Không gian hàm và toán tử
Với mỗi 0 ≤à ≤ à ∗ , ta định nghĩa khụng gian Hà(Ω) như là một bao đúng của C ∞ 0 (Ω) với chuẩn: kuk à = (
|x| 2 )dx) 1/2 Khi đú Hà(Ω) là một khụng gian Hilbert với tớch vụ hướng
Ta đó biết (xem [12]) rằng nếu0 ≤ à≤ à ∗ ,thỡH à (Ω) ≡ H 0 1 (Ω) Khi à = à ∗ , ta có bất đẳng thức Hardy-Poincare trong [12]
|x| 2 )dx ≥C(s, r,Ω)kuk 2 W s,r (Ω), (1.2) với mọi u ∈ C ∞ 0 (Ω) Do đó dẫn tới các phép nhúng liên tục sau, khi 1 ≤ q < 2 và 0 ≤ s < 1:
Hơn nữa, vì W 0 1,q (Ω) được nhúng compact trong H 0 s (Ω) với mỗi q = q(s) thích hợp, và H 0 s (Ω) được nhúng compact trong L2(Ω), ta có các phép nhúng compact sau:
Phép nhúng W 1,q vào L p (Ω) là liên tục với điều kiện 1 ≤ p ≤ N/N q − q và q < N Đặt p ∗ = N−q/N q với 1 ≤ q < 2, từ (2.3) suy ra phép nhúng liên tục H à (Ω) vào L p (Ω) đúng với mọi 1 ≤ p ≤ p ∗ Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét bài toán biên sau đây.
(1.5) Để có thể áp dụng thác triển Friedrichs của các toán tử đối xứng (xem[13]) ta nhắc lại biến đổi bất đẳng thức Hardy trong [12]:
|u| 2 dx, (1.6) với λΩ là một hằng số dương phụ thuộc vào Ω, và X = L 2 (Ω), D( ˜A) C ∞ 0 (Ω),Au˜ = −∆u− à
A˜ là một toán tử dương liên hợp, và không gian năng lượng XE tương đương với Hà(Ω) Không gian XE được xác định là không gian mở rộng của D(˜A) = C ∞ 0 (Ω) với tích vô hướng.
A˜⊂ A ⊂A E , với A E : H à (Ω) → H à −1 (Ω) là thỏc triển mạnh, (H à −1 (Ω) là khụng gian đối ngẫu của H à (Ω) ), vàA = −∆− à
|x| 2 là thác triển Friedrichs của A˜ với miền xác định là
Ta có không gian H à (Ω), L 2 (Ω) và H à −1 (Ω) với các phép nhúng là compact và trự mật Do đó, với mỗi 0 < à ≤ à ∗, tồn tại một hệ trực chuẩn đầy đủ các vectơ riêng (e j,à, λ j,à) phụ thuộc vào à, đảm bảo tính chính xác và tính chất của không gian.
Cuối cựng ta nhận xột rằng với mọi u ∈ H à (Ω), ta cú: kuk 2 à ≥λ 1,à |u| 2 2 (1.7)
Tập hút lùi (Pullback attractors)
Trong không gian metric (X,d), nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp A và B được định nghĩa là dist(A, B) = sup x∈A y∈B inf d(x, y) Hơn nữa, tập hợp {U(t, τ) : t ≥ τ, τ ∈ R} được gọi là một quá trình trong X nếu ánh xạ U(t, τ) : X → X thỏa mãn điều kiện U(τ, τ) = Id.
U(t, s)U(s, τ) = U(t, τ) với mọi t ≥ s ≥τ, τ ∈ R. Định nghĩa 1.2.3 Quá trình {U(t, τ)} được gọi là liên tục norm-to-weak trên X nếu U(t, τ)xn hội tụ yếu tới U(t, τ)x khi xn hội tụ mạnh tới x trong
Bây giờ ta nhắc lại một phương pháp để kiểm tra một quá trình là liên tục norm-to-weak.
Giả sử X và Y là hai không gian Banach với các không gian đối ngẫu tương ứng X ∗ và Y ∗ Nếu X trù mật trong Y, ánh xạ đơn ánh i : X → Y là liên tục và ánh xạ đối ngẫu i ∗ : Y ∗ → X ∗ là trù mật, thì quá trình liên tục {U(t, τ)} trên Y sẽ là liên tục norm-to-weak trên X nếu và chỉ nếu với t ≥ τ và τ ∈ R, U(t, τ) ánh xạ một tập compact của X vào một tập bị chặn của X.
Giả sử B(X) là tập hợp tất cả các tập con khác rỗng và bị chặn của X, trong khi D là một lớp tập hợp được tham số hóa Dˆ = {D(t) : t ∈ R} ⊂ B(X) Định nghĩa 1.2.5 cho biết rằng một quá trình {U(t, τ)} được gọi là D− tiệm cận compact lùi nếu với mọi t ∈ R, mọi D ∈ Dˆ và mọi τn → −∞, dãy {U(t, τ n )x n } là compact tương đối trong X cho mọi dãy x n ∈ D(τ n ) Định nghĩa 1.2.6 khẳng định rằng một quá trình {U(t, τ)} là ω − D− giới hạn compact lùi nếu với mọi > 0, mọi t ∈ R và mọi D ∈ Dˆ, luôn tồn tại một τ 0 (D, , t) ≤ t sao cho α([ τ≤τ 0).
Trong bài viết này, chúng ta xem xét bất đẳng thức U(t, τ)D(τ) ≤ α, trong đó α đại diện cho độ đo không compact Kuratowski của tập B thuộc B(X) Cụ thể, α(B) là cận dưới đúng của tập hợp các số δ dương, thỏa mãn rằng B có thể được phủ bằng một số hữu hạn các hình cầu có đường kính nhỏ hơn δ.
Bổ đề 1.2.7 khẳng định rằng một quá trình {U(t, τ)} là D−tiệm cận compact lùi nếu và chỉ nếu nó là ω−D−giới hạn compact lùi Định nghĩa 1.2.8 đưa ra khái niệm về một họ các tập hợp bị chặn B ∈ Dˆ, được gọi là D−tập hấp thụ lùi của quá trình {U(t, τ)}, với điều kiện rằng đối với mọi t ∈ R và mọi D ∈ D, tồn tại τ 0 = τ 0 (ˆD, t) thỏa mãn.
U(t, τ)D(τ) ⊂ B(t). Định nghĩa 1.2.9 Một họ Aˆ = {A(t) : t∈ R} ⊂ B(X) được gọi là D− tập hút lùi của quá trình {U(t, τ)} nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
3 Aˆ là D− hút lùi, tức là τ →−∞lim dist(U(t, τ)D(τ), A(t)) = 0 với mọi D ∈ Dˆ và với mọi t∈ R;
Nếu {C(t) : t ∈ R} là một họ các tập hút đóng, thì A(t) ⊂ C(t) với mọi t ∈ R Định lý 1.2.10 chỉ ra rằng, giả sử {U(t, τ)} là một quá trình liên tục norm-to-weak và {U(t, τ)} là D-tiệm cận compact lùi Nếu tồn tại một họ các D-tập hấp thụ lùi Bˆ = {B(t) : t ∈ R} thuộc D, thì {U(t, τ)} sẽ có duy nhất một D-tập hút lùi Aˆ = {A(t) : t ∈ R}.
Một số bổ đề, định lý
Bổ đề Gronwall
Định lý 1.3.1, hay còn gọi là Bổ đề Gronwall, khẳng định rằng với khoảng I trên đường thẳng thực, nếu β và u là các hàm thực liên tục trên I, và u khả vi trong phần trong I (I o) cùng với điều kiện u 0(t) ≤ β(t)u(t) cho mọi t ∈ I o, thì hàm u sẽ bị chặn bởi nghiệm của phương trình vi phân tương ứng Cụ thể, ta có u(t) ≤ u(a)e^(∫_a^t β(s)ds) với mọi t thuộc I.
Chứng minh Ta định nghĩa hàm v(t) = e R t a β (s)ds
. Chú ý rằng v thỏa mãn v 0 (t) =β(t)v(t), t ∈ I o , với v(a) = 1, v(t) > 0,∀t∈ I Ta có d dt u v = u 0 v −v 0 u v 2 ≤ βuv −βvu v 2 = 0, t ∈ I o
Bổ đề Gronwall đều
Định lý 1.3.2, hay còn gọi là Bổ đề Gronwall đều, nêu rằng nếu g, h, y là ba hàm số dương khả tích địa phương trên khoảng (t0, +∞) và y’ cũng khả tích địa phương trên (t0, +∞), đồng thời thỏa mãn bất phương trình dy/dt ≤ gy + h cho mọi t ≥ t0, thì các điều kiện này sẽ dẫn đến những kết luận quan trọng về hành vi của hàm y trong khoảng thời gian đó.
