Sự tồn tại và tính trơn của tập hút toàn cục đối với bài toán parabolic suy biến nửa tuyến tính trong không gian lp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM SOMVANG SISOUPHET SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN Lp ( N ) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM SOMVANG SISOUPHET SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN Lp ( N ) Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Thị Thủy THÁI NGUYÊN - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cao học riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố công trình khác Tác giả Somvang Sisouphet i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Phạm Thị Thủy Nhân dịp em xin cảm ơn Cô hướng dẫn nhiệt tình truyền thụ kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn gia đình đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt trình học tập hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết, mong góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Thái Nguyên, tháng……năm 2017 Tác giả luận văn Somvang Sisouphet ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích luận văn Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm 1.2 Một số khái niệm xét tính chất tập hút toàn cục 10 1.3 Một số bất đẳng thức thường dùng 16 Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH p TRONG KHÔNG GIAN L ( N ) 18 2.1 Đặt toán 18 2.2 Sự tồn nghiệm yếu 20 2.3 Sự tồn tính trơn tập hút toàn cục 23 2.3.1 Sự tồn tập hút toàn cục L ( N ) 27 p 2.3.2 Sự tồn tập hút toàn cục L ( N ) 33 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến xuất nhiều trình vật lí, hóa học sinh học Chẳng hạn trình truyền nhiệt khuếch tán, trình truyền sóng học chất lỏng, phản ứng hóa học, mô hình quần thể sinh học… việc nghiên cứu phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học công nghệ Chính thu hút quan tâm nhà khoa học giới Các vấn đề đặt nghiên cứu tính đặt toán (sự tồn nghiệm, phụ thuộc liên tục nghiệm theo kiện cho) tính chất định tính nghiệm (tính trơn, dáng điệu tiệm cận nghiệm,…) Sau nghiên cứu tính đặt toán, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian vô quan trọng cho phép ta hiểu dự đoán xu phát triển hệ động lực tương lai, từ ta có điều chỉnh thích hợp để đặt kết mong muốn Về mặt toán học, điều làm nảy sinh hướng nghiên cứu mới, phát triển mạnh mẽ ba thập kỉ gần lí thuyết hệ động lực tiến hoá vô hạn chiều Lí thuyết nằm giao chuyên ngành lý thuyết hệ động lực, lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng lý thuyết phương trình vi phân thường Lí thuyết toán nghiên cứu tồn tính chất tập hút, chẳng hạn đánh giá số chiều fractal số chiều Hausdorff, phụ thuộc liên tục tập hút theo tham biến, tính trơn tập hút Tập hút toàn cục cổ điển tập compact, bất biến, hút tất quĩ đạo hệ chứa đựng nhiều thông tin dáng tiệm cận hệ Cụ thể với quĩ đạo cho trước hệ khoảng thời gian T tùy ý, ta tìm quỹ đạo nằm tập hút toàn cục mà dáng điệu thời gian đủ lớn hai qũy đạo sai khác đủ nhỏ khoảng có độ dài T Hơn nữa, nhiều trường hợp tập hút toàn cục có số chiều fractal hữu hạn ta quy việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm tập hút toàn cục, tức qui việc nghiên cứu hệ động lực vô hạn chiều nghiên cứu hệ động lực hữu hạn chiều tập hút toàn cục Với lí trên, lựa chọn đề tài “ Sự tồn tính trơn tập hút toàn cục toán parabolic suy biến nửa tuyến tính P không gian L ( N ) ’’ làm nội dung nghiên cứu Mục đích luận văn Mục đích luận văn trình bày định lý tồn tính trơn tập hút toàn cục nửa nhóm sinh toán parabolic suy biến nửa tuyến P tính không gian L ( N ) Phương pháp nghiên cứu Để chứng minh tồn tập hút tính trơn tập hút, sử dụng phương pháp lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều, nói riêng phương pháp đánh giá phần đuôi nghiệm Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 38 trang có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày khái niệm không gian hàm, toán tử sử dụng Chương 2; kết tổng quát tập hút toàn cục, số kiến thức bổ trợ khác Chương 2: Là nội dung luận văn Sự tồn tính trơn tập hút toàn cục toán parabolic suy biến nửa tuyến tính không gian LP ( N ) Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, ta nhắc lại số kiến thức quan trọng làm tảng để nghiên cứu chương sau Đó kiến thức không gian hàm, kết tổng quát tập hút toàn cục số khái niệm xét tính chất tập hút toàn cục Các nội dung chương trích dẫn từ tài liệu tham khảo [4], [5], [6], [7], [9] 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 (không gian metric) Cho X tập khác rỗng, X ta trang bị hàm số r : X X  , (x , y )  r (x , y ), thỏa mãn điều kiện sau 1) r (x, y )  x, y  X ; r (x, y )   x  y; 2) r (x, y )  r (y, x ) x, y  X ; 3) r (x, z )  r (x, y )  r (y, z ) x, y, z  X Khi r gọi metric hay khoảng cách không gian metric Mỗi phần tử khoảng cách hai điểm x X Cặp (X , r ) gọi X gọi điểm, r (x , y ) gọi y X Ta thường gọi điều kiện tiên đề đồng nhất, điều kiện tiên đề đối xứng, điều kiện tiên đề tam giác Ví dụ: Một tập M đường thẳng , với khoảng cách thông thường r (x , y )  x  y (độ dài đoạn nối x y ), không gian metric Định nghĩa 1.1.2 (Không gian metric đầy đủ) Giả sử (X , r ) không gian metric Dãy x n  phần tử X gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) lim r (x m , x n )  m ,n  nghĩa là, với e  , tồn số n   , cho với n  n ta có r (x m , x n )  e Không gian metric phần tử X gọi không gian metric đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ Ví dụ: không gian k  (n ) i x x (m ) i    k  đủ: Thật vậy, x n  ( x1(n ), x2(n ), , xkm dãy , , , k , dãy số với i  12 k  xi(n )  xi(m ) i 1 x  có giới hạn x (n ) i i  r (x n , x m )  (n , m  ) Vậy dãy số Đặt x  (x1, x2, , xk ) ta có x  k tọa độ x n hội tụ tới tọa độ tướng ứng x nên x n  x Định nghĩa 1.1.3 Một tập hợp E gọi không gian tuyến tính định chuẩn trường K (K trường số thực phức) nếu: i.) E không gian tuyến tính trường K ii.) Mỗi phần tử u  E đặt tương ứng với số thực gọi chuẩn u kí hiệu u thỏa mãn tiên đề: u  0, u   u  u v  u v  u  v lu  l u , l K Một không gian trở thành không gian metric đưa vào khoảng cách hai phần tử u v : r (u, v )  u  v   Sự hội tụ dãy u j  j 1 phần tử E tới phần tử u  E xác định sau: u j  u  j   , kí hiệu u j  u Định nghĩa 1.1.4 Một tập E ' gọi trù mật khắp nơi E với u  E tồn dãy u j j 1  E ', cho u j  u  phần tử Nếu E tồn tập hợp đếm trù mật khắp nơi không gian E gọi khả vi   Định nghĩa 1.1.5 Nếu dãy u j thuộc không gian E, cho u p  uq  p, q   , hội tụ E E gọi không gian đầy Định nghĩa 1.1.6 Không gian tuyến tính định chuẩn đầy gọi không gian Banach Định nghĩa 1.1.7 (Không gian Hilbert) Cho không gian vectơ trường số K (K  từ X  X vào K , x , y   K  C) Một ánh xạ y, x gọi tích vô hướng X thỏa mãn điều kiện sau: x  X , x , x   x  q (a) x, x  (b) y, x  x , y (c) x  x ', y  x , y  x ', y (d) l x, y  l x, y  y, x  x , y K  x , y  X , x , x ', y  X x , y  X , l  K Nếu , tích vô hướng trên , X ánh xạ x  X gọi chuẩn sinh tích vô hướng x , x chuẩn  Bổ đề 2.3.1 Giả sử điều kiện ( H )  ( F )  (G) thỏa mãn Khi nửa nhóm S (t ) sinh Bài toán (2.1) có tập hấp thụ bị chặn H01( , s )  Lp ( N N ) , nghĩa là, tồn số dương tập bị chặn B L ( N r , cho với ) , tồn số T  T (B )  , cho với t  T , u  B , ta có: u(t ) H01( N  u(t ) ,s ) p Lp ( N r ) Chứng minh Nhân vô hướng phương trình (2.1) với u L2 ( N ) ta có 1d u dt   N s (x ) x dx  l u 2 L ( N )   N f (x , u )udx  (g, u ) L2 ( N ) (2.15) Từ (2.2), ta có  N p f (x , u )dx  a  u dx  N  N C 1(x )dx (2.16) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế phải (2.15) ta có (g, u )  g L2 ( N u ) L2 ( N )  l u 2 L2 ( N )  g 2l L2 ( N ) (2.17) Từ (2.15),(2.16)-(2.17) ta thu d u dt 2 N L ( )  2 N s u dx  l u 2 L ( N )  2a  p N u dx  C  g l L2 ( N ) (2.18) Do đó, ta có: d u dt 2 L ( N )  l u (t ) 2 L ( N ) C  g l (2.19)  l t  (1  e ) )  (2.20) L2 ( N ) Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta thu u(t ) 2 L ( N )  e l t u 2 L ( c    g L2 ( N ) l l N Từ (2.20) suy tồn tập hấp thụ bị chặn L2 (W) : Tồn số R thời điểm t ( u L2 ( W) ) cho nghiệm u (t )  S (t )u , thỏa mãn 24 u (t ) L2 ( W)  t  t0 u0  R với L2 ( W)  Lấy tích phân (2.18) (t, t+1), t  t u  t 1 t    N s (x ) u (s ) dx  l u (s )   C  u (t )  L2 ( N ) 1 g  C  R   g  L2 ( N ) L2 ( N ) N ) L2 ( 2 L ( N )  L2 ( W)  , từ (2.5), ta có  2 N F (x , u (x ))dx  ds        (2.21) N Nhân (2.1) với u t (s ) lấy tích phân ut (s )  , ta có d    N s (x ) u (s ) dx  l u (s ) ds    N g gut (s )dx  2 L ( N ) 2 L ( N   F (x , u (s ))dx )  N ) ut (s ) L (  N (2.22) ) Do đó, d    N s (x ) u (s ) dx  l u (s ) ds  2 L ( N )  2 N F (x , u (s ))dx   g  L2 ( N ) (2.23) Kết hợp (2.21), (2.23), sử dụng bất đẳng thức Gronwall đều, ta có  N s (x ) u (t ) dx  l u (t )  C  R   g  L2 ( L2 ( N ) N )  2 N F (x , u (t ))dx    (2.24) Sử dụng (2.5), ta có điều phải chứng minh Ta chứng minh ước lượng đạo hàm nghiệm Bổ đề 2.3.2 Giả sử điều kiện ( H  )  ( F )  (G) thỏa mãn Khi với tập bị chặn B L2 ( u t (s ) L2 ( N )  r1 N ), tồn số T  T (B )  cho, với u  B , s  T , 25 d ut (s )  dt (S (t )u ) r số dương không phụ thuộc vào B t s Chứng minh Đạo hàm phương trình (2.1) theo thời gian kí hiệu v  u t , ta có v f  div(s (x )v )  l v  (x , u )v  t u Nhân vô hướng đẳng thức với v L2 ( d v dt  2 L ( N ) N  s (x ) v dx  l v N L ( N ) N ) , ta có f (x , u ) v dx  u (2.25) Sử dụng (2.4), từ (2.25) ta có d v dt L2 ( N )  2a v L2 ( N ) Mặt khác, lấy tích phân (2.22) từ t tới t  t 1 t Với ut (s ) L2 ( N ) (2.26)  từ (2.24), ta có  ds  C r , g  L2 ( N ) (2.27) t đủ lớn kết hợp (2.26) với (2.27), sử dụng bất đẳng thức Gronwall ta có ut (s ) ds  C  r , g N )  L2 ( L2 ( N )    Định lí chứng minh  Bổ đề 2.3.3 Giả sử điều kiện ( H )  ( F )  (G) thỏa mãn Khi nửa nhóm S (t ) t 0 có tập hấp thụ bị chặn L2 p  ( N ), nghĩa là, tồn số r 2p  , cho với tập bị chặn B  L2 ( T  T (B )  cho u (t ) L2 p  ( Chứng minh Lấy u N ) p 2  r p  2, với t  T , u0  B u hàm thử, ta có 26 N ), tồn  N u p 2 u u tdx   N s (x ) u u p 2  dx  N f (x , u ) u p 2 udx   N gu p 2 udx Do đó, từ (2.2) bất đẳng thức Cauchy, ta có  N s ( x ) u u p 2 dx  a    N C 1(x ) u P 1 N u dx  2p 2 dx a1  2p 2 a1 u dx  u dx 2N a1  N t N g dx  Dùng bất đẳng thức Cauchy lần nữa, ta có 2p  a1 u dx  4N a1  N g L2 ( N )  2 1 u dx  C ( x ) dx a1  N t a1  N Do đó, từ Bổ đề 2.3.2, tồn T  T (B ) cho u(t ) L2 p   r p  2, với t  T , u  B , r 2p  phụ thuộc vào g L2 ( N ) 2.3.1 Sự tồn tập hút toàn cục L2 ( N )  Bổ đề 2.3.4 Giả sử điều kiện ( H )  ( F )  (G) thỏa mãn Khi với h  tập bị chặn B  L2 ( N ) , tồn T  T ( h, B )  K  K ( h, B )  cho với t  T k  K ,  x k u (x , t ) dx  h, u nghiệm yếu Bài toán (2.1) với điều kiện ban đầu u ( 0)  u  B Chứng minh Ta sử dụng kĩ thuật hàm cắt để chứng minh ước lượng đuôi nghiệm Giả sử q hàm trơn thỏa mãn  q(s )  với s   , q(s )  với  s  1, q(s )  với s  Khi tồn số C cho q' (s )  C với s  27  Nhân vô hướng x2 (2.1) với q   u L2 (  k    1d dt  q( N x ) u dx   N q( k2 x   N q( N ) , ta có x k2 )udiv(s (x )u )dx  l k2  ) f (x , u )udx  x q( N  N q( x k 2 ) u dx 2 k2 )g(x )u (x , t )dx (2.28) Đối với vế phải (2.28) ta có  q( N x k2 )g(x )u (x , t )dx   x k q( x k2 )g(x )u (x , t )dx x 2 l   q( ) u dx   g(x ) dx x k x k k x l   q ( ) u dx  x k 2l k  x k g(x ) dx (2.29) Ta lại có  N q( x ) f (x , u )dx  a  N q( k2 x ) u dx   N q( p k2   x k x k2 )C 1(x )dx (2.30) C 1(x )dx Đối với số hạng thứ hai vế trái (2.28), ta có   N q( x k2 )udiv(s (x )u )dx    k  x  2k ( x  q( N x k2 )s (x ) u dx   N q' ( x k )( 2x s (x )u )udx k2 k2 )( 2x s (x )u )dx k2 (2.31) 28 Từ (2.28) - (2.31) ta có d dt  N  2 2  q( x k x k2 ) u dx  l l C 1(x ) dx  x  k  2k  x q' ( k2 )  N q( x 2 ) u dx k2 x k 2x