Bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Ouphamixay Sonevilay BÀI TỐN BIÊN TUẦN HỒN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Ouphamixay Sonevilay BÀI TỐN BIÊN TUẦN HỒN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ Tốn học với đề tài “Bài tốn biên tuần hồn cho hệ phương trình vi phân phi tuyến tính” tơi thực hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn, không chép Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số thơng tin, tài liệu từ nguồn sách, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, Ngày 20 tháng năm 2019 Học viên thực OUPHAMIXAY SONEVILAY LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn Thầy tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành luận Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới Thầy khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi nâng cao trình độ chun mơn suốt trình học cao học Xin gửi lời cảm ơn Ban Giám hiệu, Phịng Khoa học Cơng nghệ Phòng Sau đại học, Phòng Tổ chức - Hành chính, Phịng Kế hoạch - Tài Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập làm luận văn Và cảm ơn bạn Học viên K27 chia sẻ với nhiều kinh nghiệm học tập, rèn luyện viết luận văn Xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc thành công tới Quý thầy cô, anh chị bạn! Học viên thực OUPHAMIXAY SONEVILAY MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các kí hiệu MỞ ĐẦU Chương BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN 1.1 Định lý tồn nghiệm cho hệ phương trình vi phân phi tuyến 1.2 Xấp xỉ nghiệm tốn biên cho hệ phương trình vi phân phi tuyến 14 Chương BÀI TỐN BIÊN TUẦN HỒN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN 23 2.1 Giới thiệu toán 23  , , , n 2.2 Tập hợp U1 23 2.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 30 2.4 Hệ phương trình vi phân phi tuyến 38 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 CÁC KÍ HIỆU  0,   ;   (, );  x  ,  x     ik – Kronecker tức là:     ,0 x x x x ,  x   2 1 i = k ik   0 i  k  x   x i i1 vectơ cột n - chiều n x   xi  n Trên i 1 n n    x   x i i1 x i  ,i  1,n n ta trang bị chuẩn n x   x i , x  max x i i 1, ,n i 1  Ký hiệu X   x ik mn – ma trận cấp m  n mn Đặt    X   x ik mn x ik  ,i  1,m,k  1,n Trên mn ta có chuẩn sau tương đương m n x   x ik x  max x ik i 1,m i 1 k 1  Cho X   x ik mn ,Y   yik mn  k 1,n mn Ta nói X  Y  x ik  yik ,i  1,n,k  1,m  X   xik mn , X   xik  Cho I   mn , ánh xạ X : I  mn ma trận hàm cấp m  n  Ma trận hàm X  t    xik  t  mn gọi liên tục, bị chặn, liên tục tuyệt đối, khả tích, khả vi I tất hàm xik  t  ,i  1,2, ,m k  1,2, ,n có tính chất I  Cho ma trận hàm X  t    xik  t  mn Đặt X  t   dX   xki  t  mn dt   X  d   x  d        ik I  I mn  C  I, mn  không gian ma trận hàm cấp m  n liên tục bị chặn I với chuẩn x Nếu I  a,b,C a,b, C    sup X  t  : t  I  không gian ma trận hàm X  t    x  t   liên tục a,b với chuẩn  mn ik x C    max X  t  : t   a, b  x    max x ik  t  C ,i  1, m, k  1, n  không gian ma trận hàm cấp m  n X:a,b  