Luận văn thạc sĩ HUS tập hút lùi đối với một lớp phương trình parabolic suy biến

đại học quốc gia hà nội tr-ờng đại học khoa häc tù nhiªn BÙI HUY BÁCH TẬP HÚT LÙI ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIN Luận văn thạc sĩ khoa học Hà nội - 2011 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com đại học quốc gia hà nội tr-ờng đại học khoa häc tù nhiªn BÙI HUY BÁCH TẬP HÚT LÙI ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIN Luận văn thạc sĩ khoa học Chuyờn ngnh: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN ĐÌNH BÌNH Hµ néi - 2011 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt Lời cảm ơn Lời mở đầu Không gian hàm định nghĩa 1.1 Không gian hàm toán tử 1.2 Tập hút lùi (Pullback attractors) 11 1.3 Một số bổ đề, định lý 14 1.3.1 Bổ đề Gronwall 14 1.3.2 Bổ đề Gronwall 15 Sự tồn nghiệm yếu 2.1 2.2 17 Đặt toán 17 2.1.1 Các giả thiết toán 17 2.1.2 Định nghĩa nghiệm yếu toán 18 Sự tồn nghiệm yếu toán 19 Sự tồn D− tập hút lùi Hµ (Ω) Lp (Ω) 28 3.1 Các bổ đề 28 3.2 Định lý 37 Kết luận chung 39 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tài liệu tham khảo 40 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt Trong khóa luận này, ngắn gọn, ta dùng kí hiệu: |.|2 , (.,.), u µ , ((., ))µ , làm chuẩn tích vơ hướng L2 (Ω) Hµ (Ω); tương tự, ta dùng |.|p làm chuẩn Lp (Ω) Ta thường sử dụng ký hiệu sau: ΩM = Ω(u(t) ≥ M ) = {x ∈ Ω : u(x, t) ≥ M } LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời mở đầu Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận hệ động lực vấn đề quan trọng vật lý toán đại Một cách tiếp cận toán hệ động lực tán xạ phân tích tồn cấu trúc tập hút toàn cục (global attractor) Đó tập đóng, bị chặn, bất biến hút tất tập bị chặn Tập hút tồn cục chứa đựng nhiều thơng tin dáng điệu tiệm cận hệ động lực xét Tuy nhiên, tập hút toàn cục áp dụng cho trường hợp ơtơnơm, nhiều q trình có ngoại lực phụ thuộc vào thời gian Do đó, cần phải mở rộng khái niệm tập hút cho hệ động lực không ôtônôm Việc mở rộng nghiên cứu tập hút dẫn đến khái niệm tập hút (uniform attractor) cho trường hợp quỹ đạo nghiệm bị chặn thời gian t tiến vô hạn, sau khái niệm tập hút lùi (pullback attractor) cho trường hợp quỹ đạo nghiệm thời gian t tiến vô hạn Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu tồn tập hút lùi lớp phương trình parabolic suy biến:  µ  u − ∆u − u + f (u, t) = g(t, x), x ∈ Ω, t > τ,  t   |x|2       u|∂Ω = 0, t > τ, (0.1) u(x, τ ) = uτ (x), x ∈ Ω, với Ω miền bị chặn RN (N ≥ 3) có chứa gốc tọa độ, uτ ∈ L2 (Ω) hàm cho trước, < µ ≤ µ∗ tham số, µ∗ = ( N2−2 )2 số lớn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thỏa mãn bất đẳng thức Hardy: |u|2 dx ≤ |x|2 ∗ µ Ω |∇u|2 dx, ∀u ∈ C∞ (Ω) (0.2) Ω Trong trường hợp g ≡ hàm f có số dạng đặc biệt, tốn (0.1) nghiên cứu báo [2,3,5,6,12], hay trường hợp hàm ngoại lực g(t, x) phụ thuộc vào thời gian t hàm phi tuyến f = f (u): ut − ∆u − µ u + f (u) = g(t, x), |x|2 toán (0.1) nghiên cứu báo [1] Trong đó, tác giả nghiên cứu tồn toàn cục phụ thuộc dáng điệu nghiệm phương trình vào tham số µ Trong luận văn này, tác giả tiếp tục nghiên cứu toán (0.1) trường hợp hàm ngoại lực g(t, x) hàm phi tuyến f = f (u, t) Hàm phi tuyến f ngoại lực g thỏa mãn điều kiện sau: (F) Hàm f ∈ C1 (R × [τ, ∞]) thỏa mãn: C1 |u|p − k1 (t) ≤ f (u, t)u ≤ C2 |u|p + k2 (t), p ≥ 2, k1 (t) , k2 (t) ∈ L∞ (R) , k1 (t) > 0, ∀t ∈ R, k2 (t) > 0, ∀t ∈ R, ∂f (u, t) ≥ −l, ∀u ∈ R, ∂u F (u) ≤ C(|u|pp + 1), C(|u|pp − 1) ≤ Ω F (u) = u f (r)dr, (trong trường hợp f (r, t) = f (r)), C, C1 , C2 , l số dương LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1,2 (R; L2 (Ω)) thỏa mãn (G) g ∈ Wloc e 1,µ s (|g(s)|22 + |g (s)|2 )ds < +∞, −∞ 1,µ giá trị riêng thứ tốn tử Aµ = −∆ − |x|µ2 Ω với điều kiện Dirichlet Để nghiên cứu tốn (0.1), ta sử dụng khơng gian Hµ (Ω), ≤ µ ≤ µ∗ , định nghĩa bao đóng C∞ (Ω) với chuẩn u |u|2 = ( (|∇u| − µ )dx)1/2 |x| µ Ω Mục đích khóa luận chứng minh ln có tồn phụ thuộc vào tham số µ D- tập hút lùi khơng gian Hµ (Ω) Lp (Ω) cho q trình mơ tả tốn (0.1) Phương pháp sử dụng khóa luận mơ tả sau: Trước tiên ta sử dụng phương pháp compact hóa [9] để chứng minh tồn tồn cục nghiệm yếu sử dụng đánh giá tiên nghiệm để tồn họ D- tập hấp thụ lùi B = {B(t) : t ∈ R} Hµ (Ω) Lp (Ω) cho q trình nói Do tính compact phép nhúng Hµ (Ω) → L2 (Ω), q trình nói D- tiệm cận compact lùi L2 (Ω) Điều kéo theo tồn D- tập hút lùi L2 (Ω) Trong trình chứng minh tồn D- tập hút lùi Lp (Ω) Hµ (Ω) Lp (Ω), để khắc phục khó khăn thiếu kết phép nhúng, ta sử dụng phương pháp tiệm cận đánh giá tiên nghiệm khởi đầu [11] cho phương trình ơtơnơm Cấu trúc khóa luận gồm ba chương: - Chương 1: Trình bày kiến thức sở khái niệm kết không gian tập hút lùi phương trình parabolic phi tuyến LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com tính - Chương 2: Chứng minh tồn nghiệm yếu toán (0.1) - Chương 3: Chứng minh tồn D− tập hút lùi Hµ (Ω) Lp (Ω) (trong trường hợp f (u, t) không phụ thuộc vào t) Mặc dù cố gắng, song luận văn chắn nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thầy đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2011 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Không gian hàm định nghĩa 1.1 Khơng gian hàm tốn tử Với ≤ µ ≤ µ∗ , ta định nghĩa khơng gian Hµ (Ω) bao đóng C∞ (Ω) với chuẩn: u |u|2 = ( (|∇u| − µ )dx)1/2 |x| µ Ω Khi Hµ (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng (∇u∇v − µ < u, v >µ := uv )dx, ∀u, v ∈ Hµ (Ω) |x|2 Ω Ta biết (xem [12]) ≤ µ ≤ µ∗ ,thì Hµ (Ω) ≡ H01 (Ω) Khi µ = µ∗ , ta có bất đẳng thức Hardy-Poincare [12] (|∇u| − ∗ |u| µ )dx |x| ≥ C(q, Ω) u W 1,q (Ω) , ≤ q < 2, (1.1) Ω với ≤ s < 1, ≤ r < r∗ = (|∇u| − 2N N −2(1−s) , ∗ |u| µ )dx |x| ≥ C(s, r, Ω) u W s,r (Ω) , (1.2) Ω LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Suy 1∂ |u|22 + u ∂t ⇒ µ ∂ |u|22 + u ∂t ⇒ + C1 |u|pp − k1 (t)|Ω| ≤ µ λ1,µ |g(t)|22 + |u|2 2λ1,µ + 2C1 |u|pp ≤ 2k1 (t)|Ω| + |g(t)|22 + λ1,µ |u|22 λ1,µ ∂ |u|22 + λ1,µ |u|22 ≤ 2k1 (t)|Ω| + |g(t)|22 ∂t λ1,µ Áp dụng bổ đề Gronwall, ta có |u(t)|22 ≤ e−λ1,µ (t−τ ) |uτ |22 ≤ e−λ1,µ (t−τ ) |uτ |22 + k1 (t) 2k1 (t) e−λ1,µ t + |Ω| + λ1,µ λ1,µ L∞ (R) λ1,µ e−λ1,µ t |Ω| + λ1,µ 27 t eλ1,µ s |g(s)|22 ds −∞ t eλ1,µ s |g(s)|22 ds (2.5) −∞ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Sự tồn D− tập hút lùi Hµ(Ω) Lp(Ω) Trong chương này, ta giả thiết f (u, t) không phụ thuộc vào t 3.1 Các bổ đề Nhờ định lí 2.2.2, ta định nghĩa q trình Uµ (t, τ ) : L2 (Ω) → Hµ (Ω) Lp (Ω), t ≥ τ Uµ (t, τ )uτ nghiệm yếu toán (0.1) phụ thuộc vào uτ liệu ban đầu thời điểm τ Ta định nghiã R tập hợp tất hàm số r : R → (0, +∞) cho lim e t→−∞ 1,µ t r2 (t) = 0, kí hiệu D = {D(t) : t ∈ R} ⊂ B(L2 (Ω)) thỏa mãn D(t) ⊂ B(r(t)) cho số hàm r(t) ∈ R, B(r(t)) hình cầu đóng L2 (Ω) với bán kính r(t) Bổ đề 3.1.1 Giả sử điều kiện (F) - (G) thỏa mãn u(t) 28 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com nghiệm yếu tốn (0.1) Khi đó, ta có với t > τ, t u µ + |u|pp ≤ C(e−λ1,µ (t−τ ) |uτ |22 + + e−λ1,µ t eλ1,µ s |g(s)|22 ds), (3.1) −∞ C số dương Do tồn họ D− tập hấp thụ Lp (Ω) cho q trình Uµ (t, τ ) lùi Hµ (Ω) Chứng minh Nhân (0.1) với u lấy tích phân Ω, ta có 1d |u|22 + u dt µ + f (u)udx = g(t)udx = Ω Ω ≤ Ω ≤ Ω |g(t)| λ1,µ g(t) λ1,µ λ1,µ u dx λ1,µ |u| dx λ1,µ |g(t)|22 + |u|2 λ1,µ (3.2) Sử dụng điều kiện (F) λ1,µ |u|22 ≤ u 2µ , ta có d |u|22 + λ1,µ |u|22 + C( u dt Với F (s) = s f (r)dr, µ + |u|pp ) ≤ C(1 + |g(t)|22 ) (3.3) theo (F) ta có C(|u|pp − 1) ≤ F (u) ≤ C(|u|pp + 1) (3.4) Ω Nhân (3.3) với eλ1,µ t sử dụng (3.4) ta thu d λ1,µ t (e |u(t)|22 ) + Ceλ1,µ t ( u (t) dt µ F (u(t))dx) ≤ C(eλ1,µ t + eλ1,µ t |g(t)|22 ) +2 Ω (3.5) Tích phân (3.5) từ τ đến s ∈ [τ, t − 1] từ s đến s + 1, ta thu λ1,µ s e |u(s)|22 λ1,µ τ ≤e |u(τ )|22 s λ1,µ s + Ce +C τ eλ1,µ r |g(r)|22 , ∀s ∈ [τ, t − 1] (3.6) 29 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com s+1 µ eλ1,µ r ( u(r) C s ≤e F (u(r))dx))dr Ω λ1,µ s ≤e +2 |u(s)|22 λ1,µ τ |uτ |22 s+1 +C s (eλ1,µ r + eλ1,µ r |g(r)|22 )dr s λ1,µ s + Ce +C τ s+1 λ1,µ (s+1) +Ce +C s ≤ C(e λ1,µ τ |uτ |22 (eλ1,µ r |g(r)|22 )dr t +e λ1,µ t (eλ1,µ r |g(r)|22 )dr + τ (3.7) (eλ1,µ r |g(r)|22 )dr) Nhân (0.1) với ut (s) lấy tích phân Ω ta có |ut (s)|22 + 1d ( u(t) ds µ +2 F (u(s))dx) Ω g(s)ut (s) ≤ = 1 |g(s)|22 + |ut (s)|22 , 2 (3.8) Ω eλ1,µ s |ut (s)|22 + d λ1,µ s (e ( u(t) ds µ +2 F (u(s))dx)) Ω ≤ λ1,µ eλ1,µ s ( u(t) µ F (u(s))dx)) + eλ1,µ s |g(s)|22 +2 (3.9) Ω Từ (3.7), (3.9) sử dụng bất đẳng thức Gronwall đều, ta có t eλ1,µ t ( u(t) µ F (u(s))dx) ≤ C(eλ1,µ τ |uτ |22 + eλ1,µ t + +2 eλ1,µ s |g(s)|22 ds) −∞ Ω (3.10) Kết hợp với (3.4), ta thu (3.1) 30 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ bổ đề trên, tính compact phép nhúng Hµ (Ω) → L2 (Ω), trình nói D- tiệm cận compact lùi L2 (Ω) Điều kéo theo tồn D- tập hút lùi L2 (Ω) Mặt khác, từ bổ đề ta thấy q trình Uµ (t, τ ) ánh xạ tập compact Hµ (Ω) vào tập bị chặn Hµ (Ω) Lp (Ω) Lp (Ω) đó, theo bổ đề 1.2.4, Lp (Ω) Vì Uµ (t, τ ) có trình Uµ (t, τ ) liên tục norm-to-weak Hµ (Ω) họ D− tập hấp thụ lùi Hµ (Ω) Lp (Ω), nên để chứng minh tồn D− tập hút lùi, ta cần chứng minh Uµ (t, τ ) D− tiệm cận compact lùi Để chứng minh Uµ (t, τ ) D− tiệm cận compact lùi Lp (Ω) ta cần sử dụng bổ đề sau: Bổ đề 3.1.2 [8] Giả sử U (t, τ ) liên tục norm-to-weak L2 (Ω), Lp (Ω), thỏa mãn hai điều kiện sau: (1) U (t, τ ) D− tiệm cận compact lùi L2 (Ω); (2) Với ˆ τ0 (D, , t) ≤ t > 0, Bˆ ∈ D, tồn số M = M ( , B) cho p p |U (t, τ )uτ | dx < Ω(|U (t,τ )uτ |≥M ) với uτ ∈ B(τ ), τ ≤ τ0 Khi U (t, τ ) D− tiệm cận compact lùi Lp (Ω) Bổ đề 3.1.3 [10] Giả sử với λ > 0, τ ∈ R, s > τ y (s) + λy (s) ≤ h (s) , (3.11) giả thiết hàm y, y’, h khả tích địa phương y, h khơng âm khoảng t < s < t + r, với t ≥ τ Khi y (t + r) ≤ e t+r/2 −λ 2r r t+r −λ(t+r) eλs h (s) ds y (s) ds+e t (3.12) t 31 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bổ đề 3.1.4 Dưới điều kiện (F) - (G), trình Uµ (t, τ ) D− tiệm cận compact lùi Lp (Ω) Chứng minh Xét điều kiện (2) Bổ đề 2.2 Từ điều kiện (F), ta chọn số M đủ lớn cho f (u) ≥ C˜1 |u|p−1 Ω2M = Ω (u (t) ≥ 2M ) = {x ∈ Ω : u (x, t) ≥ 2M } Trong phần này, ta kí hiệu   u − M, u ≥ M + (u − M ) =  , u < M Trước tiên Ω2M ta thu g (t) (u − M )+ ≤ C˜1 + 2p−2 C˜1 (u − M ) + 2C1˜ |g (t)|22 + p−1 p−1 M) |u| + 2C1˜ |g (t)|2 , p−1 (u − ≤ (3.13) f (u) (u − M )+ ≥ C˜1 p−1 + p−1 (u − M ) ≥ C˜1 (u − M )+ p−1 |u| + C˜1 M p−2 p−1 |u|p−1 + p (u − M ) Ta nhân phương trình đầu (0.1) với (u − M )+ p−1 (3.14) suy với < µ ≤ µ∗ , ta có du (u − M )+ dt p−1 − ∆u (u − M )+ +f (u) (u − M )+ p−1 p−1 − µ + u (u − M ) |x| = g (t) (u − M )+ p−1 p−1 Lấy tích phân Ω2M , ta có 1d p dt p (u − M )+ dx + Ω2M (p − 1) ∇u∇(u − M )+ (u − M )+ p−2 dx Ω2M 32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com µ + u (u − M ) |x| − p−1 f (u) (u − M )+ dx + p−1 dx Ω2M Ω2M p−1 g (t) (u − M )+ = dx Ω2M Để ý Ω2M −u(u − M )+ ≥ − |u|2 , áp dụng bất đẳng thức Hardy, ta suy (p − 1) ∇u∇(u − M )+ (u − M )+ p−2 µ + u (u − M ) |x| dx − p−1 dx Ω2M Ω2M |∇u|2 − ≥C µ 2 |u| |x| (u − M )+ p−2 dx Ω2M |∇u|2 − ≥ CM p−2 µ dx ≥ |u| |x| Ω2M Điều dẫn tới 1d p dt p (u − M )+ dx + Ω2M f (u) (u − M )+ p−1 dx Ω2M p−1 g (t) (u − M )+ ≤ dx Ω2M Kết hợp với (3.13) (3.14), ta kết luận 1d p dt p (u − M )+ dx + C˜1 M p−2 p (u − M )+ dx ≤ Ω2M Ω2M 2C˜1 |g (t)|2 dx, Ω2M d dt p (u − M )+ dx+CM p−2 Ω2M p (u − M )+ dx ≤ C |g (t)|22 Ω2M Từ bổ đề 3.1.3, ta có với t1 < t r > + p (u (t1 + r) − M ) −CM p−2 2r t1 +r dx ≤ Ce t1 Ω2M 33 p (u (s) − M )+ dxds Ω2M LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com t1 +r −CM p−2 (t1 +r) +Ce eCM p−2 s t1 |g (t)|22 ds (3.15) Bây ta đánh giá số hạng bên vế phải (3.15) Trước tiên, ta có t1 +r t1 p (u (s) − M )+ dxds Ω2M t1 +r p (u (s) − M )+ p ds ≤ t1 t1 +r ≤C t1 ≤C |u (t1 )|22 |u (s)|pp ds + rM p |Ω|p t1 +r +1+ t1 (3.16) |g (s)|22 ds + rM p |Ω|p (sử dụng (3.3)) t1 −λ1,µ t1 ≤C 1+e e λ1,µ s −∞ |g (s)|22 ds t1 +r + t1 |g (s)|22 ds < +∞ với τ đủ nhỏ (do (2.1)) Do đó, tồn N0 phụ thuộc vào τ, M uτ cho t1 +r t1 p (u (s) − M )+ dxds ≤ N0 , (3.17) Ω2M với M đủ lớn, ta có t1 +r −CM p−2 2r ε p (u (s) − M )+ dxds ≤ Ce t1 (3.18) Ω2M Ta biết với hàm h khả tích đoạn [a, b] số > cho trước, b −M b eM s h (s) ds ≤ e a 34 ε (3.19) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com với M đủ lớn Kết hợp (3.15), (3.18), (3.19), chọn r = t − t1 > 0, ta có p (U (t, τ ) uτ − M )+ dx ≤ ε (3.20) Ω2M với τ < τ1 M ≥ M1 Tiếp theo, ta đặt   u + M, u ≤ −M − (u + M ) =  0, u > −M (3.21) lặp lại tương tự bước trên, thay (u − M )+ (u + M )− , ta suy tồn M2 > τ2 < t cho với τ < τ2 với M ≥ M2 , ta có p (u + M )− dx ≤ ε (3.22) Ω(u(t)≤−2M ) Bây giờ, giả sử M0 = max {M1 , M2 } τ0 = {τ1 , τ2 } Từ (3.20) (3.22) suy (|u| − M )p dx ≤ ε (3.23) Ω(|u(t)|≥2M ) với τ ≤ τ0 M ≥ M0 Ta có |u|p dx = [(|u| − M ) + M ]p dx Ω(|u(t)|≥2M ) Ω(|u(t)|≥2M ) ≤ 2p−1 (|u| − M )p dx + Ω(|u(t)|≥2M ) M p dx (|u| − M )p dx + ≤ 2p−1 (3.24) Ω(|u(t)|≥2M ) Ω(|u(t)|≥2M ) (|u| − M )p dx Ω(|u(t)|≥2M ) ≤ 2p ε |u|p dx ≤ 2p ε ⇒ Ω(|u(t)|≥2M ) 35 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  p1   |u|p dx < (2p ε) p = ε  ⇒ Ω(|u(t)|≥2M ) Vậy ta có điều phải chứng minh Bổ đề 3.1.5 Giả sử có điều kiện (F) - (G) Khi với s ∈ R với tập bị chặn B ⊂ L2 (Ω) tồn số τ0 = τ0 (B, s) ≤ s cho   s eλ1,µ r |g (r)|22 + |g (r)|2 dr |ut (s)|22 ≤ C 1 + e−λ1,µ s −∞ với τ ≤ τ0 với uτ ∈ B, C > phụ thuộc vào s B Chứng minh Lấy tích phân (3.9) theo biến s từ r đến r + 1, r ∈ [τ, t − 1] , ta có r+1 λ1,µ s e |ut (s)|22 ds r +λ1,µ r+1 λ1,µ s e r ≤ eλ1,µ s u (s) ≤C e λ1,µ t µ +2 λ1,µ τ +e u (s) µ +2 ΩF (u (s)) dx Ω F (u (s)) dx ds + |uτ |22 t + −∞ r+1 λ1,µ s e |g (s)|22 ds r eλ1,µ s |g (s)|22 ds (3.25) (do (3.7) (3.10)) Đạo hàm (0.1) theo t nhân bất đẳng thức với eλ1,µ s , ta có 1d eλ1,µ s |ut |22 + eλ1,µ s u (s) ds µ + eλ1,µ s (f (u) ut , ut ) λ1,µ λ1,µ s = eλ1,µ s (g (s) , ut ) + e |ut |22 2 Sử dụng điều kiện (F) bất đẳng thức Cauchy, ta thu d eλ1,µ r |ut (s)|22 ≤ C eλ1,µ s |g (s)|2 + eλ1,µ s |ut (s)|22 dr 36 (3.26) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ (3.25), (3.26) bất đẳng thức Gronwall, ta có e λ1,µ s |ut (s)|22 ≤C e λ1,µ s λ1,µ τ +e |uτ |22 s + −∞ eλ1,µ r |g (r)|22 + |g (r)|2 dr (3.27) ⇒ |ut (s)|22 λ1,µ (τ −s) ≤C 1+e ⇒ |ut (s)|22 ≤ C |uτ |22 s −λ1,µ s +e −∞ s + e−λ1,µ s −∞ eλ1,µ r |g (r)|22 + |g (r)|2 dr eλ1,µ r |g (r)|22 + |g (r)|2 dr (Điều phải chứng minh) 3.2 Định lý Định lý 3.2.1 Giả sử điều kiện (F) (G) thỏa mãn Khi với µ ∈ [0, µ∗ ], trình Uµ (t, τ ) tốn (1.1) có D− tập hút lùi Aˆµ = {Aµ (t) : t ∈ R} Hµ (Ω) Lp (Ω) Chứng minh Theo bổ đề 3.1.1, q trình Uµ (t, τ ) có họ D− tập hấp thụ lùi Hµ (Ω) Lp (Ω) Có thể {U (t, τ )} D− tiệm cận compact lùi, tức với t ∈ R, với Bˆ ∈ D, với dãy τn → −∞, với dãy uτn ∈ B (τn ), dãy {Uµ (t, τn ) uτn } tiền compact Hµ (Ω) Lp (Ω) Theo bổ đề 3.1.4, ta cần dãy {Uµ (t, τn ) uτn } tiền compact Hµ (Ω) Kí hiệu un (t) = {Uµ (t, τn ) uτn }, ta có un (t) − um (t) =− µ dun dum (t) − (t) , un (t) − um (t) dt dt − f (un (t)) − f (um (t)) , un (t) − um (t) ≤ d d un (t) − um (t) |un (t) − um (t)|2 + l |un (t) − um (t)|22 dt dt 37 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Theo bổ đề 3.1.4 3.1.5, ta có un (t) − um (t) µ → n, m → ∞ (điều phải chứng minh) 38 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết luận chung Nội dung luận văn nghiên cứu tồn nghiệm yếu tồn tập hút lùi toán biên ban đầu lớp phương trình parabolic Những kết đạt q trình nghiên cứu tốn (0.1) là: Sự tồn nghiệm yếu toán Sự tồn D− tập hút lùi Hµ (Ω) Lp (Ω) (trong trường hợp f (u, t) không phụ thuộc vào t) Chúng tơi có số hướng để tiếp tục phát triển kết nghiên cứu sang lớp phương trình khác nghiên cứu thêm tính chất tập hút lùi toán cụ thể Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn bè đồng nghiệp 39 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tài liệu tham khảo C T Anh and T T H Yen (2011), "Finite-dimensional pullback attractors for parabolic equations with hardy type potentials", Ann Polon Math, 102, pp 161-186 P Baras and J Goldstein (1984), " The heat equation with asingular potential", Trans Amer Math Soc, 284, pp 121-134 