Xấp xỉ euler maruyama cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không bị chặn tuyến tính

BỌ GIAO DỤ C VẢ ĐÁO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PH ẠM HÀ NỘI B Ù I THỊ N H U N G XẤP x ỉ EULER-MARUYAMA CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PH Â N NGẪU NHIÊN VỚI HỆ SỐ KHÔNG BỊ CHẶN TUYẾN TÍNH • LU Ậ N VĂN TH ẠC Sĩ TO Á N HỌC Hà Nội - 2015 • • BỌ GIAO DỤC VẢ ĐÁO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘI B Ù I THỊ N H U N G XẤP x ỉ EULER-MARUYAMA CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PH Â N NGẪU NHIÊN VỚI HỆ SỐ KHÔNG BỊ CHẶN TUYẾN TÍNH • • C huyên ngành: Toán ứ n g dụng M ã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC Sĩ TO ÁN HỌC N gười hư n g d ẫ n k h o a học: T S N G Ô H O À N G L O N G Hà Nội - 2015 • Lời cảm ơn Luận văn hoàn th n h với lòng tri ân sâu sắc m kính gửi đến thầy cô, bạn đồng khóa gia đình th â n thương Trước tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến T S N g ô H o n g L o n g , người th ầy định hướng chọn đề tài, trực tiếp tậ n tìn h hướng dẫn giúp đỡ hoàn th n h luận văn Tôi xin chân th n h cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán thầy cô trường Đại học Sư P h ạm Hà Nội nhiệt tình giúp đỡ, giảng dạy, tạo điều kiện tố t n h ấ t cho thời gian học tập trường Tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến bố mẹ - người sinh th àn h, nuôi dưỡng tạo điều kiện học tậ p tố t n h ất cho Cuối cùng, xin chân th n h cảm ơn b ạn đồng khóa cao học K17 - đợt (2013-2015) nói chung chuyên ngành Toán ứng dụng nói riêng giúp đỡ, động viên hoàn th n h luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Học viên Bùi Thị N Lời cam đoan Luận văn hoàn th n h trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn T S N g ô H o n g L o n g Tôi xin cam đoan luận văn công trìn h nghiên cứu riêng Trong trìn h nghiên cứu hoàn th n h luận văn kế th a th n h khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trâ n trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Học viên Bùi Thị N 2.3.2 2.3.3 2.3.4 T ính bi chăn momen nghiêm Chứng m inh kết Tốc độ hội tụ Số h ó a m ô p h ỏ n g t r ê n m y tín h 3.1 Mô hình chuyển đông Brown hình lOC 3.1.1 Mô quỹ đạo chuyển động Brown hình học 3.1.2 X ấ p x ỉ E [ X i | 2l 3.1.3 C’oHfi Ma,tla,hl 3.2 Mô hình G inzburg - Landau 3.2.1 Mô quỹ đạo nghiệm phương trìn h Ginzburg _ Ijfl.nna.ni ■ ■ ■ ■ 3.2.2 Xấp xỉ E [|X i|2ì 3.2.3 Code Matla.hl 3.3 Đ ánh giá kết mô 45 50 50 50 50 54 55 55 58 58 60 K ế t lu ận 61 T i liệ u t h a m k h ả o 62 Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết trìn h ngẫu nhiên với thời gian liên tục có bước p h át triển đột p h nhờ nghiên cứu tiên phong N Wiener, A Kolmogorov, p Levy, K Itô Một lớp trìn h ngẫu nhiên thời gian liên tục quan trọng n h ất xác định thông qua phương trìn h vi phân ngẫu nhiên dạng f dXt = ịi(Xt)dt + ( X t)dWt, ^ Xq = t >0 X, với w chuyển động Brown tích p hân dWt hiểu tích p hân ngẫu nhiên Itô Trong ứng dụng thực tế mô hình trên, vấn đề cần giải thường đưa toán xác định kì vọng m ột phiếm hàm X Do p hần lớn phương trìn h vi ph ân ngẫu nhiên giải nghiệm m ột cách tường minh, việc xấp xỉ nghiệm cần thiết Một phương pháp xấp xỉ đơn giản rấ t hiệu sử dụng rộng rãi thực tế phương pháp Euler-M aruyam a: Ta chia đoạn [0,T] th n h n kT _ đoạn điểm chia tk = —— = k A , k = ,n Dãy xấp xỉ x n xác n định K = XL , = K + p (X "J A + " (*.",) - W ,J Nếu ụ, th ỏ a m ãn điều kiện Lipschitz to àn cục người t a chứng minh tồn số Cp không phụ thuộc vào n cho < Ọp — E sup p_ ĩ n2 L k tức lược đồ Euler-M aruyam a hội tụ theo nghĩa m ạnh với tốc độ nữa, ta có n Hơn với hàm / đủ trơn với số dương c không phụ thuộc vào n Khi t a nói lược đồ Euler hội tụ yếu với tốc độ Việc xác định tốc độ hội tụ m ạnh yếu phép xấp xỉ Euler-M aruyam a trường hợp hệ số ịi không th ỏ a m ãn điều kiện Lipschitz to àn cục đến chưa tr ả lời m ột cách triệt để G ần đây, tác giả H utzenthalerJentzen-K loeden ỊHJ hệ số /i không bị chặn tuyến tính, lược đồ Euler-M aruyam a không hội tụ theo nghĩa mạnh Các tác giả với Sabanis |Ị6j giới thiệu m ột cải tiến phương pháp Euler-M aruyam a để xấp xỉ nghiệm phương trìn h vi p h ân ngẫu nhiên có dạng Với mong muốn tìm hiểu sâu thêm phương pháp xấp xỉ Euler-M aruyam a cho phương trìn h vi p hân ngẫu nhiên với hệ số không th ỏ a m ãn điều kiện Lipschitz, lựa chọn đề tài nghiên cứu: “X ấ p x ỉ E u l e r - M a r u y a m a ch o p h n g t r ì n h v i p h â n n g ẫ u n h i ê n vớ i h ệ số k h ô n g b ị c h ặ n t u y ế n t í n h ” cho luận văn th ạc sĩ Luận văn gồm có chương Chương I trìn h bày số kiến thức chuẩn bị giải tích ngẫu nhiên Tài liệu th am khảo chương Mao Ị5ị| Chương II trìn h bày phép xấp xỉ Euler-M aruyam a Mục 2.1 trìn h bày phép xấp xỉ Euler-M aruyam a cho phương trìn h vi ph ân ngẫu nhiên với hệ số Lipschitz to àn cục (tham khảo từ [5] [T]) Mục 2.2 chứng m inh p h ân kỳ phép xấp xỉ Euler-M aruyam a áp dụng phương trình vi p hân ngẫu nhiên có hệ số tăn g tuyến tín h (tham khảo từ báo H utzenthaler cộng (3Ị) Mục 2.3 trìn h bày phương pháp Euler-M aruyam a khống chế áp dụng cho phương trìn h với hệ số tăn g tuyến tính (tham khảo từ báo Sabanis |Ị6j) Chương