Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian TT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- LÊ THẾ SẮC TÍNH HẦU TUẦN HỒN, HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ LUỒNG THỦY KHÍ TRÊN TỒN TRỤC THỜI GIAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2022 MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Nghiên cứu nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến tính chất nghiệm phương trình tiến hóa theo thời gian Đối với trường hợp nghiệm tuần hoàn, số phương pháp nguyên lý Massera, nguyên lý điểm bất động Tikhonov hay hàm Lyapunov áp dụng cho số lớp phương trình vi phân cụ thể Các phương pháp phổ biến cho việc chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn tính bị chặn nghiệm tính compact ánh xạ Poincaré thông qua phép nhúng compact Tuy nhiên, với trường hợp phương trình đạo hàm riêng miền khơng bị chặn hay phương trình có nghiệm khơng bị chặn phép nhúng compact khơng cịn tồn nghiệm bị chặn khó đạt Bằng cách sử dụng tính chất nội suy khơng gian Lp yếu, Yamazaki nhiều tác giả khác tồn tính ổn định nghiệm tuần hồn miền ngoại vi Nguyễn Thiệu Huy & cộng kết hợp nguyên lý dạng Massera không gian nội suy, hàm tử nội suy kết hợp với phương pháp Ergodic để chứng minh tồn nghiệm tuần hồn phương trình học chất lỏng phương trình truyền nhiệt với hệ số thơ, phương trình Ornstein - Uhlenbeck Gần đây, Nguyễn Thiệu Huy & cộng sự tồn tại, tính ổn định cấp đa thức nghiệm hầu tuần hoàn cho lớp phương trình tiến hóa parabolic tổng qt khơng gian nội suy Khái niệm hàm hầu tuần hồn có trọng giới thiệu Zhang vào năm 1994 Sau đó, Diagana đưa khái niệm hàm tựa hầu tuần hồn có trọng vào năm 2008 Trong năm gần đây, loại hàm nhận nhiều quan tâm nhà toán học Khái niệm hàm hầu tự đồng hình lần đầu giới thiệu Bochner tổng quát hóa hàm hầu tuần hồn cơng trình nghiên cứu hình học vi phân có liên quan tới nhóm rời rạc Sau đó, nhóm nghiên cứu N’Guérékata Xiao tổng quát hóa khái niệm hàm hầu tự đồng hình hàm hầu tự đồng hình có trọng Khái niệm hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov đưa Casarino khái quát hóa hàm hầu tự đồng hình theo ý tưởng Stepanov Tiếp nối phát triển đời hàm tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng giới thiệu Xia & Fan Trong luận án này, chúng tơi tiếp tục nghiên cứu tốn tồn tại, tính ổn định cấp đa thức số lớp nghiệm đủ tốt định nghĩa tồn trục thời gian cho dạng phương trình sau: • Dạng Xét phương trình tiến hóa tổng quát dạng: u (t) + Au(t) = BG(u)(t), t ∈ R (1) • Dạng Xét phương trình Navier-Stokes nửa không gian Rn+ :   ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇π = divF R × Rn+ ,     ∇·u = R × Rn+ , (2) u(t, x) = R × ∂Rn+ ,     lim u(t, x) = với t ∈ R  |x|→∞ • Dạng Xét hệ phương trình Boussinesq dạng   ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇p = θg + divF    ∇·u =  θt − ∆θ + (u · ∇)θ = divf    u(t, x) = θ(t, x) = R × Ω, R × Ω, R × Ω, R × ∂Ω (3) Đối với phương trình (1), tác Geissert, Hieber Nguyễn Thiệu Huy tồn tại, tính ổn định nghiệm bị chặn, nghiệm hầu tuần hồn với nửa nhóm ổn định cấp đa thức Kobayashi & Kubo tồn tại, dáng điệu tiệm cận nghiệm đủ tốt phương trình (2) Trong Fife, Cannon, Hishida Ferreira tồn nghiệm yếu nghiệm đủ tốt Roa Nakao tồn nghiệm tuần hoàn phương trình (3) Tuy nhiên, tồn nghiệm đủ tốt hầu tuần hồn, tựa hầu tuần hồn có trọng, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov tựa hầu tự đồng hình có trọng định nghĩa tồn trục thời gian tính ổn định phương trình vấn đề mở Từ lịch sử trình nghiên cứu lý dẫn chúng tơi đến việc lựa chọn đề tài: Tính hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình dáng điệu tiệm cận số luồng thủy khí tồn trục thời gian 2 Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu luận án: Nghiên cứu tồn tại, tính ổn định nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình số lớp nghiệm có trọng phương trình (1), (2) (3) khơng gian nội suy • Đối tượng nghiên cứu luận án: Một số lớp nghiệm đủ tốt phương trình (1), (2) (3) miền khơng bị chặn tồn trục thời gian R khơng gian nội suy không gian Lorentz, không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt khơng gian tích Đề-Các khơng gian Lorentz • Phạm vi nghiên cứu luận án: Luận án nghiên cứu tồn tại, tính ổn định nghiệm đủ tốt hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov, tựa hầu tuần hồn có trọng, tựa hầu tự đồng hình có trọng tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng tương ứng với ba lớp phương trình: - Phương trình tiến hóa parabolic tổng quát có dạng (1) với điều kiện nửa nhóm liên kết ổn định cấp đa thức không gian nội suy tổng quát Sau áp dụng vào phương trình động lực học thủy khí dạng Navier-Stokes miền khơng bị chặn - Phương trình Navier-Stokes (2) nửa khơng gian khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt - Phương trình Boussinesq (3) miền khơng bị chặn khơng gian tích Đề-Các khơng gian Lorentz Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng phép chiếu Helmholtz dạng ma trận hệ phương trình để chuyển phương trình cụ thể dạng tổng quát • Sử dụng lý thuyết hàm hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình, loại hàm có trọng, lý thuyết nội suy, đánh giá Lp − Lq , bất đẳng thức đối ngẫu để chứng minh nguyên lý dạng Massera việc tồn số lớp nghiệm phương trình tuyến tính • Sử dụng đánh giá Lp − Lq , đánh giá Lp − Lq có trọng nguyên lý ánh xạ co để nghiên cứu tồn tính ổn định số lớp nghiệm phương trình nửa tuyến tính Kết luận án Luận án chứng minh tồn tại, tính ổn định cấp đa thức nghiệm đủ tốt hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov, tựa hầu tuần hồn có trọng, tựa hầu tự đồng hình có trọng tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng cho ba lớp phương trình sau đây: • Phương trình tiến hóa parabolic (1) khơng gian nội suy tổng qt Sau áp dụng vào phương trình động lực học thủy khí Các kết nằm Chương mở rộng kết trước việc nghiên cứu lớp nghiệm đủ tốt tồn trục thời gian • Phương trình Navier-Stokes nửa khơng gian (2) khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt Các kết nằm Chương mở rộng phần kết Chương phương trình Navier-Stokes Đặc biệt, trọng Muckenhoupt ta thu kết tính ổn định cấp đa thức Chương • Phương trình Boussinesq miền ngoại vi (3) khơng gian tích Đề-Các khơng gian Lorentz Các kết nằm Chương mở rộng kết Chương phương trình Navier-Stokes miền Đặc biệt, hàm nhiệt độ ta thu kết Chương Các kết nghiên cứu luận án viết thành 04 báo 01 thảo gửi đăng liệt kê “Danh mục công trình cơng bố luận án" Cấu trúc luận án Ngoài phần: Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Một số kí hiệu dùng luận án, Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Danh mục cơng trình cơng bố luận án, luận án chia thành chương sau: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Sự tồn tính ổn định số lớp nghiệm phương trình tiến hóa khơng gian nội suy Chương Một số lớp nghiệm phương trình Navier-Stokes khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt Chương Một số lớp nghiệm phương trình Boussinesq miền khơng bị chặn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nửa nhóm Nhắc lại số định nghĩa tính chất nửa nhóm, nửa nhóm liên tục mạnh nửa nhóm giải tích 1.2 Khơng gian nội suy