Giải số phương trình vi phân đại số bằng phương pháp đa bước

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ HẢI DUNG GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐA BƯỚC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TSKH VŨ HOÀNG LINH Hà Nội - 2014 Mục lục Mục lục i Lời nói đầu Lời cảm ơn iii v Giới thiệu 1.1 Phương trình vi phân đại số 1.1.1 Phương trình vi phân đại số số 1.1.2 Phương trình vi phân đại số số cao 1.2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân 1.2.1 Điều kiện ổn định phương pháp đa bước 1.2.2 Một số phương pháp đa bước cụ thể Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số số 2.1 Sự hội tụ phương pháp đa bước 2.2 Một số phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số 2.2.1 Phương pháp Euler ẩn 2.2.2 Phương pháp BDF 2.3 Thử nghiệm số 1 5 19 19 25 25 27 27 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số số 30 3.1 Sự tồn lời giải số 31 3.2 3.3 Ảnh hưởng nhiễu Sai số địa phương Sự hội tụ phương pháp BDF i 33 35 MỤC LỤC 3.3.1 Sai số địa phương 3.3.2 Sự hội tụ BDF 3.4 Phương pháp đa bước tổng quát 3.5 Giải hệ phương trình phi tuyến 3.6 Thử nghiệm số Kết luận Tài liệu tham khảo Phụ lục ii phép lặp Newton 35 35 39 42 43 46 47 48 Lời nói đầu Phương trình vi phân thường nghiên cứu từ lâu, lý thuyết phương trình vi phân ẩn, có phương trình vi phân đại số, quan tâm mạnh mẽ vòng 30 năm trở lại Phương trình vi phân đại số toán đặt không chỉnh, có nhiều điểm đặc biệt mà ta tìm thấy phương trình vi phân thường Ví dụ ma trận hệ số ma trận suy biến, tồn nghiệm phụ thuộc vào vế phải, , khiến việc nghiên cứu vấn đề định tính giải số phương trình vi phân đại số trở nên phức tạp nhiều so với phương trình vi phân thường Phương trình vi phân đại số có nhiều ứng dụng rộng rãi, chúng mô hệ động lực có ràng buộc, chẳng hạn hệ học, hệ mạch điện, hệ kỹ thuật hóa học, lý thuyết điều khiển, động lực học chất lỏng nhiều lĩnh vực khác Động thái chuyển động đối tượng vật lý thường mô hình hóa qua hệ phương trình vi phân Nhưng trạng thái hệ thống vật lý chịu số ràng buộc (về vị trí, lượng, ) hạn chế mô tả phương trình (ràng buộc) đại số Những hệ bao gồm phương trình vi phân phương trình đại số, gọi hệ phương trình vi phân đại số Khái niệm số sử dụng lý thuyết phương trình vi phân đại số để đo độ phức tạp phương trình vi phân đại số phương trình vi phân thường Chỉ số số nguyên không âm, cung cấp thông tin hữu ích cấu trúc toán học phức tạp việc phân tích hệ phương trình vi phân đại số Trong luận văn này, trình bày số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân số phương trình vi phân số 2, cụ thể phương pháp Euler ẩn phương pháp BDF k bước Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: iii MỤC LỤC Chương 1: Giới thiệu Trình bày phương trình vi phân đại số số phương trình vi phân đại số số cao Trình bày số phương pháp đa bước cụ thể giải phương trình vi phân điều kiện ổn định phương pháp đa bước Chương 2: Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số số Trình bày dạng tổng quát phương trình vi phân đại số số 1, phương pháp đa bước áp dụng cho toán, hội tụ toán nhiễu suy biến Lấy ví dụ minh họa thử nghiệm số Chương 3: Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số số Trình bày dạng tổng quát phương trình vi phân đại số số 2, phương pháp đa bước áp dụng cho toán, ảnh hưởng nhiễu, hội tụ phương pháp BDF phương pháp đa bước nói chung Lấy ví dụ minh họa thử nghiệm số iv Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học toàn thể thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, giảng dạy tận tình tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành tốt luận văn Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo PGS.TS Vũ Hoàng Linh, người trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo suốt trình học tập thực luận văn Nhân dịp này, xin cảm ơn gia đình ủng hộ động viên suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn tất bạn, anh, chị, em lớp cao học Toán khóa 2010 - 2012 khóa 2011 - 2013 tận tình giúp đỡ động viên trình học tập Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2014 Học viên