung với toán tử khung s với các cận khung A , B Khỉ đó ta có các khẳng định sau ỉ) s bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và ỉà toán tứ dương, ii) {S' 1f k } ^ =ỉ là khung với các cận B 1, A 1 Nếu A, B ỉà các cận tối ưu của {fk}^Li thì các cận ỉà tối ưu của {*S'_ 1/ f c } ^ 1 Toán tứ khung của {*S'_ 1/fc}^_1 là »S'- 1 Khung {-S-1/*} được gọi là khung đối ngẫu của {fk}Khai triển khung dưới... hiện ý tưởng kết hợp giải tích Gabor với lý thuyết khung Đ ịn h n g h ĩa 2.1.1 Khung Gabor là một khung trong L 2(R ) có dạng {gna,mb}mneZ, trong đó gna,mb(x) := e 27rimhxg(x - na) với a, ò > 0 và g £ L 2(®) là hàm cố định Khung có dạng này còn được gọi là khung Weyl - Heisenberg Hàm g được gọi là hàm cửa sổ hay là phần tử sinh Chú ý khi nói về khung Gabor, ta hàm ý là khung cho toàn bộ L 2 (R), nghĩa... a,b > 0 và hàm g{x) = e~x2 Khi đóhệ Gabor { 9 патъ} là một khung trong L 2(R) khi và chỉ khi ab < 1 Ta ký hiêu D c : L 2 (M.) —> L 2(R) xác đinh bởi D cg(x) = M ệ n h đ ề 2 1 2 Cho g £ L 2 (R); a ,b ,c > Ì 9 namb} -,— g( —ì vM 0 cho trước; giả sử rằng Ẽ% là một khung Gabor Khi đó với gc := D cg, hệ Gabor |ớ c mb} là một khung với các cận khung giống như các cận khung ^ Ö Tfl ỉấĨ của { 9 na,mb}m... tối ưu là supremum trên tấ t cả các cận khung dưới và cận khung trên tối ưu là infimum trên tấ t cả các cận khung trên Chú ý rằng các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự Khung nếu Ả = B = 1 được gọi là chặt nếu Ả = B và được gọi là khung Parseval 13 M ệ n h đ ề 1.4.1 Cho một dãy chiều V Khỉ đó trong không gian Hilbert hữu hạn là một khung cho span C h ứ n g m in h Ta có thể giả sử rằng không... chuẩn {e2' iHx- n)Xiữ,i]{x - n ) } k€Z = {e2' iixXiữ,i]{x - n ) } k€Z Từ đó L 2(R) có cơ sở trực chuẩn là hệ Gabor { ^ ’ “ "xio.n ( x - n ) } n M Z = { g n, t } n M z trong đó g = X[0,1]Bây giờ chúng ta chuyển sang nghiên cứu phương pháp lát cắt hữu hạn, một công cụ để ta tìm xấp xỉ khung Gabor đối ngẫu Nội dung của mục 2.2 được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo [3], [7] 2.2 Phương pháp lát cắt hữu hạn... là một khung nếu 00 3A > 0 : A ||/||2 < ^ |{/> / i ) |2 ) V / G i/ i=1 Vậy ta có định nghĩa khung như sau: Đ ịn h n g h ĩa 1.4.2 Một dãy { /í} ^ ! trong H là một khung nếu tồn tại hai hằng số 0 < A < B < o o sao cho 00 A\ịf\ \ 2 < E l U , / i ) l 2< -B ||/ll2, v / i—1 6 if Các số A, B được gọi là các cận của khung Chúng không là duy nhất Cận khung dưới tối ưu là supremum trên tấ t cả các cận khung. .. ta sẽ không làm việc với các khung cho các không gian con Hê Gabor ị g na mỉ,} * V 5 J Ỵ f ịj YL C íL i chỉ bao gồm các tinh tiến với tham số na, n £ z và biến điệu với tham số mồ, m £ z Điểm { ( n a ì m b)}m neZ tạo thành một dàn trong ® 2 và vì lý do này thường gọi {gna m&} eZ là khung Gabor đều Trước tiên ta tìm câu trả lời cho câu hỏi làm thế nào để có được khung Gabor {gnamb} ei trong L 2 (R)... B không thể là cận khung trên của { E mỊ)Tnag }m neZ Chứng minh tương tự thấy rằng nếu điều kiện dưới trong (2.3) bị vi phạm, thì Ả không là cận khung dưới của { E mbTnag }m neZ □ Đặc biệt hàm g tạo ra khung Gabor { E mỊ)Tnag }m neZ phải bị chặn Chú ý rằng Mệnh đề 2.1.1 cho mối quan hệ giữa các cận khung và các cận trên và dưới của hàm G trong ( 2.2) Điều kiện đủ để {gnamb} ei là khung trong L 2 (M.)... của {fk}Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quan trọng nhất Nó chỉ ra rằng nếu { fk } là một khung của H thì mọi phần tử trong H có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử khung Do đó ta có thể xem khung như một dạng cơ sở suy rộng 19 Đ ịn h lý 1.4.2 Giả sứ {/fc}^! là một khung với toán tứ khung ỉà AS' Khi đó 00 V/ e f = T , { f , s - 1h ) h , H, k=l