Z t+r t y(s)ds ≤ a 3 ,∀t ≥t 0 , (1.9) trong đó r, a 1 , a 2 , a 3 là các hằng số dương Khi đó, ta có y(t+ r) ≤ a 3 r +a 2 e a 1 ,∀t≥ t 0 (1.10)
Chứng minh Giả sử rằng t0 ≤ t ≤s ≤ t+r Từ (1.8), ta có d ds y(s)e − R s t g(τ)dτ
≤h(s). Bằng cách lấy tích phân từ t 1 (với t ≤t 1 ≤ t+r) đến t+r, ta có y(t+r)e − R t+r t g(τ )dτ −y(t1)e − R t 1 t g(τ)dτ ≤
= (y(t1) +a2)e a 1 Lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức trên theo t 1 từ t đến t+r, ta có
Sự tồn tại nghiệm yếu
Đặt bài toán
Các giả thiết của bài toán
Hàm phi tuyến f và ngoại lực g thỏa mãn các điều kiện sau:
C, C 1 , C 2 , l là các hằng số dương.
−∞ e h 1,à s (|g(s)| 2 2 +|g 0 (s)| 2 2 )ds < +∞, ở đõy h1,à là giỏ trị riờng thứ nhất của toỏn tử A à = −∆− à
|x| 2 trong Ω với điều kiện thuần nhất Dirichlet.
Định nghĩa nghiệm yếu của bài toán
X ∗ = L 2 (τ, T;H à −1 (Ω)) +L p 0 (τ, T;L p 0 (Ω)), với p’ là số liên hợp của p và à∈ [0, à ∗ ] Định nghĩa 2.1.1 nêu rõ rằng một hàm u(x,t) được gọi là nghiệm yếu của bài toán (0.1) trên khoảng (τ, T) nếu và chỉ nếu u thuộc X, đạo hàm ∂u ∂t thuộc X ∗, và u tại thời điểm t=τ bằng u τ với x thuộc Ω hầu hết.
Sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán
Bổ đề 2.2.1 Nếu u ∈ X và ∂u ∂t ∈ X ∗ , thì u ∈ C([τ, T];L 2 (Ω)).
Chứng minh Giả sử dóy un ∈ C 1 ([τ, T] ;Hà(Ω)∩L p (Ω)) thỏa món
∂t → ∂u ∂t trong X ∗ Khi đó, với mọi t, t 0 ∈ [τ, T], ta có
|u n (t)−um(t)| 2 dtdx+ 2ku 0 n −u 0 m k X ∗ku n −umk X
Do đó, {u n } là dãy Cauchy trong C [τ, T] ;L 2 (Ω)
Suy ra dãy {u n } hội tụ trong C [τ, T] ;L 2 (Ω) tới một hàm v ∈ C [τ, T] ;L 2 (Ω)
Vì u n (t) → u(t) ∈ L 2 (Ω) với hầu hết t∈ [τ, T], ta suy ra u = v với hầu hết t ∈ [τ, T]. Sau khi định nghĩa lại trên một tập con có độ đo không, ta thu được u ∈ C [τ, T] ;L 2 (Ω)
Theo định lý 2.2.2, với các giả thiết (F) và (G), nếu τ thuộc R và T lớn hơn τ, thì bài toán (0.1) có duy nhất một nghiệm yếu u trên khoảng (τ, T) với điều kiện u τ cho trước Hơn nữa, nghiệm u có thể được mở rộng lên [τ, +∞) và đáp ứng bất đẳng thức đã nêu.
(2.1) Chứng minh Xét nghiệm xấp xỉ u n (t) dưới dạng u n (t) n
X k=1 u nk (t)e k , ở đõy {e j } ∞ j=1 là cỏc vectơ riờng của toỏn tử A:= −∆− à
|x| 2 Id Ta thu được u n (t) từ việc giải bài toán dun dt , e k
Áp dụng định lý Peano, chúng ta có thể chứng minh sự tồn tại địa phương của hàm un(t) Tiếp theo, chúng ta thiết lập một số đánh giá tiên nghiệm cho un(t) với phương trình vi phân: d/dt un + A un + f(un, t) = g(t, x).
2( d dt)u 2 n +Au 2 n + f(un, t)un = g(t, x)un
Ω g(t)u n dx mặt khác, do điều kiện (F):
Do đó, ta suy ra
Nghiệm địa phương có thể thác triển lên [τ,∞) Thật vậy, từ (2.2), ta suy ra d dt|u n | 2 2 +ku n k 2 à ≤2k 1 (t)|Ω|+ 1 λ1,à
|g(t)| 2 2 , mà λ 1,à |u n | 2 2 ≤ ||u n k 2 à nờn ta cú d dt|u n | 2 2 +λ 1,à |u n | 2 2 ≤ 2k 1 (t)|Ω|+ 1 λ 1,à |g(t)| 2 2 ≤ 2kk 1 k L ∞ ( R )|Ω|+ 1 λ 1,à |g(t)| 2 2
⇒ d dt|u n | 2 2 ≤ −λ 1,à |u n | 2 2 + 2kk 1 k L ∞ ( R )|Ω|+ 1 λ 1,à |g(t)| 2 2 Theo bổ đề Gronwall, |u n | 2 2 bị chặn bởi nghiệm của phương trình vi phân tương ứng dt d |u n | 2 2 = −λ 1,à |u n | 2 2 + 2kk 1 k L ∞ ( R )|Ω|+ λ 1
Từ đây suy ra nghiệm địa phương có thể thác triển lên [τ,∞).
Lấy tích phân hai vế (2.2) trên [τ, t], τ < t ≤ T, ta có t
Từ bất đẳng thức (2.3) ta suy ra
{u n } bị chặn trong L ∞ (τ, T;L 2 (Ω)), {u n } bị chặn trong L 2 (τ, T;H à (Ω)), {u n } bị chặn trong L p (τ, T;L p (Ω)).
Do điều kiện (F): f(u, t)u ≤ C 2 |u| p +k 2 (t), p ≥ 2 nên nếu u ≥ M > 0, thì f(u, t) ≤ C2|u| p−1 + k 2 (t) u ≤ C2|u| p−1 + k 2 (t)
⇒ {f(u n , t)} bị chặn trong L p 0 (τ, T;L p 0 (Ω)) và do đó f(u n , t) * η trong L p 0 (τ, T;L p 0 (Ω)).
Do đó, ta có u n * u trong L 2 (τ, T;H à (Ω)), f(u n , t) * η trong L p 0 (τ, T;L p 0 (Ω)),
Bằng cách viết lại: d dtu n = −Au n −f(u n , t) +g(t, x), (2.4) ta thấy du n dt bị chặn trongX ∗ , nờn suy ra cũng bị chặn trongL p 0 (τ, T;H à −1 (Ω)+
H à (Ω)⊂⊂ L 2 (Ω)⊂ H à −1 (Ω) +L p 0 (Ω) nên áp dụng bổ đề compact hóa [11], ta có thể giả sử rằng u n → u (hội tụ mạnh) trong L 2 τ, T;L 2 (Ω)
Do đóu n →u hầu khắp nơi trong Ω×[τ, T].
Vì f liên tục nên suy ra f (u n , t) → f (u, t) hầu khắp nơi trong Ω ×[τ, T]. Mặt khácf(u n , t) * η trong L p 0 (τ, T;L p 0 (Ω)), nên theo bổ đề 1.3 trong [18, Chương 1], ta có f(u n , t) * f(u, t) trong L p 0 (τ, T;L p 0 (Ω)).
Do đó từ (2.4) ta có u 0 = −Au−f (u, t) +g trong X ∗
Từ bổ đề 2.2.1, ta có u ∈ C([τ, T];L 2 (Ω)).
Bây giờ ta chứng minh rằng u(τ) = u τ
Chọn hàm thử ϕ ∈ C 1 ([τ, T] ;H à (Ω)∩L p (Ω)) với ϕ(T) = 0, và lấy tớch phân theo t, ta có
(f (u, t)−g)ϕdxdt = (u(τ), ϕ(τ)). Bằng cách áp dụng biến đổi tương tự đối với nghiệm xấp xỉ Galerkin, ta có
Vì u n (τ) hội tụ đến u τ, nên ta có u(τ) = u τ, điều này cho thấy u là nghiệm yếu của bài toán (0.1) Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm Giả sử u1 và u2 là hai nghiệm yếu của bài toán (0.1) với điều kiện ban đầu tương ứng là u1(τ) và u2(τ) Từ đó, chúng ta có thể rút ra các kết luận cần thiết.
Vỡ (Au1 −Au2, u1 −u2) ≥ λ1,à|u 1 −u2| 2 2 và sử dụng điều kiện ∂f ∂u (u,t) ≥
∂u |u 1 −u 2 | 2 2 ≤ l|u 1 −u 2 | 2 2 Áp dụng bổ đề Gronwall, ta có
|u 1 (t)−u 2 (t)| 2 2 ≤ e 2l(t−τ) |u 1 (τ)−u 2 (τ)| 2 2 Điều đó suy ra tính duy nhất (nếu u 1 (τ) = u 2 (τ)) và phụ thuộc liên tục của nghiệm.
Cuối cùng, ta chứng minh bất đẳng thức (2.1) Nhân (0.1) với u rồi lấy tích phân trên Ω, ta có
Do đó, ta suy ra
|g(t)| 2 2 Áp dụng bổ đề Gronwall, ta có
Sự tồn tại của D− tập hút lùi trong
Trong chương này, ta giả thiết f (u, t) không phụ thuộc vào t.
Các bổ đề
Nhờ định lí 2.2.2, ta có thể định nghĩa một quá trình
L p (Ω), t ≥τ ở đõy U à (t, τ)u τ là một nghiệm yếu của bài toỏn (0.1) phụ thuộc vào u τ là dữ liệu ban đầu tại thời điểm τ.
R được định nghĩa là tập hợp tất cả các hàm số r: R → (0, +∞) sao cho lim t→−∞ e^h 1,à t r 2(t) = 0 Kí hiệu D = {D(t) : t ∈ R} ⊂ B(L²(Ω)) thỏa mãn D(t) ⊂ B(r(t)) cho một số hàm r(t) ∈ R, trong đó B(r(t)) là hình cầu đóng trong L²(Ω) với bán kính r(t).
Bổ đề 3.1.1 Giả sử rằng các điều kiện (F) - (G) thỏa mãn và u(t) là một nghiệm yếu của bài toán (0.1) Khi đó, ta có với mọi t > τ, kuk 2 à +|u| p p ≤C(e −λ 1,à (t−τ) |u τ | 2 2 + 1 +e −λ 1,à t t
−∞ e λ 1,à s |g(s)| 2 2 ds), (3.1) ở đây C là một hằng số dương Do đó tồn tại một họ các D− tập hấp thụ lựi trong H à (Ω)T
Chứng minh Nhân (0.1) với u rồi lấy tích phân trên Ω, ta có
Sử dụng điều kiện (F) và λ 1,à |u| 2 2 ≤ kuk 2 à , ta cú d dt|u| 2 2 +λ1,à|u| 2 2 +C(kuk 2 à +|u| p p ) ≤ C(1 +|g(t)| 2 2 ) (3.3)
Nhõn (3.3) với e λ 1,à t và sử dụng (3.4) ta thu được d dt(e λ 1,à t |u(t)| 2 2 ) +Ce λ 1,à t (ku(t)k 2 à + 2
(3.5) Tích phân (3.5) từ τ đến s ∈ [τ, t−1] và từ s đến s+ 1, ta thu được e λ 1,à s |u(s)| 2 2 ≤ e λ 1,à τ |u(τ)| 2 2 +Ce λ 1,à s +C
Nhân (0.1) với ut(s) rồi lấy tích phân trên Ω ta có
Từ (3.7), (3.9) và sử dụng bất đẳng thức Gronwall đều, ta có e λ 1,à t (ku(t)k 2 à + 2
(3.10)Kết hợp với (3.4), ta thu được (3.1).
Từ bổ đề trên, do tính compact của không gian Hilbert H à (Ω), quá trình D-tiệm cận compact lùi trong L 2 (Ω) dẫn đến sự tồn tại của một D-tập hút lùi trong L 2 (Ω) Hơn nữa, từ bổ đề này, ta nhận thấy quá trình U à (t, τ) ánh xạ một tập compact trong H à (Ω)T.
