Phương Pháp Đơn Điệu Đối Với Phương Trình Elliptic Phi Tuyến.pdf

i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố Người cam đoan Đỗ Huy Thành ii LỜI CẢM ƠN Đầu tiên tôi xin gửi[.]

i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Đỗ Huy Thành ii LỜI CẢM ƠN Đầu tiên xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy GS.TS Đặng Quang Á Luận văn hoàn thành với bảo tận tình thầy Tơi xin chân thành cảm ơn phòng quản lý đào tạo sau đại học, khoa Khoa Học Tự Nhiên trường Đại học Hồng Đức, tồn thể thầy giáo trực tiếp giảng dạy lớp cao học Toán k8 Các thầy người nhiệt tình giảng dạy trang bị cho kiến thức cần thiết Tôi xin cảm ơn bạn học viên lớp cao học Toán k8 tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu trường Cuối xinh bày tỏ lịng cảm ơn đến gia đình bạn bè ln động viên, khuyến khích tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Thanh hóa, tháng năm 2017 Tác giả Đỗ Huy Thành iii MỤC LỤC Trang LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii BẢNG KÝ HIỆU iv MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục đích đề tài Phương pháp nghiên cứu Nội dung nghiên cứu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nguyên lý cực đại phương trình vi phân cấp 1.2 Phương pháp chia miền Chương PHƯƠNG PHÁP ĐƠN ĐIỆU ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC PHI TUYẾN 2.1 Sự hội tụ phương pháp đơn điệu 2.1.1 Phương pháp nghiệm nghiệm 2.1.2 Tính ổn định nghiệm 17 2.2 Thí dụ minh họa 21 Chương PHƯƠNG PHÁP ĐƠN ĐIỆU KẾT HỢP VỚI PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN 26 3.1 Phương pháp đơn điệu kết hợp với chia miền cho phương trình 26 3.2 Phương pháp đơn điệu kết hợp với chia miền cho hệ hai phương trình 32 3.2.1 Hệ tựa đơn điệu khơng tăng (quasi-monotone non-increasing coupled systems) 32 3.2.2 Hệ tựa đơn điệu không giảm (quasi-monotone non-decreasing coupled systems) 37 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 iv BẢNG KÝ HIỆU  - Tập mở bị chặn N C k () - Không gian hàm có đạo hàm cấp k liên tục   L ()  u( x) :    p 1/ p  u( x) dx     p     , với chuẩn u  Lp ()  u p L () - Không gian hàm đo bị chặn L2 () - Không gian hàm đo bình phương khả tích   u H 1()  u / u  L2 (),  L2 (), i  1, n  xi   H01 () - Không gian hàm có vết khơng    C0k ()  u  C k (), supp u compact  C0 ()   k k 1C0 () D() - không gian hàm khả vi vô hạn D, () - không gian hàm suy rộng W 2,p () - Không gian hàm thuộc Lp () có đạo hàm suy rộng cấp thuộc Lp () u   max u( x) x MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Nhiều toán vật lý, học số lĩnh vực khác thông qua mô hình hóa tốn học dẫn đến việc giải tốn biên phương trình vi phân (thường đạo hàm riêng) với điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên Neumann, điều kiện biên Robin hay điều kiện biên hỗn hợp