số lớp hàm Định nghĩa 1.2.1 Cho X0 , X1 không gian Banach Cặp (X0 , X1 ) gọi cặp nội suy X0 X1 nhúng liên tục vào không gian véc tơ tơpơ Hausdorff V Khi X0 ∩ X1 khơng gian V không gian Banach với chuẩn: x X0 ∩X1 := x X0 + x X1 Tổng X0 + X1 := {x = x0 + x1 : x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 } không gian V khơng gian Banach với chuẩn: x X0 +X1 := inf{ x0 X0 + x1 : x = x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 } X1 Với cặp nội suy (X0 , X1 ), ta gọi không gian Banach X thỏa mãn X0 ∩ X1 ⊆ X ⊆ X0 + X1 , với phép nhúng liên tục không gian nội suy X0 X1 1.2.1 Không gian nội suy thực Cho cặp nội suy (X0 , X1 ) Với x ∈ X0 + X1 t ≥ 0, ta đặt K(t, x) := inf { x0 X0 + t x1 X1 , x = x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 } Định nghĩa 1.2.2 Cho θ ∈ (0, 1) q ∈ [1, ∞] Ta định nghĩa số không gian nội suy thực sau: i) (X0 , X1 )θ,q := x ∈ X0 + X1 : x  x (X0 ,X1 )θ,q (X0 ,X1 )θ,q < ∞ ,  1q ∞ :=  [t−θ K(t, x)]q dt  với q < ∞ t x (X0 ,X1 )θ,∞ := sup t−θ K(t, x) t∈(0,∞) x ∈ (X0 , X1 )θ,∞ : lim+ t−θ K(t, x) = lim t−θ K(t, x) = ii) (X0 , X1 )θ := 1.2.2 t→∞ t→0 Không gian Lorentz Cho Ω miền thuộc Rn với biên trơn Ta kí hiệu: ∞ ∞ (Ω) C0,σ (Ω) := {v ∈ C0∞ (Ω) : divv = Ω}, Lpσ (Ω) := C0,σ · Lp Định nghĩa 1.2.3 Với < p < ∞ ≤ q ≤ ∞, không gian Lorentz định nghĩa sau: Lp,q (Ω) = u ∈ L1loc (Ω) : u p,q < ∞ ,  u với p,q 1/q ∞ sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})1/p = q ds  s , 1≤q s})1/p (Ω) := s>0 p Lw (Ω) không gian Lp yếu Mệnh đề 1.2.4 Nếu < p0 < p < p1 < ∞, q ∈ [1, ∞] θ ∈ (0, 1) thỏa mãn 1−θ θ = + p p0 p1 Lp,q (Ω) = (Lp0 (Ω), Lp1 (Ω))θ,q Với < r < ∞, cho P = Pr phép chiếu Helmholtz Lr (Ω), nghĩa phép chiếu Lrσ (Ω) tương đương với phân rã Helmholtz: ¯ Lr (Ω) = Lrσ (Ω) ⊕ {∇p ∈ Lr (Ω) : p ∈ Lrloc (Ω)} r0 r1 Đặt Lr,q σ (Ω) := (Lσ (Ω), Lσ (Ω))θ,q , với < r0 ≤ r ≤ r1 < ∞, ≤ q ≤ ∞ θ 1−θ = + r r0 r1 Kí hiệu Lrσ,w (Ω) := Lr,∞ σ (Ω) 1.2.3 Khơng gian Lorentz với trọng Muckenhoupt Định nghĩa 1.2.5 Với < q < ∞, hàm trọng ≤ ω ∈ L1loc (Rn ) gọi thuộc lớp Muckenhoupt Aq (Rn ) thỏa mãn   q−1  sup  |Q| Q  ωdx  |Q| Q  ω −1/(q−1) dx < ∞, Q Q ⊂ Rn |Q| độ đo Lebesgues Q Định nghĩa 1.2.6 Với < q < ∞, không gian Lq (Rn+ ) với trọng Muckenhoupt ω ∈ Aq (Rn ) định nghĩa sau:   1/q          q 1/q q n n |u| ωdx < ∞ Lω (R+ ) = u ∈ Lloc (R+ ) : u Lqω (Rn+ ) = uω Lq (Rn+ ) =        Rn+ Tương tự, ta có định nghĩa khơng gian Sobolev có trọng sau Wωk,q (Rn+ ) = {u ∈ Lqω (Rn+ ) : ∇α u ∈ Lqω (Rn+ ), |α| ≤ k} , ˆ ωk,q (Rn+ ) = u ∈ L1loc (Rn+ ) : ∇α u ∈ Lqω (Rn+ ), |α| = k , W với < q < ∞, k ∈ N ω ∈ Aq (Rn ) Không gian Wωk,q (Rn+ ) không gian Banach với chuẩn  1/q u Wωk,q (Rn+ ) ∇α u :=  q  Lqω (Rn+ ) |α|≤k Áp dụng phân rã Helmholtz Lqω (Rn+ ) ta ˆ ω1,q (Rn+ ), Lqω (Rn+ ) = Lqω,σ (Rn+ ) ⊕ ∇W Lqω,σ (Rn+ ) = {u ∈ Lqω (Rn+ ) C0∞ (Rn+ ) : ∇ · u = 0} , ˆ ω1,q (Rn+ ) = ∇π : π ∈ W ˆ ω1,q (Rn+ ) ∇W n q0 q1 Đặt Lq,r ω,σ (R+ ) := (Lω,σ , Lω,σ )θ,r , với < q0 ≤ q ≤ q1 < ∞, ≤ r ≤ ∞ θ 1−θ = + q q0 q1 1.2.4 Không gian Besov Cho χ ∈ C ∞ (Rn , R) cho suppχ ⊆ B(0, 4/3), ≤ χ ≤ χ ≡ B(0, 4/3) Đặt φ(ξ) := χ(ξ/2) − χ(ξ) h := F −1 φ với F biến đổi Fourier ˙ j )j∈Z xác định Phép phân hoạch Littlewood-Paley (∆ ˙ j u(x) = 2jn ∆ h(2j y)u(x − y)dy = F−1 φ(2−j )F)(x) Rn ˙ j u Hơn nữa, chúng tơi xét tốn tử S˙ j u = j ≤j−1 ∆ Với s ∈ R p, q ∈ [1, ∞], không gian Besov xác định s B˙ p,q (Rn ) = {u ∈ Sh : u s B˙ p,q < ∞} với Sh tập tất hàm suy rộng ơn hịa u cho lim Sj u = j→−∞ tôpô hàm suy rộng ơn hịa  u s B˙ p,q 1/q q  Lp ˙ ju 2sqj ∆ = , q tồn số thực Lε > cho với a ∈ R tìm T ∈ [a, a + Lε ] thỏa mãn f (t + T ) − f (t) X < ε, ∀t ∈ R Kí hiệu tập hàm hầu tuần hồn từ R → X AP (R, X) khơng gian Banach với chuẩn sup √ Ví dụ 1.2.8 Hàm f (t) = sin t + sin 2t hầu tuần hồn khơng tuần hồn Định nghĩa 1.2.9 Hàm liên tục f : R → X gọi hầu tự đồng hình với dãy số thực (σn ), tồn dãy (σn ) hàm g(t) cho g(t) = lim f (t + σn ) f (t) = lim g(t − σn ) n→∞ n→∞ (1.1) xác định với t ∈ R Kí hiệu tập hàm hầu tự đồng hình với giá trị khơng gian Banach X AA(R, X) khơng gian Banach với chuẩn sup √ + sin t + sin 2t Ví dụ 1.2.10 Hàm f (t) = cos hầu tự đồng hình khơng hầu tuần hồn Định nghĩa 1.2.11 Hàm f ∈ Lploc (R, X) gọi bị chặn p-Stepanov 1/p  t+1 f Sp f (s) := sup  p t∈R < ∞ ds t Kí hiệu tập hàm bị chặn p−Stepanov Lps (R, X) Định nghĩa 1.2.12 Hàm f ∈ Lps (R, X) gọi hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov với dãy số thực (σn ), tồn dãy (σn ) hàm g ∈ Lploc (R, X) cho  1/p f (t + s + σn ) − g(t + s)  p X ds −→ 0,  1/p g(t + s − σn ) − f (t + s)  n → ∞ với t ∈ R p X ds −→ Kí hiệu tập hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov S p AA(R, X) khơng gian Banach với chuẩn: 1/p  t+1 f Sp = sup  f (s) t∈R p ds t 1.2.6 Hàm tựa hầu tuần hồn, tựa hầu tự đồng hình có trọng Kí hiệu U := {ρ : R → R+ |ρ khả tích địa phương} Với r > với ρ ∈ U, ta đặt r ρ(x)dx U∞ := ρ ∈ U : lim m(r, ρ) = ∞ m(r, ρ) := r→∞ −r Với ρ ∈ U∞ , không gian P AA0 (R, ρ) hàm có trọng ρ xác định bởi:   r   φ(s) X ρ(s)ds = P AA0 (R, ρ) := φ ∈ BC(R, X) : lim r→∞ m(r, ρ)   −r Định nghĩa 1.2.13 Hàm liên tục f : R → X gọi tựa hầu tuần hồn có trọng ρ f = g + φ với g ∈ AP (R, X) φ ∈ P AA0 (R, ρ) Kí hiệu W P AP (R, X) tập hàm tựa hầu tuần hồn có trọng ρ Định nghĩa 1.2.14 Hàm liên tục f : R → X gọi tựa hầu tự đồng hình có trọng ρ (tương ứng tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng ρ) f = g + φ với g ∈ AA(R, X) (tương ứng g ∈ S p AA(R, X)) φ ∈ P AA0 (R, ρ) Kí hiệu W P AA(R, X) W S p AA(R, X) tập hàm tựa hầu tự đồng hình tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng ρ 10 Chương SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRÊN KHƠNG GIAN NỘI SUY 2.1 2.1.1 Tính chất nghiệm phương trình tuyến tính Nghiệm hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình Cho khơng gian Banach X, Y1 Y2 Xét phương trình tuyến tính u (t) + Au(t) = Bf (t), t ∈ R, (2.1) với u ∈ Y := (Y1 , Y2 )θ,∞ , (0 < θ < 1), f (t) ∈ X B tốn tử tuyến tính từ X đến Y cho e−tA B ∈ L(X, Yi ) với i = 1, Giả thiết 2.1.1 Giả sử Yi có tiền đối ngẫu Banach Zi (hay Yi = Zi ) cho Z1 ∩ Z2 trù mật Zi với i = 1, Cho −A toán tử sinh C0 -nửa nhóm bị chặn (e−tA )t≥0 Y1 Y2 Hơn nữa, giả sử tồn số α1 , α2 ∈ R với < α2 < < α1 L > cho e−tA Bv Y1 ≤Lt−α1 v X, t > 0, e−tA Bv Y2 ≤Lt−α2 v X, t > (2.2) Hàm u ∈ C(R, Y ) nghiệm đủ tốt (2.1) t e−(t−τ )A Bf (τ )dτ, ∀t ∈ R u(t) = −∞ Định lý 2.1.2 Giả sử Giả thiết 2.1.1 thỏa mãn Nếu f ∈ AP (R, X) f ∈ AA(R, X) f ∈ S p AA(R, X) (2.1) có nghiệm đủ tốt tương ứng u ∈ AP (R, Y ) u ∈ AA(R, Y ) u ∈ S p AA(R, Y ) thỏa mãn u(t) Y ˜ f ≤L 11 ∞,X , ˜ ≥ L 2.1.2 Nghiệm tựa hầu tuần hồn, tựa hầu tự đồng hình có trọng Bổ đề 2.1.3 Giả sử Giả thiết 2.1.1 thỏa mãn Với hàm φ ∈ P AA0 (R, ρ) ρ ∈ U∞ ta có s e−(s−τ )A Bφ(τ )dτ ∈ P AA0 (R, ρ) −∞ Định lý 2.1.4 Giả sử Giả thiết 2.1.1 thỏa mãn hàm f = g + φ với φ ∈ P AA0 (R, ρ) ρ ∈ U∞ Khi khẳng định sau đúng: i) Nếu g ∈ AP (R, X) phương trình (2.1) có nghiệm u ∈ W P AP (R, Y ) ii) Nếu g ∈ AA(R, X) phương trình (2.1) có nghiệm u ∈ W P AA(R, Y ) iii) Nếu g ∈ S p AA(R, X) phương trình (2.1) có nghiệm u ∈ W P S p AA(R, Y ) 2.2 2.2.1 Tính chất nghiệm phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Sự tồn số lớp nghiệm Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính dạng u (t) + Au(t) = BG(u)(t), t ∈ R, (2.3) với A B thỏa mãn Giả thiết 2.1.1 G : BC(R, Y ) → BC(R, X) Hàm u ∈ C(R, Y ) gọi nghiệm đủ tốt (2.3) thỏa mãn t e−(t−τ )A BG(u)(τ )dτ u(t) = (2.4) −∞ Ký hiệu M(R, Y ) thay cho số không gian sau: AP (R, Y ), AA(R, Y ), S p AA(R, Y ), W P AP (R, Y ), W P AA(R, Y ) W S p AA(R, Y ) Đặt BM (0, R) := ω ∈ M(R, Y ) : ω BC(R,Y ) ≤ R 12 Giả thiết 2.2.1 Giả sử toán tử G : BC(R, Y ) −→ BC(R, X) (2.3) biến hàm thuộc M(R, Y ) thành hàm thuộc M(R, X) thỏa mãn G(u) − G(v) BC(R,X) ≤L u−v ˜ < G(0) với L, R > cho LL BC(R,Y ) , L∞ (R,X) ≤ ∀u, v ∈ BM (0, R), ˜ R(1 − LL) ˜ L Định lý 2.2.2 Giả sử Giả thiết 2.1.1 Giả thiết 2.2.1 thỏa mãn Khi phương trình (2.3) có nghiệm đủ tốt uˆ ∈ BM (0, R) 2.2.2 Tính ổn định nghiệm Giả thiết 2.2.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) Tồn không gian Banach T với đối ngẫu T , không gian nội suy (Q1 , Q2 )θ,1 := Q tồn số β1 , β2 ˜ với đối ngẫu (Q1 , Q2 )(θ,1) ˜ ˜ + θβ ˜ Hơn nữa, tồn cho < β2 < < β1 = (1 − θ)β số M1 , M2 > cho với t > ta có B e−tA ψ T B e−tA ψ T e−tA ψ Q ≤ M1 t−β1 ψ Q1 , ≤ M2 t−β2 ψ Q2 , ≤ Ct−γ ψ Y , < γ < ii) Toán tử phi tuyến G : BC(R, Y ) −→ BC(R, T ) thỏa mãn G(v1 )−G(v2 ) L∞ (R,T ) ≤ κ + v1 BC(R,Y ) + v2 BC(R,Y ) v1 −v2 BC(R,Q) , với số κ > với v1 , v2 ∈ BC(R, Q) ∩ BC(R, Y ) Định lý 2.2.4 Giả sử Giả thiết 2.1.1, Giả thiết 2.2.1 Giả thiết 2.2.3 thỏa mãn Khi nghiệm đủ tốt đủ nhỏ uˆ (2.3) ổn định cấp đa thức, nghĩa với nghiệm u ∈ BC(R, Y ) (2.3) thỏa mãn u(0) − uˆ(0) Y κ > đủ nhỏ, ta có u(t) − uˆ(t) Q ≤ Dt−γ , ∀t > 0, với số D > độc lâp với u uˆ 13 (2.5) 2.3 Một số ứng dụng 2.3.1 Phương trình Navier-Stokes miền ngoại vi Xét phương trình Navier-Stokes miền ngoại vi Ω ⊂ R3 với biên ∂Ω thuộc lớp C : ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇p = divF ∇·u =0 R × Ω, R × Ω (2.6) Áp dụng phép chiếu Helmholtz P ta thu phương trình u (t) + Au(t) = PdivG(u)(t), t ∈ R (2.7) với G(u)(t) = −u(t) ⊗ u(t) + F (t) A := −P∆ 3/2 Giả thiết 2.1.1, 2.2.1 2.2.3 thỏa mãn với B = Pdiv, X = Lw (Ω)3×3 , (r+3)/3r Y = L3σ,w (Ω), Q = Lrσ,w (Ω), T = Lσ,w (Ω) γ = − (r > 3) 2r Định lý 2.3.1 Với ten-xơ bậc hai F ∈ BC(R, X), ta có khẳng định sau: R ˜ < − 2R2 , với 2RL ˜ L (2.7) có nghiệm đủ tốt uˆ ∈ BM (0, R) i) Nếu F ∈ M(R, X) cho F L∞ (R,X) ≤ ii) Nghiệm đủ tốt uˆ với chuẩn đủ nhỏ phương trình (2.7) ổn định cấp đa thức, nghĩa với nghiệm u ∈ BC(R; Y ) (2.7) cho u(0) − uˆ(0) Y đủ nhỏ với r > t > ta có u(t) − uˆ(t) 2.3.2 ≤ Ct−( − 2r ) r,w Dòng Navier-Stokes dọc theo vật cản vừa xoay vừa tịnh tiến Xét dòng Navier-Stokes dọc theo vật cản vừa xoay vừa tịnh tiến D ⊂ R3 với biên trơn, vận tốc tịnh tiến u∞ = (0, 0, k) vận tốc góc ω = (0, 0, a):   ut + (u · ∇)u − ∆u + k∂3 u + ∇p = (ω × x) · ∇u    −ω × u + divF R × Ω,  ∇·u =0 R × Ω,    u = ω × x − ke3 R × ∂Ω, (2.8) 14 với Ω = R3 \D(0), D(0) vị trí D t = e3 = (0, 0, 1) Cho ϕ ∈ C0∞ (R3 ) hàm “ngắt gọn” thỏa mãn ϕ ≥ 0, ϕ ≡ lân cận Ωc supp ϕ ⊆ B(0, r) với r > Đặt 1 bω,k := − ∇ × ϕ(x)|x|2 ω + ∇ × ∇ × ϕ(x)k|x|2 e3 Khi bω,k ∈ C0∞ (Ω), divbω,k = bω,k = ω × x − ke3 ∂Ω Bằng phép tính tốn sơ cấp, ta thu   a với Fω =   − ϕ (x) |x| bω,k = divFω + divFk  a ϕ (x) |x|2  0  0  |x|2 ∂3 ϕ(x) + 2x3 ϕ(x) −|x|2 ∂1 ϕ(x) − 2x1 ϕ(x) k Fk =  |x|2 ∂3 ϕ(x) + 2x3 ϕ(x) −|x|2 ∂2 ϕ(x) − 2x2 ϕ(x)  0  Với < p < ∞, ta định nghĩa toán tử L sau: Lu := −P [∆u − k∂3 u + (ω × x) · ∇u − ω × u] , D(L) := u ∈ Lpσ (Ω) ∩ W 2,p (Ω) : u|∂u = (ω × x) · ∇u ∈ Lp (Ω) (2.9) Đặt v := u − bω,k , ta thấy u nghiệm phương trình (2.8) v nghiệm phương trình v (t) + Lv(t) = PdivG(v)(t), t ∈ R (2.10) với G(v) = F +Fω +Fk +(ω×x)⊗bω,k +∇bω,k +bω,k ⊗v+v⊗v+bω,k ⊗v+bω,k ⊗bω,k 3/2 (r+3)/3r Đặt B = Pdiv, X = Lw (Ω)3×3 ), Y = L3σ,w (Ω), Q = Lrσ,w (Ω), T = Lσ,w γ = − (r > 3), ta thu kết sau: 2r (Ω) Định lý 2.3.2 Với ten-xơ bậc hai F ∈ BC(R, X), ta có khẳng định sau: i) Nếu F ∈ M(R, X) F ∞, ,w đủ nhỏ tồn nghiệm đủ tốt vˆ ∈ BM (0, R) (2.10) 15 ii) Nghiệm đủ tốt vˆ với chuẩn đủ nhỏ (2.10) ổn định cấp đa thức, nghĩa với nghiệm v ∈ BC(R, Y ) (2.10) thỏa mãn v(0) − vˆ(0) đủ nhỏ với t > ta có v(t) − vˆ(t) 2.3.3 Q Y ≤ Dt−γ Phương trình Navier-Stokes miền có lỗ thủng Cho Ω ⊂ Rn (n ≥ 3) miền có lỗ thủng với biên ∂Ω trơn, nghĩa tồn R > k > cho Ω \ B(0, R) = (Rn+k ∪ Rn−k ) \ B(0, R), B(0, R) cầu mở Rn Rn±k := {x ∈ Rn : ± xn > k} Do Ω miền liên thơng nên ta lấy hai miền rời Ω± Ω đa tạp trơn (n − 1)-chiều M (được gọi lỗ thủng Ω) thỏa mãn Ω± \B(0, R) = Rn±k \B(0, R), M ∪∂M = ∂Ω+ ∩∂Ω− ⊂ B(0, R) Ω = Ω+ ∪Ω− ∪M Ta xét phương trình Navier-Stokes miền Ω ⊂ Rn với thông lượng xuyên qua lỗ thủng M không sau   ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇p = divF R × Ω,     ∇·u = R × Ω, (2.11) u(t, x) = R × ∂Ω,     u (t, x) · ndσ =  M Sử dụng toán tử Stokes Lpσ (Ω) với < p < ∞ xác định A = −P∆ với D(A) = W 2,p (Ω) ∩ W01,p (Ω) ∩ Lpσ (Ω) (2.12) Áp dụng phép chiếu Helmholtz, (2.11) viết lại Lr,q σ u (t) + Au(t) = PdivG(u)(t), t ∈ R, (2.13) với G(u)(t) = −u(t) ⊗ u(t) + F (t) n/2 (r+n)/nr Đặt X = Lw (Ω)n×n ), Y = Lnσ,w (Ω), Q = Lrσ,w (Ω), T = Lσ,w (Ω) n (r > n), ta thu kết sau: γ= − 2r Định lý 2.3.3 Với ten-xơ bậc hai F ∈ BC(R, X), ta có khẳng định sau: 16 i) Nếu F ∈ M(R, X) F M(R,X) đủ nhỏ tồn nghiệm đủ tốt uˆ ∈ BM (0, R) (2.13) ii) Nghiệm đủ tốt uˆ với chuẩn đủ nhỏ phương trình (2.13) ổn định cấp đa thức, nghĩa với nghiệm u ∈ BC(R, Y ) (2.13) cho u(0) − uˆ(0) Y đủ nhỏ với t > ta có u(t) − uˆ(t) 2.3.4 Q ≤ Dt−γ Phương trình Navier-Stokes khơng gian Besov Xét phương trình Navier-Stokes Rn R × Rn , R × Rn , ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇p = divF ∇·u =0 (2.14) với u(t) thuộc không gian Besov phù hợp Sử dụng phép chiếu Helmholtz P, phương trình (2.14) viết lại thành u (t) + Au(t) = PdivG(u)(t), t ∈ R, (2.15) với G(u)(t) = F (t) − u(t) ⊗ u(t) A := −P∆ r r−2 s s−2 (Rn ), Q = B˙ p,∞(R (Rn ), T = B˙ p,∞ (Rn )n×n , Y = B˙ p,∞ Đặt X = B˙ p,∞ n), n A = −P∆ B = Pdiv, với s = − 1, ta thu kết sau: p n Định lý 2.3.4 Cho s > 0, p ∈ [2, n) ≤ n ∈ N cho s = − Giả p sử ten-xơ bậc hai F ∈ BC(R, X) R ˜ −C(n, p)R2 , LRC(n, p) < ˜ L (2.15) tồn nghiệm đủ tốt uˆ ∈ BM (0, R) i) Nếu F ∈ M(R, X) cho F M(R,X) < ii) Nghiệm đủ nhỏ uˆ (2.15) ổn định cấp đa thức, nghĩa với nghiệm u ∈ M(R; Y ) (2.15) cho u(0) − uˆ(0) Y đủ nhỏ với r > s t > ta có u(t) − uˆ(t) 17 ≤ Ct−( − 2r ) Q s Chương MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES TRÊN KHƠNG GIAN LORENTZ CĨ TRỌNG MUCKENHOUPT Xét phương trình Navier-Stokes nửa không gian Rn+ dạng   ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇π = divF R × Rn+ ,    ∇·u = R × Rn+ ,  u(t, x) = R × ∂Rn+ ,    lim|x|→∞ u(t, x) = với t ∈ R (3.1) Áp dụng phép chiếu Helmholtz P, phương trình (3.1) trở thành u (t) + Au(t) = Pdiv(−u(t) ⊗ u(t) + F (t)), t ∈ R, (3.2) với A = −P∆ X không gian Lorentz với trọng Muckenhoupt phù hợp 3.1 Các đánh giá Lp − Lq khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt Không gian Lpω (Rn+ ) với lớp trọng Muckenhopt cho ω s (x) = x s1 xn sn = (1 + |x |2 )s1 /2 (1 + |xn |2 )sn /2 , với s = (s1 , sn ), s = (s1 , sn ), x = (x1 , x2 , , xn ), x = (x1 , x2 , , xn−1 ) − n−1 < s1 ≤ s1 < (n − 1) − q p − 1 < sn ≤ sn < − q p n Bổ đề 3.1.1 Giả sử n ≥ ≤ r ≤ ∞ Với a ∈ Lp,r ω s ,σ (R+ ) t > 0, khẳng định sau đúng: i) Nếu < p ≤ q < ∞ e−tA a Lq,rs ω ,σ ≤ Ct−n(1/p−1/q)/2 (1 + t)− 18 (s1 +sn )−(s1 +sn ) a Lp,r ω s ,σ , ∇e−tA a Lq,rs ω ,σ ≤ Ct−n(1/p−1/q)/2−1/2 (1 + t)− (s1 +sn )−(s1 +sn ) a Lp,r ω s ,σ ii) Nếu < p < q < ∞ e−tA a Lq,1s ω ∇e−tA a ≤ Ct−n(1/p−1/q)/2 (1 + t)− (s1 +sn )−(s1 +sn ) a ,σ Lq,1s ω ,σ ≤ Ct−n(1/p−1/q)/2−1/2 (1 + t)− (s1 +sn )−(s1 +sn ) Lp,∞ ω s ,σ a , Lp,∞ ω s ,σ Ký hiệu M(R, Y ) thay cho số không gian: AP (R, Y ), AA(R, Y ), W P AP (R, Y ), W P AA(R, Y ), S p AA(R, Y ) W S p AA(R, Y ) 3.2 Phương trình tuyến tính khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt n Xét phương trình Stokes BC(R, Ln,∞ ω s ,σ (R+ )) dạng u (t) + Au(t) = PdivF (t), t ∈ R (3.3) Nghiệm đủ tốt u phương trình (3.3) thỏa mãn t e−(t−τ )A PdivF (τ )dτ u(t) = (3.4) −∞ Từ Bổ đề 3.1.1, s = s ta thấy nửa nhóm (e−tA )t≥0 thỏa mãn Giả thiết 2.1.1 Giả thiết 2.2.3 Chương với n ,∞ n B = Pdiv, X = Lω2 s ,σ (Rn+ )n×n Y = Ln,∞ ω s ,σ (R+ ) (3.5) Định lý 3.2.1 Ta có khẳng định sau: i) Nếu F ∈ BC(R, X) phương trình (3.3) có nghiệm đủ tốt u ∈ BC(R, Y ) thỏa mãn u(t) Ln,∞ ω s ,σ ≤M F n ,∞ ∞,Lω2s ,σ ii) Nếu F ∈ M(R, X) phương trình (3.3) có nghiệm đủ tốt khơng gian M(R, Y ) 19 3.3 Phương trình nửa tuyến tính khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt Xét phương trình nửa tuyến tính sau u (t) + Au(t) = Pdiv(−u(t) ⊗ u(t) + F (t)), t ∈ R (3.6) Nghiệm đủ tốt u ∈ C(R, Y ) (3.6) thỏa mãn phương trình tích phân t e−(t−τ )A Pdiv(−u ⊗ u + F )(τ )dτ u(t) = (3.7) −∞ n ,∞ Định lý 3.3.1 Giả sử ten-xơ bậc hai F ∈ M(R, Lω2 s ,σ (Rn+ )n×n ) Ta có khẳng định sau: i) Nếu F n ,∞ ∞,Lω2s ,σ đủ nhỏ phương trình (3.6) tồn nghiệm n đủ tốt uˆ cầu với bán kính đủ nhỏ M(R, Ln,∞ ω s ,σ (R+ )) ii) Nghiệm đủ nhỏ uˆ (3.6) ổn định cấp đa thức, nghĩa với nghiệm n u ∈ BC(R, Ln,∞ ˆ(0) − u(0) Ln,∞ n ω s ,σ (R+ )) (3.6) thỏa mãn u s (R+ ) ω ,σ đủ nhỏ với t > r > n ta có uˆ(t) − u(t) Lr,∞ (Rn+ ) ω s ,σ n ≤ Ct− + 2r (1 + t)− 20 (s1 +sn )−(s1 +sn ) (3.8) Chương MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BOUSSINESQ TRONG MIỀN KHƠNG BỊ CHẶN Xét hệ phương trình Boussinesq dạng   ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇p = θg + divF    ∇·u =  θt − ∆θ + (u · ∇)θ = divf    u(t, x) = θ(t, x) = R × Ω, R × Ω, R × Ω, R × ∂Ω (4.1) với Ω Rn , Rn+ , miền bị chặn Rn (với n ≥ 3), miền ngoại vi Ω Rn (với n ≥ 4) với biên ∂Ω thuộc lớp C 2+µ (µ > 0) 4.1 Dạng ma trận hệ phương trình Boussinesq đánh giá Lp − Lq Sử dụng phép chiếu Helmholtz P, hệ (4.1) viết lại thành u (t) + Au(t) = P(θ(t)g(t)) + Pdiv(−u(t) ⊗ u(t) + F (t)), θ (t) + Bθ(t) = div(−θ(t)u(t)) + divf (t), (4.2) B := −∆ với miền xác định D(B) = W 2,q (Ω) ∩ W01,q (Ω) A := −P∆ với miền xác định D(A) = W 2,q (Ω) ∩ W01,q (Ω) ∩ Lqσ (Ω) A Đặt A := , phương trình (4.2) trở thành B ∂ u u +A θ ∂t θ với G u θ := P[θg − div(u ⊗ u)] div(−θu) =G u + F(t), θ F(t) := 21 PdivF (t) divf (t) (4.3) Nghiệm đủ tốt (4.3) thỏa mãn phương trình tích phân t u(t) θ(t) e−(t−s)A G = u(s) + F(s) ds θ(s) (4.4) −∞ n q,r n q,r q,r Ký hiệu Lq,r σ (Ω) := Lσ (Ω, R ), Lσ (Ω) := Lσ (Ω, R) Lσ n ,∞ Lσ2 (Ω, Rn ⊗ Rn ) 4.2 ,∞ (Ω)n×n := Tính chất nghiệm phương trình tuyến tính 4.2.1 Nghiệm hầu tuần hồn hầu tự đồng hình Xét phương trình tuyến tính dạng ∂ u u +A θ ∂t θ với u(t) θ(t) η n,∞ ∈ Ln,∞ (Ω); G σ (Ω) × L F(t) := PdivF (t) divf (t) + F(t), η =G P[ηg] , η ∈ Ln,∞ (Ω) := n ∈ Lσ2 ,∞ (4.5) n (Ω)n×n × L ,∞ (Ω) Nghiệm đủ tốt (4.5) thỏa mãn phương trình tích phân t u(t) θ(t) e−(t−s)A G = + F(s) ds η(s) (4.6) −∞ n,∞ Ta định nghĩa chuẩn BC(R, Ln,∞ (Ω)) sau σ (Ω)) × BC(R, L ∞,n,w = max ∞,Ln,∞ σ , ∞,Ln,∞ Định lý 4.2.1 Với n ≥ 4, ta có khẳng định sau: n ,∞ n n ,∞ i) Nếu F ∈ AP (R, Lσ2 (Ω)n×n ), f ∈ AP (R, L ,∞ (Ω)), g ∈ AP (R, Lσ2 (Ω)) η ∈ AP (R, Ln,∞ (Ω)) (4.5) có nghiệm đủ tốt (u, θ) ∈ n,∞ AP (R, Ln,∞ (Ω)) thỏa mãn σ (Ω)) × AP (R, L u θ ≤M g ∞,n,w ∞, n2 ,w 22 η ∞,n,w +M F f ∞, n2 ,w (4.7) n ,∞ n n ,∞ ii) Nếu F ∈ AA(R, Lσ2 (Ω)n×n ), f ∈ AA(R, L ,∞ (Ω)), g ∈ AA(R, Lσ2 (Ω)) η ∈ AA(R, Ln,∞ (Ω)) (4.5) có nghiệm đủ tốt (u, θ) ∈ n,∞ (Ω)) thỏa mãn (4.7) AA(R, Ln,∞ σ (Ω)) × AA(R, L 4.2.2 Nghiệm tựa hầu tuần hoàn tựa hầu tự đồng hình có trọng Định lý 4.2.2 Giả sử F, f, g η hàm tựa hầu tuần hồn có trọng (tương ứng tựa hầu tự đồng hình có trọng) Khi phương trình (4.5) có nghiệm tựa hầu tồn có trọng (tương ứng tựa hầu tự đồng hình có trọng) ˆ (ˆ u(t), θ(t)) 4.3 Sự tồn tính ổn định nghiệm phương trình nửa tuyến tính n ,∞ n Định lý 4.3.1 Cho n ≥ Giả sử F ∈ AP (R, Lσ2 (Ω)n×n ), f ∈ AP (R, L ,∞ (Ω)) n ,∞ g ∈ AP (R, Lσ2 (Ω)) Khi ta có khẳng định sau: i) Nếu F , f , g đủ nhỏ phương trình nửa ˆ tuyến tính (4.3) có nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn (ˆ u, θ) n,∞ (Ω)) cầu có bán kính đủ nhỏ AP (R, Ln,∞ σ (Ω)) × AP (R, L n ,∞ ∞,Lσ2 n ∞,L ,∞ n ,∞ ∞,Lσ2 (Ω) ˆ phương trình (4.3) ổn định theo ii) Nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn (ˆ u, θ) n,∞ nghĩa với nghiệm (u, θ) ∈ BC(R, Ln,∞ (Ω)) σ (Ω))×BC(R, L ˆ phương trình (4.3) cho uˆ(0) − u(0) Ln,∞ (Ω) , θ(0) − θ(0) n,∞ σ L g n ,∞ ∞,Lσ2 (Ω) đủ nhỏ với t > r > n ta có uˆ(t) u(t) − ˆ θ(t) θ(t) n ≤ Ct− + 2r r,∞ (Ω) Lr,∞ σ (Ω)×L 23 (4.8) KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Những kết đạt Trong luận án này, chúng tơi thu kết sau: • Chứng minh tồn tại, tính ổn định cấp đa thức không gian nội suy phù hợp số lớp nghiệm: hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov loại nghiệm có trọng định nghĩa tồn trục thời gian cho lớp phương trình tiến hóa tổng quát dạng parabolic với nửa nhóm liên kết ổn định cấp đa thức Chúng số áp dụng vào luồng thủy khí như: phương trình Navier-Stokes miền ngoại vi, dịng Navier-Stokes dọc theo vật cản vừa xoay vừa tịnh tiến, phương trình Navier-Stokes miền có lỗ thủng phương trình Navier-Stokes khơng gian Besov • Chứng minh tồn tại, tính ổn định cấp đa thức loại nghiệm: hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov loại nghiệm có trọng cho phương trình Navier-Stokes nửa khơng gian tồn trục thời gian khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt • Chứng minh tồn tại, tính ổn định cấp đa thức loại nghiệm: hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, giả hầu tuần hồn giả hầu tự đồng hình có trọng cho hệ phương trình Boussineq miền khơng bị chặn tồn trục thời gian Đề xuất số hướng nghiên cứu • Nghiên cứu tồn nghiệm tiệm cận hầu tuần hoàn tiệm cận hầu tự đồng hình phương trình Navier-Stokes miền khơng bị chặn • Nghiên cứu tính tồn cục cho nghiệm phương trình Navier-Stokes miền khơng bị chặn • Nghiên cứu loại nghiệm phương trình Navier-Stokes phương trình Boussineq khơng gian Mourey yếu không gian nội suy 24 ... tồn trục thời gian tính ổn định phương trình vấn đề mở Từ lịch sử trình nghiên cứu lý dẫn đến việc lựa chọn đề tài: Tính hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình dáng điệu tiệm cận số luồng thủy khí tồn trục. .. tồn nghiệm tuần hoàn phương trình (3) Tuy nhiên, tồn nghiệm đủ tốt hầu tuần hồn, tựa hầu tuần hồn có trọng, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov tựa hầu tự đồng hình có trọng... gian tồn trục thời gian khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt • Chứng minh tồn tại, tính ổn định cấp đa thức loại nghiệm: hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, giả hầu tuần hồn giả hầu tự đồng hình