Giải số phương trình vi phân đại số bằng phương pháp đa bước

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ HẢI DUNG GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐA BƯỚC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán ứng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ HẢI DUNG

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ

BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐA BƯỚC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TSKH VŨ HOÀNG LINH

Hà Nội - 2014

Mục lục

Mục lục i

Lời nói đầu iii Lời cảm ơn v

1 Giới thiệu 1 1.1 Phương trình vi phân đại số 1

1.1.1 Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 1

1.1.2 Phương trình vi phân đại số chỉ số cao 2

1.2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân 5

1.2.1 Điều kiện ổn định của phương pháp đa bước 5

1.2.2 Một số phương pháp đa bước cụ thể 6

2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1 19 2.1 Sự hội tụ của phương pháp đa bước 19

2.2 Một số phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số 25

2.2.1 Phương pháp Euler ẩn 25

2.2.2 Phương pháp BDF 27

2.3 Thử nghiệm số 27

3 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 2 30 3.1 Sự tồn tại duy nhất của lời giải số 31

3.2 Ảnh hưởng của nhiễu 33

3.3 Sai số địa phương Sự hội tụ của phương pháp BDF 35

i

MỤC LỤC

3.3.1 Sai số địa phương 35

3.3.2 Sự hội tụ của BDF 35

3.4 Phương pháp đa bước tổng quát 39

3.5 Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phép lặp Newton 42 3.6 Thử nghiệm số 43

Kết luận 46

Tài liệu tham khảo 47

Phụ lục 48

Lời nói đầu

Phương trình vi phân thường đã được nghiên cứu từ lâu, trong khi đó lý thuyết phương trình vi phân ẩn, trong đó có phương trình vi phân đại số, chỉ mới được quan tâm mạnh mẽ trong vòng 30 năm trở lại đây Phương trình vi phân đại số là bài toán đặt không chỉnh, vì vậy

có rất nhiều điểm đặc biệt mà ta không thể tìm thấy ở phương trình vi phân thường Ví dụ như ma trận hệ số là ma trận suy biến, sự tồn tại và duy nhất nghiệm phụ thuộc vào vế phải, , khiến việc nghiên cứu những vấn đề định tính cũng như giải số phương trình vi phân đại số trở nên phức tạp hơn nhiều so với phương trình vi phân thường

Phương trình vi phân đại số có nhiều ứng dụng rộng rãi, chúng

mô phỏng các hệ động lực có ràng buộc, chẳng hạn như hệ cơ học, hệ mạch điện, hệ kỹ thuật hóa học, lý thuyết điều khiển, động lực học chất lỏng và nhiều lĩnh vực khác Động thái chuyển động của một đối tượng vật lý thường được mô hình hóa qua hệ phương trình vi phân Nhưng nếu các trạng thái của hệ thống vật lý chịu một số ràng buộc (về vị trí, năng lượng, ) thì các hạn chế đó được mô tả bởi các phương trình (ràng buộc) đại số Những hệ như vậy bao gồm các phương trình vi phân và phương trình đại số, được gọi là hệ phương trình vi phân đại số

Khái niệm chỉ số được sử dụng trong lý thuyết phương trình vi phân đại số để đo độ phức tạp của một phương trình vi phân đại số đối với phương trình vi phân thường Chỉ số là một số nguyên không âm, cung cấp thông tin hữu ích về cấu trúc toán học và sự phức tạp trong việc phân tích hệ phương trình vi phân đại số

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân chỉ số 1 và phương trình vi phân chỉ số

2, cụ thể là phương pháp Euler ẩn và phương pháp BDF k bước Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành

ba chương:

iii

MỤC LỤC

Chương 1: Giới thiệu

Trình bày phương trình vi phân đại số chỉ số 1 và phương trình vi phân đại số chỉ số cao Trình bày một số phương pháp đa bước cụ thể giải phương trình vi phân và điều kiện ổn định của phương pháp đa bước Chương 2: Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1

Trình bày dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số chỉ số 1, phương pháp đa bước áp dụng cho bài toán, sự hội tụ của bài toán nhiễu suy biến Lấy ví dụ minh họa và thử nghiệm số

Chương 3: Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 2

Trình bày dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số chỉ số 2, phương pháp đa bước áp dụng cho bài toán, ảnh hưởng của nhiễu, sự hội tụ của phương pháp BDF và phương pháp đa bước nói chung Lấy

ví dụ minh họa và thử nghiệm số

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học cùng toàn thể các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, đã giảng dạy tận tình

và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt luận văn

Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo PGS.TS

Vũ Hoàng Linh, người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi trong suốt quá trình tôi học tập và thực hiện luận văn

Nhân dịp này, tôi cũng xin cảm ơn gia đình đã luôn ủng hộ và động viên trong suốt thời gian tôi học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn tất cả các bạn, các anh, các chị, em trong lớp cao học Toán khóa 2010 - 2012 và khóa 2011 - 2013 đã tận tình giúp

đỡ và động viên tôi trong quá trình học tập

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2014

Học viên

Nguyễn Thị Hải Dung

Chương 1

Giới thiệu

1.1.1 Phương trình vi phân đại số chỉ số 1

Xét phương trình

εz00+ (z2 − 1)z0 + z = 0 (1.1)

Ta thay đồng nhất thức

εz00+ (z2 − 1)z0 = d

dx



εz0 + (z

3

3 − z)



:=y

vào (1.1), ta có

y0 = −z =: f (y, z),

εz0 = y − (z33 − z) =: g(y, z) (1.2) Đặt ε = 0 trong (1.2) ta được một bài toán đơn giản

y0 = −z =: f (y, z),

0 = y − (z33 − z) =: g(y, z) (1.3) Trong khi việc giải (1.2) không đơn giản thì (1.3) dễ dàng giải được

y0 = −z = (z2 − 1)z0,

Chương 1 Giới thiệu

từ đó suy ra ln |z| − z22 = x + C

Phương trình (1.3) được gọi là phương trình vi phân đại số Ta có thể thấy, phương trình vi phân đại số là sự kết hợp giữa phương trình

vi phân và phương trình đại số

1.1.2 Phương trình vi phân đại số chỉ số cao

Dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số là phương trình vi phân ẩn

trong đó u : R → Rm là lời giải, F : R × Rm× Rm

→ Rm là hàm số, ∂F∂u0

suy biến

Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân đại số (1.4) có chỉ số vi phân

d = m nếu m là số nhỏ nhất của các vi phân

F (u0, u) = 0, dF (u

0, u)

dx = 0, ,

dmF (u0, u)

sao cho từ phương trình (1.5) chúng ta rút ra được hệ phương trình vi phân thường u0 = ϕ(u)

Hệ chỉ số 1 Xét phương trình vi phân đại số

(không có z0) Ta lấy đạo hàm (1.7), thu được

gy(y, z)f (y, z) + gz(y, z)z0 = 0, suy ra

z0 = −gz−1(y, z).gy(y, z)f (y, z),

2

Chương 1 Giới thiệu

nếu gz là khả nghịch trong lân cận của lời giải

Vì vậy bài toán (1.6), (1.7) có chỉ số vi phân là 1 nếu gz khả nghịch

Hệ chỉ số 2 Xét phương trình vi phân đại số

Trong đó z không có mặt trong ràng buộc đại số Lấy đạo hàm (1.9)

ta thu được "ràng buộc ẩn"

Nếu gy(y)fz(y, z) khả nghịch trong lân cận của lời giải thì phương

trình (1.8), (1.10) là phương trình chỉ số 1 Lấy vi phân phương trình

(1.10) cho ta phương trình vi phân của z, vì thế phương trình (1.8), (1.9)

là phương trình vi phân chỉ số 2 Nếu giá trị ban đầu thỏa mãn 0 = g(y0)

và 0 = gy(y0)f (y0, z0) thì ta gọi chúng là "tương thích" Chỉ trong trường

hợp này, phương trình (1.8) và (1.9) có lời giải duy nhất địa phương

Chỉ số nhiễu

Quan niệm thứ hai về chỉ số, giải thích chỉ số như là tiêu chuẩn (đơn

vị đo) về độ nhạy cảm của lời giải đối với nhiễu của bài toán cho trước

Định nghĩa 1.2 Phương trình (1.4) có chỉ số nhiễu p = m dọc theo lời

giải u(x) trên [0, x), nếu m là số nguyên nhỏ nhất sao cho mọi lời giải

b

u(x) của phương trình có nhiễu

F (x,u,b ub0) = δ(x), (1.11) tồn tại trên [0, x) và có đánh giá

kbu(x) − u(x)k ≤ C



kbu(0) − u(0)k + max

0≤ξ≤xkδ(ξ)k + + max

0≤ξ≤x δ(m−1)(ξ)

 , (1.12)

với biểu thức vế phải là đủ nhỏ, C là hằng số

Chương 1 Giới thiệu

Hệ chỉ số 1 Để tính toán chỉ số nhiễu của phương trình (1.6), (1.7), ta xét hệ bị nhiễu

b

y0 = f (y,b bz) + δ1(x), (1.13)

0 = g(y,b z) + δb 2(x) (1.14)

Ta thấy hiệu bz −z có thể được đánh giá nhờ định lý hàm ẩn mà không cần bất kỳ đạo hàm nào của lời giải Vì gz là khả nghịch, từ phương trình (1.14), (1.7), ta có

kz(x) − z(x)k ≤ Cb 1(ky(x) − y(x)k + kδb 2(x)k) , (1.15) với vế phải của (1.15) là đủ nhỏ

Trừ (1.13) cho (1.6), lấy tích phân từ 0 → x, sử dụng điều kiện Lips-chitz cho f và ước lượng trên choz(x)−z(x) cho ta e(x) = kb y(x) − y(x)kb thỏa mãn

e(x) ≤ e(0) + C2

x

Z

0

e(t)dt + C3

x

Z

0

kδ2(t)k dt +

x

Z

0

δ1(t)dt

Trong ước lượng này, lấy chuẩn phần trong tích phân cho δ2, phần ngoài tích phân cho δ1 Điều này là đúng trong trường hợp nhiễu của phương trình đại số (1.7) quan trọng hơn nhiễu của phương trình vi phân (1.6) Cuối cùng ta áp dụng Bổ đề Gronwall

ky(x) − y(x)k ≤ Cb 4(ky(0) − y(0)k +b

x

R

0

kδ2(t)k dt + max

0≤ξ≤x

ξ

R

0

δ1(t)dt )

≤ C5(ky(0) − y(0)k + maxb

0≤ξ≤xkδ2(ξ)k + max

0≤ξ≤xkδ1(ξ)k) Bất đẳng thức này cùng với bất đẳng thức (1.15) chỉ ra chỉ số nhiễu của bài toán là 1

Hệ chỉ số 2 Xét nhiễu của phương trình (1.8), (1.9) như sau:

b

y0 = f (y,b bz) + δ(x), (1.16)

4

Tài liệu tham khảo

1 Phạm Kỳ Anh, 2008,Giải tích số, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội

2 E Hairer, S P Norsett, G Wanner (1993), Solving Ordinary Dif-ferential Equations I: Nonstiff Problems, Springer-Verlag, second edition

3 E Hairer, S P Norsett, G Wanner (1991), Solving Ordinary Dif-ferential Equations II: Stiff and DifDif-ferential-Algebraic Problems, Springer-Verlag, second revised edition

4 J.C.Butcher (2003), Numerical Methods for Ordinary Differential Equa-tions, The Uninversity of Auckland, New Zealand, Wiley Publishers

5 Linda R.Petzold, UriM.Ascher (1997), Computer Methods for Ordi-nary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations

6 L Shampine, M W Reichelt (1997), The MATLAB ODE Suite

7 W Wasow (1965),Asymptotic expansions for ordinary differential equations, Interscience, John Wiley and Sons, New York 64c