Trong năm gần đây, người ta quan tâm nhiều đến toán biên phi tuyến (phi tuyến phương trình, phi tuyến điều kiện biên hai) nhu cầu phát triển lĩnh vực vật lý, học, sinh học, … Một phương pháp phổ biến nghiên cứu định tính (sự tồn tại, nhất) nghiệm xây dựng nghiệm gần phương pháp đơn điệu Ý tưởng chung phương pháp xuất phát từ hai hàm   tương ứng gọi nghiệm (lower solution) nghiệm (upper solution), nhờ trình lặp người ta xây dựng hai dãy hàm  k  k hội tụ đơn điệu từ hai phía tới hàm u u thỏa mãn điều kiện   1      k   u  u   k   2  1   Trong trường hợp u  u tốn có nghiệm dải   ,   , khác, toán có nghiệm bội (multiple solutions) Cơng cụ để nghiên cứu tính đơn điệu dãy hàm hội tụ chúng nguyên lý cực đại thích hợp cho loại tốn Chính luận văn đặt mục tiêu tìm hiểu phương pháp đơn điệu kết hợp với phương pháp khác để nghiên cứu định tính phương pháp lặp giải số tốn phương trình elliptic cấp hai Mục đích đề tài Mục đích đề tài tìm hiểu phương pháp đơn điệu (hay gọi phương pháp nghiệm nghiệm trên) phương trình elliptic phi tuyến kết hợp với phương pháp chia miền giải phương trình elliptic phi tuyến Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp định tính thơng qua đọc nghiên cứu tài liệu tham khảo báo nhằm tổng hợp kết sở chứng minh kết lớp toán nghiên cứu luận văn Nội dung nghiên cứu Ngoài phần mở đầu, kết luận phụ lục, luận văn gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nguyên lý cực đại phương trình vi phân cấp hai 1.2 Khái niệm phương pháp chia miền Chương 2: Phương pháp đơn điệu phương trình elliptic phi tuyến 2.1 Sự hội tụ phương pháp đơn điệu 2.2 Thí dụ minh họa Chương 3: Phương pháp đơn điệu kết hợp với phương pháp chia miền 3.1 Phương pháp đơn điệu kết hợp với chia miền cho phương trình 3.2 Phương pháp đơn điệu kết hợp với chia miền cho hệ hai phương trình Trong luận văn định nghĩa, định lý, bổ đề sử dụng tài liệu [2], [4] Các ví dụ sử dụng tài liệu [4] Ngoài tham khảo thêm tài liệu [1], [3], [5] Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương luận văn trình bày nột số nội dung nhằm chuẩn bị kiến thức cho chương sau Nội dung phần trình bày theo tài liệu [3], [4] 1.1 Nguyên lý cực đại phương trình vi phân cấp Cho  tập mở bị chặn u :   N Nguyên lý cực đại khẳng định hàm trơn cho u   , u   , (1.1)   Hình 1.1 u   Một dạng mạnh nguyên lý cực đại suy Hopf năm 1952 Bổ đề Hopf khẳng định trường hợp trên, suy khả sau: u số  u dương số  và, trường hợp này, u  điểm biên trơn đó, đạo hàm theo hướng pháp tuyến ngồi u / v điểm âm Trường hợp riêng, nguyên lý cực đại mạnh Hopf khẳng định u  C ()  C() hàm siêu điều hòa  , u   , u   u   u / v   (giả thiết  có tính chất hình cầu điểm bất kỳ) Qua nhiều năm, nhiều phép biến thể nhiều cách tiếp cận ứng dụng nguyên lý cực đại nghiên cứu nhằm mục đích chứng minh ước lượng đưa tính chất định tính nghiệm Stampacchia nguyên lý cực đại mạnh cịn thay tốn tử Laplace toán tử cưỡng Cụ thể, cho a  L () cho, với   ,   u   a( x)u dx   u , H 01 () (1.2) với u  H01 () Nguyên lý cực đại Stampacchia khẳng định u  a( x)u   , u   , (1.3) u   u   u / v   Trong trường hợp riêng, giả thiết nguyên lý cực đại Stampacchia thỏa mãn a( x)  Ngồi ra, thay tốn tử cưỡng tuyến tính   I toán tử tổng quát, với giả thiết đơn điệu Cụ thể, cho f :[0, )  f (0)   ( F (t ))  dt hàm liên tục không giảm cho t   , với F (t )   f (s)ds Với giả thiết 0 người ta chứng minh u  C ()  C() thỏa mãn u  f (u)   u   , (1.4) u   u   Giả thiết độ tăng  ( F (t ))  dt   nguyên lý cực đại áp dụng cho hàm phi tuyến “siêu tuyến tính”; ví dụ, hàm phi tuyến f (u)  u p với p  thỏa mãn giả thiết 1.2 Phương pháp chia miền Xét toán u  f ( x, u)  , u   , 1 1 (1.5)  2 Hình 1.2 2  miền d chiều (d  2,3) với biên Lipschitz  , f hàm cho thuộc không gian L2    ,   d  DjDj j 1 toán tử Laplace với D j kí hiệu đạo hàm riêng theo x j  j  1, d  Ta giả sử miền  chia thành miền không giao 1 2 kí hiệu   1  2 ( hình 1.2) Ta giả sử  biên Lipschitz  d  1 chiều Kí hiệu ui giá trị nghiệm u miền i , (i  1,2) ni hướng pháp tuyến i  Để đơn giản kí hiệu, ta đặt n  n1 Khi tốn (1.5) viết dạng đa miền sau: u1  f , x 1 u  0, x    1 u1  u2 , x   u2 u1  n  n , x   u2  0, x 2   u  f , x   2 (1.6) Các phương trình ba bốn (1.6) điều kiện chuyển tiếp biên, mặt ý nghĩa chúng mô tả điều kiện liên tục hàm đạo hàm chuyển qua biên chung  hai miền Kí hiệu  giá trị chưa biết u  , xét toán biên Dirichlet x i i  f ,  x i    i  0,    , x   i (1.7) Chúng ta biểu diễn i  ui0  ui* ui0 , ui* nghiệm toán Dirichlet sau: ui0  0, x i  x i    ui  0,  x   ui   , ui*  f , x i  * x i    ui  0,  * x   ui  0, Với i  1, 2, ui0 thác triển điều hòa  vào i kí hiệu H i  , sử dụng kí hiệu Gi f thay cho ui* Bằng việc so sánh (1.6) (1.7) ta thấy i  ui (i  1,2) 1 2  , x  n n Giá trị  biên chung phải thỏa mãn phương trình Steklov-Poincare S   X , x  , (1.8) với X n G f G2 f G1 f    ii , n n i 1 n S tốn tử Steklov-Poincare định nghĩa H1 H 2 H i S    i n n  n i 1 Tốn tử S tách thành S  S1  S2 Si   ( Hi ) , i  1,2 ni Ta sử dụng toán tử Si1 gọi toán tử Poincare-Steklov Chú ý: Mơ hình chia miền áp dụng toán tổng quát Lu  f , x  (1.9) 30 Định lý 3.3 Cho u (0)  u  với u  h  Chuỗi Schwarz xác định ( n  ) ui n  f (ui (n) ) i , ui(n)  u(n1) i , i  1, , m n đây, ui  xác định u(n1)  \ i u  n   1  m  u  n1 m    ui n   i 1 n Tham số giảm dư  thỏa mãn    m Khi ui   u C  i  , i  1, , m n n Chứng minh Sự tồn tính đơn điệu ui  u   A chứng minh phương pháp quy nạp n n 1 ui n  ui n1 i , u   u   Ta có m m i 1 i 1 u  n 1  1  m  u ( n)    ui n 1  1  m  u ( n 1)    ui n   u  n  Ngoài m u n 1  1  m  u    u  u i 1 Tiếp theo, ta xác định với i  1, , m lim ui n   ui i , n lim u n   u0  , n giới hạn ui thỏa mãn (3.1) i , i  1, , m Cuối cùng, ta chứng minh ui  u i bên Bằng phương phương pháp quy nạp theo bổ đề (3.1), dễ thấy ui n   u i , i  1, , m Đưa qua giới hạn ta thu ui  u i Đặt 31 w  ui  1i  m Ta có: w  ui  u i (3.4) Do ui liên tục  nên w liên tục Bây  chia thành miền Ri , với w  f  w  bên miền w không trơn miền Biểu thị biên chung miền ij  Ri  R j có w  uk i  Ri , với  k  i   m Ký hiệu ni biểu thị đơn vị pháp tuyến Ri Chú ý ij , ni  n j uk  i  ni  uk  j  ni Bây ta w  f  w   (3.5) theo nghĩa yếu Với hàm thử không âm  lấy  ,  w.   f  w với w xem hàm H     w.  i R uk i . i   R i    R i i uk  i  ni   uk i  uk  j      ij  ni  n j    R f (uk i  )    i  i uk  i    i j i f  w    f  w  uk  i  uk  j      ij  ni  n j    i j 32 Do Bổ đề (3.1) với nghiệm liên tục khúc, ta có w  u  (chú ý w  u  ) Từ (3.4) suy u  ui i Cuối cùng, ta chứng minh phần mở rộng bổ đề (3.1) cho nghiệm trơn khúc w Nhớ w  u  ta w  u  Đặt S  x , w x   u  x  Giả sử S khơng rỗng Do tính liên tục, S có độ đo dương Trên S , u  w w u  , n n với n pháp tuyến đơn vị S Do w  H    , ta có từ (3.5),  u s nu  s w.u  s f  w u Do u  f  u  , ta có  u w  w.u  s n s   s f u  w Trừ hai vế ta thu 0  u v    u  S  n n   S  F  w  F u  uw  , điều mâu thuẫn Do S   hay w  u  Điều phải chứng minh 3.2 Phương pháp đơn điệu kết hợp với chia miền cho hệ hai phương trình 3.2.1 Hệ tựa đơn điệu không tăng (quasi-monotone non-increasing coupled systems) Xét hệ u  f  v, u  , v  g (u, v)  , u  r , v  s  Cặp hàm trơn  u, v  (3.6)  u , v  gọi cặp nghiệm cặp nghiệm chúng thỏa mãn 33 u  f  u, v    u  f  u , v   , v  g  u , v    v  g  u, v   , vsv u r u ,  Hơn chúng gọi xếp thứ tự, nếu: u u , v  v  Chúng ta tìm nghiệm dương, u, v   r , s phải hàm trơn khơng âm xác định biên Xác định hình quạt (sector)  u   A     , u, v  X , u  u  u , v  v  v    v   Giả sử f , g  C1  A Hệ (3.6) gọi tựa đơn điệu không tăng F G f g ,  A , với F  , G  v u u v Định lý 3.4 Giả sử hệ (3.6) tựa đơn điệu không tăng cho  u, v  u , v  cặp nghiệm nghiệm Giả sử F G ,  A u v cho u (0)  u v(0)  v  , với u  r v  s  (3.7) Xác định chuỗi Schwarz với i  1, , m n   v    g u   ,  , v    ,  ui n  f ui n , v n1 n i n1 i ui n   u n1 i i vi n  v n1 i n i n 1 n đây, ui  xác định u   \ i 34 m u  n   1  m  u  n 1    ui n   i 1 n n vi  v  xác định tương tự Tham số giảm dư  thỏa mãn    m Khi ui n   u vi n   v0 C  i  , i  1, , m ,  u , v0  nghiệm dương (3.6) A Nếu  u, v  nghiệm A , u  u v  v0 0 Nếu u   u v   v  với u  r v  s  thay n n giả thiết (3.7), chuỗi Schwarz thỏa mãn ui   u vi   v0 C  i  , i  1, , m , (u , v0 ) nghiệm dương (3.6) A Nếu  u, v  nghiệm A , u  u0 v  v0 0 Chứng minh Ta xét trường hợp u   u v   v Khi chứng minh chia thành bước Đầu tiên, ta phần tử chuỗi Schwarz xác