X Cabre and Y Martel (1999), " Exitence versus eplosion instantane pour des equations de la chaleur lineaires avec potentiel singulier", C R Acad Sci Paris, 329, pp 973-978 A.N Carvalho (2009), "J.A Langla and J.C Robinson, On the continuity of pullback attractors for evolution processes", Nonlinear Anal, 71, pp 1812-1814 N.I Karachalios and N.B.Zographopoulos (2008), "A sharp estimate on the dimension of the attractor for singular semilinear parabolic equations", Arch Math, 91, pp 564-576 N.I Karachalios and N.B.Zographopoulos (2009), "The semiflow of a reaction diffusion equation with a singular potential", Manuscr Math, 130, pp 63-81 Y Li and C.K Zhong (2007), "Pullback attractors for the normto-weak continuous process and application to the nonautonomous reaction-diffusion equations", Appl Math Comp, 190, pp 1020-1029 40 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Y Li, S Wang and H Wu (2009), "Pullback attractors for nonautonomous reaction-diffusion equations in Lp ", Appl Math Comp, 207, pp 373-379 J L Lions (1969), Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites Non Linéaires, Dunod, Paris 10 G Lukaszewicz (2010), "On pullback attractors in Lp for nonautonomous reaction-diffusion equations", Nonlinear Analysis 11 Q.F Ma, S.H Wang and C.K Zhong (2002), "Necessary and sufficient conditions for the existence of global attractor for semigroups and applications", Indian University Math J, 51 (6) , pp 1541-1559 12 J.L Vazquez and E Zuazua (2000), "The Hardy inequality and the asymptotic behaviour of the heat equation with an inverse-square potential", J Functional Analysis, 173, pp 103-153 13 E Zeidler (1990), Nonlinear Functional Analysis and its Applications, Vol II, Springer-Verlag 14 C K Zhong, M H Yang and C Y Sun (2006), "The existence of global attractors for the norm-to-weak continuous semigroup and application to the nonlinear reaction-diffusion equations", J Differential Equations, 15 , pp 367-399 41 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... tr-ờng đại học khoa häc tù nhiªn BÙI HUY BÁCH TẬP HÚT LÙI ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIN Luận văn thạc sĩ khoa học Chuyờn ngnh: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01 Người... trường hợp quỹ đạo nghiệm thời gian t tiến vô hạn Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu tồn tập hút lùi lớp phương trình parabolic suy biến:  µ  u − ∆u − u + f (u, t) = g(t, x), x ∈ Ω, t >... với τn → −∞, với pact lùi với t ∈ R, với D dãy xn ∈ D(τn ), dãy {U (t, τn )xn } compact tương đối X Định nghĩa 1.2.6 Một trình {U (t, τ )} gọi ω − D− giới hạn compact lùi với ˆ ∈ D tồn > 0, với