g(x ) dx s (x ) u u dx k2 (2.32) Ta lại có  x  k  2k  C k  q' ( x k2 x  k  2k C    k  x k  ) 2x k2 s (x ) u u dx s (x ) u u dx (2.33) 1/ s (x ) u dx    2k   x k  1/ s (x ) u dx  , 2k  C không phụ thuộc vào k Ta đánh giá  x k  2k s (x ) u dx Trường hợp1: s thỏa mãn điều kiện i) ( H  ) Ta có với k  K ,  s (x ) u dx  C  x k  2k x k  2k u dx Do đó, từ Bổ đề 2.3.2, ta có với k  K t  T ,  x  k  2k q' ( C    k  kx  x k2 ) 2x k2 1/ u dx      kx  2k s (x ) u u dx 1/ s (x ) u dx  2k  29 (2.34) C    k  kx  1/ s (x ) u dx  2k  Trường hợp2: s thỏa mãn điều kiện ii) ( H  ) Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:   s (x ) u dx    2k  kx   kx  2k s (x ) p 1 p 2  dx    p 2 p 1   k  x   2k u 2p 2 p 1 dx  (2.35)  Do đó, từ Bổ đề 2.3.3, ta có với k  K t  T ,  k  x  2k C  s k q' ( x ) k2 2x k2 L (k  x  C  r p  s k C    k  kx  1/ L   k  x  2k )  1/ p 1 p 2 s (x ) u u dx p 1 p 2 (k  x  2k u 2p 2   k  x  2k )  2p 2  dx   k  x    1/ s (x ) u dx  2k  1/ s (x ) u dx  2k  1/ s (x ) u dx  2k  (2.36) Từ (2.32), (2.34), (2.36) ta có d dt  N x2 q   u dx  l  k     N x2 q   u dx   C 1(x ) dx x k  k    C   g(x ) dx    l x k k  kx  Nhân (2.37) với e lt lấy tích phân (T 0, t ) , ta thu 30 1/ s (x ) u dx  2k  (2.37)  N x2 q   u (t ) dx  e l t   k    2e l t N x2 q   u (T ) dx  k    l t t l x T x k e C 1(x ) dxd x  l e T e x k g(x ) dxd x t lx t C 2 e l t  e l x   T0 k  kx   e l t u (T )  l  L2 ( N ) 1/ s (x ) u(x) dx  d x 2k   2e l t  t T0  x k e l x C 1(x ) dxd x 1/ 2 C l t t l x   g(x ) dx  e  e   N s (x ) u ( x) dx  d x T0 k   x k (2.38) Chú ý với h  cho trước, tồn T  T 1( h)  cho với t  T 1, e l t u (T ) Từ C 1(.)  L1( N 2e l t  t T0 l  L ( N )  h (2.39) ), tồn K  K 1( h)  K cho với k  K 1,  x k Mặt khác, từ g  L2 ( e l x C 1(x ) dxd x  N (2.40) ), tồn K  K 1( h)  K cho với k  K 2, x k h g(x ) dx  h (2.41) Đối với số hạng cuối vế phải (2.38), từ Bổ đề 2.3.1 tồn T  T cho với x  T ,  N s (x ) u ( x) dx  r Do đó, tồn K  K 3( h)  K cho với k  K t  T , 1/ 2 C l t t l x  h  e  e   N s (x ) u(x) dx  d x  T0 k   (2.42) Lấy T  max T 0,T 1,T  từ (2.38)-(2.42), với k  K t  T , ta có 31  N q( x 2 k2 ) u (t ) dx  h Với k  K t  T ,  u (t ) dx   N q( x  2k x k 2 ) u (t ) dx  h Bổ đề chứng minh Bây ta chứng minh tính compact tiệm S (t ) L2 ( N ) Bổ đề 2.3.5 Giả sử điều kiện ( H  )  ( F )  (G) thỏa mãn Khi S (t ) compact tiệm cận L2 ( x   n n 1  L2 ( N hội tụ L2 ( ) N ) , nghĩa là, với dãy bị chặn dãy t n  0, t n  , S (t n )x n   n 1 N có dãy compact ) Chứng minh Ta dùng đánh giá đuôi nghiệm để chứng minh tính compact tiệm cận u n (t n ) : S (t )x n , nghĩa chứng minh với h  0, dãy u n (t n ) có phủ hữu hạn bao gồm hình cầu có bán kính nhỏ h Lấy K  cho trước, kí hiệu  WK  x : x  K  and   WcK  x : x  K Khi từ Bổ đề 2.3.4, với h  cho trước, tồn K  K ( h)  T  T ( h)  cho với t  T , u n (t ) L2 ( WcK )  h Từ t n  , tồn N  N 1( h)  cho t n  T với n  N 1, ta có, với n  N , u n (t n ) L2 ( WcK )  h (2.43) 32 Giả sử z (.)  