Nguyễn Thị Hải Dung Chương Giới thiệu 1.1 1.1.1 Phương trình vi phân đại số Phương trình vi phân đại số số Xét phương trình εz + (z − 1)z + z = (1.1) Ta thay đồng thức εz + (z − 1)z = d z3 εz + ( − z) dx :=y vào (1.1), ta có y = −z =: f (y, z), εz = y − ( z3 − z) =: g(y, z) (1.2) Đặt ε = (1.2) ta toán đơn giản y = −z =: f (y, z), z3 = y − ( − z) =: g(y, z) (1.3) Trong việc giải (1.2) không đơn giản (1.3) dễ dàng giải y = −z = (z − 1)z , Chương Giới thiệu từ suy ln |z| − z2 = x + C Phương trình (1.3) gọi phương trình vi phân đại số Ta thấy, phương trình vi phân đại số kết hợp phương trình vi phân phương trình đại số 1.1.2 Phương trình vi phân đại số số cao Dạng tổng quát phương trình vi phân đại số phương trình vi phân ẩn F (x, u, u ) = 0, (1.4) u : R → Rm lời giải, F : R × Rm × Rm → Rm hàm số, suy biến ∂F ∂u Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân đại số (1.4) có số vi phân d = m m số nhỏ vi phân F (u , u) = 0, dm F (u , u) dF (u , u) = 0, , = 0, dx dxm (1.5) cho từ phương trình (1.5) rút hệ phương trình vi phân thường u = ϕ(u) Hệ số Xét phương trình vi phân đại số y = f (y, z), (1.6) = g(y, z) (1.7) (không có z ) Ta lấy đạo hàm (1.7), thu gy (y, z)f (y, z) + gz (y, z)z = 0, suy −1 z = −gz (y, z).gy (y, z)f (y, z), Chương Giới thiệu gz khả nghịch lân cận lời giải Vì toán (1.6), (1.7) có số vi phân gz khả nghịch Hệ số Xét phương trình vi phân đại số y = f (y, z), (1.8) = g(y) (1.9) Trong z mặt ràng buộc đại số Lấy đạo hàm (1.9) ta thu "ràng buộc ẩn" = gy (y)f (y, z) (1.10) Nếu gy (y)fz (y, z) khả nghịch lân cận lời giải phương trình (1.8), (1.10) phương trình số Lấy vi phân phương trình (1.10) cho ta phương trình vi phân z, phương trình (1.8), (1.9) phương trình vi phân số Nếu giá trị ban đầu thỏa mãn = g(y0 ) = gy (y0 )f (y0 , z0 ) ta gọi chúng "tương thích" Chỉ trường hợp này, phương trình (1.8) (1.9) có lời giải địa phương Chỉ số nhiễu Quan niệm thứ hai số, giải thích số tiêu chuẩn (đơn vị đo) độ nhạy cảm lời giải nhiễu toán cho trước Định nghĩa 1.2 Phương trình (1.4) có số nhiễu p = m dọc theo lời giải u(x) [0, x), m số nguyên nhỏ cho lời giải u(x) phương trình có nhiễu F (x, u, u ) = δ(x), (1.11) tồn [0, x) có đánh giá u(x) − u(x) ≤ C u(0) − u(0) + max δ(ξ) + + max δ (m−1) (ξ) 0≤ξ≤x 0≤ξ≤x (1.12) với biểu thức vế phải đủ nhỏ, C số , Chương Giới thiệu Hệ số Để tính toán số nhiễu phương trình (1.6), (1.7), ta xét hệ bị nhiễu y = f (y, z) + δ1 (x), (1.13) = g(y, z) + δ2 (x) (1.14) Ta thấy hiệu z −z đánh giá nhờ định lý hàm ẩn mà không cần đạo hàm lời giải Vì gz khả nghịch, từ phương trình (1.14), (1.7), ta có z(x) − z(x) ≤ C1 ( y(x) − y(x) + δ2 (x) ) , (1.15) với vế phải (1.15) đủ nhỏ Trừ (1.13) cho (1.6), lấy tích phân từ → x, sử dụng điều kiện Lipschitz cho f ước lượng cho z(x)−z(x) cho ta e(x) = y(x) − y(x) thỏa mãn x x e(x) ≤ e(0) + C2 e(t)dt + C3 x δ2 (t) dt + 0 δ1 (t)dt Trong ước lượng này, lấy chuẩn phần tích phân cho δ2 , phần tích phân cho δ1 Điều trường hợp nhiễu phương trình đại số (1.7) quan trọng nhiễu phương trình vi phân (1.6) Cuối ta áp dụng Bổ đề Gronwall ξ x y(x) − y(x) ≤ C4 ( y(0) − y(0) + δ2 (t) dt + max 0≤ξ≤x δ1 (t)dt ) ≤ C5 ( y(0) − y(0) + max δ2 (ξ) + max δ1 (ξ) ) 0≤ξ≤x 0≤ξ≤x Bất đẳng thức với bất đẳng thức (1.15) số nhiễu toán Hệ số Xét nhiễu phương trình (1.8), (1.9) sau: y = f (y, z) + δ(x), (1.16) Tài liệu tham khảo Phạm Kỳ Anh, 2008,Giải tích số, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội E Hairer, S P Norsett, G Wanner (1993), Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems, Springer-Verlag, second edition E Hairer, S P Norsett, G Wanner (1991), Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems, Springer-Verlag, second revised edition J.C.Butcher (2003), Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, The Uninversity of Auckland, New Zealand, Wiley Publishers Linda R.Petzold, UriM.Ascher (1997), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations L Shampine, M W Reichelt (1997), The MATLAB ODE Suite W Wasow (1965),Asymptotic expansions for ordinary differential equations, Interscience, John Wiley and Sons, New York 64c