Bài viết đưa ra việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm của phương trình khuếch tán bậc phân số có dạng Dα C u(t) = ∆u(t) + f(t) với t ∈ [0;+∞ ) trong đó Dα C u(t) là đạo hàm của hàm u theo nghĩa Caputo, là toán tử Laplace trên không gian X=L2 (Ω) và f là hàm bị chặn đa thức.
TẠP CHÍ KHOA HỌC – ĐẠI HỌC TÂY BẮC Khoa học Tự nhiên Công nghệ Nguyễn Thanh Tùng & Lê Văn Kiên (2021) (22): - DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN BẬC PHÂN SỐ Nguyễn Thanh Tùng, Lê Văn Kiên Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt: Bài báo đưa việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình khuếch tán bậc α phân số có dạng DC u (t ) = ∆u (t ) + f (t ) với t ∈ [0; +∞) DCα u (t ) đạo hàm hàm u theo nghĩa Caputo, tốn tử Laplace khơng gian X=L2 (Ω) f hàm bị chặn đa thức Kết khẳng định u nghiệm nhẹ toán Cauchy thỏa mãn điều kiện liên tục bị chặn BUC(R+,X) với chuẩn có trọng đa thức hội tụ khơng không gian này, thỏa mãn số điều kiện ergodic Kết thu mở rộng số kết biết tính ổn định nghiệm phương trình khuếch tán bậc phân số Tốn tử ∆ toán tử cụ thể ứng dụng [7] để nghiên cứu Phương trình khuếch tán, có nhiều ứng dụng Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Chúng trường hợp cụ thể tranh minh họa phổ giải thức toán tử Laplace trường hợp rời rạc đếm điều kiện phổ giao với trục ảo đếm Chúng sử dụng ký hiệu , + , , tương ứng tập số thực, tập số thực không âm, tập số phức không gian Banach thực (hoặc phức) Trong trường hợp không làm thay đổi kết quả, ta sử dụng ký hiệu J tập hợp thay cho + Với n ∈ , kí hiệu BCn ( + , X ) không gian hàm f liên tục + có giá trị khơng gian Banach X thỏa mãn liên tục liên tục n − hàm f liên tục + có giá trị X ký hiệu BUCn ( + , X ) Không gian với chuẩn xác định (2) không gian Banach (xem [7, Bổ đề 2.3]) Ví dụ 1.1 Cho f ∈ BCn ( + , ) Nếu đạo hàm f ′ ∈ BCn ( + , ) f ∈ BUCn ( + , ) Ký hiệu Ta chứng minh C0,n ( + , ) không gian đóng BUCn ( + , ) bất biến theo nửa nhóm dịch chuyển {S (t )}t ≥0 Định nghĩa 1.1 Hàm Gamma Γ hàm xác định hệ thức ∞ − x p −1 Γ( p ) = ∫ e x dx BCn ( + , X ) với chuẩn xác định (1) không gian định chuẩn + Ta nói rằng, hàm f : → X n − hàm Ở p số thực Từ Định nghĩa 1.1 ta có Γ(1) = Γ(2) =Γ 1, ( z + 1) =Γ z ( z ), Γ(n) = (n − 1)!, n ∈ , Γ( )= 2 π , Γ(n + )= 1.1 Đạo hàm theo nghĩa Caputo Định nghĩa.1.2 Cho trước số thực dương α [a, b] ⊂ Đạo hàm bậc π 2n (2n − 1)!, n ∈ phân số Riemann-Liouville cấp α hàm f :[a, b] → cho RL t0 Dtα f (t ) := d n n −α dn [ I f ( t )] = ⋅ t dt n Γ(n − α ) dt n ( ∫ (t − s) t t0 n := [α ] số nguyên nhỏ lớn dn đạo hàm thông α dt n thường cấp n Ví dụ.1.2 Cho hàm t ≥ 0, 1, f (t ) = 0, t < n −α −1 hàm f (t ) : RL t −α Dt f (t ) = Γ(1 − α ) α Với t > α > 0, ta xét hàm t α −1 gα (t ) = Giả sử a ≥ số cho, hàm Γ(α ) t J a u (t ) :=( gα ∗ u )(t ) =∫ gα (t − τ )u (τ )dτ , t ≥ a α Sử dụng Định nghĩa (1.2), ta xác định đạo hàm phân số Riemann-Liouville cấp α ) f ( s )ds , a gọi toán tử đạo hàm phân số RiemannLiouville bậc α Hàm t n −α ( n ) u ( n ) (τ ) dτ , n − < α < n ∈ , = J u (t ) DCα u (t ) := Γ(n − α ) ∫a (t − τ )α +1− n u ( n ) (t ), α = n ∈ , gọi đạo hàm phân số Caputo bậc α Với < α ≤ 1, ta có t DCα u (t ) = J 1−α u (t ) ⇔ J aα DCα u (t ) = J a u (t ) =∫ u (τ )dτ = u (t ) − u (a ) Γ(1) a 1.2 Bài tốn Cauchy Ví dụ 1.3 Lấy= a 0,= , n 1, f = (t ) t , α = ta có t 1 t DC2 t = dτ = 1/2 ∫ Γ(1/ 2) (t − τ ) π Cho số cố định < α ≤ 1, ta xét toán Cauchy DCα u (t ) = ∆u (t ), u (0) = x (4) Khi ta có, u (t ) − u (0) = J 0α DCα u (t ) = J 0α ∆u (t ) = t ∫ t gα (t − s )∆u ( s )ds, tức u (t ) = x + ∫ gα (t − s )∆u ( s )ds (5) Trong báo này, ta xét phương trình tuyến tính khơng dạng DCα u (t ) = ∆u (t ) + f (t ), t ≥ (6) Ở < α ≤ cố định f ∈ C0,n ( + , ) cho Định nghĩa 1.3 Nghiệm nhẹ u phương trình (6) + hàm liên tục + , thỏa mãn với t ∈ + , J α u (t ) ∈ D(∆) u (t ) = x + ∆ ( ∫ g (t −τ )u(τ )dτ ) + ∫ g (t −τ ) f (τ )dτ (7) t a t α a α 1.3 Lý thuyết phổ hàm đa thức bị chặn Với f ∈ BUCn ( , ), Laplace f , + biến đổi Kí hiệu kí hiệu tốn tử vi phân d dt BUCn ( + , ) với miền xác định D( ) = { f ∈ BUCn ( + , ) : ∃f ′ ∈ BUCn (, )} ∞ ζ f (λ ) := ∫ e − λt f (t )dt với ℜλ > (ℜλ phần thực λ ∈ ) định nghĩa phổ Sp+ ( f ) tập hợp tất số thực ξ , cho biến đổi Laplace khơng có thác triển giải tích cho vùng lân cận iξ Vấn đề đặt phổ kiểm soát dáng điệu tiệm cận hàm f nửa trục + khơng rõ ràng tính không bị chặn hàm đa thức bị chặn f Trong phần thảo luận cách tiếp cận lý thuyết phổ f làm số điều kiện “ergodic”, kiểm sốt dáng điệu hàm f ∈ BUCn ( + , ) Chúng ta bắt đầu với nửa nhóm dịch chuyển ( S (t )t ≥0 ) BUCn ( + , ), chẳng hạn S (t )= f : f (t + ⋅) với f ∈ BUCn ( + , ) Bổ đề 1.1 ([7]) Với t ≥ 0, ta có Các khẳng định sau Nửa nhóm dịch chuyển {S (t )}t ≥0 BUCn ( + , ) liên tục mạnh; Hàm sinh vô hạn G {S (t )}t ≥0 toán tử đạo hàm D BUCn ( + , ) 1.4 Toán tử Trong không gian BUCn ( + , ) ta xét quan hệ R sau f R g f − g ∈ C0,n ( + , ), (9) quan hệ tương đương Không gian thương BUCn ( + , ) / R không gian Banach Đối với đại diện f ∈ BUCn ( + , ), ta ký hiệu f phần tử thuộc BUCn ( + , ) / R BUC ( + , ) / R có miền Toán tử n xác định xác định sau: )= { f ∈ BUC ( + , ) / R : ∃u ∈ f , u ∈ D( ), f := u} D( n tốn tử tuyến tính đơn trị Bổ đề 1.3 f ∈ BUCn (, ), ta xét Với ˆ hàm phức f (λ ) theo λ ∈ xác định −1 f fˆ (λ= ) : (λ − D) −1 f (λ − D) n Bổ đề 1.4 ([7]) fˆ (λ ) tồn hàm giải tích λ ∈ \ i Ngoài ra, với λ ∈ \ i eℜλ Γ(n + 1, ℜλ ) ≤ f n (ℜλ ) n +1 Định nghĩa 1.4 Với n ∈ cố định f ∈ BUCn ( + , ), tập hợp tất điểm ξ ∈ cho fˆ (λ ) khơng có thác triển giải tích cho lân cận iξ gọi phổ f , kí hiệu σ n ( f ) (10) Bổ đề 1.5 ([7]) Cho N số tự nhiên f ( z ) hàm phức lấy giá trị chỉnh hình \ i cho với số dương M độc lập với z thỏa mãn Giả sử thêm iξ ∈ i điểm cô lập f ( z ) mà khai triển Laurent có dạng ∞ f ( z ) = ∑ an ( z − iξ ) n , an = n = −∞ f ( z) dz (13) n +1 ∫ 2π i | z −iξ |= ( z i ) − ξ r Khi Khi đó, iξ điểm cô lập gˆ Định lý 1.1 ([7])Cho g ∈ BUCn ( + , ) Khi Nếu ξ điểm lập thuộc σ n ( g ) iξ điểm cực điểm kỳ dị gˆ (λ ) có bậc nhỏ n + 1; Nếu σ n ( g ) = ∅, g ∈ C0,n ( + , ); σ n ( g ) tập đóng + Hệ 1.1 ([7]) Cho g ∈ BUCn ( , X ) iξ điểm lập gˆ (λ ) ξ ∈ , g = limη R (η + iξ , D) (15) Kết Áp dụng lý thuyết phổ n − hàm bị chặn (đã đưa phần trước) để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm nhẹ cho phương trình khuếch tán bậc phân số có dạng Dα u (t ) = ∆u (t ) + f (t ), C u (0) = x, < α ≤ cố định, f phần tử C0,n ( + , ) Nhớ lại nghiệm nhẹ u + toán hàm liên tục + , thỏa mãn J α u (t ) ∈ D(∆) η ↓0 u (t ) = x + ∆ + với t ∈ ( ∫ g (t −τ )u(τ )dτ ) + ∫ g (t −τ ) f (τ )dτ , t a t α α a (16) u (t ) = x + ∆J α u (t ) + J α f (t ), ∀t ∈ + (17) 2.1 Ước lượng phổ n − nghiệm bị chặn Ta ký hiệu ρ (∆, α ) tập tất ξ ∈ cho (λ α − ∆) có nghịch đảo (λ α − ∆) −1 hàm giải tích lân cận ξ ký hiệu Trước hết, ta giả thiết ℜλ > Khi với n − hàm bị chặn h, từ Bổ đề 1.4 , ta có −1 h = hˆ(λ ) =− (λ D) g , Σ(∆,= α ) : \ ρ (∆, α ) = g (t ) ∫ ∞ t s) eλ (t −= h( s )ds ∫ ∞ e − λξ h(t + ξ )d ξ Do với h ∈ BUCn ( + , ), [hˆ(λ )](t ) = ζ ( S (t )h)(λ ) u (t + s ), f s (t ) := f (t + s ) với t ≥ 0, ta có Tiếp theo, với s ∈ + , đặt us (t ) := us (t ) = ∆J sα us (t ) + J sα f s (t ) + u ( s ) (18) Biến đổi Laplace hai vế (18) ta ζ us (λ ) = λ −α ∆ζ us (λ ) + λ −α ζ f s (λ ) + λ −1u ( s ) Do λ 1−α (λ α − = ∆)ζ us (λ ) λ 1−α ζ f s (λ ) + u ( s ) Tiếp theo, với λ thuộc lân cận điểm iξ ξ ∈ ρ (∆, α ) ξ =/ 0, ζ us (λ= ) (λ α − ∆) −1ζ f s (λ ) + λ α −1 (λ α − ∆) −1 u ( s ) Nhắc lại = ζ ( S ( s )u )(λ ) ζ= us (λ ), ζ ( S ( s ) f )(λ ) ζ f s (λ ) Do = uˆ (λ ) (λ α − ∆) −1 fˆ (λ ) + λ α −1 (λ α − ∆) −1 u Như giả thiết, ˆ f ∈ C0,n ( , ), f (λ ) = 0, đó, với ℜλ > 0, α −1 α −1 = uˆ (λ ) λ (λ − ∆) u (19) + ℜλ > đĩa mở B(iξ , r ) (r > 0) Khi đó, G (λ ) = uˆ (λ ) với ℜλ < đĩa B(ξ , r ) B(ξ , r ), hàm minh Trong λ (λ − D) R(1, D)G (λ ) hàm giải tích Chứng Ta ký hiệu Rα= (λ , ∆) : λ α −1 (λ α − ∆) −1 Bổ đề 2.1([7]) Cho u ∈ BUCn ( + , ), ξ ∈ hàm G (λ ) (theo biến λ ) thác triển −1 u với giải tích hàm uˆ (λ= ) (λ − D) B(iξ ) với ℜλ > 0, Khi đó, B (iξ ) với ℜλ > R(1, D) G (λ ) hàm R (1, D) u toàn Điều suy hàm λ (λ − D) B(iξ , r ) G (λ ) R= R(1, D )u R (1, D) R(λ , D) u Do đó, với ℜλ < 0, 0, R(1, D) Do đó, ℜλ có thác triển giải tích miền lân cận iξ Do (19) nên hệ chứng minh Định nghĩa 2.1 Hàm h ∈ BUCn ( + , ) cho n − ergodic iη với ≤ j ≤ n + 1, = M ηj (h) : lim α j R(α + iη , D)h α ↓0 tồn BUCn ( + , ) Định lý 2.1 Cho u ∈ BUCn ( , ) nghiệm nhẹ Bài toán (6) Giả sử + Σ(∆, α ) ∩ i đếm được; u (t ) = t →+∞ (1 + t ) n Chứng minh (21) Do hệ Điều mâu thuẫn với chứng minh σ n (u ) rỗng Do Định lý 1.1, u ∈ C0,n ( + , X ) Định lý chứng minh Khi f = 0, Bài toán (6) trở thành Bài toán (4) Nghiệm mềm toán (4) xác định khoảng + hàm liên tục u xác định J thỏa mãn (5) với t ≥ Định nghĩa 2.2 Một họ toán tử {Sα (t )}t ≥0 ⊂ L() gọi toán tử giải thức (4) • {Sα (t )}t ≥0 liên tục mạnh và Sα (0) = I , u n − ergodic iη tập này, M ηj (u ) = với ≤ j ≤ n + Khi lim khơng tập rỗng có điểm lập, chẳng hạn iξ Do đó, iξ điểm lập uˆ (λ ) Bởi Định lý 1.1 , iξ điểm đơn cực Tuy nhiên, điều giả sử thứ hai Hệ 1.1, điểm cực đơn bị loại bỏ Điều có nghĩa iξ điểm quy uˆ (λ ), ξ ∈/ σ n (u ) 2.1 iσ n (u ) ⊂ Σ( A, α ) ∩ i Vì vậy, theo điều giả sử thứ đếm được.Bởi điều giả sử thứ hai, ta khẳng định σ n (u ) tập rỗng Thật vậy, iσ n (u ) đếm đóng, nên • Sα (t ) (∆) ⊂ (∆), ∆Sα (t ) x= Sα (t )∆x, x ∈ (∆), t ≥ 0, • Sα (t ) x nghiệm (4) với x ∈ D(∆) Nếu Bài tốn (4) có tốn tử giải thức Sα (t ), (xem [8, Proposition 1.1]) với nghiệm nhẹ u dạng u (t ) = Sα (t )u (0) Hệ 2.2 Giả sử (4) xác định toán tử giải thức {Sα (t )}t ≥0 Sα (t ) thỏa mãn limη Rα (η j + iζ , ∆) x = η ↑0 Σ(∆, α ) ∩ i đếm ; Tại iζ ∈ Σ(∆, α ) ∩ i, x ∈ X (23) Khi đó, với nghiệm nhẹ + u (⋅)= Sα (⋅) x0 ∈ BUCn ( , ) Bài toán (4) thỏa mãn ≤ j ≤ n + 1, Chứng minh Ta nhận thấy điều kiện ergodic Định lý 2.1 thỏa mãn Do (19 ) ta có Lời cảm ơn: Bài báo sản phẩm Đề tài KHCN cấp Bộ Giáo dục Đào tạo Mã số B2019-TTB-01 Tài liệu tham khảo [1] W Arendt, C J.K Batty Almost periodic solutions of first- and secondorder Cauchy problems J Differential Equations, 137 (1997), no 2, 