L p (Ω) vào một tập bị chặn trong H à (Ω)T
L p (Ω) và do đó, theo bổ đề 1.2.4, quá trỡnh U à (t, τ) là liờn tục norm-to-weak trong H à (Ω)T
L p (Ω) Vỡ U à (t, τ) cú một họ cỏc D− tập hấp thụ lựi trong H à (Ω)T
Để chứng minh sự tồn tại của tập D− hỳt lựi trong không gian L p (Ω), chúng ta chỉ cần xác nhận rằng U à (t, τ) là D− tiệm cận compact lựi Việc chứng minh U à (t, τ) là D− tiệm cận compact lựi trong L p (Ω) sẽ được thực hiện thông qua việc áp dụng bổ đề thích hợp.
Bổ đề 3.1.2 [8] Giả sử U(t, τ) là liên tục norm-to-weak trong L 2 (Ω),
L p (Ω), và thỏa mãn hai điều kiện sau:
(1) U(t, τ) là D− tiệm cận compact lùi trong L 2 (Ω);
(2) Với mọi > 0, B ∈ D, tồn tại hằng sốˆ M = M(,B)ˆ và τ 0 (D, , t) ≤ t sao cho
< với mọi u τ ∈ B(τ), τ ≤ τ 0 Khi đó U(t, τ) là D− tiệm cận compact lùi trong
Bổ đề 3.1.3 [10] Giả sử với λ > 0, τ ∈ R, và s > τ y 0 (s) +λy(s) ≤ h(s), (3.11) ở đây giả thiết rằng các hàm y, y’, h khả tích địa phương và y, h không âm trên khoảng t < s < t+r, với mọi t≥ τ Khi đó y(t+r) ≤ e −λ r 2 2 r
Bổ đề 3.1.4 Dưới cỏc điều kiện (F) - (G), quỏ trỡnh Uà(t, τ) là D− tiệm cận compact lùi trong L p (Ω)
Chứng minh Xét điều kiện (2) trong Bổ đề 2.2 Từ điều kiện (F), ta có thể chọn hằng số M đủ lớn sao cho f (u) ≥ C˜1|u| p−1 trong
Ω 2M = Ω (u(t) ≥ 2M) = {x∈ Ω : u(x, t) ≥ 2M}. Trong phần này, ta kí hiệu
0 , khi u < M Trước tiên trong Ω 2M ta thu được g(t) (u−M) + p−1
Ta nhân phương trình đầu trong (0.1) với
Lấy tích phân trên Ω 2M , ta có
Ω 2M g(t) (u−M) + p−1dx. Để ý rằng trên Ω2M thì −u(u −M) + ≥ − |u| 2 , do đó áp dụng bất đẳng thức Hardy, ta suy ra
|x| 2 |u| 2 dx ≥ 0. Điều này dẫn tới
Kết hợp với (3.13) và (3.14), ta kết luận rằng
|g(t)| 2 dx, và do đó d dt
Từ bổ đề 3.1.3, ta có với t1 < t và r > 0 thì
Bây giờ ta đánh giá các số hạng bên vế phải của (3.15) Trước tiên, ta có
< +∞ với τ đủ nhỏ (do (2.1)) Do đó, tồn tại N 0 phụ thuộc vào τ, M và u τ sao cho
(u(s)−M) + pdxds ≤ N 0 , (3.17) do đó với M đủ lớn, ta có
Ta biết rằng với một hàm h khả tích trên đoạn [a, b] và một số > 0 cho trước, thì e −M b
2 (3.19) với M đủ lớn Kết hợp (3.15), (3.18), (3.19), chọn r = t−t 1 > 0, ta có
(U (t, τ)u τ −M) + pdx ≤ ε (3.20) với τ < τ1 và M ≥ M1 Tiếp theo, ta đặt
(3.21) và lặp lại tương tự các bước trên, thay (u−M) + bởi (u+ M) − , ta suy ra rằng tồn tại M2 > 0 và τ2 < t sao cho với mọi τ < τ2 và với mọi M ≥ M2, ta có
Bây giờ, giả sử M 0 = max{M 1 , M 2 } và τ 0 = min{τ 1 , τ 2 } Từ (3.20) và (3.22) suy ra rằng
(|u| −M) p dx ≤ ε (3.23) với mọi τ ≤ τ 0 và M ≥ M 0 Ta có
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 3.1.5 Giả sử có các điều kiện (F) - (G) Khi đó với mọi s ∈ R và với mọi tập con bị chặn B ⊂L 2 (Ω) tồn tại một hằng số τ 0 = τ 0 (B, s) ≤ s sao cho
với mọi τ ≤τ 0 và với mọi u τ ∈ B, trong đó C > 0 phụ thuộc vào s và B.
Chứng minh Lấy tích phân (3.9) theo biến s từ r đến r+ 1, r ∈ [τ, t−1] , ta có
(do (3.7) và (3.10)) Đạo hàm (0.1) theo t và nhân bất đẳng thức trên với e λ 1,à s , ta cú
Sử dụng điều kiện (F) và bất đẳng thức Cauchy, ta thu được d dr e λ 1,à r |u t (s)| 2 2
Từ (3.25), (3.26) và bất đẳng thức Gronwall, ta có e λ 1,à s |u t (s)| 2 2 ≤ C e λ 1,à s +e λ 1,à τ |u τ | 2 2 +
Định lý
Định lý 3.2.1 Giả sử các điều kiện (F) và (G) thỏa mãn Khi đó với mỗi à ∈ [0, à ∗ ], quỏ trỡnh U à (t, τ) của bài toỏn (1.1) cú một D− tập hỳt lựi
Chứng minh Theo bổ đề 3.1.1, quỏ trỡnh U à (t, τ) cú một họ cỏc D− tập hấp thụ lựi trong H à (Ω)T
L p (Ω) Có thể chỉ ra rằng {U (t, τ)} là D− tiệm cận compact lùi, tức là với mọi t ∈ R, với mọi B ∈ D, và với mọi dãyˆ τ n → −∞, với mọi dóy u τ n ∈ B(τ n ), dóy {U à (t, τ n )u τ n } là tiền compact trongH à (Ω)T
L p (Ω) Theo bổ đề 3.1.4, ta chỉ cần chỉ ra dóy{U à (t, τ n )u τ n } là tiền compact trong H à (Ω) Kớ hiệu u n (t) = {U à (t, τ n )u τ n }, ta cú ku n (t)−u m (t)k 2 à
Theo cỏc bổ đề 3.1.4 và 3.1.5, ta cú ku n (t)−u m (t)k 2 à → 0 khi n, m → ∞(điều phải chứng minh)
Nội dung chính của luận văn tập trung vào việc nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu và sự tồn tại tập hút lùi cho bài toán biên ban đầu liên quan đến một lớp phương trình parabolic Các kết quả quan trọng đạt được trong quá trình nghiên cứu bài toán (0.1) đã chỉ ra những khía cạnh mới trong lý thuyết và ứng dụng của phương trình này.
1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán.
2 Sự tồn tại của D− tập hỳt lựi trong H à (Ω)T
L p (Ω) (trong trường hợp f (u, t) không phụ thuộc vào t).
Chúng tôi đang tìm kiếm hướng phát triển các kết quả nghiên cứu sang các lớp phương trình khác và khám phá thêm các tính chất của tập hút lùi trong từng bài toán cụ thể Tác giả rất trân trọng những ý kiến đóng góp quý báu từ các thầy cô và đồng nghiệp.
1 C T Anh and T T H Yen (2011), "Finite-dimensional pullback attractors for parabolic equations with hardy type potentials", Ann. Polon Math, 102, pp 161-186.
2 P Baras and J Goldstein (1984), " The heat equation with asingular potential", Trans Amer Math Soc, 284, pp 121-134.
3 X Cabre and Y Martel (1999), " Exitence versus eplosion instantane pour des equations de la chaleur lineaires avec potentiel singulier", C.
4 A.N Carvalho (2009), "J.A Langla and J.C Robinson, On the conti- nuity of pullback attractors for evolution processes", Nonlinear Anal,
5 N.I Karachalios and N.B.Zographopoulos (2008), "A sharp estimate on the dimension of the attractor for singular semilinear parabolic equations", Arch Math, 91, pp 564-576.
6 N.I Karachalios and N.B.Zographopoulos (2009), "The semiflow of a reaction diffusion equation with a singular potential", Manuscr Math,
7 Y Li and C.K Zhong (2007), "Pullback attractors for the norm- to-weak continuous process and application to the nonautonomous reaction-diffusion equations", Appl Math Comp, 190, pp 1020-1029.