định A chuỗi tuân theo tính đơn điệu ui n  ui n1 , vi n1  vi n i , i  1, , m u  u n   u n1  u , v  v n 1  v n   v  Do chuỗi bị chặn, nên giới hạn sau xác định lim ui n   u i , lim vi n  vi i , i  1, , m , n n lim u ( n)  u , lim v( n)  v0  n  n  Trong bước 2, ta chứng minh hàm giới hạn thỏa mãn (3.6) 1 : ui  f  ui , v0  , vi  g  u , vi  , i  1, , m (3.8) 35 Tiếp theo, ta ui  u vi  v0 i , i  1, , m ,  u , v0  nghiệm (3.6) Cuối ta chứng minh nghiệm  u, v  (3.6) A phải thỏa mãn u i  u v  vi i (3.9) Chi tiết bước trình bày sau: Đầu tiên, tồn tính đơn điệu chuỗi chứng minh phương pháp quy nạp Chú ý toán   ui1  f ui1 , v 0 i , ui1  u 0 i , i  1, , m u   nghiệm u nghiệm trên, từ   u  f u , v 0  u  f u , v   i , 0 hiển nhiên u   u  u    u i Theo Định lý (2.2), ui  nghiệm A (Nhớ f  C1  A ) Đối với toán   ui n1  f ui n1 , v n  , i , u n1i  u n i , ý: (3.10)   u  f u , v    u  f u , v    u  f u, v n  u  f u, v   i n i Bằng giả thiết quy nạp, u  u (n)  u i u nghiệm u nghiệm tốn Do đó, ui( n 1) tồn nghiệm A Bây ta chứng minh ui(n)  ui(n 1) vi(n 1)  vi( n) i Bằng giả thiết quy nạp ta có v(n1)  v(n)  Do 36 ui(n)  f (ui(n) , vi( n 1) )  f (ui( n) , v(n) ) i Chú ý ui(n)  u (n1)  u ( n)  ui(n1)  so sánh với (3.10), ta có ui(n)  ui(n 1) i Bất đẳng thức v1(n 1)  vi( n) i tương tự Bây ta chứng minh u(n)  u(n1)  u  : u ( n 1) m  1  m  u  n     ui( n 1) i 1 m  n 1   u ( n)  u  n   1  m  u  i i 1 m u ( n 1)  1  m  u    u  u i 1 n giả thiết quy nạp Tương tự ta chứng minh v  v(n1)  v   n n Tiếp theo, ta (3.8) Ta có ui  vi  bị chặn     C1 i Ta khẳng định v n  bị chặn C1  Nếu không, từ n 1 định nghĩa v  , ta có v n 1 v n    m   im1 vi n 1 v n    m   (1)  n với n đủ lớn, mâu thuẫn với giả thiết v  không bị chặn Ở trên,     n chuẩn C1  Do v  bị chặn C1  , suy     f ui n  , v n1 bị chặn C1 i , từ ta thu giới hạn ui n 37 n C 2  i  Áp dụng Định lý Arzela - Ascoli ta có ui   ui C  i  Tương tự ta có vi n   vi C  i  Tiếp theo ta ui  u vi  v0 i , i  1, , m Đặt w  ui z  max ui ,  (3.11) w  ui  z , i (3.12) 1i  m 1i  m Ta có Ta w nghiệm trơn khúc, w  f  w, v0   z nghiệm trơn khúc , z  f  z , v0  Do w  z  Từ (3.12) ta có z  w  ui  u i (3.13) Tương tự, ta vi  v0 i Cuối cùng, ta nghiệm  u, v  (3.6) A phải thỏa mãn (3.9) Điều thực lập luận bước Nhận thấy  u, v   u , v  cặp nghiệm nghiệm Áp dụng kết bước cho cặp nghiệm để có (3.9) Điều cần chứng minh 3.2.2 Hệ tựa đơn điệu không giảm (quasi-monotone non-decreasing coupled systems) Ta xét nghiệm dương hệ (3.6) với giả thiết phi tuyến Cặp nghiệm trơn  u, v   u , v  gọi cặp nghiệm nghiệm chúng thỏa mãn u  f  u, v    u  f  u , v  , v  g  u, v    v  g  u , v  , u  r  u , v  s  v  giả sử cặp nghiệm dưới, nghiệm thứ tự, hệ (3.6) gọi tựa đơn điệu không giảm 38 F G ,  A , v u với A miền xác định Giả sử hệ (3.6) tựa đơn điệu