liên tục tuyệt đối a,b với chuẩn  C a,b, C mn mn b x C  X  a    X  t  dt a  Cloc  I, mn  tập ma trận hàm cấp m  n liên tục tuyệt đối tập compắc I  L  I, mn  I với chuẩn không gian ma trận hàm cấp m  n khả tích bậc  X  Lloc  I, mn L        X  t  dt  với     I   không gian ma trận hàm cấp m  n khả tích bậc  tập compắc I  E – ma trận đơn vị   – ma trận không MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hiện việc nghiên cứu dao động khoa học công nghệ đưa đến việc giải phương trình vi phân phổ biến Với hệ thống dao động người ta nghiên cứu thêm tác động bên ngồi lên với chu kì định Từ người mơ tả nhiều tượng tự nhiên hệ phương trình thường khơng “autonomous” phụ thuộc vào chu kì thời gian Ví dụ dao động tuyến tính phi tuyến tính tác động ngoại lực tuần hoàn, hệ thống động lực giúp điều kiện tối ưu động máy móc Và câu hỏi quan trọng đặt là: dao động có tính tuần hồn tương ứng với lực tác động hay khơng? Câu hỏi có nguồn gốc từ vấn đề học cổ điển học thiên thể sau ứng dụng quan trọng lĩnh vực điện hạt nhân Ngày phương trình vi phân tuần hồn đóng vai trị quan trọng vấn đề sinh học, dân số, tốn kinh tế Vì tơi chọn đề tài “Bài tốn biên tuần hồn cho hệ phương trình vi phân phi tuyến” để thực nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Ý nghĩa luận văn Luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên học viên cao học nghiên cứu tốn biên tuần hồn cho hệ phương trình vi phân phi tuyến Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu tồn nghiệm tốn biên tuần hồn cho hệ phương trình vi phân phi tuyến, nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm, tính bị chặn cho tốn biên tuần hồn cho hệ phương trình vi phân phi tuyến Nội dung luận văn Chương 1: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân phi tuyến Trong chương này, xây dựng điền kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân phi tuyến tính Hơn nữa, ta cịn xem xét tính xấp xỉ nghiệm toán Chương 2: Bài toán biên tuần hồn cho hệ phương trình vi phân phi tuyến Mục đích chương hai áp dụng kết chương để xây dựng điều kiện đủ, tiêu chuẩn hiệu cho việc tồn tại, nghiệm tuần hồn cho hệ phương trình vi phân phi tuyến tính Đồng thời điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm tuần hoàn khơng âm cho hệ phương trình vi phân phi tuyến tính Do thời gian có hạn nên luận văn cịn chưa đề cập đến tính xấp xỉ nghiệm nghiệm tuần hồn cho hệ phương trình vi phân tuyến tính 30 Giả sử y   yi  t  i 1  - nghiệm tuần hồn khơng âm, khác không hệ n (2.4) Từ (2.18), (2.20) ta y  t   Y  t  y   ,  t   y    Y   y   Từ (2.21) ta y  t   Do điều kiện (2.5) thực Ngược lại giả sử điều kiện (2.5) xảy ra, ta cần chứng minh bất đẳng thức (2.21) xảy ra, hệ (2.18) ổn định tiệm cận Thật giả sử ngược lại r 1  Theo bổ đề 2.2 bất đẳng thức (2.6) thực hiện, r  0  Bởi tồn   0,1 cho r    Giả sử C  n  - véc tơ riêng ma trận Y   ứng với giá trị riêng có mơđun Khi  y t  i n i 1  Y  t  C  - nghiệm tuần hồn, khơng âm khác khơng hệ (2.4), điều mâu thuẫn với (2.5) Bổ đề chứng minh 2.