(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian

(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian(Luận án tiến sĩ) Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LÊ THẾ SẮC TÍNH HẦU TUẦN HỒN, HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ LUỒNG THỦY KHÍ TRÊN TỒN TRỤC THỜI GIAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LÊ THẾ SẮC TÍNH HẦU TUẦN HỒN, HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ LUỒNG THỦY KHÍ TRÊN TỒN TRỤC THỜI GIAN Ngành : Toán học Mã số : 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy Hà Nội - 2022 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận án Tính hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình dáng điệu tiệm cận số luồng thủy khí tồn trục thời gian cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Các kết luận án hoàn toàn trung thực chưa tác giả khác công bố công trình nghiên cứu Các nguồn tài liệu tham khảo trích dẫn đầy đủ theo quy định Hà Nội, ngày 08 tháng 01 năm 2022 Người hướng dẫn Nghiên cứu sinh PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy Lê Thế Sắc i LỜI CẢM ƠN Luận án thực Trường Đại học Bách khoa Hà Nội hướng dẫn PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Thầy không nhà khoa học mà người vô mẫu mực công việc sống Thầy tận tình bảo, hướng dẫn giúp tơi hồn thành luận án Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt sâu sắc tới thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Phạm Trường Xuân, người hướng dẫn, đồng hành tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình nghiên cứu hoàn thành luận án Trong suốt thời gian làm nghiên cứu sinh Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, tơi nhận nhiều tình cảm giúp đỡ thầy cô mơn Tốn Cơ bản, thầy Viện Tốn Ứng dụng Tin học Đặc biệt, tơi nhận đóng góp, chia sẻ, động viên thành viên nhóm seminar “Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân ứng dụng” Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy điều hành Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô thành viên nhóm seminar Nhân dịp này, tơi bày tỏ cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Phịng, Ban liên quan, Khoa Cơng nghệ thơng tin Bộ mơn Tốn học thuộc trường Đại học Thủy lợi tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình tồn thể bạn bè ln khuyến khích, động viên chia sẻ khó khăn sống, giúp vững tâm học tập nghiên cứu Nghiên cứu sinh ii MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Kết luận án 10 Cấu trúc luận án 11 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 13 Nửa nhóm 13 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 13 1.1.2 Nửa nhóm giải tích 15 Không gian hàm, không gian nội suy số lớp hàm 16 1.2.1 Không gian nội suy thực 17 1.2.2 Không gian Lorentz 19 1.2.3 Không gian Lorentz với trọng Muckenhoupt 21 1.2.4 Không gian Besov 22 1.2.5 Hàm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình 23 1.2.6 Hàm tựa hầu tuần hồn, tựa hầu tự đồng hình có trọng 27 Chương SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRÊN KHƠNG GIAN NỘI SUY 2.1 2.2 30 Tính chất nghiệm phương trình tuyến tính 31 2.1.1 Nghiệm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình 31 2.1.2 Nghiệm tựa hầu tuần hoàn, tựa hầu tự đồng hình có trọng 37 Tính chất nghiệm phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 40 2.2.1 Sự tồn số lớp nghiệm 40 2.2.2 Tính ổn định nghiệm 42 iii 2.3 Một số ứng dụng 46 2.3.1 Phương trình Navier-Stokes miền ngoại vi 47 2.3.2 Dòng Navier-Stokes dọc theo vật cản vừa xoay vừa tịnh tiến 48 2.3.3 Phương trình Navier-Stokes miền có lỗ thủng 50 2.3.4 Phương trình Navier-Stokes khơng gian Besov 52 Chương MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH NAVIERSTOKES TRÊN KHƠNG GIAN LORENTZ CÓ TRỌNG MUCKENHOUPT 3.1 56 Các đánh giá Lp −Lq khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt 3.2 Phương trình tuyến tính khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt 3.3 58 60 Phương trình nửa tuyến tính khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt 62 Chương MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BOUSSINESQ TRONG MIỀN KHƠNG BỊ CHẶN 4.1 4.2 Dạng ma trận hệ phương trình Boussinesq đánh giá Lp − Lq 71 Tính chất nghiệm phương trình tuyến tính 72 4.2.1 Nghiệm bị chặn, nghiệm hầu tuần hoàn hầu tự đồng hình 72 4.2.2 Nghiệm tựa hầu tuần hồn tựa hầu tự đồng hình có trọng 4.3 69 79 Sự tồn tính ổn định nghiệm phương trình nửa tuyến tính 81 4.3.1 Sự tồn 81 4.3.2 Tính ổn định 83 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 90 Những kết đạt 90 Đề xuất số hướng nghiên cứu 90 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO 93 iv MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : Tập hợp số tự nhiên R : Tập hợp số thực R+ : Tập hợp số thực không âm X : Không gian Banach L(X) : Không gian ánh xạ tuyến tính bị chặn X AP (R, X) : Không gian hàm hầu tuần hồn từ R → X AA(R, X) : Khơng gian hàm hầu tự đồng hình từ R → X S p AA(R, X) : Không gian hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov từ R → X Rn+ := {x = (x , xn ) ∈ Rn : xn > 0} Lp (Ω) := 1/p u:Ω→X: u p u(x) p dx = < ∞, ≤ p < ∞ Ω L∞ (Ω) := {u : Ω → X : u ∞ = ess sup |u(x)| < ∞} x∈R 1/p Lploc (Ω) := p u:Ω→X: < ∞} u(x) dx Ω với Ω ⊂ Ω tập compact ≤ p < ∞ W k,p (Ω) := {u ∈ Lp (Ω) : Dα u ∈ Lp (Ω), với |α| ≤ k ≤ p < ∞}   p1 với chuẩn u k,p Dα u pp  :=  |α|≤k W k,∞ (Ω) := {u ∈ L∞ (Ω) : Dα u ∈ L∞ (Ω), với |α| ≤ k} với chuẩn u k,∞ := max Dα u C(R, X) := u : R → X liên tục BC(R, X) := |α|≤k ∞ u : R → X liên tục u ∞ = sup u(t) < ∞ t∈R BC(R+ , X) := u : R+ → X liên tục u ∞ = sup u(t) < ∞ t∈R+ U U∞ P AA0 (R, ρ) := {ρ : R → R+ |ρ khả tích địa phương}   r   ρ(x)dx = ∞ := ρ ∈ U : lim r→∞   −r  r  := φ ∈ BC(R, X) : lim φ(s) r→∞ m(r, ρ)  −r   X ρ(s)ds =  W P AP (R, X) := f ∈ C(R, X) : f = g + φ, với g ∈ AP (R, X) φ ∈ P AA0 (R, X) W P AA(R, X) := f ∈ C(R, X) : f = g + φ, với g ∈ AA(R, X) φ ∈ P AA0 (R, X) W S p AA(R, X) := f ∈ C(R, X) : f = g + φ, với g ∈ S p AA(R, X) φ ∈ P AA0 (R, X) K(t, x) := inf { x0 (X0 , X1 )θ,q := x ∈ X0 + X1 : x  với x X0 + t x1 (X0 ,X1 )θ,q X1 , x = x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 } < ∞, với < θ < ≤ q < ∞  1q ∞ dt :=  [t−θ K(t, x)]q  t (X0 ,X1 )θ,q (X0 , X1 )θ,∞ := x ∈ X0 + X1 : x với x (X0 ,X1 )θ,∞ (X0 ,X1 )θ,∞ < ∞, với < θ < := sup t−θ K(t, x) t∈(0,∞) (X0 , X1 )θ := x ∈ (X0 , X1 )θ,∞ : lim+ t−θ K(t, x) = lim t−θ K(t, x) = t→0 t→∞ C ∞ (Ω) : Không gian hàm khả vi cấp vô hạn Ω C0∞ (Ω) : Không gian hàm khả vi vô hạn với giá compact Ω ∞ C0,σ (Ω) := {v ∈ C0∞ (Ω) : divv = Ω} Lp,q (Ω) := u ∈ L1loc (Ω) : u ∞ với u p,q < ∞, với < p < ∞ ≤ q < ∞ 1/q q ds  sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})1/p s = p,q Lpw (Ω) := u ∈ L1loc (Ω) : u với u p,∞ p,∞ < ∞, với < p < ∞ = sup sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})1/p s>0 MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Nghiên cứu nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn khái quát chúng phương trình tiến hóa hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến tính chất nghiệm phương trình tiến hóa theo thời gian Đối với trường hợp nghiệm tuần hoàn, số phương pháp thường sử dụng nguyên lý Massera [1, 2], nguyên lý điểm bất động Tikhonov [3] hay hàm Lyapunov [4] áp dụng cho số lớp phương trình vi phân cụ thể Các phương pháp phổ biến cho việc chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn tính bị chặn nghiệm tính compact ánh xạ Poincaré thông qua phép nhúng compact [3, 4, 5, 6] Tuy nhiên, với trường hợp phương trình đạo hàm riêng miền không bị chặn hay phương trình có nghiệm khơng bị chặn phép nhúng compact khơng cịn tồn nghiệm bị chặn khó đạt Điều điều kiện ban đầu phù hợp để đảm bảo tính bị chặn nghiệm khơng dễ dàng tìm Một phương pháp để giải khó khăn sử dụng nguyên lý dạng Massera, nghĩa phương trình vi phân có nghiệm bị chặn có nghiệm tuần hồn Thực tế, việc kết hợp nguyên lý dạng Massera không gian nội suy sử dụng để chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn phương trình học chất lỏng (các dịng thủy khí) phương trình truyền nhiệt với hệ số thơ, phương trình Ornstein - Uhlenbeck [7, 8] Trong cơng trình này, hàm tử nội suy sử dụng kết hợp với phương pháp Ergodic [8] Đối với trường hợp dịng thủy khí, tồn nghiệm tuần hồn phương trình Navier-Stokes phương trình dạng Navier-Stokes trở thành hướng nghiên cứu quan trọng Trong miền bị chặn, Serrin sử dụng tính ổn định nghiệm bị chặn để tồn nghiệm tuần hồn phương trình Navier-Stokes [9] Sau đó, tồn tại, nhất, tính ổn định dáng điệu tiệm cận nghiệm tuần hồn tồn khơng gian Rn , miền không bị chặn Rn toàn trục thời gian R mở rộng nghiên cứu cơng trình [10, 11, 12, 13] Bên cạnh có số phương pháp khác sử dụng hữu hiệu Phương pháp phải kể đến kỹ thuật “miền xâm lấn” sử dụng Heywood [14], Prodi [15], Prouse [16] Yudovich [17] để chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn miền khơng bị chặn Ngồi ra, cách sử dụng tính chất nội suy khơng gian Lp yếu, Yamazaki [18] tồn tính ổn định nghiệm tuần hoàn miền ngoại vi Cuối cùng, phải kể đến số kết nghiệm tuần hồn phương trình Navier-Stokes miền ngoại vi số cơng trình [19, 20, 21, 22] Đối với trường hợp nghiệm hầu tuần hoàn, số phương pháp phát triển Bochner, Stepanov, Besicovitch Weyl thông qua định nghĩa đưa H Bohr [23] vào năm 1925 Lớp hàm hầu tuần hồn đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu nhiều lĩnh vực toán học như: Phương trình vi phân, hệ động lực giải tích điều hịa Các kiến thức hàm hầu tuần hồn trình bày đầy đủ [24, 25, 26] Gần đây, nghiệm hầu tuần hoàn toàn trục thời gian mở rộng nghiên cứu cho phương trình dịng thủy khí miền khơng bị chặn Nguyễn Thiệu Huy & cộng [27, 28] Farwig & Tanuichi [29] Cụ thể [28], tác giả phát triển phương pháp [8] để chứng minh nguyên lý dạng Massera tồn tại, tính ổn định nghiệm hầu tuần hồn cho phương trình Navier-Stokes miền ngoại vi, phương trình NavierStokes khơng gian Besov phương trình Navier-Stokes-Oseen miền khơng bị chặn Trong [27], tác giả xét lớp phương trình tiến hóa parabolic tổng quát đưa hệ tiên đề cho nửa nhóm liên kết khơng gian nội suy đảm bảo tính ổn định cấp đa thức, sau sử dụng đánh giá Lp − Lq , bất đẳng thức đối ngẫu định lý nội suy tổng quát để chứng minh tồn tại, nghiệm hầu tuần hoàn áp dụng kết cho luồng thủy khí Tiếp theo, tính ổn định cấp đa thức nghiệm đủ nhỏ cho lớp phương trình tiến hóa parabolic [30] Bên cạnh đó, Farwig & Tanuichi chứng minh tính tồn cục nghiệm hầu tuần hồn cho phương trình Navier-Stokes [29] Khái niệm hàm hầu tuần hồn có trọng giới thiệu Zhang [31] vào năm 1994 Sau đó, Diagana [32] đưa khái niệm hàm tựa hầu tuần hồn có trọng vào năm 2008 Trong năm gần đây, loại hàm nhận t P[−div[((ˆ u + v) ⊗ (ˆ u + v))(t − s)]] ϕ ds, ˆu)(t − s)] div[(θˆ ψ e−sA + t (ηg)(t − s) ≤ 0 t + t 0 t + t/2 0 ds ψ , e−sA ϕ ϕ ψ , e−sA ds ds ψ [−(ˆ u + v) ⊗ (ˆ u + v) + uˆ ⊗ uˆ](t − s) , ∇e−sA ˆ ˆ [−(θ + η)(ˆ u + v) + θˆ u](t − s) (ηg)(t − s) = ϕ [−(ˆ u + v) ⊗ (ˆ u + v) + uˆ ⊗ uˆ](t − s) , ∇e−sA ˆ ˆ [−(θ + η)(ˆ u + v) + θˆ u](t − s) (ηg)(t − s) ≤ , e−sA ϕ ϕ ψ ds ds ψ t/2 [−(ˆ u + v) ⊗ (ˆ u + v) + uˆ ⊗ uˆ](t − s) , ∇e−sA ˆ ˆ [−(θ + η)(ˆ u + v) + θˆ u](t − s) + t + t/2 t + ϕ ψ [−(ˆ u + v) ⊗ (ˆ u + v) + uˆ ⊗ uˆ](t − s) , ∇e−sA ˆ ˆ [−(θ + η)(ˆ u + v) + θˆ u](t − s) (ηg)(t − s) ϕ , e−sA ϕ ψ ds ds (4.24) ds ψ t/2 Bây ta đánh giá hai tích phân (4.24) sau: t/2 (ηg)(t − s) 0 t/2 + t/2 , e−sA t/2 + ψ ds [−(ˆ u + v) ⊗ (ˆ u + v) + uˆ ⊗ uˆ](t − s) , ∇e−sA ˆu](t − s) [−(θˆ + η)(ˆ u + v) + θˆ (ηg)(t − s) ≤ ϕ e−sA nr n+2r ,∞ ϕ ψ ds nr nr−n−2r ,1 [−(ˆ u + v) ⊗ (ˆ u + v) + uˆ ⊗ uˆ](t − s) ˆu](t − s) [−(θˆ + η)(ˆ u + v) + θˆ 86 nr n+r ,w ϕ ψ ds ϕ × ∇e−sA t ≤ t + v g η  n − 21 + 2r e−sA ∞, n2 ,w M v  uˆ θˆ +2 η M ϕ ds ψ  nr nr−n−2r ,1 v  η ∞,n,w t/2 ∇e−sA + M1 t ≤ t t nr nr−n−r ,1 t/2 n − 21 + 2r × ≤ M1 ds ψ n − 12 + 2r v n − 12 + 2r ∞, n2 ,w ψ M v  η +2 M1 g M ∞, n2 ,w ds ψ nr nr−n−r ,1 r r−1 ,1  uˆ θˆ  n − 21 + 2r ϕ ϕ g η  M η + 2M1 M × ϕ η ∞,n,w v + M1 v  uˆ θˆ v ϕ η ψ M ψ M r  r−1 ,1  ∞,n,w (4.25) r r−1 ,1 Tiếp theo, ta đánh giá hai tích phân cuối (4.24) t (ηg)(t − s) , e−sA ϕ ds ψ t/2 t [−(ˆ u + v) ⊗ (ˆ u + v) + uˆ ⊗ uˆ](t − s) , ∇e−sA ˆ ˆ [−(θ + η)(ˆ u + v) + θˆ u](t − s) + t/2 t ≤ (ηg)(t − s) n t/2 t + e−sA ϕ n n−3 t/2 ∞ ≤ η g M e−sA ∞, n2 ,w ds ψ ds ψ [−(ˆ u + v) ⊗ (ˆ u + v) + uˆ ⊗ uˆ](t − s) ˆu](t − s) [−(θˆ + η)(ˆ u + v) + θˆ v ϕ ϕ ds ψ n n−3 t/2 87 ∇e−sA n ,w ϕ ψ ds n n−2 ,1  v + uˆ θˆ +2 η M ∞  v  η ∞,n,w ϕ ∇e−sA ds ψ Mt/2 n n−2 ,1 ∞ v ≤ M2 g η  M v + ≤ M2 n n−1 v  ∞, n2 ,w uˆ θˆ +2 η M × ds ψ  Mt/2 v + ϕ n s− + 2r η ∞,n,w   g ∞  uˆ θˆ M n − 12 + 2r t ds ψ t/2 +2 η ϕ n s− + 2r ∞, n2 ,w r r−1 ,1  ∞,n,w v ϕ η ψ M (4.26) r r−1 ,1 Từ đánh giá (4.24), (4.25) and (4.26) ta thu t P[η(s)g(s) + div[ˆ u(s) ⊗ uˆ(s)]] ds ˆ + η(s))(ˆ div[−(θ(s) u(s) + v(s))] e−(t−s)A t e−(t−s)A + ≤ P[−div[(ˆ u(s) + v(s)) ⊗ (ˆ u(s) + v(s))]] ds ˆ u(s)] div[θ(s)ˆ n − 21 + 2r t (M1 + M2 ) g  v +(M1 + M2 )  +2 η ∞, n2 ,w M  uˆ θˆ  ∞,n,w v η M Các bất đẳng thức (4.23) (4.27) dẫn đến Φ v η ≤ C1 M uˆ(0) − u(0) ˆ − θ(0) θ(0)  +(M1 + M2 )  + (M1 + M2 ) g n,w v η Đánh giá cách tương tự, ta thu Φ v1 η1 −Φ ≤ (M1 + M2 ) g v2 η2 M v1 ∞, n2 ,w η1 − v2 η2 88 ∞, n2 ,w M +2 M uˆ θˆ   ∞,n,w (4.27)  + (M1 + M2 )  v1 η1 Do đó, u(0) − uˆ(0) + M n,w , v2 η2 +4 M ˆ θ(0) − θ(0) R đủ nhỏ Φ ánh xạ co cầu uˆ θˆ  v1  η1 ∞,n,w , uˆ n,w Bρu × Bρθ ∞,n,w , θˆ − ∞,n,w v2 η2 , g M ∞, n2 ,w Theo nguyên lý điểm bất ˆ ∈ M Từ dẫn đến động, Φ có điểm bất động (v, η) = (u − uˆ, θ − θ) bất đẳng thức (4.19) ta chứng minh tính ổn định cấp đa thức ˆ phương trình Boussinesq (4.4) nghiệm (ˆ u, θ) Chú ý 4.3.3 Việc chứng minh tính ổn định cho nghiệm đủ tốt hầu tự đồng hình, tựa hầu tuần hồn có trọng tựa hầu tự đồng hình có trọng thực cách tương tự Kết luận Chương Trong chương này, đạt kết sau: • Thiết lập tồn tại, tính ổn định cấp đa thức nghiệm đủ tốt thỏa mãn tính chất hầu tuần hồn hầu tự đồng hình, tựa hầu tuần hồn tựa hầu tự đồng hình có trọng phương trình Boussinesq miền khơng bị chặn tồn trục thời gian • Chúng đưa khái niệm hàm hầu tuần hoàn với chu kỳ mở rộng phương pháp kỹ thuật chứng minh Chương cho phương trình tiến hóa parabolic tổng qt dạng ma trận khơng gian tích Đề-Các khơng gian nội suy • Đặc biệt, hàm nhiệt độ θ = phương trình Boussinesq trở thành phương trình Navier-Stokes Do đó, kết chương mở rộng phần kết biết Chương phương trình NavierStokes miền ngoại vi khơng gian Lorentz Kết chương dựa vào báo [5] Danh mục cơng trình cơng bố luận án 89 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Những kết đạt Trong luận án này, thu kết sau: • Nghiên cứu tồn tại, tính ổn định cấp đa thức không gian nội suy lớp nghiệm: hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov loại nghiệm có trọng định nghĩa toàn trục thời gian cho lớp phương trình tiến hóa tổng qt dạng parabolic với nửa nhóm liên kết ổn định cấp đa thức Chúng áp dụng kết cho số luồng thủy khí như: phương trình Navier-Stokes miền ngoại vi, dòng Navier-Stokes dọc theo vật cản vừa xoay vừa tịnh tiến, phương trình Navier-Stokes miền có lỗ thủng phương trình Navier-Stokes khơng gian Besov • Nghiên cứu tồn tại, tính ổn định cấp đa thức lớp nghiệm: hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov lớp nghiệm có trọng cho phương trình Navier-Stokes nửa khơng gian tồn trục thời gian khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt Mở rộng phương pháp chứng minh Chương cho không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt • Nghiên cứu tồn tại, tính ổn định cấp đa thức lớp nghiệm: hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, tựa hầu tuần hồn tựa hầu tự đồng hình có trọng cho hệ phương trình Boussineq miền khơng bị chặn tồn trục thời gian Chúng phát triển kết Chương cho phương trình dạng ma trận khơng gian tích Đề-Các không gian nội suy Đề xuất số hướng nghiên cứu Trên cở sở luận án, đề xuất số vấn đề mở sau: 90 • Nghiên cứu tồn nghiệm tiệm cận hầu tuần hoàn tiệm cận hầu tự đồng hình phương trình Navier-Stokes miền khơng bị chặn • Nghiên cứu tính tồn cục cho nghiệm phương trình NavierStokes miền khơng bị chặn • Nghiên cứu loại nghiệm phương trình Navier-Stokes phương trình Boussineq khơng gian Mourey yếu không gian nội suy khác 91 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN Nguyen Thieu Huy, Le The Sac and Pham Truong Xuan (2018), “On Almost Automorphic Solutions to Incompressible Viscous Fluid Flow Problems”, International Journal of Evolution Equations, Volume 11, Number 3, pp 501-516 Nguyen Thieu Huy, Vu Thi Ngoc Ha, Le The Sac and Pham Truong Xuan (2021), “Weighted Stepanov-Like Pseudo Almost Automorphic Solutions for Evolution Equations and Applications”, Acta Math Vietnam 46, 103–122 (ESCI/SCOPUS) Nguyen Thieu Huy, Pham Truong Xuan, Le The Sac and Vu Thi Ngoc Ha (2021), “Periodic and Almost Periodic Solutions to Navier-Stokes Equations in Interpolation Spaces with Muckenhoupt Weight”, Accepted for Publication in Ukrainian Mathematical Journal (SCIE) Vu Thi Ngoc Ha, Nguyen Thieu Huy, Le The Sac and Pham Truong Xuan (2021), “Interpolation Spaces and Weighted Pseudo Almost Automorphic Solutions to Parabolic Equations and Application to Fluid Dynamics”, Accepted for Publication in Czechoslovak Mathematical Journal (SCIE) Thieu Huy Nguyen, Truong Xuan Pham, Thi Ngoc Ha Vu and Le The Sac, “Existence and Stability of Periodic and Almost Periodic Solutions to Boussinesq Systems in Unbounded Domains”, Submitted 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J Massera (1950), “The existence of periodic solutions of systems of differential equations”, Duke Math J., 17, 457-475 [2] O Zubelevich (2006), “A note on theorem of Massera”, Regul Chao Dyn., 11, 475-481 [3] J Pră uss (1979), Periodic solutions of semilinear evolution equations”, Nonlinear Anal., 3, 601-612 [4] T.Yoshizawa (1975), “Stability theory and the existence of periodic solutions and almost periodic solutions”, Applied Mathematical Sciences, SpringerVerlag New York-Heidelberg, 14 [5] J.H Liu, G.M N’Guérékata, N.V Minh (2008), “Topics on Stability and Periodicity in Abstract Differential Equations”, Series on Concrete and Applicable Mathematics, World Scientific Publishing, Singapore, [6] J Pră uss (1986), Periodic solutions of the thermostat problem Differential equations in Banach spaces” (Book’s Chapter), Lecture Notes in Math., Springer, Berlin, 1223, 216-226 [7] M Geissert, M Hieber, Nguyen Thieu Huy (2016), “A general approach to time periodic incompressible viscous fluid flow problems”, Arch Rational Mech Anal., 220, 1095-1118 [8] N.T Huy (2014), “Periodic motions of Stokes and Navier-Stokes flows around a rotating obstacle”, Arch Ration Mech Anal., 213, 689-703 [9] J Serrin (1959), “A note on the existence of periodic solutions of the NavierStokes equations”, Arch Ration Mech Anal., 3, 120-122 [10] H Kozono and M Nakao (1996), “Periodic solution of the Navier-Stokes equations in unbounded domains”, Tôhoku Math J., 48, 33-50 93 [11] S Kaniel, M Shinbrot (1967), “A reproductive property of the Navier-Stokes equations”, Arch Rational Mech Anal., 24, 363-369 [12] P Maremonti (1991), “Existence and stability of time periodic solutions to the Navier-Stokes equations in the whole space”, Nonlinearity, 4, 503-529 [13] T Miyakawa, Y Teramoto (1982), “Existence and periodicity of weak solutions to the Navier-Stokes equations in a time dependent domain”, Hiroshima Math J., 12, 513-528 [14] J G Heywood (1980), “The Navier-Stokes equations: On the existence, regularity and decay of solutions”, Indiana Univ Math J., 29, 639-681 [15] G Prodi (1960), “Qualche risultato riguardo alle equazioni di Navier-Stokes nel caso bidimensionale”, Rend Sem Mat Univ Padova, 30, 1-15 [16] G Prouse (1963), “Soluzioni periodiche dell’equazione di Navier-Stokes”, Atti Accad Naz Lincei Rend Cl Sci Fis Mat Natur., 35, 443-447 [17] V Yudovich (1960), “Periodic motions of a viscous incompressible fluid”, Sov Math Dokl., 1, 168-172 [18] M Yamazaki (2000), “The Navier-Stokes equations in the weak−Ln space with time-dependent external force”, Math Ann., 317, 635-675 [19] G.P Galdi and H Sohr (2004), “Existence and uniqueness of time-periodic physically reasonable Navier Stokes flows past a body”, Arch Ration Mech Anal., 172, 363-406 [20] G.P Galdi and A.L Silvestre (2006), “Existence of time-periodic solutions to the Navier Stokes equations around a moving body”, Pac J Math., 223, 251-267 [21] Y Taniuchi (1999), “On stability solutions of periodic solutions in unbounded domains”, Hokkaido Math J., 28, 147-173 [22] Y Taniuchi (2009), “On the uniqueness of time-periodic solutions to the Navier-Stokes equations in unbounded domains”, Math Z., 261, 597-615 94 [23] H Bohr (1925), “Zur Theorie der fastperiodische Funktionen, I and II Eine Verallgemeinerung der Theorie der Fourierreihen”, Acta Math., 45, 29-127 and 46, 101-214 [24] C Corduneanu (1968), “Almost Periodic Functions”, Wiley, New York [25] T Diagana (2013), “Almost automorphic type and almost periodic type funtions in abstract spaces”, Springer Cham Heidelberg New York Dordrecht London [26] B.M Levitan, V.V Zhikov (1982), “Almost Periodic Functions and Differential Equations”, Cambridge Univ Press, Cambridge [27] M Hieber, N.T Huy and A Seyfert (2017), “On periodic and almost periodic solutions to incompressible vicous fluid flow problems on the whole line”, Mathematics for Nonlinear Phenomena: Analysis and Computation, 51-81 [28] Thieu Huy Nguyen, Viet Duoc Trinh, Thi Ngoc Ha Vu, Thi Mai Vu (2017), “Boundedness, almost periodicity and stability of certain Navier–Stokes flows in unbounded domains”, Journal of Differential Equations, 263(12), 8979-9002 [29] R Farwig and Y Tanuichi (2011), “Uniqueness of almost periodic in time solutions to Navier-Stokes equations in unbounded domains”, J.Evol.Equ., 11, 485-508 [30] Vu, T.N.H., Nguyen, T.H and Vu, T.M (2020) “Parabolic evolution equations in interpolation spaces: boundedness, stability, and applications”, Z Angew Math Phys., 71(39) [31] C.Y Zhang (1994), “Pseudo almost periodic solutions of some differential equations”, J Math Anal Appl., 181(1), 62-76 [32] T Diagana (2008), “Weighted pseudo almost periodic solutions to some differential equations”, Nonlinear Anal., 68, 2250-2260 [33] E Alvarez and C Lizama (2015), “Weighted pseudo almost periodic solutions to a class of semilinear integro-differential equations in Banach spaces”, Advances in Difference Equations, 31 95 [34] T Diagana, RP Agarwal and E.M Harnaández (2008), “Weighted pseudo almost periodic solutions to some partial neutral functional differential equations”, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 8(3), 397 [35] T Diagana (2009), “Existence of weighted pseudo almost periodic solutions to some classes of hyperbolic evolution equations”, Journal of mathematical analysis and applications, 350(1), 18-28 [36] L L Zhang and H X Li (2011), “Weighted pseudo almost periodic solutions of second order neutral differential equations with piecewise constant argument, Nonlinear Analysis, 74(17), 6770-6780 [37] Y Li, G Lă u and X Meng (2019), “Weighted pseudo-almost periodic solutions and global exponential synchronization for delayed QVCNNs”, Journal of Inequalities and Applications, 231 [38] S Bochner (1961), “Uniform convergence of monotone sequences of functions”, Proceedings of the American Mathematical Society, 47, 582-585 [39] S Bochner (1962), “A new approach to almost periodicity”, Proc Natl Acad Sci USA, 48, 2039-2043 [40] G M N’Guérékata (2001), “Almost Automorphic and Almost Periodic Functions in Abstract Spaces”, Kluwer Acad/Plenum, New York-BostonMoscow-London [41] N Van-Minh, T Naito, and G M N’Guérékata (2006), “A spectral countability condition for almost automorphy of solutions of differential equations”, Proceedings of the American Mathematical Society, 139(1), 32573266 [42] G M N’Guérékata (2005), “Topics in Almost Automorphy”, Springer Science + Business Media, New York-Boston-Dordrecht-London-Moscow [43] N Van-Minh and T Tat Dat (2007) “On the almost automorphy of bounded solutions of differential equations with piecewise constant argument, J Math Anal and Appl., 326(1), 165-178 96 [44] Ezzinbi, K, Fatajou, G M N’Guérékata (2009), “Pseudo almost automorphic solutions to some neutral partial functional differential equations in Banach spaces”, Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., 70, 1641-1647 [45] Ti-Jun Xiao, Jin Liang, Jun Zhang (2008), “Pseudo almost automorphic solutions to semilinear differential equations in Banach spaces”, Semigroup Forum, 76 [46] J Blot, G M Mophou, G M Gurétékata and D Pennequin (2009), “Weighted pseudo almost automorphic functions and applications to abstract differential equations”, Nonlinear analysis, 71, 903-909 [47] V Casarino (2000), “Characterization of almost automorphic groups and semigroups”, Rend Accad Naz Sci XL Mem Mat Appl., 24(5), 219-235 [48] Z Xia and M Fan (2012), “Weighted Stepanov-like pseudo almost automorphy and applications”, Nonlinear Anal.: Theory Methods Appl., 75, 23782397 [49] T Diagana (2007), “Stepanov-like pseudo almost periodic functions and their applications to differential equations”, Commun Math Anal., 3, 918 [50] T Diagana and G N’Guérékata (2007), “Stepanov-like almost automorphic functions and applications to some semilinear equation”, Appl Anal., 86(6), 723-733 [51] H Ding, J Liang and T Xiao (2009), “Some properties of Stepanov-like almost automorphic functions and applications to abstract evolution equations”, Appl Anal., 88, 1079-1091 [52] T Diagana, G Mophou and G N’Guérékata (2010), “Existence of weighted pseudo-almost periodic solutions to some classes of differential equations with S p −weighted pseudo-almost periodic coefficients”, Nonlinear Anal., 72, 430-438 [53] G.M N’Guérékata and A Pankov, A (2008), “Stepanov-like almost automorphic functions and monotone evolution equations”, Nonlinear Anal., 68(9), 2658-2667 97 [54] B He, J Cao and B Yang (2015), “Weighted Stepanov-like pseudo-almost automorphic mild solutions for semilinear fractional differential equations”, Advances in Difference Equations, 74, 1-36 [55] Md Maqbul and D Bahuguna (2012), “On the Stepanov-like almost automorphic solutions of abstract differential equations”, Differ Equ Dyn Syst, 20(4), 377-394 [56] H.O Bae and H.J Choe (2001), “Decay rate for the incompressible flows in half space”, Math Z., 238, 799-816 [57] Y Fujigaki and T Miyakawa (2001), “Asymptotic profiles of nonstationary incompressible Navier-Stokes flows in the half-space”, Methods Appl Anal., 8(1), 121-157 [58] H.O Bae (2002), “Analyticity and asymptotics for the Stokes Solutions in a weighted space”, J Math.Anal Appl., 269, 149-171 [59] T Kobayashi and T Kubo (2013), “Weighted Lp −Lq estimates of the Stokes semigroup in some unbounded domains”, Tsukuba J Math., 37(2), 179-205 [60] T Kobayashi and T.Kubo (2016), “Weighted Lp − Lq estimates of Stokes semigroup in half-space and its application to the Navier-Stokes equations”, Advances in Mathematical Fluid Mechanics, Recent Developments of Mathematical Fluid Mechanics, 337-350 [61] P.C Fife and D.D Joseph (1969), “Existence of convective solutions of the generalized Bernard problem which are analytic in their norm”, Arch Rational Mech Anal., 33, 116-138 [62] J.R Cannon and E D Benedetto (1980), “The initial value problem for the Boussinesq equations with data in Lp , in Approximation Methods for Navier–Stokes Problems”, Lect Notes in Math., Springer-Verlag, Berlin, 771 [63] T Hishida (1995), “Global Existence and Exponential Stability of Convection”, J Math Anal Appl., 196, 699-721 98 [64] L.C.F Ferreira and E.J Villamizar-Roa (2006), “Well-posedness and asymptotic behaviour for the convection problem in Rn ”, Nonlinearity, 19, 21692191 [65] L.C.F Ferreira and E.J Villamizar-Roa (2008), “Existence of solutions to the convection problem in a pseudomeasure-type space”, Proc R Soc Lond Ser A Math Phys Eng Sci., 464(2096), 1983-1999 [66] L.C.F Ferreira and E.J Villamizar-Roa (2010), “On the stability problem for the Boussinesq equations in weak-Lp spaces”, Commun Pure Appl Anal., 9(3), 667–684 [67] E.J Villamizar-Roa, M.A Rodriguez-Bellido and M.A Rojas-medar (2010), “Periodic Solutions in Unbounded Domains for the Boussinesq System”, Acta Mathematica Sinica, 26(5), 837-862 [68] E Nakao (2020), “On time-periodic solutions to the Boussinesq equations in exterior domains”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 482(2), 123537 [69] K.J.Engel, R.Nagel (2000), “One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations”, Graduate Text Math., Springer, Berlin, 194 [70] J Bergh, J Lăofstrăom (1976), Interpolation Spaces, Springer, Berlin [71] H Triebel (1978), “Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators”, NorthHolland, Amsterdam [72] H.Komatsu (1981), “A general interpolation theorem of Marcinkiewicz type”, Tôhoku Math J., 33(2), 383-393 [73] W Borchers and T Miyakawa (1995), “On stability of exterior stationary Navier-Stokes flows”, Acta Math., 174, 311-382 [74] H.Bahouri, J.Y Chemin, R Danchin (2011), “Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations”, Springer, Berlin [75] He, B., Cao, J and Yang, B (2015), “Weighted Stepanov-like pseudo-almost automorphic mild solutions for semilinear fractional differential equations”, Adv Differ Equ., 74 99 [76] V.T.N Ha, N.T Huy, V.T Mai (2020), “Parabolic evolution equations in interpolation spaces: boundedness, stability, and applications, Zeitschrift fă ur Angewandte Mathematik und Physik ZAMP, 71(39), 1-17 [77] M Geissert, H Heck, M Hieber (2006), “Lp −Theory of the Navier-Stokes flow in the exterior of a moving or rotating obstacle”, J Reine Angew Math., 596, 45-62 [78] T Hishida, Y Shibata (2009), “Lp − Lq Estimate of the stokes operator and Navier-Stokes flows in the exterior of a rotating obstacle”, Arch Ration Mech Anal., 193, 339-421 [79] Y Shibata (2008), “On the Oseen semigroup with rotating effect, Functional Analysis and Evolution Equations, Birkhăauser, Basel, 595-611 [80] T Hishida (2004), “The nonstationary Stokes and Navier-Stokes flows through an aperture in Contributions to Current Challenges in Mathematical Fluid Mechanics, Advances in Mathematical Fluid Mechanics, Birkhăauser, Basel, 79-123 [81] L Brandolese and M.E Schonbek (2012), “Large time decay and growth for solutions of a viscous Boussineq system”, Trans Amer Math Soc., 364(10), 5057-5090 [82] M Yamazaki (2000), “Solutions in Morrey spaces of the Navier–Stokes equations with time-dependent external force”, Math Ann., 43, 419–460 100 ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LÊ THẾ SẮC TÍNH HẦU TUẦN HỒN, HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ LUỒNG THỦY KHÍ TRÊN TỒN TRỤC THỜI GIAN Ngành : Toán học Mã số :... án này, nghiên cứu tồn tại, tính ổn định nghiệm đủ tốt hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov, tựa hầu tuần hồn có trọng, tựa hầu tự đồng hình có trọng tựa hầu tự. .. định nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov, tựa hầu tuần hồn có trọng, tựa hầu tự đồng hình có trọng tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có