III luận văn tậ p tru n g vào việc nghiên cứu kết lược đồ dạng Euler-M aruyam a phương pháp mô dựa ph ần mềm M atlab Chúng tậ p tru n g vào hai mô hình chuyển động Brown hình học mô hình G inzburg-Landau ngẫu nhiên M ục đích nghiên cứu • Xác định tính ph ân kỳ lược đồ Euler-M aruyam a cổ điển cho lớp phương trìn h vi p h ân ngẫu nhiên không th ỏ a m ãn điều kiện Lipschitz toàn cục • Xây dựng phương pháp Euler-M aruyam a cải tiến cho phương trìn h vi phân ngẫu nhiên với hệ số tăn g tuyến tính N hiệm vụ nghiên cứu • Hệ thống kiến thức phép tín h vi p hân ngẫu nhiên Itô phương trìn h vi ph ân ngẫu nhiên • Nghiên cứu tín h p hân kỳ lược đồ Euler-M aruyam a cholớp trìn h vi p hân ngẫu nhiên không th ỏ a m ãn điều kiện Lipschitz toàn phương cục • Xây dựng phương pháp Euler-M aruyam a cải tiến cho phương trìn h vi phân ngẫu nhiên với hệ số tăn g tuyến tính • Mô th u ậ t to án xấp xỉ máy tính Đ ối tượng phạm vi nghiên cứu • Phương trìn h vi ph ân ngẫu nhiên • Phương ph áp giải số phương trìn h vi p hân ngẫu nhiên Đ óng góp đề tài Luận văn làm rõ hội tụ theo nghĩa m ạnh phương pháp xấp xỉ nghiệm phương trìn h vi p hân ngẫu nhiên Luận văn xây dựng chương trìn h mô phép xấp xỉ máy tính Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu lý thuyết • Nghiên cứu thực nghiệm mô máy tính Chương K iến thức chuẩn bị 1.1 Không gian xác suất 1.1.1 Đ ịn h nghĩa không gian xác suất Đ ị n h n g h ĩ a 1.1 Cho íì khác rỗng Họ A tập íì gọi đại số th ỏ a m ãn điều kiện sau i 0,Í2 € A\ ii B e Ả th ì n \B = B c e Ả-, iii A, B € A Nếu đại số A th ỏ a m ãn thêm điều kiện 00 00 i i i \ (An)n>! c A fl A n e A , u A n e A th ì A gọi m ột ơ-đại số n= n= Đ ị n h n g h ĩ a 1.2 Cho íì = R n c họ t ấ t tậ p mở R n ổ ( R n) = ơ(C) (là (T-đại số bé n h ất chứa c Í2) gọi ơ-đại số Borel R Đ ị n h n g h ĩ a 1.3 Cho Í2 khác rỗng, A (T-đại số Í2 th ì (Í2,^4) gọi m ột không gian đo Đ ị n h n g h ĩ a 1.4 Giả sử không gian đo, p : A —> [0,1] th ỏ a m ãn i P(Í2) = 1; ii V(Ẩn)n>i c A cho Ai n Aj = 0, Vi Ỷ j- Ta có Khi (Í2,.A,P) không gian xấc suất M ệ n h đ ề 1.1 i P(0) = 0; ii Nếu A , B € А, А п В = $ ¥ ( A u B ) = Р(Л) + Р(Я); iii Nếu А с В Р(Л) < P (ß ) M ệ n h đ ề 1.2 (Tính liên tục độ đo xác suất) Giả sử (Í2,.Ẩ) m ộ t không gian đo p : А —> [0,1] ỉà hữu hạn cộng tính, nghĩa ỉà P ( i u ß ) = P(Ẩ) + P(-B), VA, В € A P(f2) = Khi khẳng định sau tương đương i p ơ-cộng tính; ii Nếu (An) с Л, Ai с A с , и A n = A n> p (A) = lim Р(Л„); T í— V 00 iii Nếu A n с Л, Ai D A D fì A n = Ả n> p (A) = lim p (An) n—ỳ00 1.1.2 B iến ngẫu n hiên hàm phân phối Đ ị n h n g h ĩ a 1.5 Giả sử (Í2, л , P) m ột không gian xác suất Ánh xạ X : íì —> R gọi biến ngẫu nhiên (viết t ắ t bnn) X ~ l {A) = {w : x(w) € a } € A, VA € B(R) Đ ị n h n g h ĩ a 1.6 Giả sử X bnn xác định không gian xác suất (Í2,.A,P) Đ ặt a{X) = { x ~ l {A), A Ổ(R)}, th ì (X ) (T-đại số Ta gọi (X ) ơ-đại số sinh X Đ ị n h n g h ĩ a 1.7 Nếu T (T-đại số Л Ta nói X ^ - đ o X L l (A) € T , VA £ Ổ(R) Đ ị n h lý 1.1 Giả sử X Y hai bnn, Y đo với (X ) tằn hàm đo f : R —» R cho Y = f ( X ) Đ ị n h n g h ĩ a 1.8 Hàm p h ân phối X Fx {x) = Ỹ [ X < X] với = | ( x ( s ) - X „ ( « „ ( s ) ) ) ^ (s,X (s )) - ( » , x n ( « „ ( » ) ) ) ) + + (* (» ) + ( x n (/in (s)) - x n(s)) ^ ò (s,X (s )) - òn ( s , x n (/ín ( s ) ) ) ^ | l [ e Nghiệm phương trìn h Xị - x exp(r]t + ỡW t) = Y + 2xq\ J0 exp(2ĩỊS + 2ỡ W s)ds với t e [0, T] Sau t a cố định x = Tj = A = cho ỡ = ã = 3.2.1 M ô p h ỏn g quỹ đạo ngh iệm phương trìn h G inzburgLandau Các hình 3.5 |3.8 |3.8 mô quỹ đạo trìn h X đoạn [0,1] Đường liền nét giá trị X xấp xỉ dựa vào đẳng thức (3.2) Lưu ý phương trìn h G inzburg-Landau giải nghiệm dạng hiển ta vẽ xác quỹ đạo X nghiệm có chứa tích phân, t a phải xấp xỉ tích p hân công thức hình thang Đường gạch — mô t ả giá trị xấp xỉ X lược đồ Euler-M aruyam a Đường chấm chấm • • • mô t ả giá trị xấp xỉ X b ỏ ỉ lược đồ Euler-M aruyam a khống chế, số điểm chia đoạn [0,1] n = 27 hình 3.5, 3.7[ n = 210 hình 55 Hình 3.5: n = 27, = Hình 3.6: n = 210, = 56 Hình 3.7: n = 27, [...]... kiện Lipshitz địa phương và điều kiện đều tức là x Tf ( x , t ) + ]-\g(x,t)\2 < k ( 1 + |z |2), thì phương trình (1.4) cũng có nghiệm duy nhất 28 Chương 2 X ấp xỉ Euler- M aruyam a cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không bị chặn tu yến tính 2.1 Phương pháp xấp xỉ Euler- M aruyam a cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số Lipschitz toàn cục Xét phương trìn h vi ph ân ngẫu nhiên Xt = x ta... ;tQ,Ệ) th ì từ phương trìn h (1.5) t a có với mọi s £ [to,T], (t) = z(s) + / I f ( x ( u ) , u ) ả u + Ị g(x(u),u)ảB(u) với s < t < T ì : ( 1 6 ) M ặt khác, (1.6) lại là một phương trìn h vi p h ân ngẫu nhiên trên đoạn [s,T] với giá trị b an đầu là a:(s) = x(s;to,Ệ) Kí hiệu nghiệm của phương trìn h vi phân ngẫu nhiên (1.6) bởi x(t\s,x(s-,tQ,Ệ)) Khi đó, nếu phương trìn h vi p h ân ngẫu nhiên (1.4) và... Xị — f [s')ắBg Thi X ị co phan phoi chViãĩi J\f ( ° ' í 1.4 / 2(s)ds < + 0 0 Dặt ỉ 2(s)dsj Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.4.1 Đ ịn h nghĩa phương trìn h v i phân ngẫu nhiên • Giả sử (Í2, là không gian xác suất đầy đủ với họ lọc { J i} i>0 th ỏ a m ãn điều kiện thông thường • B(t) = B 2 (t) , , B m(t))T , t > 0 là chuyển động Brown m chiều xác định trên không gian (Í2,^ j P ) , B t là ^í-đ o... + | i | 2) (1,9) Khi đó phương trình vi phân (1.4) có nghiệm duy nhất thỏa mãn E a:(s)2ds < oo, í +_ - J (1,10) trong đó tính “duy nh ất” hiểu theo nghĩa: Nếu x ( t ) cũng là nghiệm của phương trình (1.4) thì p [z (i) = x(t), Vi € [to,T] = 1 D ể chứng minh định lý ta xét bổ đề sau B ổ đ ề 1.1 Giả sử điều kiện tăng tuyến tính (jl-9h được thỏa mẫn và x ( t) là nghiệm của phương trình (1.4) thì E sup |a:(í)|... íì — » R sao cho / i là F t - â o được và hầu chắc c h ắ n ị Ta có M 2 c V 2 Bằng cách xét dãy quá trìn h dừng, t a cũng có thể định nghĩa được tích p hân ngẫu nhiên cho quá trìn h ngẫu nhiên thuộc V Tuy nhiên tích ph ân trên V 2 không còn giữ được tín h chất đẳng cự 1.3.2 C ông th ứ c v i phân Itô Đ ị n h n g h ĩ a 1.24 Giả sử a(t,w ) và b(t,w) là hai quá trìn h ngẫu nhiên tương thích với lọc Tị và... ấ t cả các tậ p Ả c íì sao cho Ả c B e T và P ( 5 ) = 0 Ta sẽ luôn giả sử rằng t ấ t cả các không gian xác suất với lọc được đề cập đến trong luận văn này đều th ỏ a m ãn điều kiện thông thường Đ ị n h n g h ĩ a 1.15 Họ (x t)tei các bnn nhận giá trị trên É 6* được gọi là một quá trình ngẫu nhiên (vi t t ắ t là qtnn) với tậ p chỉ số I và không gian trạn g th ái Ká Tập chỉ số I thường là nửa đường th... gọi là quá trình x t = Xq+ +00 hầu chắc chắn /í* a ( s ) d s + /í* Ỏ(s)d5s (Xo là ^o-đo được) được Itô Ta vi t dXt = a(t)dt + b(t)dBt (1.3) Đ ị n h lý 1 13 Cho F : [0, T\ X R —> R thuộc không gian c 1,2 Giả sử (X ị ) teịQTỊ là quá trình Itô cho bởi công thức (|1.3ịỊ Dặt Yị = F ( t , X ị ) thì dYt = dF dF 1 F dF dt + b (t)^—( t , X t)dBị OX M ệ n h đ ề 1 13 Cho hàm số f : [0,T] —» R sao cho í Xị —... 30 ị g(x (r), r ) d 5 ( r ) L « Sử dụng điều kiện tăn g tuyến tín h và Bổ đề 2.1 ta có E [\xn(t) - Zn(s)|2] < 2K(t - s + 1) ị (l + E [ |f n (r)|2]) dr J s < 4K{1 + ơ i)( i - s) = 4c 2{t - s) □ Đ ị n h lý 2.1 Với điều kiện Lipschitz và điều kiện tăng tuyến tính, x ( t ) là nghiệm duy nhất của phương trình (2.1) và x n (t) là nghiệm xấp xỉ Euler- Maruyama thì sup Ix n(t) - z(i)| E c3 = trong đó Lío 0} T t là (T-đại số. .. [|ầ(r)|2] ^ ds ta< r< s ) Áp dụng b ất đẳng thức Gronwall t a có 1 + sup E [ |f n (r)|2] < (l + 3E [|rc0|2] ) e3ií:(í“ ío)(T“ ío+1), Vi0 < t < T t a < t< T □ BỔ đ ề 2.2 Với điều kiện tăng tuyến tính (1.9) nghiệm xấp xỉ Euler- Maruyama x n(t) thỏa mẫn E [^ „(í) —a:n(s)|2] < c*2 (í —s), với t() < s < t < T, t — s < 1 trong đó c *2 = AK{1 + Ci), C\ xác định như trong bổ đề trên Chứng minh Ta có x n (t) - x n (s)