Dáng điệu tiệm cận của nghiệm của các hệ động lực vô hạn chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN ■ • • • TÊN ĐỂ TÀI DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM CỦA CÁC HỆ ĐỘNG Lực VƠ HẠN CHIỂU • • • • MÃ SỐ: QT 03 - 01 CHỦ TRÌ ĐỂ TÀI: PGS.TSKH NGUYẺN VÀN MINH pT / HÀ NỘI - 2003 Mục lục Mờ Đầu Nội dung 2.1 2.2 2.3 Tiêu chuẩn Massera nghiệm hầu tuần hồn phương trình có biến khúc 2.1.1 Phổ Carlemann hàm s ố 2.1.2 Hàm hầu tuần hoàn 2.1.3 Tiêu chuẩn M a s s e r a 6 7 Nghiệm hầu tuần hồn phương trinh sai phân hàm dạng trung tính 2.2.1 Phổ dãy 2.2.2 Phương trình sai phân có trễ trung t í n h 2.2.3 Sự tồn nghiệm hầutuần hoàn Nghiêm hầu tuần hoàn phương trinh tiến hóa đặt khơng chỉnh 2.3.1 Nghiệm tuần h o n 2.3.2 Nghiệm hầu tuần h o n 10 12 12 13 Tài liệu tham khảo 14 Phần Mở Đầu Nghiên cứu dằng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân sai phân lĩnh vực trung tâm hệ động lực Từ cuối kỷ XIX, đầu kỷ XX, H Poincaré A Lyapanov khởi xướng việc nghiên cứu cơng trình xuất sắc, đặt móng cho lý thuyết định tính phương trình vi phân sai phân, hay gọi hệ động lực Trước đó, người ta thường nghiên cứu phương trình cách tìm nghiệm tường minh Tuy nhiên, khơng phải lúc việc tìm nghiệm tường minh thực phương trình đơn giản Đó lý dẫn nhà tốn học đến việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm mà khơng thiết phải tìm chúng cách tường minh Những toán lớn lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ động lực nghiên cứu tính ổn định tính dao động nghiệm phương trình cho trước Nếu khái niệm phương pháp Lyapanov ổn định tảng cho nghiên cứu ngày phương pháp ánh xạ sau chu kỳ Poincaré cơng cụ để nghiên cứu nghiệm tuần hồn Đặc biệt, đầu kỷ XX, khái niệm hàm sô' hầu tuần hoàn Bohr cho phép nhà tốn học tiến sâu việc nghiên cứu tính dao động điều hoà hệ động lực Chúng ta nhớ lại toán giải tích tốn học, điểm khởi đầu cho nhiều ý tưởng lớn giải tích điều hồ lý thuyết định tính phương trình vi phân hệ động lực: Giả sử / hàm số biến số liên tục, tuần hoàn chu kỳ T Đặt X F(t) = J ỉ(t)dt Câu hỏi đặt F (x ) hàm hầu tuần hoàn chu kỳ T Bằng lý luận sơ cấp, ta F(x) có dạng: F(x) — G(x) 4- ax, _ T G(x) hàm hầu tuần hồn chu kỳ T, liên tục cịn a = — f f(t)dt T Vậy F tuần hoàn với chu kỳ T a = 0, F tuần hoàn với chu kỳ T F giới nội Ngay sau đưa khái niệm hàm số hầu tuần hoàn, Bohr chứng minh kết tương tự Việc mở rộng kết Bohr cho lớp hàm hầu tuần hồn lấy giá trị khơng gian Banach thực chủ đề hấp dẫn khó khăn Người ta tìm điều kiện mang tính hình học bổ sung để kết Bohr Năm 1950, cơng trình tiếng mình, Massera nhìn nhận tốn giải tích trường hợp riêng tốn sau: dx = A(t)x dt + f { t ) , X e R n, A(t),f(t) liên tục, tuần hoàn chu kỳ T Dùng phương pháp điểm bất