363-383 [2] W Arendt, C J.K Batty Tauberian theorems and stability of one-parameter semigroups Trans Amer Math Soc 306 (1988), 837-852 [5] A G Baskakov, Harmonic and spectral analysis of power bounded operators and bounded semigroups of operators on a Banach space (Russian) Mat Zametki 97(2015), no 2, 174 190; translation in Math Notes 97 (2015), no 1-2, 164-178 [6] A Batkai, K.J Engel, J Pruss, R Schnaubelt, Polynomial stability of operator semigroups Math Nachr 279 (2006), no 13-14, 1425-1440 [3] W Arendt, C.J.K Batty, M Hieber, F Neubrander, Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems Second edition Monographs in Mathematics, 96 Birkhauser/Springer Basel AG, Basel, 2011 [7] Nguyen Van Minh and Vu Trong Luong.”Asymptotic Behavior of Polynomially Bounded Solutions of Linear Fractional Differential Equations” December 2, 2019, preprint [4] B Baeumer, M.M Meerschaert, and E Nane, Brownian subordinators and fractional Cauchy problems, Trans Am Math Soc, 361 (2009), pp 3915-3930 [8] J Pruss, “Evolutionary integral equations and applications” Monographs in Mathematics, 87 Birkhauser Verlag, Basel, 1993 Abtract: In this paper we present a simple spectral theory of polynomially bounded functions on the half line, and then apply it to study the asymptotic behavior of solutions of fractional differential equations of the form DCα u (t ) = ∆u (t ) + f (t ) , where DCα u (t ) is the derivative of the function u in Caputo’s sense, ∆ is Laplace operator, f is polynomially bounded Our main result claims that if u is a mild solution of the Cauchy problem such that it is bounded uniform continuous in BUCn ( + , X ) then u → 0, t → ∞ in BUCn ( + , X ) and u satisfies some ergodic conditions with zero means The obtained result extends known results on strong stability of solutions to fractional equations Ngày nhận bài: 31/5/2020 Ngày nhận đăng: 26/7/2020 Liên lạc: Email-tungnt@utb.edu.vn ... D) (15) Kết Áp dụng lý thuyết phổ n − hàm bị chặn (đã đưa phần trước) để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm nhẹ cho phương trình khuếch tán bậc phân số có dạng Dα u (t ) = ∆u (t ) + f (t ),... hợp tất số thực ξ , cho biến đổi Laplace khơng có thác triển giải tích cho vùng lân cận iξ Vấn đề đặt phổ kiểm sốt dáng điệu tiệm cận hàm f nửa trục + khơng rõ ràng tính khơng bị chặn hàm... khơng rõ ràng tính khơng bị chặn hàm đa thức bị chặn f Trong phần thảo luận cách tiếp cận lý thuyết phổ f làm số điều kiện “ergodic”, kiểm sốt dáng điệu hàm f ∈ BUCn ( + , ) Chúng ta bắt đầu