5. Cấu trúc của luận án
2.2.1 Sự tồn tại của một số lớp nghiệm
Trong phần này, chúng tôi xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính dạng
u0(t) +Au(t) =BG(u)(t), t ∈R, (2.14) trong đó A và B thỏa mãn Giả thiết 2.1.1và G :BC(R, Y) → BC(R, X).
Định nghĩa 2.2.1. Hàm liên tụcu:R → Y được gọi lànghiệm đủ tốtcủa phương trình (2.14) trên toàn trục thời gian nếu nó thỏa mãn phương trình tích phân
u(t) =
t
Z
−∞
e−(t−τ)ABG(u)(τ)dτ. (2.15) Không mất tính tổng quát, chúng tôi kí hiệu M(R, Y) thay thế cho một trong số các không gian sau:AP(R, Y),AA(R, Y),SpAA(R, Y), W P AP(R, Y),
W P AA(R, Y) và W SpAA(R, Y).
Với R >0 ta đặt:
BM(0, R) :=ω ∈ M(R, Y) : kωkBC(R,Y) ≤R .
Để chỉ ra sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm đủ tốt của phương trình nửa tuyến tính (2.15) trên quả cầu BM(0, R), chúng tôi cần thêm giả thiết sau cho toán tử phi tuyến G trong phương trình (2.14).
Giả thiết 2.2.2. Giả sử toán tử G : BC(R, Y) −→ BC(R, X) trong (2.14) biến một hàm thuộc M(R, Y) thành một hàm thuộc M(R, X) và thỏa mãn
kG(u)−G(v)kBC(R,X) ≤Lku−vkBC(R,Y), ∀u, v ∈BM(0, R),
với L, R >0 sao cho LL <˜ 1 và kG(0)kL∞(R,X) ≤ R(1−LL˜ )
˜
L .
Định lí 2.2.3. Giả sử Giả thiết 2.1.1 và Giả thiết 2.2.2 được thỏa mãn. Khi đó phương trình (2.14) có nghiệm đủ tốt duy nhất uˆ∈BM(0, R).
Chứng minh. Xét ánh xạ Φ như sau:
Φ : BC(R, Y)−→ BC(R, Y) v 7→ S(G(v)), xác định bởi Φ(v)(t) =S(G(v))(t) := t Z −∞ e−(t−s)AB(G(v))(s)ds, t∈ R. (2.16) Bổ đề 2.1.4 chỉ ra rằng toán tử S : BC(R, X)−→ BC(R, Y) là một toán tử tuyến tính thỏa mãn kS(G(v))kBC(R,Y) ≤LkG˜ (v)kBC(R,X), (2.17) 41
với hằng số L˜ được xác định như trong (2.7).
Ta sẽ chỉ ra rằng ánh xạ Φ biến quả cầu BM(0, R) thành chính nó và Φ là ánh xạ co trên BM(0, R). Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức (2.17) và Giả thiết 2.2.2 cho mỗi v ∈BM(0, R) ta được
kΦ(v)kBC(R,Y) ≤ kΦ(v)−Φ(0)kBC(R,Y)+kΦ(0)kBC(R,Y) ≤LLkvk˜ BC(R,Y) + ˜LkG(0)kL∞(R,X)
≤LLR˜ + ˜LkG(0)kL∞(R,X) ≤ R.
Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức (2.17) và tính Lipschitz của G trong Giả thiết 2.2.2 cho mọi u, v∈ BM(0, R) ta được
kΦ(u)−Φ(v)kBC(R,Y) ≤ LkG˜ (u)−G(v)kBC(R,X) ≤ LLku˜ −vkBC(R,Y).
Do LL <˜ 1 nên Φ là ánh xạ co. Theo nguyên lý ánh xạ co, tồn tại duy nhất điểm bất động uˆ∈BM(0, R) của Φ. Rõ ràng rằng uˆ là nghiệm đủ tốt của phương trình (2.14) trong BM(0, R).
Cuối cùng, ta sẽ chứng minh tính duy nhất nghiệm. Giả sử u ∈BM(0, R) là một nghiệm khác của phương trình (2.14). Khi đó ta có
kuˆ−ukBC(R,Y) =kS(G(ˆu)−G(u))kBC(R,Y) ≤ LkG˜ (ˆu)−G(u)kBC(R,Y) ≤ LLk˜ uˆ−ukBC(R,Y).
Do LL <˜ 1 nên uˆ = u và tính duy nhất nghiệm của (2.14) được chứng minh.