THÔNG TIN TÀI LIỆU
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG Lê Trần Tình1, Mai Xuân Thảo2, Nguyễn Thị Sâm3 TÓM TẮT Trong báo này, chúng tơi nghiên cứu lớp phương trình parabolic không địa phương với số hạng khuếch tán phụ thuộc vào chuẩn L2 gradient Sự tồn nghiệm yếu toàn cục nhận nhờ phương pháp xấp xỉ Faedo - Galerkin Chúng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thông qua nghiên cứu tồn tính trơn tập hút tồn cục cặp không gian Cuối cùng, nghiên cứu tồn tính ổn định mũ nghiệm dừng Từ khóa: Phương trình parabolic khơng địa phương, nghiệm yếu, tập hút toàn cục ĐẶT VẤN ĐỀ Trong năm qua, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thơng qua nghiên cứu tập hút tồn cục nhận quan tâm mạnh mẽ nhiều tác giả nhiều loại phương trình đạo hàm riêng [2, 10, 13, 15], đặc biệt, phương trình parabolic liên kết với toán tử (, H 01 ()) [2, 6, 7, 10, 13] Những năm gần đây, phương trình parabolic khơng địa phương nghiên cứu rộng rãi Trong báo này, nghiên cứu lớp phương trình parabolic phi tuyến với phần tử khuếch tán không địa phương ut div( a(‖u‖2H ( ) )u ) f (u ) g ( x ), x , t 0, x , t 0, u ( x, t ) 0, u ( x, 0) u ( x ), x (1.1) Trong n tập mở, bị chặn với biên liên tục Lipschitz, hàm phi tuyến f , hệ số khuyếch tán a ngoại lực g thỏa mãn điều kiện sau: ( u‖2H ( ) ) thỏa ( H1) a C (, ) phụ thuộc vào chuẩn H 01 u nghĩa a a ‖ mãn điều kiện: i ) a hàm bị chặn, tức tồn hai số dương m M cho: m a (t ) M , t ii ) s a ( s ) s không giảm (1.2) (1.3) ( H2) f : hàm khả vi liên tục thỏa mãn: 1,2,3 Giảng viên khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức 155 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 c1 | u |q c0 f (u )u c2 | u |q c0 , (1.4) f (u ) c3 , (1.5) với q , c0 , c1 , c2 , c3 số dương ( H3) g L2 () Ký hiệu: T : (0, T ) , V : L2 (0, T ; H 01 ()) Lq (T ) , V * : L2 (0, T ; H 1 ()) Lq (T ) 1 Giả sử u0 L2 ( ) q q Định nghĩa 1.1 Một hàm u gọi nghiệm yếu (1.1) khoảng ( q, q) cặp đối ngẫu, nghĩa (0, T ) u V , ut V * , u ( x, 0) u0 hầu khắp nơi T ( u‖ u v a‖ H 01 ( ) t )uv f (u )v gv dxdt 0, (1.6) với hàm thử v V Bởi vì, u V ut V * , u C ([0, T ]; L2 ()) Điều giải thích cho điều kiện đầu tốn (1.1) có nghĩa Gọi 1 giá trị riêng toán tử (, H 01 ()) Bổ đề sau hệ trực tiếp bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức Young phép nhúng compact H 01 ( ) L2 ( ) Bổ đề 1.1 Giả sử u H 01 ( ) Khi đó, | gudx | ‖u‖2H ( ) 41 ‖g‖2L2 ( ) , Sử dụng phương pháp xấp xỉ Faedo - Galerkin bổ đề compact Aubin - Lions Simon, ta có định lý sau: Định lý 1.1 [7] Giả sử giả thiết ( H1) , ( H2) ( H3) thỏa mãn, với u0 L2 ( ) , tốn (1.1) có nghiệm yếu toàn cục khoảng (0, T ) Hơn nữa, ánh xạ u0 u (t ) liên tục ( L2 (), L2 ()) Ý nghĩa toán xuất phát từ ý nghĩa phần tử khơng địa phương ứng dụng tốn tử Laplace lĩnh vực khoa học Các phần tử không địa phương cho kết xác Thí dụ, hệ động lực dân số, hệ số khuyếch tán a giả thiết phụ thuộc vào tổng dân số toàn miền vào mật độ địa phương Để biết thêm chi tiết dạng khác phần tử không địa phương, độc giả xem tài liệu tham khảo [3, 4, 5, 6, 8, 11, 14] Tuy nhiên, xuất phần tử không địa phương tốn lại gây khó khăn tốn học khiến cho việc phân tích tốn trở nên phức tạp Bài báo có cấu trúc sau Trong mục 2, nghiên cứu tồn tập hút toàn cục ( L2 (), L2 ()) thông qua ước lượng tiên nghiệm L2 () , 156 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 H 01 ( ) tính compact phép nhúng H 01 ( ) L2 ( ) Tuy nhiên, thực gặp khó khăn mục chứng minh tồn tập hút toàn cục ( L2 (), Lq ()) ( L2 (), H 01 () Lq ()) Bởi với giả thiết (H1), (H2), (H3) nghiệm toán nằm H 01 ( ) Lq ( ) , khơng có phép nhúng compact tương ứng trường hợp để chứng minh tính compact tiệm cận cho nửa nhóm sinh từ tốn (1.1) Để vượt qua khó khăn này, chúng tơi khai thác hướng tiếp cận sử dụng gần nghiên cứu tốn phương trình đạo hàm riêng trình bày [13, 15] Phần cuối dành cho nghiên cứu tồn tính ổn định mũ nghiệm dừng Các ký hiệu: Chúng sử dụng C để ký hiệu số mà giá trị thay đổi lần xuất (u M ) : {x : u ( x) M } (u M ) : { x : u ( x ) M } .,. dùng để ký hiệu tích vơ hướng tích đối ngẫu SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC Nhờ Định lý 1.1, ta xây dựng nửa nhóm liên tục S (t ) : L2 () L2 () xác định S (t ) : u0 u (t ) với S (t )u0 nghiệm yếu toàn cục (1.1) với điều kiện đầu u Sau đây, chúng tơi đưa tính toán bản, chứng minh chặt chẽ nhờ sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin Bổ đề 11.2 [10] Mệnh đề 2.1 Nửa nhóm {S (t )}t 0 có tập hấp thụ bị chặn B0 ( L2 (), L2 ()) Chứng minh: Nhân phương trình toán (1.1) với u sử dụng tích phân phần, ta có d ( u‖2H ( ) )‖u‖2H ( ) f (u )udx gudx ‖u‖2L2 ( ) a‖ 0 dt Từ (1.2), (1.4) Bổ đề 1.1, suy (2.1) d ‖u‖2L2 ( ) m1‖u‖2L2 ( ) 2c0 ‖g‖2L2 ( ) dt m1 Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có: ‖u (t )‖2L2 () ‖u0‖2L2 ( ) eCt R0 (1 eCt ), với C m1 , R0 2c0 (2.2) ‖g‖2L2 ( ) Bất đẳng thức (2.2) kéo theo B0 B( 0 ) m1 với 2R0 tập hấp thụ bị chặn {S (t )}t 0 nằm cặp không gian ( L2 (), L2 ()) Nghĩa với tập B L2 () , tồn T0 T0 ( B) phụ thuộc vào chuẩn L2 B thỏa mãn, t T0 , u0 B 157 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 ‖S (t )u0‖2L2 ( ) 0 (2.3) Mệnh đề 2.2 Nửa nhóm {S (t )}t 0 có tập hấp thụ bị chặn B1 ( L2 (), H 01 ()) Chứng minh Nhân phương trình tốn (1.1) với u , sử dụng tích phân phần, (1.2) (1.5) , ta thu d 1 ‖u‖2H ( ) ‖u‖2H ( ) m‖u‖2L2 ( ) ( c3 )‖u‖2H ( ) g , u 0 dt 2 Mặt khác, (2.4) 1 ( c3 )‖u‖2H1 () g, u ( c3 )u, u g, u m‖u‖2L2 () C(‖g‖2L2 () ‖u‖2L2 () ) (2.5) 2 Từ (2.4) , (2.5) Mệnh đề 2.1, u0 B0 d ‖u‖2H ( ) ‖u‖2H ( ) R1 , với R1 0 dt (2.6) Vì B0 hút tập bị chặn L2 () nên áp dụng bất đẳng thức Gronwall cho (2.6) ta có B1 BH1 ( ) ( 12 ) với 1 2R1 tập hấp thụ bị chặn nửa nhóm {S (t )}t 0 H ( ) : Nghĩa với tập B nằm L2 () , tồn T1 T1 ( B) phụ thuộc chuẩn L2 B0 thỏa mãn, t T1 , u0 B , ‖S (t )u0‖2H ( ) 1 (2.7) Nhờ phép nhúng compact H 01 ( ) L2 ( ) , Mệnh đề 2.1 Mệnh đề 2.2, ta có định lý sau: Định lý 2.1 (Sự tồn tập hút toàn cục ( L2 (), L2 ())) Nếu giả thiết (H1), (H2) (H3) thỏa mãn nửa nhóm S (t ) sinh tốn (1.1) có tập hút toàn cục 2 ( L2 (), L2 ()) TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT TỒN CỤC Thực tế, muốn chứng minh tồn tập hút nằm ( L (), H 01 () Lq ()) Để giải vấn đề này, sử dụng phương pháp trình bày [13,15] Trước tiên, chúng tơi giả thiết a thỏa mãn điều kiện sau: ( u‖2H ( ) ) khả vi liên tục, không giảm thỏa mãn điều kiện ( H1) ( H1bis ) a ‖ Mệnh đề 3.1 Nếu điều kiện ( H1bis ) , ( H2) , ( H3) thỏa mãn nửa nhóm {S (t )}t 0 có tập hấp thụ bị chặn B2 ( L2 (), H 01 () Lq ()) 158 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 Chứng minh: Giả sử điều kiện ( H1bis ) , ( H2) , ( H3) thỏa mãn Lấy tích phân phương trình (2.1) [t , t 1] với t T1 sử dụng (2.3), ta thu t 1 ( u‖ [a‖ H 01 ( ) t )‖u‖2H ( ) f (u )udx gudx]ds 0 (3.1) u Đặt F (u ) f ( s ) ds Từ (1.4) (1.5) suy tồn số dương c5 , c6 thỏa mãn: c5 | u |q c6 F (u ) uf (u ) Do đó, c3 | u |2 F (u )dx f (u )udx (3.2) c3 (3.3) Từ (3.1) (3.2) suy t 1 [a(‖u‖ H 01 ( ) )‖u‖2H ( ) F (u )dx gudx]ds 0 (c3 1) Mặt khác nhân phương trình (1.1) với ut , ta thu t ‖ut‖2L2 ( ) (3.4) d ( u‖2H ( ) )‖u‖2H ( ) F (u )dx gudx] [ a‖ 0 dt d a‖ ( u‖2H ( ) )‖u‖2H ( ) ‖u‖2H ( ) 0 dt Đặt: L sup a( s ) Từ (2.6) , (2.7) (3.5) suy ra: Nếu u0 B0 thì: (3.5) s 1 d ( u‖2H ( ) )‖u‖2H ( ) F (u )dx gudx] LR12 [ a‖ 0 dt Do đó, từ (3.4) (3.6), sử dụng bất đẳng thức Gronwall đều, ta có (3.6) (c 1) LR12 (3.7) a‖ ( u‖2H ( ) )‖u‖2H ( ) F (u )dx gudx 0 2 Sử dụng (1.2) , (1.4) Bổ đề 1.1 ta rút từ (3.7) (3.2) , với t T2 T1 u0 B0 , ‖un‖2H ( ) ‖un‖qLq ( ) (3.8) Vậy nửa nhóm {S (t )}t 0 có tập hấp phụ bị chặn B2 Mệnh đề 3.2 Nửa nhóm {S (t )}t 0 chuẩn yếu liên tục S ( B2 ) với B2 tập hấp thụ bị chặn nằm không gian ( L2 (), H 01 () Lq ()) thu từ Mệnh đề 3.1 Chứng minh: 159 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 Chọn Y L2 () , X H01 () Lq (), kết luận sau thu trực tiếp từ Định lý 3.2 [13] Định lý 3.1 (Sự tồn tập hút toàn cục ( ( L2 (), Lq ()) ) Giả sử điều kiện ( H1bis ) , ( H2) , ( H3) thỏa mãn Khi nửa nhóm {S (t )}t 0 liên kết với tốn (1.1) có tập hút toàn cục q ( L2 (), Lq ()) Chứng minh: Từ Mệnh đề 3.1, Định lý 2.1 Định lý 2.6 [13], để chứng minh tồn tập hút toàn cục q , ta cần chứng minh tập bị chặn B L2 () tồn hai số dương T T ( , B ) M M ( ) cho: (|u | M ) |u |q C , u0 B t T , số C không phụ thuộc B Theo Bổ đề 2.4 [13]: cố định, , T T ( B ) M M ( ) cho độ đo Lebesgue | (| S (t )u0 | M ) | , u0 B , t T (| S ( t ) u0 | M ) |g |2 (3.9) Nhân phương trình (1.1) với (u M ) q1 ta được: ut (u M ) q1 a ‖ ( u‖2H ( ) )u )(u M ) q1 f (u )(u M ) q1 g ( x )(u M ) q 1 (3.10) Trong (u M ) phần dương (u M ) nghĩa u M , u M , (u M ) , u M, 0 M số dương Từ (1.4) , với u M M đủ lớn, ta có f (u ) c* | u |q 1 Do đó, c* q1 c* q1 q1 q 1 f (u )(u M ) c | u | (u M ) | u | (u M ) | u | (u M ) 2 * * * * c c c c q 1) q 1) (u M ) 2( | u |q 2 (u M ) q (u M )2( M q 2 (u M ) q 2 2 q 1 * q 1 q 1 (3.11) Hơn nữa, g (u M )q1 c* | g |2 q 1) (u M )2( 2c* Từ (3.10) , (3.11) (3.12) suy ra: d (u M ) q dx (q 1) a(‖u‖2H ( ) ) | u |2 (u M )q2 dx ( u M ) ( u M ) q dt c* q M (u M ) q dx * ( u M ) 2c 160 (u M ) |g |2 dx (3.12) TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 Do đó, d c* q q (u M ) dx qM q (u M ) q dx * ( u M ) ( u M ) dt 2c (u M ) |g |2 dx Sử dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có (u M ) q (u M ) dx (u M ) q (u (0) M ) dx e c* qM q 2t q *2 ( q 2) c M (uM ) |g | dx e c* qM q 2t q |g |2 dx ( q 2) ( u M ) c M Với T M đủ lớn, kết hợp với (3.9) ta có *2 (u M ) (u M ) q dx (3.13) Tương tự, lặp lại bước với (u M ) thay (u M ) u M (u M ) 0 Ta thu được: ( u M ) , u M , u M |(u M ) |q dx (3.14) Từ (3.13) (3.14), với T M đủ lớn, suy ra: (|u | M ) (|u | M ) |u |q dx (|u | M ) |u M M |q dx q (|u | M ) q 1 (| u | M ) q dx Do đó, (| u | M ) q dx q (|u | M ) (|u | M ) M q dx (| u | M ) q dx C , với T M đủ lớn C không phụ thuộc B Vậy, nửa nhóm {S (t )}t 0 có tập hút tồn cục q ( L2 (), Lq ()) Bổ đề 3.3 Giả sử điều kiện ( H1bis ) , ( H2) , ( H3) thỏa mãn Khi tập bị chặn B L2 () , tồn số T3 T3(B) cho‖ut (s)‖2L2 () 3 , u0 B, s T3 , ut ( s ) d ( S (t )u0 ) |t s 3 số dương không phụ thuộc u dt Chứng minh Lấy đạo hàm phương trình đầu (1.1) theo thời gian, ký hiệu v ut vt div(a(‖u‖2H ( ) )v) 2div a(‖u‖2H ( ) )( u·vdx)u f (u )v 0 (3.15) Lấy tích vơ hướng phương trình với v , sử dụng (1.5) ta thu được: d ( u‖2H ( ) ) v |2 dx 2a‖ ( u‖2H ( ) )( u·vdx ) c3‖v‖2L2 ( ) (3.16) ‖v‖2L2 ( ) a ‖ 0 dt Do a khơng giảm, (3.16) kéo theo 161 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 d ‖v‖2L2 ( ) 2c3‖v‖2L2 ( ) dt Mặt khác từ (2.6) , (3.4) , (3.6) (3.7) suy ra: t 1 t ‖ut‖2L2 ( ) dx C (3.17) (3.18) C số dương t T2 Kết hợp (3.17) , (3.18) áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta thu được: ‖u t ‖2L2 ( ) , t T3 T 3 số dương Định lí 3.2 Giả sử điều kiện ( H1bis ) , ( H2) , ( H3) thỏa mãn nửa nhóm {S (t )}t0 liên kết với tốn (1.1) có tập hút toàn cục (L2 (), H01() Lq ()) Chứng minh: Từ Định lý 4.7 [15], Mệnh đề 3.1 Mệnh đề 3.2, cần chứng minh nửa nhóm {S(t)}t 0 compact tiệm cận không gian (L2 (), H01() Lq ()) Để chứng minh điều này, chứng minh {un (tn )} dãy Cauchy H01 () Ta có: a(| x |2 ) x a (| y |2 ) y, x y d [a(| sx (1 s) y |2 ) | sx (1 s)(sx (1 s) y)]ds, x y ds 1 | x y |2 a(| sx (1 s) y |2 ) | sx (1 s) y | ds 2 a(| sx (1 s) y |2 )(sx (1 s) y), x y |2 ds 0 m | x y |2 ds m | x y |2 Do đó, với u1 , u H 01 ( ) (a ‖ ( u1‖2H ( ) )u1 (a ‖ ( u2‖2H ( ) )u2 ), (u1 u2 ) 0 ( a (‖u1‖2H ( ) ) u1 ( a (‖u 2‖2H ( ) ) u ). (u1 u ) dx H 01 ( ) m‖u1 u2‖ (3.19) Nhờ Định lý 2.1 Định lý 3.1, giả sử {un (tn )} dãy Cauchy L2 () Lq ( ) Từ (3.19) ta có: m‖un (tn ) um (tm )‖2H ( ) d d un (tn ) f (un (tn )) um (tm ) f (um (tm )), un (tn ) um (tm ) dt dt d d un (tn ) um (tm ) | | un (tn ) um (tm ) | dx | f (un (tn )) f (um (tm )) | | un (tn ) um (tm ) | dx dt dt d d ‖ un (tn ) um (tm )‖L2 (‖ un (tn ) um (tm )‖L2 () ‖f (un (tn )) f (um (tm ))‖Lq (‖ un (tn ) um (tm )‖L2 () ) ) dt dt | 162 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 Sử dụng Bổ đề 3.3 tính bị chặn f (un (tn )) Lq () suy {un (tn )} dãy Cauchy H01 () Do nửa nhóm {S(t)}t0 compact tiệm cận (H01 () Lq ()) SỰ TỒN TẠI VÀ ỔN ĐỊNH MŨ CỦA CÁC NGHIỆM DỪNG Định nghĩa 4.1 Phần tử u * H 01 ( ) Lq ( ) gọi nghiệm dừng toán (1.1) nếu, với v H 01 ( ) Lq ( ), a‖ ( u *‖2H ( ) ) u * vdx f (u * )vdx gvdx (4.1) Định lí 4.1 Giả sử điều kiện ( H1) , ( H2) , ( H3) thỏa mãn tốn (1.1) có nghiệm dừng u * thỏa mãn ‖u *‖2H ( ) ‖u *‖qLq ( ) , (4.2) m1c0 | | ‖g‖2L2 ( ) Hơn ( H1bis ) thỏa mãn c3 m1 (4.3) 2c1 min{1, }1 m với 1 giá trị riêng toán tử ( , H 01 ( )) Thì nghiệm dừng (1.1) ổn định mũ Chứng minh n i) Sự tồn Lấy un nj e j , {e j } j 1 sở H 01 ( ) Lq ( ) Ký j 1 hiệu Vn span{e1 , e2 , , en } Theo (4.1) ta có: a‖ ( u n‖2H ( ) ) u n vdx f (u n )vdx gvdx, (4.4) với hàm thử