động ánh xạ sau chu kỳ, Massera chứng minh có nghiệm tuần hồn chu kỳ T có nghiệm giới nội Kết Massera nhiều nhà nghiên cứu phương trình vi phân quan tâm mở rộng Đặc biệt, năm 1974, S.N Chow J Hale công bô' mở rộng định lý Massera cho lớp phương trinh vi phân hàm dạng trễ: ^ = Lx, + /((), / liên tục, tuần hồn chu kỳ T, L : c([—r, 0], R") —> M" liên tục, r > 0, x t(ỡ) := x(t + ớ), € [—r, 0] Phương pháp chứng minh s N Chow J Hale dựa theo phương pháp điểm bất động ánh xạ sau chu kỳ Những kết s N Chovv J Hale nhiều người tiếp tục mở rộng cho lớp phương trình vi phân hàm Đặc biệt phải kể đến kết Y Hino, I Macay, s Murakami, T Naito, J s Shin Phương pháp Poicaré thực thiết lập mối liên hệ gắn bó qua lại việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trĩnh vi phân sai phân Mối liên hệ cho phép ta nghiên cứu tồn nghiệm tuần hồn thơng qua việc nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ, nghiệm phương trinh sai phân Gần nhiều nhà toán học đưa việc nghiên cứu nghiệm hầu tuần hồn phương trình vi phân việc nghiên cứu tồn nghiệm hầu tuần hồn phương trình sai phân tương ứng Lý để làm việc là: nghiên cứu phương trình sai phân đơn giản nhiều Các khái niệm đơn giản hơn, kỹ thuật thường liên quan đến toán tử giới nội Trong đề tài trước hết nghiện cứu tiêu chuẩn Massera cho lớp phương trình vi phân có biến số khúc Đây mơ hình hệ động lực trung hỗn hợp phương trình vi phân sai phân Loại mơ hình xuất nhiều nghiên cứu gần sinh học, thể trình đo đạc xác định số liệu trình rời rạc tiến hóa q trình lại liên tục Tiếp chúng tơi nghiên cứu nghiệm dao động điều hoà cùa phương trinh sai phân hàm trung tính nghiệm hầu tuần hồn Các điều kiện cần đủ để tổn nghiệm Những kết đem ứng dụng nghiện cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa đặt khơng chỉnh liên kết với C-nửa nhóm Đây kết thú vị, tiếp nối cơng trình gần Chen, N.v Minh S.Y Shavv, tác c.c giả nghiêncứu tồn tạinghiệm hầu tuần hoàn phương trinh tiến hóa đặt khơng chỉnhliênkết vớimộtC-nửa nhóm phương pháp nửa nhóm tiến hóa Các kết nhận nghiên cứu công bố báo khoa học, số nhận đăng gửi đăng Toàn văn báo đưa vào phần phụ lục báo cáo Trong thực đề tài nhận giúp đỡ nhiều cán Khoa Toán - Cơ - Tin học cán Phòng Khoa học Công nghệ, ĐHKHTN, Ban Khoa học -Công nghệ, ĐHQG HN Chúng chân thành cám ơn tất động viên cổ vũ giúp đỡ nhiệt tình Hà nội 2003 Chủ trì đề tài QT 03-01 PGS TSKH Nguyễn Vãn Minh Phần Nội dung Trong phần nội dung báo cáo chúng tơi trình bày kết Chứng minh đày đủ kết độc giả tìm thấy báo phần phụ lục 2.1 Tiêu chuẩn Massera nghiệm hầu tuần hoàn phương trình có biến khúc Trong mục ta xét tồn nghiệm hầu tuần hoàn phương trình vi phân có dạng sau: (1) A tốn tử tuyến tính tác động không gian hữu hạn chiều C '\ / hàm giới nội R nhận giá trị c n, [.] hàm phần nguyên 2.1.1 Phổ Carlemann hàm sô Định nghĩa 2.1 Phổ Carleman hàm u G L}oc{R, X) có độ tăng cấp mũ tập hợp sp(u) gồm tất cá số thực £ cho biến đổi Fourier- Carleman u(.) u xác định theo cơng thức khơng có thác triển giải tích xung quanh lân cận i£ 2.1.2 Hàm hầu tuần hoàn Định nghĩa 2,2 Tập E c K gọi tập tương đối trù mật nêu tồn ỉ > cho đoạn [a, a + l]ỏtên đường thẳng thực chứa điểm E S ố l gọi độ dài bao Định nghĩa 2.3 Cho f : R —> X hàm liên tục Sô' T gọi £ - chu kỳ f Định nghĩa 2.4 (Bohr) Hàm liên tục Ị : R —» X gọi hầu tuần hoàn với £ > 0, tập hợp s ố £ - chu kỳ f tập trù mật tương đối R Mệnh đề 2.1 Cho X không gian Banach, hàm Ị G BƯC(R,X) Nếu tập hợp s p ( f ) rời rạc f hàm hầu tuấn hồn Mệnh đề 2.2 Hàm f E B U C ( R ,X) hàm tuấn hoàn chu kỳ sp(f) c 27rZ /r T Định nghĩa 2.5 Nghiệm x{.) phương trình (1) hàm liên tục từ R vafo Cn, khả vi hầu khắp nơi R trừ điểm nguyên thỏa mãn (1) [n,n + 1), n € z dó t — n, đạo hàm x(.) lấy đạo hàm phải 2.1.3 Tiêu chuẩn Massera Giả sử / hàm cho Ta định nghĩa / theo công thức: / m = /(M ) Ví e R Định lý 2.1 Giả sử x(.) nghiệm giới nội phương trình (1) Khỉ sp(f) s p( x ) c c u 27tZ, ei ( A ) u sp(f ), sp(x) ( 2 ) (2.3) đó: ơe, (A) : = {£ € IR : e* - G ơ( A) } , với ơ( A) tập giá trị riêng ma trận A Định lý 2.2 Giá sử hàm f gáơi nội thỏa mãn diều kiện s p ( f ) tập rời rạc, x(.) nghiệm giới nội R phương trình (1) Khi dó x(.) nghiệm hầu tuấn hồn Nếu khơng có điểu kiện bổ sung Định lý Massera khơng phương trình xét Thật vậy, ta xét phản ví dụ sau X = e^a có nghiệm giới nội nhưưng khơng có nghiệm tuần hoàn Trong trường hợp / hàm hầu tuần hoàn chu kỳ hữu tỷ Massera sau ta cóĐịnhlý Định lý 2.3 Giả sử f hàm hầu tuần hoàn chu kỳ hữii tỷ T — e Khi phương trình ( ì ) có nghiệm tuần hồn chu kỳ T = p có nghiệm giới nội nửa trục [0, + 00) 2.2 Nghiệm hầu tuần hồn phương trình sai phân hàm dạng trung tính Trong mục này, nghiên cứu điều kiện tồn nghiệm giới nội hầu tuần hoàn phương trinh sai phân có trễ trung tính dạng: A (Dxn) = Lxn +f(n), nẽZ, (2.1) / e loo(X),D,L € L(C,X), A(D„) := Dx n+1 - Dxn, X không gian Banach, iooỌQ không gian dãy giới nội X với chuẩn thông thường, c = ị ý I 4> |:= sup { —r, —r + 1, ,0 } —» x j không gian Banach với chuẩn II ộ(n) || Nếu X : 7L —> X,thì xn £ c hiểu hàm xn(ỡ) = x{n + 6), n E Z; —r < < 2.2.1 Phổ dãy Xét ^00(X) không gian tất dãy giới nội không gian Banach X, := {s„} nez c X với chuẩn II0II = Supllýnịị,S(k) toán tử dịch chuyển thứ k 4o(X), nghĩa ( S(k)g)n = gn+kĐịnh nghĩa 2.6 Tập tất số A đường tròn đơn vị r mà g(Ằ) xác định: ị Ễ ^ n~lS(n)g, V|A| > 1, W = { n= ỵ ' \ n lS(—n)g1 V|A| < 1, V n= khơng thác triển giải tích lân cận X mặt phẳng phức gọi phổ dãy g {gn}nez ký hiệu (