khơng giảm Khi có nghiệm A Khơng cần thêm giả thiết có nhiều nghiệm Định lý 3.12 Giả sử hệ hệ (3.6) tựa đơn điệu không giảm cho  u, v   u , v  cặp nghiệm nghiệm dương thứ tự Giả sử F G ,  A u v Đặt u 0  u v 0  v  với u  r v  s  (3.14) Xác định chuỗi Schwarz với i  1, , m n   v    g u   ,  , v    ,  ui n  f ui n , v n1 n n1 i i ui n   u n1 i i vi n  v n1 i n i n 1 n đây, ui  xác định u   \ i m u  n   1  m  u  n 1    u  n i  i 1 n n vi  v  xác định Tham số giảm dư  thỏa mãn    m Khi ui n   u vi( n)  v0 C  i  , i  1, , m,  u , v0  nghiệm dương (3.6) A Nếu  u, v  nghiệm A , u  u v0  v 0 Nếu u   u v   v  với u  r v  s  thay cho n n giả thiết (3.14) ,khi chuỗi Schwarz thỏa mãn ui   u0 vi   v0 39 C  i  , i  1, , m,  u0 , v0  nghiệm dương (3.6) A Nếu  u, v  nghiệm A , u  u0 v  v0 Chứng minh: Cách chứng minh giống ta chứng minh phần trước 0 Do ta cần đưa chứng minh tóm tắt Giả sử u   u v   v Đầu tiên ta phần tử chuỗi Schwarz xác định A chuỗi tuân theo tính đơn điệu ui n  ui n1 , vi n   vi n1 i , i  1, , m u  u(n)  u(n1)  u , v  v(n)  v(n1)  v  Do chuỗi bị chặn nên ta có lim ui(n)  ui , n lim u n  u0 , n lim vi n  vi i , i  1, , m n lim v n  v0  n Trong bước hai, ta chứng minh hàm giới hạn thỏa mãn (3.6) i : ui  f  u i , v0  , vi  g  u , vi  , i  1, , m Tiếp theo, ta chứng minh ui  u vi  v0 i Điều suy  u , v0  nghiệm (3.6) Cuối cùng, ta nghiệm  u, v  (3.6) phải thỏa mãn u  u v0  v  Một ví dụ hệ tựa đơn điệu khơng giảm phương trình LotkaVolterra u  u  a1  b1u  c1v  , v  v  a2  b2u  c2v  Ở u, v đại diện cho dân số hai loài mối quan hệ cộng sinh tham số khác số dương Cuối cùng, ta xét nghiệm dương cho lớp thứ hệ Các cặp hàm trơn (u, v) (u , v ) gọi cặp nghiệm nghiệm chúng thỏa mãn 40 u  f (u, v )   u  f (u , v)  v  g (u, v)   v  g (u , v )  , u  r  u , v  s  v  Trong trường hợp cặp nghiệm nghiệm thứ tự, hệ (3.6) gọi tựa đơn điệu hỗn hợp G F   A u v Giả sử hệ (3.6) tựa đơn điệu hỗn hợp g f  1  1 A u v (3.15) Khi hệ (3.6) có nghiệm A Khơng cần thêm giả thiết hệ có nhiều nghiệm Định lý 3.13 Giả sử hệ (3.6) tựa đơn điệu hỗn hợp cho (u, v) (u , v ) cặp nghiệm nghiệm thứ tự dương Giả sử F G ,  A , u v thêm giả thiết (3.15) Đặt u (0)  u , u (0)  u , v(0)  v , v (0)  v  với u  u  r v  v  s  Xác định chuỗi Schwarz với i  1, , m n 1 ui(n)  f (ui(n) , v (n1) ) i , ui(n)  u(n1) i ui(n)  f (ui( n) , v(n 1) ) i , ui(n)  u (n 1) i vi(n)  g (u(n1) , vi(n) ) i , vi(n)  v(n1) i vi(n)  g (u (n1) , vi( n) ) i , vi(n)  v (n1) i Ở đây, ui(n) xác định u(n1)  \ i m u ( n)  (1  m )u ( n 1)    u i( n)  i 1 41 ui(n) , … xác định tương tự Tham số giảm dư  thỏa mãn    m Khi ui n   u , ui n   u0, vi n   v0 vi n   v0 C  i  , i  1, , m , (u , v0 ) (u0 , v0 ) nghiệm dương (3.6) A Hơn nữa,  u, v  nghiệm A , u  u  u0 v0  v  v0 Chứng minh: Trường hợp phức tạp trường hợp trước phần tử chuỗi Schwarz khơng hồn tồn độc lập Tuy nhiên, cách chứng minh tương tự Do ta cần đưa chứng minh tóm tắt Đâu tiên ta phần tử chuỗi Schwarz xác định A tuân theo tính đơn điệu ui n   ui(n 1)  u i  n 1  ui(n) , vi n   vi( n 1)  v i  n 1  vi( n) i , i  1, , m ,  ta có u(n)  u(n1)  u  n1  u (n) , v(n)  v(n1)  v (n1)  v ( n) Do chuỗi bị chặn nên ta có giới hạn sau i , i  1, m lim u i( n)  u i , n  lim ui( n)  ui , n  lim vi( n)  vi , n  lim vi( n)  vi , n  lim u ( n)  u , n  lim u (n)  u0 , n lim v( n)  v0 , n lim v ( n)  v0 n Bước hai, ta chứng minh hàm giới hạn thỏa mãn (3.6) i , i  1, , m ui  f (ui , v0 ) , ui  f (ui , v0 ) , vi  g (u , vi ), vi  g  u0 , vi  42 Sau đó, ta chứng minh ui  u , ui  u0 , vi  v0 vi  v0 i , i  1, m , ta chứng minh  u , v0   u0 , v0  nghiệm (3.6) Cuối ta nghiệm  u, v  A (3.6) phải thỏa mãn u  u  u0 v0  v  v0  Ta đưa chứng minh chi tiết bước cuối cho trường hợp fu  1 A Nhân phương trình u0  f  u0 , v0  , u  f  u , v0  với 1 trừ hai vế cho nhau, sau lấy tích phân  ta thu  1  u0  u   1  n      u0  u   f *  f *   u  v0  u   v  v0  v0  1    hay 0  f *   1   u0  u 1 ,     u  điều xảy u  u0  (Nhớ lại tính đơn điệu u0  u  ) Ở đây, * biểu thị đối số  u0 , v0   u , v0  đưa Định lý Taylors Do  : u  f  u , v0  , v0  g  u , v0  , u  f  u , v0  , v0  g  u , v0  , suy  u , v0   u , v0  nghiệm (3.6) Điều phải chứng minh Chú ý điều kiện đủ để có nghiệm hệ tựa đơn điệu hỗn hợp (3.1) A có hai điều kiện (3.15) 43 KẾT LUẬN Một phương pháp nghiên cứu định tính định lượng phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng elliptic phi tuyến phương pháp đơn điệu Luận văn trình bày cách khái quát phương pháp - Trình bày sơ lược nguyên lý cực đại phương pháp chia miền - Trình bày phương pháp đơn điệu hay gọi phương pháp nghiệm nghiệm Đây công cụ việc thiết lập tồn nghiệm nhiều lớp toán biên elliptic phi tuyến - Trình bày việc kết hợp phương pháp đơn điệu chia miền cho phương trình cho hệ hai phương trình elliptic phi tuyến 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G.A Afrouzi, Z Naghizadeh, S Mahdavi, Monotone Methods in Nonlinear Elliptic Boundary Value Problem, International Journal of Nonlinear Science, Vol.7 (2009) No.3, pp.283-289 [2] S H Lui, On monotone and Schwarz alternating methods for nonlinear elliptic PDES, Mathematical Modelling and Numerical Analysis, Vol.35, No.1 (2001), 1-15 [3] M.H Protter and Weinberger, Maximum principles in diffefential equations, PrenticeHall, (1968) [4] V D Rawdulescu (2008), Qualitative analysis of nonlinear elliptic partial differential equations, Hindawi publishing Corporation, USA [5] D.H Sattinger, Monotone methods in nonlinear elliptic and parabolic boundary value problems, Indiana University Mathematics Journal, Vol.21, No.11 (1972), pp 979 – 1000