v Vn Ta xây dựng toán tử sau Rn : Vn Vn xác định bởi: Rn u , v a (‖u‖2H ( ) ) u. vdx f (u )vdx gvdx , u , v Vn Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, Bổ đề 1.1, (1.2) (1.4) suy ra: Rn u , u a (‖u‖2H ( ) ) | u |2 dx f (u )udx gudx m ‖u‖2H ( ) c1‖u‖qLq ( ) c0 | | ‖g‖2L2 ( ) 2m1 2m1c0 | | ‖g‖L2 () 2c m ] [‖u‖2H1 () 1‖u‖qLq () m 41 163 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 m 2c min{1, }[‖u‖2H ( ) ‖u‖qLq ( ) ], m 0 m, u Vn m1c0 | | ‖g‖2L2 ( ) min{1, 2c1 }1 m (4.5) Từ (4.5) suy ra: Rn u , u , u Vn thỏa mãn: ‖u‖2H ( ) ‖u‖qLq ( ) Do nhờ hệ định lí điểm cố định Brouwer [12, Chapter 2, Lemma 1.4] suy : un Vn cho Rn (un ) với ‖un‖2H ( ) ‖un‖qLq ( ) (4.6) Do {un } bị chặn H 01 ( ) Lq ( ) Sử dụng tính compact phép nhúng từ H 01 ( ) Lq ( ) vào L2 () , ta trích dãy {un } (được ký hiệu tương tự) hội tụ yếu H 01 ( ) Lq ( ) hội tụ mạnh L2 () tới phần tử u * H 01 ( ) Lq ( ) Do đó, tồn dãy hội tụ hầu khắp nơi Hơn nữa, f (un ) bị chặn Lq () , f C1 ( ) (a (‖un‖2H ( ) )un ) bị chặn H 1 () Áp dụng thủ thuật chéo hóa sử dụng Lemma 1.3 [9, p.12] Theorem 4.18 [10, Chapter 4], ta có f (u n ) f (u * ) Lq () ( a (‖un‖2H ( ) ) un ) a (‖u *‖2H ( ) ) u * ) 1 * 0 q H () Do đó, u H ( ) L ( ) nghiệm dừng toán (1.1) Bất đẳng thức (4.2) thu trực tiếp từ (4.6) n tiến vô ii) Sự ổn định mũ: Đặt w(t ) u (t ) u * , ta có wt vdx a ‖ ( u‖2H ( ) )u a (‖u *‖2H ( ) )u * vdx ( f (u ) f (u * ))vdx 0, 0 q với hàm thử v H ( ) L ( ) Đặc biệt, chọn v w , ta có: d ( u‖2H ( ) )u a‖ ( u*‖2H ( ) )u* (u u* )dx ‖w‖2L2 ( ) a‖ 0 dt ( f (u ) f (u * ))(u u * ) dx d ‖w‖2L2 ( ) 2( m1 c3 )‖w‖2L2 ( ) Áp dụng bất đẳng dt thức Gronwall cho bất đẳng thức ta có‖w(t )‖2L2 ( ) ‖w(0)‖2L2 ( ) e 2( m1 c3 )t Từ (4.3) (3.19) , suy Do nghiệm dừng (1.1) ổn định mũ KẾT LUẬN Bài báo phát biểu trình bày hồn chỉnh nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình parabolic tựa tuyến tính thơng qua nghiên cứu tồn tập 164 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 hút toàn cục ngồi ra, báo cịn trình bày tồn ổn dịnh mũ nghiệm dừng toán TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] A.S.Ackleh and L.Ke (2000), Existence-uniqueness and long time behavior for a class of nonlocal nonlinear parabolic evolution equations, Proc Amer Math Soc 128, 3483-3492 C.T Anh and T.D Ke (2009), Long-time behavior for quasilinear parabolic equations involving weighted p -Laplacian operators, Nonlinear Anal 71, 4415-4422 R.M.P Almeida, S.N Antontsev, J.C.M Duque (2016), On a nonlocal degenerate parabolic problem, Nonlinear Anal Real World Appl 27, 146-157 T Caraballo, M Herrera-Cobos and P Marín-Rubio (2016), Robustness of nonautonomous attractors for a family of nonlocal reaction diffusion equations without uniqueness, Nonlinear Dynam.84, 35-50 M Chipot and B Lovat (1997), Some remarks on nonlocal elliptic and parabolic problems, Nonlinear Anal, 30, 4619-4627 M Chipot, V Valente and G.V Caffarelli (2003), Remarks on a nonlocal problem involving the Dirichlet energy, Rend Sem Mat Univ Padova 110, 199-220 M Chipot and T Savitska (2014), Nonlocal p -Laplace equations depending on the Lp-norm of the gradient, Adv Diff Equa.19, 997-1020 F.J.S.A Correa, S.D.B Menezes, J Ferreira (2004), On a class of problems involving a nonlocal operator, Appl Math Comp.147, 475-489 J.-L Lions (1969), Quelques Methodes de Resolution des Problemes aux Limites Non Lineaires, Dunod, Paris J.C Robinson (2001), Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cambridge University Press, Cambridge J Simsen and J Ferreiran (2014), A global attractor for a nonlocal parabolic problem, Nonlinear Stud 21, 405-416 R Temam (1979), Navier - Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, 2nd edition, North - Holland, Amsterdam M Yang, C Sun, and C Zhong (2007), Global attractors for p -Laplacian equation, J Math Anal Appl.327, 1130-1142 [14] S Zheng and M Chipot (2005), Asymptotic behavior of solutions to nonlinear parabolic equations with nonlocal terms, Asymptot Anal.45, 301-312 [15] C K Zhong, M H Yang, and C Y Sun (2006), The existence of global attractors for the norm-to-weak continuous semigoup and application to the nonlinear reactiondiffusion equations, J Differential Equations, 15, 367-399 165 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF SOLUTIONS FOR A CLASS OF NONLOCAL PARABOLIC EQUATIONS Le Tran Tinh, Mai Xuan Thao, Nguyen Thi Sam ABSTRACT In this paper we consider a class of nonlinear nonlocal diffusion problems involving Laplacian operator where the nonlocal quantity is present in the diffusion coefficient which depends on-norm of the gradient and the nonlinear term satisfies a polynomial growth By using Faedo - Galerkin method, we first prove the existence and uniqueness of weak solutions Then we study the asymptotic behavior of solutions by investigating the existence and regularity of global attractors in various bi-spaces Finally, we study the existence and exponential stability of the unique weak stationary solution to the problem Keywords: Nonlocal parabolic equations, weak solution, global attractors 166
Ngày đăng: 02/03/2023, 08:29
Xem thêm: