Tính ổn định Lipschitz trong bài toán nguồn ngược cho một lớp phương trình Parabolic suy biến - kì dị một chiều

Bài viết Tính ổn định Lipschitz trong bài toán nguồn ngược cho một lớp phương trình Parabolic suy biến - kì dị một chiều trình bày việc thiết lập ước lượng Carleman mới để sử dụng cho việc chứng minh tính ổn định Lipschitz cho bài toán nguồn ngược đối với phương trình parabolic suy biến/kì dị một chiều.

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 TÍNH ỔN ĐỊNH LIPSCHITZ TRONG BÀI TỐN NGUỒN NGƯỢC CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN / KÌ DỊ MỘT CHIỀU Vũ Mạnh Tới Trường Đại học Thủy lợi, email: toivm@tlu.edu.vn ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Bài tốn ngược phương trình đạo hàm riêng cách sử bất đẳng thức Carleman nghiên cứu nhà toán học Imanuvilov Yamamoto (xem [3,5]) Cụ thể, tác giả nghiên cứu tính ổn định Lipschitz tốn nguồn ngược cho lớp phương trình parabolic Gần đây, kết tính ổn định Lipschitz toán nguồn ngược cho lớp phương trình parabolic suy biến chiều nghiên cứu cách sử dụng bất đẳng thức Carleman (được cải tiến so với bất đẳng thức Carleman dung cho tính điều khiển [1]) tương ứng (xem [2]) Trong [4], tác giả thiết lập ước lượng Carleman để nghiên cứu tính điều khiển cho lớp phương trình parabolic suy biến/kì dị Các kết cho toán nguồn ngược cho lớp phương trình parabolic suy biến/kì dị chưa nghiên cứu P , u   x u x  x  u thỏa mãn   (1   ) (2)   [0, 2) \ ,     ,     :        Trường hợp tới hạn:    0,  \ 1 ,     ,      Trong nghiên cứu này, ta xét toán (1) trường hợp tới hạn, tức (2) thỏa mãn Khi H 1 ,0 (0,1) định nghĩa sau: H1 ,0 (0,1)  u  H1 (0,1) | u(0)  u(1)  0 ,0    1; H1 ,0 (0,1)  u  H1 (0,1) | u(1)  0 ,1    2, với chuẩn u H ,0   1/2 x u x2 dx   ,  H1 (0,1)  u  L2 (0,1)  Hloc  (0,1] |  x ux2dx   Miền xác định toán tử P , cho Sử dụng ước lượng Carleman tương ứng để nghiên cứu toán nguồn ngược D ( P , )  u  H 1 ,0 (0,1)  H loc  (0,1] | ( x u x ) x  KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ( x , t )  (0,1)  (0, T ), ut  P ,  u  g ( x , t ),     1, t  (0, T ), u (0, t )  u (1, t )  0, (1)    x u x  (0, t )  u (1, t )  0,    2, t  (0, T ), u ( x , 0)  u ( x ), x  (0,1),  x giả thiết sau (xem lí giải [4] liên quan bất đẳng thức Hardy): Trường hợp tới hạn:   [0, 2),      ,   ¡ ; PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3.1 Đặt tốn phát biểu kết Cho T  , ta xét toán    u  L2 (0,1)  x   Ta có kết sau tính đặt tính trơn nghiệm Mệnh đề [4] a) Với u0  L2 (0,1) g  L2 (0, T ; L2 (0,1)) cho trước, (1) có nghiệm u thỏa mãn với   (0, T ) , u  C ([0, T ]; L2 (0,1))  L2 ( , T ; D( P , ))  H ( , T ; L2 (0,1)) 65 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-5957-0 Hơn nữa, g  H (0, T ; L2 (0,1)) , u  C ([0, T ]; L2 (0,1))  C ([ , T ]; D( P ,  )) C0 : b) Với u0  D(P , ) g  H (0, T ; L2 (0,1)) cho trước, (1) nghiệm u thỏa mãn ( x, t )  QT0 ,T ,  wt  P ,  w  g ( x, t ),     1, t  (T0 , T ),  w(0, t )  w(1, t )  0, (3)    x wx  (0, t )  w(1, t )  0,1    2, t  (T0 , T ),  x  (0,1),  w( x, T )  wT ( x), u  C (0, T ; D ( P ,  ))  C (0, T ; L (0,1)) Từ trở đi, xét T0  (0, T ) cố định, kí hiệu QT ,T   0,1  T0 , T  Đặt T1 : (T0  T ) / với C0  , xét G(C0 ) : {g  H (0, T ; L2 (0,1))| g t ( x, t )  C0 g ( x, T1 ) h.k ( x, t )  [0,1]  (0, T )} Ta quan tâm tới toán nguồn ngược sau cho (1): Với g ( x, t ) G(C0 ) , liệu ta khôi phục lại nguồn g từ kiện biết u (., T1 ) quan sát biên  ut  x (1,.) |(T ,T ) ? Hai định lí sau kết báo cáo Định lí Cho u0  L2 (0,1) Khi đó, với tồn số C0  , C  C ( , T0 , T , C0 )  , cho với g G(C0 ) , nghiệm u (1) trường hợp tới hạn thỏa mãn g L2 ( QT0 ,T )   C u (., T1 ) D ( P ,  )   ut  x (1,.) L2 (T0 ,T )  Định lí Cho u0  L2 (0,1) Cho trước R  C ([0,1]  [0, T ]) cho R ( x, T1 )  với x  [0,1] Giả sử u0  L2 (0,1) Khi đó, tồn số C  C ( , T0 , T , R )  cho với f1 , f  L2 (0,1) , ta có f1  f 2 L (0,1)  C u1 (., T1 )  u2 (., T1 )  C  (u1  u2 )t  x (1,.) trường hợp tới hạn Cho  cố định cho      , đặt k :      /  Như [4], ta sử dụng hàm trọng  ( x, t ) :  (t ) p ( x) với D ( P ,  ) L2 ( T0 ,T )  x 2 p ( x) : 2    ,  (t ) :  (t  T ) T  t   k Ta thiết lập bất đẳng thức Carleman sau Định lí Giả sử    0,  ,        ¡ Khi tồn C  s0  s0 (2   ,  )  0, cho với s  s0 , nghiệm w (3) thỏa mãn  1    e 2 s w2   x e 2 s wx2  dxdt    x      s QT0 ,T  C  ge  s  T L2 ( QT0 ,T ) dx     0,  \ 1 ,      s    e 2 s wx2  | x 1 (4) Giả sử    ( ) Khi tồn C  s0  s0 (2   ,  )  0, cho với s  s0 , nghiệm w (3) thỏa mãn  max{0, }   2 s   s 1     x e wx dxdt  (  )  Q T0 ,T  C  ge  2 x[0,1] 3.2 Ước lượng Carleman Ta thiết lập ước lượng Carleman nghiệm toán  C1 ([ , T ]; L2 (0,1)) Rt ( x, t ) / inf R ( x, T1 ) sup ( x ,t )[0,1][0,T ]  s 2 L ( QT0 ,T ) T | x 1  s    e  s wx  dt   (5) ,  u1 u2 hai nghiệm (1) trường hợp tới hạn tương ứng với g1  f1R g  f R Định lí hệ trực tiếp Định lí cho g : g1  g u  u1  u2 g thuộc vào G(C0 ) với C0  xác định s3       3  2 s x e w2 dxdt QT0 ,T s  QT0 ,T  e 2 s w2 2 s dxdt   e wt dxdt  x s  QT ,T Chứng minh Thiết lập (4) (5) dựa số đánh giá số bổ đề [2] sử dụng khéo số đánh giá để có 66 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 đánh giá cho số hạng tích phân tồn cục wt cần thiết cho toán nguồn ngược C  , với  cho s   , x  [0,1] ta nhận chọn s đủ lớn để e 2 s ( x ,T1 ) 3.3 Chứng minh Định lí Đặt w  ut , u thõa mãn (1) Từ tính trơn nghiệm (xem Mệnh đề 1), w thỏa mãn   |g ( x, T1 ) |2 dx   C (ut ) x (1,.) L2 ( T0 ,T )  u (., T1 ) D ( P ,  )  t ( x, t )  QT0 ,T ,  wt  P ,  w  g t ( x, t ), Ta có g ( x, t )  g ( x, T1 )   g t ( x, ) d T1     1, t  (T0 , T ),  w(0, t )  w(1, t )  0, (6) g G(C0 ) , với ( x, t )  (0,1)  (T0 , T ) ,   x w (0, t )  w (1, t )  0,    2, t  ( T , T ), x  g ( x, t ) dxdt  C  g ( x, T1 ) dx   w( x, T )  u ( x, T ), x  (0,1) QT0 ,T t  Kết hợp hai bất đẳng thức cuối ta kết thúc Trường hợp   [0, 2),      ,   ¡ chứng minh Định lí trường hợp Áp dụng (4) Định lí cho w thỏa mãn (6), tồn C  s0  s0 (2   ,  )   [0, 2),      ,   ¡ Trường hợp   [0, 2) \ {1},     cho với s  s0 , ta có    ( ) Việc chứng minh giống trường  1   2 e 2 s w2   2 s hợp trước, với ý thay việc sử dụng   s     x e wx  dxdt    x (4) ta sử dụng (5) QT0 ,T   T KẾT LUẬN: Bài báo thiết lập ước  C  g t e  s  s  e 2 s (1,t ) wx2| x 1dt  L ( QT0 ,T ) T0   lượng Carleman để sử dụng cho việc Đầu tiên, từ tính chất hàm trọng, ý w  ut , sử dụng g G(C0 ) bất đẳng  |g ( x, T ) | chứng minh tính ổn định Lipschitz cho tốn nguồn ngược phương trình parabolic suy biến/kì dị chiều e 2 s dxdt QT0 ,T C s   TÀI LIỆU THAM KHẢO |g ( x, T1 ) |2 e 2 s ( x ,T1 ) dx ta thu g t e  s C s T 2 L ( QT0 ,T )  s  e 2 s (1,t ) wx2|x 1dt T0  |g ( x, T ) | e2 s ( x ,T1 ) dx  C (ut ) x (1,.) L2 (T0 ,T ) Sau số tính tốn sử dụng bất đẳng thức Young, ta thu đánh giá  w( x, T1 ) e 2 s ( x ,T1 ) dx s  1    ( QT0 ,T e 2 s w2  x e2 s wx2 )dxdt  x Từ ta có   w( x, T1 ) e 2 s ( x ,T1 ) dx  C (ut ) x (1,.) L2 (T0 ,T ) 1  |g ( x, T1 ) |2 e 2 s ( x ,T1 ) dx   s  Vì w( x, T1 )  ut ( x, T1 )  P , u ( x, T1 )  g ( x, T1 )  [1] P Cannarsa, P Martinez and J Vancostenoble (2008), Carleman estimates for a class of degenerate parabolic operators, SIAM J Control Optim 47, 1-19 [2] P Cannarsa, J Tort and M Yamamoto (2010), Determination of source terms in a degenerate parabolic equation, Inverse Problems 26, 105003, 20 pp [3] O.Yu Imanuvilov and M Yamamoto (1998), Lipschitz stability in inverse parabolic problems by the Carleman estimate, Inverse Problems 14, 1229-1245 [4] J Vancostenoble (2011), Improved HardyPoincaré inequalities and sharp Carleman estimates for degenerate/singular parabolic problems, Discrete Contin Dyn Syst Ser S 4, 761-790 [5] M Yamamoto (2009), Carleman estimates for parabolic equations and applications, Inverse Problems 25, 123013, 75 pp 67 ... sử dụng g G(C0 ) bất đẳng  |g ( x, T ) | chứng minh tính ổn định Lipschitz cho tốn nguồn ngược phương trình parabolic suy biến/ kì dị chiều e 2 s dxdt QT0 ,T C s   TÀI LIỆU THAM KHẢO |g... ISBN: 97 8-6 0 4-8 2-5 95 7-0 đánh giá cho số hạng tích phân tồn cục wt cần thiết cho toán nguồn ngược C  , với  cho s   , x  [0,1] ta nhận chọn s đủ lớn để e 2 s ( x ,T1 ) 3.3 Chứng minh Định. .. tới toán nguồn ngược sau cho (1): Với g ( x, t ) G(C0 ) , liệu ta khôi phục lại nguồn g từ kiện biết u (., T1 ) quan sát biên  ut  x (1,.) |(T ,T ) ? Hai định lí sau kết báo cáo Định lí Cho