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính n dxi   aik  t .xk  t   bi  t   i  1,2, , n  (2 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dt k 1 với aik  L , bi  L  i, k  1,2, , n  (2.23) 31 Định lý 2.8 Giả sử tồn số tự nhiên m n j  j  1,2, , m  cho  n0  n1  n2  nm  n aik (t )   i  n j 1  1, , n, k  n j  1, , n, j  1,2, , m  1 (2.24) với  t , x1 , x2 , , xn   R  R n ta có j nj  i ,k  n j 1 1 aik  t  xi xk    t  nj  i  n j 1 1 xi2 (2.25) với  j 1,1 ,  j  1,2, , m    t   L     t  dt  Khi hệ (2.22) có  - nghiệm tuần hoàn Cnứng minh: Theo định lý 1.1 [6] điều kiện (2.23) Để chứng minh định lý ta cần chứng minh hệ n dxi   aik xk  t  dt i 1  i  1,2, , n  (2.27) với điều kiện biên xi  0  xi    i  1,2, , n  có nghiệm tầm thường Giả sử  xi  t  i 1 nghiệm tùy ý toán Đặt n u j t   j   i j 1 1 xi2  t  ( j  1,2, , m) (2.28) 32 Do (2.24) (2.25) ta có  i ui  t   2 i ni  i  n0 1 xi  t .xi  t   2 i nj  i ,k  n0 1 aik  t  xi xk  2a  t  uk  t  ,  t   Bởi  i  ta có:    ui  t  exp   a   d   ui    ui   ,  t    t   i  1 ta có  t  ui  t  exp   a   d   ui    ui    t     Từ theo (2.26) ta có ui  t   Từ đồng với điều kiện từ (2.24), (2.25), (2.26) ta suy u j t    j  1,2, , n  , xi t   i  1,2, , n  Định lý chứng minh Định lý 2.9 Giả sử:  i aii  t   pii  t  , aik  t   pik  t  , t  R  i  k , i, k  1,2, , n   i 1,1 điều kiện (2.5) thực Khi hệ (2.22) có nghiệm  - tuần hoàn  xi  t  i 1 n n  x t   x t   r  i 1 i i ,m ij m  t  ,  m  1,2,  Trong  xi i 1  C  0,  , R n  véc tơ hàm tùy ý n 33 t  xi ,m  t   exp   pii  s  ds  xi ,m1   ti  t  i  t  m    exp   pii  s  ds    pik  t  xi ,m1    bi    d ti     k i , i 1  m  1,2 , n  t với ti   i  i  1,2, , n  , r0  1,    0,1 , không phụ thuộc với m Chứng minh: Giả sử ti 0i i  1,2, , n  số hàm số cho đẳng thức (2.8), (2.9) n fi  t , x1, x2 , , xn    aik  t  xk  bi  t  i  1,2, , n  , k 1 a  0, b   i t , x1, x2 , , xn   xi   ti  i  1,2, , n  Do (2.23) nên nghiệm kéo dài tuần hồn tốn (4.1), (4.2) (xem [6])  - nghiệm tuần hoàn hệ (2.22), ngược lại hạn chế 0,   - nghiệm tuần hoàn hệ (2.22) nghiệm toán (4.1), (4.2) (xem [6]) Do theo định lý 4.5 (xem [6]) định lý 2.9 chứng minh Nhận xét: Trong định lý 2.9 điều kiện (2.5) điều kiện tiên cho tồn nghiệm hệ (2.22) Thật đây, 34 pik  L  i, k  1,2, , n  , pik  t   t  , i  k  pik i,k 1 U , , , n tồn bi  L (2.30) n i  1,2, , n  thỏa bất đẳng thức (2.29) hàm số aik  L  i, k  1,2, , n  cho hệ (2.22) khơng có  - nghiệm tuần hồn Do (2.30) nên hệ (2.4) có nghiệm khơng âm, khác không  yi  t  i 1 n Đặt: pi  t   1  pii  t  n h0i  t    pi  t  yi  t    pik  t  yk  t  i  1,2, , n  k 1 Khi với i 1,2, , n phương trình vi phân: xi  t   i pi  t  xi t   i h0i t  có  - nghiệm tuần hoàn xi  t  yi  t   xi  t  , t  Vì  h0i  t    i xi  t   pi  t .xi  t   pi  t  xi  t   hi  t  đó: n hi  t    pi  t  xi  t    pik  t .xk  t  k 1 i  1,2, , n  35 Do  xi  t  i 1  - nghiệm tuần hồn khơng âm hệ (2.27), n aik  t    i pi  t    ik  t   pii  t   pi  t   aik  t   i pi t  pik t  , i  k h0i   hi  t  , hi  t   0 hi  k  t    ,  i  t   1, t  Do theo nhận xét 1.2 6 tồn hàm bi  L  i  1,2, , n  cho hệ (2.22) khơng có  - nghiệm tuần hồn khơng âm Mặt khác hiển nhiên hàm số aik  t  thỏa bất đẳng thức (2.29) Từ bổ đề 2.3 – 2.5 từ định lý 2.9 ta có hệ sau: Hệ 2.10 Giả sử bất đẳng thức (2.29) thực với  i 1,1 pik  L  i, k  1,2, , n  , giả sử điều kiện sau thực 1) Các giá trị riêng ma trận  sik i ,k 1 , với sii  n   sik  max   g  i pik   t ,  pik   d ,  t    0  với i  k có mơđun bé 2) p ik  t   pik  const  i, k  1,2, , n  phần thực giá trị riêng ma trận  pik i ,k 1 không âm n 36 3) 1     n hệ phương trình (2.17) ổn định tiệm cận Khi kết luận định lý 2.9 thực Định lý 2.11 Giả sử i aii  t   pii  t  ,  i aik t   pik t  t  , i  k , i, k  1,2, , n  (2.31)  i 1,1 , Khi thành phần ma trận Green  gik i ,k 1 toán tuần hoàn n (2.27), (2.28) thỏa đánh giá:  i gii  t ,   g  aii   t ,    i gik  t ,   i  k (2.32) Trong g tốn tử cho đẳng thức (2.3) Chứng minh: Giả sử bi  L ibi t   t  , i  1,2, , n  (2.33) Khi theo bổ đề 5.1 6 bổ đề (2.4) tìm số thực dương r cho với nghiệm không âm  xi i 1 hệ bất phương trình vi phân n n  i xi  t    pik  t  xk  t    ibi  t   t  ,  i  1,2, , n  (2.34) k 1 thỏa điều kiện biên (2.28) có đánh giá xi  t   r,  t  ,  i  1,2, , n  (2.35) Đặt 0    s   s r  s0 0sr sr (2.36) 37 Xét hệ phương trình vi phân n dxi  aii  t  xi   aik  t    xk   bi  t  dt k i ,k 1 i  1,2, , n  (2.37) Do điều kiện (2.5), (2.31) bổ đề 2.2 ta có:  i aik i ,k 1 U , , , n i n   i  aii  t  dt   i  1,2, , n  (2.38) Do tốn nhất: dxi  aii  t  xi  t  dt xi  0  xi   ,  i  1,2, , n  có nghiệm tầm thường Vì theo hệ 2.1 [6] toán (2.37), (2.3), (2.38) có nghiệm  xi i 1 n Do (2.3), (2.33) (2.38)   n  xi  t    i  g  aii   t ,    aik     xk     bi   d   k i ,k 1  (2.39) với  t    i  1,2, , n  Do bất đẳng thức (2.31) tính không âm nghiệm  xi i 1 , nên nghiệm  xi i 1 n n thỏa hệ (2.34) Do nghiệm  xi i 1 phải thỏa (2.35) Theo định nghĩa hàm   xi i 1 n n nghiệm (2.22) (2.28) Do n  xi  t     gik  t ,  bk   d k 1 từ (2.39), (2.40) ta có  i  1,2, , n  (2.40) 38   n  gik  t ,  bk    g  aii   t ,  ibi   d   i  1,2, , n  0  k 1  Vì bất đẳng thức thỏa với hàm bi  L  i  1,2, , n  thỏa (2.33) nên hàm g ik phải thỏa (2.32) Định lý chứng minh Hệ 2.12 Nếu điều kiện (2.5), (2.31), (2.33) thỏa hệ (2.22) co  - nghiệm tuần hồn khơng âm 2.4 Hệ phương trình vi phân phi tuyến Định lý 2.13 Giả sử t 0, ;  xi i1  n n ,  yi i1  n n  n   q  t ,  xk   i  1,2, , n  ,  k 1  n fi  t , x1 , x2 , , xn    pik  t , x1 , x2 , , xn  k 1 nj  j  pik  t , x1 , x2 , , xn yi yk  a  t  i ,k 1 , thỏa nj  i  n j 1 1 yi2  j  1,2, , m  n  p t , x , x , , x   b t  i ,k 1 ik n  n0  n1   nm  n,  j   1,1, pik  K 0,   n , R   i, k  1,2, , n  , a  t  , b  t   L , pik  t , x1, x2 , , xn    với i  n j 1  1, , n j ; k  n j  1, , n; j  1, , m  1,  a  t  dt  0 hàm q  K  0,    R , R  thỏa lim     0 q  t ,   dt  Khi tốn (2.1) có  - nghiệm tuần hoàn Chứng minh 39 Ta ký hiệu S tập ma trận hàm  aik i ,k 1  L  0,  , R nn  thỏa n điều kiện từ (2.21) – (2.26) n  a t   b t  , 0t  ik i ,k 1 trên, với  aik   S tốn (2.27), (2.28) khơng có nghệm khác tầm thường Mặt khác ta có:  p ., x . , , x .   ik n n i ,k 1 S Nếu  xi i1  C 0, , R n  n Dễ dàng rằng, :   aik  j n i ,k 1 S  j  1,2, , n  t t lim  aik   d   aik   d j   j 0 0, ,  i, k  1,2, , n   aik   S Từ suy ma trận hàm  pik i ,k 1 thỏa điều kiện Olipia với cặp n  ,   x1 , x2 , , xn    xi     xi   i 1 ,  x1 , x2 , , xn   Do n theo định lý (1.3), tốn (2.1), (2.2) có nghiệm  xi i 1 Do (2.2), ta n thác triển tuần hoàn nghiệm  xi i 1 lên tồn n Đó  - nghiệm tuần hồn hệ (2.1) Định lý chứng minh Từ điều kiện (2.2) định lý 4.1 6 , ta dễ dàng nhận kết sau: Định lý 2.14 40 Hệ (2.1) có  - nghiệm tuần hồn tồn i 1,1  i  1,2, , n  ,  ki i1  C 0, , n n  , k  1,2 cho 1i  t   2i  t  ,  t  , i  1,2, , n  k  1  k  ki  0   ki     i  1,2, , n  tập t, x , x , , x  :  t  ,  t   x   t , i  1,2, n thỏa bất n 1i i 2i đẳng thức k  1  i  fi  t , x1, x2 , , xi1, ki  t  , xi1, , xn    ki  t   0, k  1,2, i  1,2, , n Do bổ đề 2.2 định lý 4.2, 4.5 6 kết sau: Định lý 2.15 Giả sử  n thỏa bất đẳng thức sau: n  i fi  t , xi , , xi  sign xi   pik  t  xk  q  t  i  1,2, , n  (2.41) k 1 với i 1,1, q  L  pik i ,k 1 thỏa điều kiện (2.5) n Khi hệ (2.1) có  - nghiệm tuần hoàn Định lý 2.16 Giả sử  n thỏa bất đẳng thức:  i  fi  t , x1 , x2 , , xn   fi  t , y1 , y2 , , yn    sign  xi  yi   n   pik  t  xk  yk (2.42)  i  1,2, , n  k 1 Trong  i 1,1  pik i ,k 1 thỏa điều kiện (2.5) Khi n a) Hệ (2.1) có nghiệm  - tuần hồn  xi  t  i 1 n 41 b) Với  x0i i 1  C  0, ; n  xim i1  C 0, , n n n  tồn dãy   m  1,2, , n  cho với m i 1,2, , n hàm số xim nghiệm hàm toán Cauchy: dxim  t   fi  t , x1,m1  t  , , xi ,m1  t  , xi ,m  t  , xi 1,m1  t  , , xn ,m1  t   dt 1  j    i  xim     xim1       n  x t   x t   r i i 1 im  m  t    m  1,2,  Trong r0   0,1 khơng phụ thuộc vào m Do bổ đề từ 2.3 – 2.5 định lý 2.6, 2.7 ta có: Hệ 2.17 Giả sử  n thỏa bất đẳng thức (2.41) (thỏa 2.42), với i 1,1, q  L , pik  L  i, k  1,2, , n  thỏa điều kiện 1) – 3) hệ 2.10 Khi kết luận định lý 2.6, định lý 2.7 thực Hệ 2.18 Giả sử  n thỏa bất đẳng thức: n  i fi  t , x1, x2 , , xn    pik  t  xk  q  t   i  1,2, , n  (2.43) i fi t , x1, , xi1,0, xi1, , xn   i  1,2, , n  (2.44) i 1 với  i 1,1, q  L ma trận  pik i ,k 1 thỏa điều kiện (2.5) Khi hệ (2.1) n có  - nghiệm tuần hoàn 42 Chứng minh: Đặt s0 0 s  s   s0 Theo định lý 2.5 điều kiện (2.43), (2.44) hệ phương trình vi phân   dxi   i  pii  t  xi    xi   fi  t ,   x1  , ,   xn    i  1,2, n  dt có  - nghiệm tuần hồn  xi i 1 Bây ta cần nghiệm  xi i 1 khơng n n âm theo định nghĩa hàm   xi i 1  - nghiệm tuần hoàn n (2.1) Giả sử ngược lại tồn số i 1,2, , n t1 0, , t2 0,  cho xi  t1   xi  t2  xi  t   0, t1  t  t2 , điều không xảy   i xi  t     pii  t  xi  t    i f i  t ,   x1  t   , ,   xi 1  t   ,0,  ,   xi 1  t   , ,   xn  t    0, t1  t  t2 Ta nhận mâu thuẫn định lý chứng minh Hệ 2.19 Giả sử  n