C  ( N ) hàm thỏa mãn  z (s )  với s  0, z (s )  với  s  1, z (s )  với s  x2 Đặt z K (x )  z   z K u n (t n ) thuộc H01(W 2K , s ) Từ Bổ đề 2.3.1,  k      tồn C  N  cho với n  N , z K u n (t n ) H01 ( W 2K ,s ) (2.44) C Do phép nhúng H01(W 2K , s )  D01(W 2K , s ) ↪ L2 (W 2K ) compact (xem Bổ đề 1.1.15), dãy z K u n (t n ) tiền compact L2(W 2K ) Nói riêng, dãy u n (t n )  u n (t n ) có phủ hữu hạn L2(WK ) hình cầu có bán kính nhỏ tiền compact L2(WK ) Do đó, với h  cho trước,  h , với (2.43) ta có u n (t n ) có phủ L2 ( N ) hình cầu có bán kính nhỏ h , u n (t n ) tiền compact L2 ( N ) Ta chứng minh tồn tập hút toàn cục nửa nhóm S (t ) L2 ( N ) Định lí 2.3.6 Giả sử điều kiện ( H  )  ( F )  (G) thỏa mãn Khi nửa nhóm S (t ) sinh Bài toán (2.1) có tập hút toàn cục As L2 ( L2 Chứng minh Kí hiệu:  B  u: u L2 ( N ) N )  R , R số dương chứng minh Bổ đề 2.3.1 B tập hấp thụ bị chặn S (t ) L2 ( L2 ( N N ) Hơn nữa, S (t ) compact tiệm cận ) Bổ đề 2.3.5 Vì vậy, ta có tồn tập hút toàn cục A L S (t ) L2 ( N ) 2.3.2 Sự tồn tập hút toàn cục Lp ( 33 N ) Trước tiên, từ Bổ đề 2.3.1, ta có S (t ) biến tập compact H01( N p ,s )  L ( N ) thành tập bị chặn H01( N , s )  Lp ( từ Bổ đề 1.2.15 ta có S (t ) liên tục mạnh - yếu H01( Để chứng minh tồn tập hút toàn cục Lp ( N N N ) Do đó, , s )  Lp ( N ) ), ta sử dụng bổ đề sau mà việc chứng minh hoàn toàn tương tự Định lí 5.5 [11]   Bổ đề 2.3.7 Giả sử S (t ) t 0 tục liên tục yếu L2 (   S (t ) t 0   (i ) S (t ) nửa nhóm liên tục mạnh - yếu Lp ( N ) , liên N ) Khi ) , có tập hút toàn cục L2 ( có tập hút toàn cục Lp ( t 0 N N ) có tập hấp thụ bị chặn LP ( N ); (ii ) với e  tập bị chặn B Lp ( N ) , tồn số dương M  M ( e, B ) T  T ( e, B ) cho  p N ( S ( t )u  M ) với u  B t S (t )u dx  e, (2.45) T Định lí 2.3.8 Giả sử điều kiện ( H  )  ( F )  (G) thỏa mãn Khi nửa nhóm S (t ) sinh Bài toán (2.1) có tập hút toàn cục A Lp ( L p   N ) Chứng minh Ta cần S (t ) thỏa mãn điều kiện (ii) Bổ đề 2.3.7 Lấy M đủ lớn cho a u N  (u  M ) : x  N p 1  f (x , u )  : u(x , t )  M , kí hiệu  u  M , 0,u  M   (u  M )   (u  M )   (u  M )    34 u  M, trước tiên, với e  cho trước, tồn d  cho với e  N với m (e)  d, ta có  e Trong N g dx  e (2.46) (u  M ) ta có g(u  M )p 1  a1 (u  M )2 p   g 2a  (2.47) p 1 a1 (u  M )p 1 u  g , 2a p 1 Và f (x , u )(u  M ) p 1  a u  a1 (u  M ) u (u  M ) p 1 p 1  (2.48) a 1M p  (u  M ) p Nhân phương trình (2.1) với (u  M )  2d (u  M )  p dt ( p  1)  l  Do  N N (u M ) a1  p 1 từ (2.47), (2.48), ta có p LP ( (u M ) N ( u  M )) s (x ) (u  M )  (u  M )  (u  M )  p 2 2p 2 dx  a 1M p   dx p N ( u M ) (u  M )  dx N d (u  M ) dt ( u M ) g dx p L2 ( N ( u  M ))  CM p  (u  M )  p L2 ( N ( u M )) C g p L2 ( N ( u M )) Từ bất đẳng thức Gronwall, ta có với M  M t  T 1,  p N (u M ) (u  M )  dx  e (2.49) Tương tự trên, thay (u  M )  (u  M )  , 35 u  M , u  M , (u  M )    0, u  M , Ta có tồn M  T  cho với t  T M  M , ta thu  p N (u  M ) (u  M )  dx  e  Lấy M  max M 1, M   (2.50)  p N (u M )  T  max T 1,T , ta có (u  M ) dx  e với t  T M  M Từ (2.49) (2.50), ta có  p N ( u  2M ) u dx   ( u  M )  M  dx p N ( u  2M )   2p      2p    ( u  2M ) u M    ( u  2M ) u M    p N N ( u  2M ) p N  2p 1 e Định lí chứng minh 36  M pdx    u  M  dx  p N ( u  2M ) KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày số kiến thức không gian đặc biệt, tập hút toàn cục số phương pháp chứng minh tồn nghiệm toán parabolic Trong chương xét toán (2.1) trình bày tồn nghiệm yếu, tồn tính trơn tập hút toàn cục, tồn tập hút toàn cục L2 ( Lp ( N N ) toàn tập hút toàn cục ) Bên cạnh kết đặt luận văn, số vấn đề mở liên quan cần trình bày tiếp là: Trình bày tính chất tập hút trường hợp phương trình không nghiệm, chẳng hạn tính trơn đánh giá số chiều fractal Đây vấn đề khó đòi hỏi cách tiếp cận hoàn toàn so với trường hợp nghiệm 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Anh C.T , Binh N.D and Thuy L.T (2010), “On the global attac-tors for a class of semilinear degenerate parabolic,equations”, Anh Pol Math 98, No I 71-89 [2] Anh C.T and Thuy L.T (2012), “Notes on global attractors for a class of semilinear degenerate parabolic equations on [3] N ”, Bull Pol Acad Math Anh C.T (2010), “Pullback attractors for non-autonomous parabolic equations involving Grushin operators”, Electron J Differential Equations, No 11, 14 pp [4] Caldiroli P.C and Musina R (2000), “On a variational degenerate elliptic problem”, Nonlinear Diff Equ Appl 7, 187-199 [5] Hoàng Tụy (2005), “Hàm thực giải tích hàm (giải tích đại)”, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [6] Lions J.-L (1969), “Quelques Mesthodes de Resssolution des Problemes aux Limites Non Lineaires” , Dunod, Paris [7] Robinson J.C (2001), “Infinite-Dimensional Dynamical Systems”, Cambridge University Press [8] Rosa R (1998), “The global attractor for the 2D Navier-Stokes flow on some unbounded domains”, Nonlinear Anal 32, 71-85 [9] Temam R (1997), “Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanic and Physics”, 2nd edition, Springer-Verlag [10] Temam R (1995), “Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis”, 2nd edtion, Philadelphia [11] Zhong C.K., Yang M.H and Sun C (2006), “The existence of global attarctors for the norm-to-weak continuous semigroup and application to the nonlinear reaction-diffusion equations”, J Differential Equations, 15, 367-399 38 ... SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH p TRONG KHÔNG GIAN L ( N ) Trong Chương này, trình bày toán không gian N , N  Khi phép nhúng không. .. Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH p TRONG KHÔNG GIAN L ( N ) 18 2.1 Đặt toán 18 2.2 Sự tồn nghiệm... SISOUPHET SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN Lp ( N ) Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN