Phương trình vi phân đại số (2).pdf

Phương trình vi phân đại số (2).pdf

1.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng 7

1.3 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình đại số 10

1.4 Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phương trình vi phân đại số 13

Chương II Bán kinh ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số hằng 15

2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số 15

2.2 Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số 24

Chương III Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động 34

3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên 35 3.2 Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định 37

MỞ ĐẦU

Từ cuối thế kỷ XIX nhiều nhà khoa học đã quan tâm tìm lời giải cho bài toán ổn định của chuyển động Ở thời điểm đó, người ta đã đưa ra nhiều định nghĩa khác nhau về khái niệm này, chẳng hạn như định nghĩa của A.Poincaré, V.Rumyantsev, Chỉ từ khi A.M Lyapunov (1857-1918) công

bố công trình “Bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động” vào năm 1892 ở Nga và dịch sang tiếng Pháp (Problème général de la stabilité du

mouvement) năm 1907, lý thuyết ổn định mới được nghiên cứu một cách có

hệ thống và trở thành một bộ phận quan trọng trong lý thuyết định tính phương trình vi phân Kể từ đó, lý thuyết ổn định đã được nhiều nhà khoa học trên khắp thế giới quan tâm nghiên cứu Đến nay, đã hơn một thế kỷ trôi qua, lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu sôi nổi và đã thu được nhiều thành tựu rực rỡ, sâu sắc, như: vật lý, khoa học kỹ thuật công nghệ, sinh thái học, Lyapunov đã giải quyết bài toán ổn định bằng cả hai phương pháp, đó là phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (còn gọi là phương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất của Lyapunov) và phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi là phương pháp thứ hai của Lyapunov)

Vào những năm 70 của thế kỷ trước, một số bài toán có liên quan đến phương trình vi phân dạng:

 t '( ) +  t ( ) 0

ở đó, A    , B  C I L ,  Rn , :x I Rn, I a,, a là hằng số,

 

detA t   0 tI Đây chính là một dạng đặc biệt của phương trình vi phân

đại số (differential algebraic equation-DAE) Ngay sau đó, loại phương trình

vi phân này được nhiều nhà toán học đi sâu nghiên cứu Để nghiên cứu DAE người ta thường làm như sau: phân rã chúng nhờ các phép chiếu để được một

cũng còn một vài phương pháp khác Đến nay người ta cũng đã tìm ra khá nhiều kết quả cho phương trình vi phân đại số tương tự như ở phương trình vi phân thường chẳng hạn như lý thuyết Floquet, tính ổn định tiệm cận của nghiệm của phương trình với ma trận hệ số hằng

Trong hơn hai thập kỷ qua, từ khái niệm bán kính ổn định mà D.Hinrichsen và A.J.Pritchard đưa ra, hai ông đã hình thành một hướng nghiên cứu mới là nghiên cứu tính ổn định vững của các hệ động lực dựa trên khái niệm bán kính ổn định Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự chú ý và tâm huyết của nhiều nhà toán học vì tính hiệu quả và tính thời sự của nó cũng như những ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật Nhóm tác giả Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh đã nghiên cứu sự ổn định của hệ phương trình vi phân đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời gian và đưa ra công thức bán

kính ổn định trong bài báo “Stability radii for linear time - varying

differential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations”

được đăng tải trên JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, June 2006

Đây là bài báo cơ sở để thực hiện luận văn này

Luận văn gồm 61 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, gồm có ba chương:

Chương I: Một số khái niệm về hệ phương trình vi phân đại số Chương này trình bày các kiến thức cơ sở để sử dụng trong các chương sau

Chương II: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số hằng Chương này trình bày bài toán tính bán kính ổn định cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng Ax t'( ) -Bx t( )0 trong đó

A, B là các ma trận thực, detA0.

Chương III: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động Chương này nghiên cứu về hệ các phương trình vi phân đại số tuyến tính biến đổi theo thời gian có dạng:

Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp để luận văn được hoàn thiện hơn

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008

Học viên cao học

Lưu Thị Thu Hoài

i) Cho P là phép chiếu Khi đó, ta có: KerPImP n

ii) Mỗi phân tích n  UV tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao cho imP = U và KerP = V, khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V Đặt Q:=I – P thì Q cũng là một phép chiếu và là phép chiếu lên V dọc theo U

Định nghĩa 1.1.3 (Chỉ số của ma trận)

AL  Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma trận A, ký hiệu là

indA, nếu đó là số nhỏ nhất mà KerAk KerAk1

imA KerA imA KerA  với k indA

Định nghĩa 1.1.5 Cho A B, L n Cặp ma trận (A,B) được gọi là chính

quy nếu  c  sao cho detcA B 0

Định nghĩa 1.1.6 Cho cặp ma trận (A,B) chính quy, c là số mà

Q cAB  Khi đó, QA và QB là giao hoán được

Định lý 1.1.9 Giả sử cặp ma trận (A,B) là chính quy, chỉ số k và

 

3) Cặp (A,B) chính quy và degP = rankA với P(z):=det(zA+B)

4) Cặp (A,B+AW) chính quy và ind(A,B+AW) = 1 với mọi  n

WL  5) G:=A+BQ không suy biến với Q là phép chiếu lên KerA

6) Với S:xn:BxImA thì SKerA n

7) Bằng cách nhân với ma trận không suy biến thích hợp  n

EL 

AEA  

   

   

  rankArankA1, ta nhận được ma trận

1.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng

     

 2 , 3 , 9 

Xét hệ phương trình vi phân dạng:    

 , , '  0

trong đó: :x I  , nI a,   F I:  D n  n

Định nghĩa 1.2.1 Hệ phương trình vi phân (1.2.1) được gọi là hệ phương

trình vi phân đại số (DAE’s) nếu hàm F thoả mãn '    

Người ta có thể phân lớp các hệ phương trình vi phân đại số nhờ khái niệm chỉ số của các hệ phương trình vi phân loại này

Tiếp theo ta đề cập đến khái niệm chỉ số của hệ phương trình vi phân đại số ([3], [9])

Xét hệ phương trình vi phân đại số dạng:    

 , , '  0

trong đó: :x I  , nI a;   , F I:  D n  n

t x y, , F t x y , , 

F t x y F t x P t y F t x sy s P t y Q t yds hay F t x y , , F t x P t y , ,  

Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 2 trên I khi

và chỉ khi    

  



    

Ax t Bx t q t (1.3.1) trong đó: :x I  , nA B, L n , detA0, q  C I ,Rn

1.3.1 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1

Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 1 Gọi Q là phép chiếu lên KerA ,

: n

P  IQ Khi đó, AQ = 0 QP = 0

A = AIn = A(P + Q) = AP = AP +BQP = (A + BQ)P = A1P

B = BIn = B( Q+ P) = BQ+BP = AQ +BQ+BP = (AQ + BQQ) + BP = (A+BQ)Q + BP = A1Q + BP

( )( )

trong đó ( ) là hệ phương trình vi phân thường, còn ( ) là hệ phương trình đại số

Đặc biệt, khi q t 0 ta được hệ:

( ')0

1.3.2 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 2

Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 2 Khi đó detA1  0, detA2 0.Xét vế trái của (1.3.1) ta có:

Đặc biệt, khi q t 0 ta nhận được hệ:

w QP A Buv

 

1.4 Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phương trình vi phân đại số

Rõ ràng, hệ (1.4.1) có nghiệm tầm thường x t 0

1.4.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1

Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 1 và KerA t  trơn Gọi Q t  là phép chiếu khả vi liên tục lên KerA t , đặt P t : InQ t 

Ký hiệu x t t x ; ,00là nghiệm của (1.4.1) thoả mãn điều kiện đầu

đều tồn tại số   t0,0 sao cho nếu x0n thoả mãn P t 0 x0  thì

x t t x e  với mọi tt0

1.4.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 2

Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 2 và KerA t  trơn Các phép chiếu P t ,

2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số

Xét phương trình Ax t'( ) -Bx t( )0 (2.1.1) trong đó

xA BK  K hoặc), det A = 0, cặp ( , )A B là chính quy chỉ

số k ≥ 1 Ta biết rằng khi đó, tồn tại các ma trận W, T, khả nghịch, sao cho

m r

10 0 0

p pi

'-0, 0,

y tB y tz t

trong đó y t Kr,z t Km r .

Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm tầm thường x0của (2.1.1) được gọi là ổn định

tiệm cận mũ nếu có một phép chiếuPL K m và các hằng số dương ,csao cho bài toán giá trị ban đầu (IVP):

có nghiệm x t duy nhất, thoả mãn

Nếu ind (A, B) =1 ta chọn P = Im – Q, trong đó Q là phép chiếu lên

KerA dọc theo S z:Bz ImA.

Ký hiệu A B, là phổ của cặp {A,B}, nghĩa là A B,  là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình detA B 0

Trường hợp A = Im,ta viết  B thay cho I Bm, 

Ta biết rằng, hệ (2.1.1) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọi giá trị riêng hữu hạn của cặp {A, B} nằm hoàn toàn trong nửa mặt phẳng phức trái

     1

y tB y tUz tz t

x t c Px e  t

(xem[9]) Nếu A B, =  thì (2.1.1) có duy nhất nghiệm x 0 vì khi đó với

mọi s ta có

detsA BdetW.detsIrBdetsUIm r detT 0

Như vậy, ta phải có r = 0 tức là phương trình (2.1.4) không có trong hệ Vì vậy, (2.1.1) tương đương (2.1.5) và chỉ có nghiệm x = 0 Trong trường hợp

này, ta quy ước (2.1.1) là ổn định tiệm cận với P = 0, Q = Im

Bán kính ổn định phức với nhiễm cấu trúc

Như trong trường hợp phương trình vi phân thường, ta cố định cặp ma trận ổn định tiệm cận {A,B} Giả sử EKm p ; FKq m cố định, ta xét hệ có nhiễu:

trong đó Kp q Ma trận E F được gọi là ma trận nhiễu cấu trúc

Kí hiệu: V K   Kp q sao cho hệ (2.1.6) là không chính quy hoặc không ổn định tiệm cận}

Nghĩa là, V Klà tập các nhiếu “xấu”

Kí hiệu dK inf : V K, trong đó là một chuẩn ma trận tương thích với chuẩn vectơ, thông thường chuẩn Euclide được sử dụng Ta

gọi dK là bán kính ổn định có cấu trúc của bộ bốn ma trận {A , B, E , F}

Nếu K ta gọi d là bán kính ổn định phức, còn nếu K ta gọi



Lấy V  bất kỳ, khi đó xảy ra hai trường hợp:

(i) CặpA B E F,    là chính quy Ta lấy tuỳ ý một giá trị

s A B E F  , sao cho Res ≥ 0 Giả sử rằng x0 là một vectơ riêng

tương ứng với giá trị riêng s, tức là sA B E Fx

     0 Điều này tương đương với  1

Với mỗi >0, ta tìm giá trị s0 sao cho 

Khi đó tồn tại u p: u 1 và G s u 0  G s 0 Theo một hệ quả của định lý Hahn-Banach, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính y xác định trên *

G s 

G s 

  Hơn nữa, từ G s u 0 u ta nhận được E G s u  0 Eu0 Đặt  1

x s A B  Eu, khi đó

s A B x0   Eu Vậy E Fx s A B x0   , hay là s A B E F x0     0 Điều đó có nghĩa là, s0A B E F,   , hoặc cặp A B E F,    không chính quy Do đó, hệ

Để ý rằng, hàm G s là hàm giải tích trên nửa mặt phẳng   Do đó theo nguyên lý cực đại, G s  đạt cực đại tại s hoặc trên biên i

Vậy,

   1sup

s i

  

 

G s không đạt được giá trị lớn nhất trên  thì không có một ma trận 

nào thoả mãn điều kiện  dvà hệ Ax t'( ) -B E F x t   ( )0 là không ổn định tiệm cận

Thật vậy, giả sử ngược lại, có một ma trận  như thế Lấys0A B E F,     và x là vectơ riêng của nó, nghĩa là,

Hơn nữa, giả sử snsao cho sn   và  

Giả sử n tương ứng vớis được xây dựng như trên, khi đó hệ n

n    )

Vì tập hợp các ma trận  sao cho cặp A B E F,   có chỉ số 1 là mở nên ta suy ra chỉ số của A B E,  0Fphải lớn hơn 1

Bây giờ, ta xét một trường hợp đặc biệt, trong đó E FIm(nhiễu không cấu trúc) Như đã thấy, bán kính ổn định với nhiễu không cấu trúc là

Ta chứng minh rằng, nếu ind A B ,  k 1, thì ma trận hàm G(s) là

không bị chặn trên i Thật vậy,

m r

sA BT

G s

m r

Nếu ind A B , 1, dễ dàng chứng minh được rằng , G s  là bị chặn trên  , nghĩa là d > 0 nhưng có thể không tồn tại một ma trận “xấu” 

nào, sao cho d   Ta có định lý sau đây

iii) Trong trường hợp E FIm, d 0 khi và chỉ khi ind A B , 1

Một câu hỏi đặt ra ở đây, khi nào thì hàm G s  đạt được giá trị lớn nhất tại một giá trị hữu hạn s0? Chú ý đầu tiên là, câu trả lời phụ thuộc vào việc chọn chuẩn của  mvì G s  có thể đạt được giá trị lớn nhất trong chuẩn này nhưng không đạt giá trị lớn nhất trong một chuẩn khác

Chúng ta có thể trả lời câu hỏi bằng cách khảo sát hàm số, nhưng ta không thực hiện ở đây

0 1 1 ,0 0 0

Ta thấy ind A B , 2,  1,

A B

   Do đó {A,B} là ổn định tiệm cận Tính toán trực tiếp, ta nhận được

sG s

 đạt được max tại s0 = 0 và  0

G 3 Vì vậy, 1.3

d Chọn

     

 thì G 0 u  G 0 3

Giả sử y*0 1 0 và ta có:   1*

11 2

ss

vì vậy,   3 1ax ,

G s  uy

có duy nhất nghiệm 12



đối với quỹ đạo của hệ, ngay cả khi A, B đều dương Trong luận văn này,

chúng tôi chỉ có thể giải bài toán với những giả thiết rất chặt Giả sử rằng A B, m m ,E FIm.

    là chuẩn đơn điệu.)

Bổ đề 2.2.3 Giả sử hệ (2.2.1) thoả mãn các điều kiện (2.2.2), khi đó với mọi

Lấy tn, t i sao cho tn t A B,  Theo giả thiết  , 

Trước tiên, ta thấy lim nn .

t  t  tt it Do đó, với   t A B, 0chúng ta có tn  tnt i   t  A B, , với tn đủ lớn, nghĩa là

Mặt khác, nhờ Bổ đề 2.2.4, G s  đạt được giá trị lớn nhất tại s0,

Từ định lý Perron - Frobenius,  u 0, u 1: G 0 u  G 0 , nhờ sử dụng định lý Hahn - Banach ta suy ra tồn tại một phiếm hàm tuyến tính y *

Giả sử   1*

G  uy

  , bằng con đường như trong mục 2.1, chúng ta có thể chỉ ra rằng V (tức là  là ma trận thực, "xấu") và  d Ta đã chứng minh được định lý dưới đây

Định lý 2.2.5 Giả sử hệ (2.2.1) thỏa mãn các giả thiết i), ii), iii) và chuẩn

đơn điệu trong  m đã được chọn, khi đó bán kính ổn định phức và bán kính ổn định thực là bằng nhau, nghĩa là d d

Như đã nói ở trên, giả thiết dương của G t n đối với một dãy tn   là mạnh và rất khó kiểm chứng Ta cần đưa ra một điều kiện đủ, để đảm bảo các giả thiết trên

Định nghĩa 2.2.6 Giả sử hệ (2.2.1) tồn tại nghiệm x t  thỏa mãn điều kiện

0,

' - 0, 0,



Định nghĩa 2.2.7 Ma trận B được gọi là ma trận P- metzler nếu các phần tử

b của B là không âm, có thể trừ các phần tử bij ứng với i,j sao cho pij0

Định lý 2.2.8 Hệ (2.2.1) là dương khi và chỉ khi P pij 0 và B là ma trận P- metzler

nt B

Suy ra, nếu pij0 thì bij0 Ngược lại, nếu B là ma trận P- metzler

và chú ý rằng BPPBB, nên với mỗi  sao cho P B 0, chúng ta có:

t P t BPt B