thỏa bất đẳng thức (2.42), (2.44), với  i 1,1 , ma trận  pik i ,k 1 thỏa điều kiện (2.5) Khi hệ (2.1) có  - nghiệm n tuần hồn khơng âm 43 KẾT LUẬN Nội dung luận văn bao gồm chương Trong chương 1, xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân phi tuyến (1.1), (1.2) Thơng qua khái niệm ma trận Olipia ta thiết lập điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm tốn (1.1), (1.2) Kết định lý 1.3, 1.4, 1.5 Trong phần chương cần xem xét tính xấp xỉ nghiệm tốn (1.1), (1.2), kết ta định lý 1.11 Trong chương 2, thông qua hệ phương trình tuyến tính tuần hồn, ta xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm tốn (2.1), (2.2) kết định lý 2.13, 2.14, 2.15.2.16 Tuy nhiên điều kiện thời gian trình độ cịn hạn chế nên tơi cịn chưa xem xét tính xấp xỉ toán Do thời gian làm luận văn ngắn cịn có hạn chế ngơn ngữ, nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót đáng tiếc, mong thầy cô thông cảm bảo giúp Xin chân thành cảm ơn thầy cô giành thời gian quý báu để đọc luận văn Xin cảm ơn! 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hartman P., Ordinary differential equations John Wiley & Sons, Inc., NewYork-London-Sydney, 1964 [2] Kantorovitch L V., Akilov L V., Functional Analysis (Russian) Nauka, Moscow,1984 [3] Kiguradze I., On the Cauchy problem for singular systems of ordinary differential equations (Russian) Differentsial’nye Urav (1965), No 10., 1271-1291 [4] Kiguradze I., some singular boundary value problems for ordinary differential equations (Russian) Tbilisi University Press, Tbilisi, 1975 [5] Kiguradze I., On the periodic solutions of systems of nonautonomous ordinary differential equations (Russian) Mat Zametki 39 (1986), No 4, 562-575 [6] Kiguradze I., Boundary value problems for systems of ordinary differential equations (Russian) Current problems in mathematics Newest results, vol 30, 3-103, VINI’TI, Moscow, 1987 [7] Kiguradze I., On the singular Cauchy problem for systems of linear ordinary differential equations (Russian) Differentsial’nye Uravneniya 32 (1996), 215-223 [8] Kiguradze I., On the correctness of Cauchy problem for the linear differential system on an infinite interval Georgian Math J (1996), 475-484 [9] Kiguradze T., some boundary value problems for systems of linear differential equations of hyperbolic type Mem Diff Equations Math Phys (1995), 1-113 ... nghiệm cho hệ phương trình vi phân phi tuyến 1.2 Xấp xỉ nghiệm toán biên cho hệ phương trình vi phân phi tuyến 14 Chương BÀI TỐN BIÊN TUẦN HỒN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN... đến tính xấp xỉ nghiệm nghiệm tuần hồn cho hệ phương trình vi phân tuyến tính 3 Chương BÀI TỐN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN 1.1 Định lý tồn nghiệm cho hệ phương trình vi. .. chuẩn hiệu cho vi? ??c tồn tại, nghiệm tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân phi tuyến tính Đồng thời điều kiện đủ cho vi? ??c tồn nghiệm tuần hồn khơng âm cho hệ phương trình vi phân phi tuyến tính Do