Chỉnh hóa nghiệm phương trình elliptic phi tuyến với dữ liệu ngẫu nghiên

BỘ CÔNG THƯƠNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH -o0o - BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG Tên đề tài: Chỉnh hóa nghiệm phương trình elliptic phi tuyến với liệu ngẫu nhiên Mã số đề tài: 183.CB03 Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Đức Phương Đơn vị thực hiện: Khoa Khoa học Cơ TP Hồ Chí Minh, tháng 11/2019 LỜI CÁM ƠN Để thực hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học này, nhận hỗ trợ, giúp đỡ quan tâm, động viên từ gia đình, bạn bè, lãnh đạo Khoa Ban giám hiệu nhà trường Chúng xin trân trọng cám ơn Ban giám hiệu nhà trường có sách khuyến khích nghiên cứu khoa học, hỗ trợ tài chính, tạo nhiều điều kiện để thực đề tài này; Chúng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Lãnh đạo Khoa Khoa học Cơ đồng nghiệp động viên tạo điều kiện cho tơi hồn thành đề tài; Tôi xin giử lời cảm ơn đến Nguyễn Minh An, Nguyễn Diệu Linh - chuyên viên Phòng Quản lý Khoa học Hợp tác quốc tế có hướng dẫn hồ sơ thủ tục chi tiết, kịp thời Tuy có nhiều cố gắng, đề tài nghiên cứu khoa học không tránh khỏi thiếu sót Tơi kính mong chun gia, người quan tâm đến đề tài, đồng nghiệp, gia đình bạn bè tiếp tục có ý kiến đóng góp, giúp đỡ để đề tài hoàn thiện Một lần xin chân thành cám ơn! Chủ nhiệm đề tài Nguyễn Đức Phương PHẦN I THÔNG TIN CHUNG I Thông tin tổng quát 1.1 Tên đề tài: Chỉnh hóa nghiệm phương trình elliptic phi tuyến với liệu ngẫu nhiên 1.2 Mã số: 183.CB03 1.3 Danh sách chủ trì, thành viên tham gia thực đề tài TT Họ tên (học hàm, học vị) Đơn vị cơng tác Vai trị thực đề tài ThS Nguyễn Đức Phương ĐH Công nghiệp TP HCM Chủ nhiệm TS Ngô Ngọc Hưng ĐH Công nghiệp TP HCM Tham gia 1.4 Đơn vị chủ trì: 1.5 Thời gian thực hiện: 1.5.1 Theo hợp đồng: từ tháng 10 năm 2018 đến tháng 09 năm 2019 1.5.2 Gia hạn (nếu có): đến tháng… năm… 1.5.3 Thực thực tế: từ tháng 10 năm 2018 đến tháng 09 năm 2019 1.6 Những thay đổi so với thuyết minh ban đầu (nếu có): (Về mục tiêu, nội dung, phương pháp, kết nghiên cứu tổ chức thực hiện; Nguyên nhân; Ý kiến Cơ quan quản lý) 1.7 Tổng kinh phí phê duyệt đề tài: 60 triệu đồng II Kết nghiên cứu Đặt vấn đề Xét tốn tìm u(,⋅ t ) : [0,T ] → L2 (0, π) thỏa phương trình elliptic phi tuyến u + u = F (x , t, u ), (x , t ) ∈ Ω× (0,T ), xx  tt u (0, t ) = u (π, t ) = 0, t ∈ (0,T ), x  x u(x , 0) = ρ(x ), x ∈ Ω,  ut (x , 0) = ξ(x ), x ∈ Ω, (1) Ω = (0, π) T > số thực cho trước thực tế ta thường hàm xấp xỉ ρ ε (x ) ξ ε (x ) ρ(x ) ξ(x ) , thay vào có số điểm quan sát ρ(x ) ξ(x ) Trước hết ta giả sử: - Có n quan sát giá trị ρ ξ điểm x k = π miền Ω ; 2k − , k = 1, …, n thuộc 2n - Giá trị quan sát ρ(x ) ξ(x ) điểm x k từ nguồn không điều khiển mưa, gió, …, lúc giá trị quan sát ρˆ(x k ) ξˆ(x k ) có mơ hình nhiễu ngẫu nhiên sau: ρˆ(x k ) = ρ(x k ) + βk X k , ξˆ(x ) = ξ(x ) + γ Y , k k k (2) k βk , γk số dương hữu hạn, X k , Yk biến ngẫu nhiên độc lập phân phối chuẩn N (0,1) Bài toán (1) với liệu ngẫu nhiên (3) tốn khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard (nghĩa với thay đổi nhỏ liệu, dẫn đến thay đổi lớn nghiệm nó), việc chỉnh hóa nghiệm cần thiết Mục tiêu Chỉnh hóa nghiệm phương trình elliptic phi tuyến với liệu ngẫu nhiên Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết, triển khai phần mềm Matlab để đánh giá kết lý thuyết Tổng kết kết nghiên cứu - Phương trình elliptic phi tuyến có nhiều ứng dụng kỹ thuật Trong đề tài này, tác giả khảo sát toán giá trị ban đầu cho phương trình này, tốn khơng chỉnh (nghiệm khơng ổn định – sai khác nhỏ từ liệu đầu vào dẫn đến sai khác lớn nghiệm toán) - Tác giả xây dựng công thức để xấp xỉ cho hệ số Fourier Sau đó, phương pháp chặt cụt chuỗi Fourer, tác giả đề xuất nghiệm chỉnh hóa - Bằng số cơng cụ không gian Hilbert, tác giả chứng minh nghiệm chỉnh hóa hội tụ nghiệm suy rộng (mild solution) Đánh giá kết đạt kết luận - Đề tài ý tưởng không trùng lặp với cơng trình cơng bố ngồi nước Tóm tắt kết (tiếng Việt tiếng Anh) Trong đề tài này, nghiên cứu tốn Cauchy cho phương trình elliptic với nhiễu ngẫu nhiên Chúng tơi thiết lập nghiệm chỉnh hóa U N ( n ) từ liệu quan sát ρˆ k , ξˆk , k = 1, … , n cách sử dụng chuỗi lượng giác ước lượng phi tham số Ví dụ số thiết lập để so sánh với kết lý thuyết In this works, we have considered the Cauchy problem for nonlinear elliptic equation with randomly pertubed data We suggested a regularized scheme using the trigonometric in nonparametric approximate method to constructs the regularized solution U N ( n ) from observation data ρˆ k , ξˆk , k = 1,…, n The numerical experiment have demonstrated theoretical part matching result with computation results the III Sản phẩm đề tài, công bố kết đào tạo 3.1 Kết nghiên cứu ( sản phẩm dạng 1,2,3) TT Tên sản phẩm Bài báo Yêu cầu khoa học hoặc/và tiêu kinh tế - kỹ thuật Đăng ký Đạt 01 01 … Ghi chú: - Các ấn phẩm khoa học (bài báo, báo cáo KH, sách chuyên khảo…) chấp nhận có ghi nhận địa cảm ơn trường ĐH Công Nghiệp Tp HCM cấp kính phí thực nghiên cứu theo quy định - Các ấn phẩm (bản photo) đính kèm phần phụ lục minh chứng cuối báo cáo (đối với ấn phẩm sách, giáo trình cần có photo trang bìa, trang trang cuối kèm thơng tin định số hiệu xuất bản) 3.2 Kết đào tạo Thời gian Tên đề tài TT Họ tên Đã bảo vệ thực đề tài Tên chuyên đề NCS Tên luận văn Cao học Nghiên cứu sinh Học viên cao học Sinh viên Đại học Ghi chú: - Kèm photo trang bìa chun đề nghiên cứu sinh/ luận văn/ khóa luận bằng/giấy chứng nhận nghiên cứu sinh/thạc sỹ học viên bảo vệ thành công luận án/ luận văn;( thể phần cuối báo cáo khoa học) IV Tình hình sử dụng kinh phí T T Nội dung chi A Chi phí trực tiếp Th khốn chun mơn Ngun, nhiên vật liệu, Thiết bị, dụng cụ Công tác phí Dịch vụ th ngồi Hội nghị, hội thảo,thù lao nghiệm thu kỳ In ấn, Văn phòng phẩm Kinh phí duyệt (triệu đồng) Kinh phí thực (triệu đồng) 60 60 Ghi B Chi phí khác Chi phí gián tiếp Quản lý phí Chi phí điện, nước Tổng số 60 60 V Kiến nghị ( phát triển kết nghiên cứu đề tài) - Trên miền không gian x ∈ (0, π ) , tác giả có kết đẹp để xấp xỉ cho hệ số Fourier, miền khơng gian khác phương pháp không giải - Tham số chặt cụt, tham số chỉnh hóa N (n) hàm dạng ln n Vì vậy, cần số quan sát liệu n đủ lớn, nghiệm xấp xỉ xấp xỉ tốt cho nghiệm chỉnh hóa - Việc quan sát liệu phải tiến hành điểm cách miền không gian Điều hạn chế thực tế, nhiều lúc khơng phải vị trí miền khơng ta ta tiến hành khảo sát VI Phụ lục sản phẩm (liệt kê minh chứng sản phẩm nêu Phần III) Kết đề tài 01 báo ISI (SCI/Q1) – theo SCImage Chi tiết xem online địa https://doi.org/10.1002/mma.5789 [1] Nguyen Duc Phuong and Nguyen Huy Tuan and Dumitru Baleanu and Nguyen Hoang Luc Regularized solution for nonlinear elliptic equations with random discrete data Mathematical Methods in the Applied Sciences (2019) Chủ nhiệm đề tài Tp HCM, ngày 29 tháng 11 năm 2019 Phòng QLKH&HTQT (ĐƠN VỊ) Trưởng (đơn vị) (Họ tên, chữ ký) PHẦN II BÁO CÁO CHI TIẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC (báo cáo tổng kết sau nghiệm thu, bao gồm nội dung góp ý hội đồng nghiệm thu) Chỉnh hóa nghiệm phương trình elliptic phi tuyến với liệu ngẫu nhiên Nguyễn Đức Phương Ngày tháng 12 năm 2019 Mục lục Giới thiệu tốn Tính khơng chỉnh tốn 10 2.1 Một số khơng gian hàm 10 2.2 Nghiệm suy rộng toán 11 2.3 Rời rạc hóa hệ số Fourier 12 2.4 Tính khơng chỉnh tốn 14 Thiết lập nghiệm chỉnh hóa 20 3.1 Kết 20 3.2 Ví dụ số 28 3.3 Kết luận 31 Chương Giới thiệu toán Trong đề tài này, chúng tơi nghiên cứu tốn Cauchy cho phương trình elliptic phi tuyến  utt + u xx = F ( x, t, u), ( x, t) ∈ Ω × (0, T ),    u (0, t) = u (π, t) = 0, t ∈ (0, T ), x x (1.1)  u ( x, ) = ρ ( x ) , x ∈ Ω,    ut ( x, 0) = ξ ( x ), x ∈ Ω, Ω = (0, π ) T > số thực cho trước Bài tốn có nhiều ứng dụng thực tế Nếu F (u) = −k2 u, với k số thực hay ảo, phương trình (1.1) phương trình Helmholtz hay phương trình Helmholtz hiệu chỉnh Phương trình ứng dụng rộng rãi ngành kỹ thuật liên quan đến tượng truyền sóng mơi trường khác Trường hợp F (u) = sin u, phương trình (1.1) gọi phương trình elliptic-sine Gordon Phương trình có vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực tốn lý ứng dụng tiếng lý thuyết hiệu ứng Josephson (sự truyền sóng từ trường chất siêu dẫn), xem [8] Bài toán Cauchy biết đến tốn khơng chỉnh nghĩa nghiệm khơng ln tồn tại, cịn có tồn nghiệm nghiệm không ổn định (sự thay đổi nhỏ liệu đầu vào gây thay đổi lớn giá trị nghiệm) Trong thực tế, giá trị xác liệu đầu vào ρ, ξ không biết, thay vào biết giá trị quan sát chúng Không may chỗ thiết bị đo tiềm ẩn sai số sai số đến từ nguồn điều kiển nguồn khơng điều khiển gió, mưa, Sai số đo đạt đến từ nguồn điều khiển gọi sai số tất định Trước đây, toán (1.1) với sai số tất định nghiên cứu nhiều cơng trình [16, 17, 18, 20] Trong đó, sai số đo đạt từ nguồn khơng điều khiển mơ hình quan sát liệu ngẫu nhiên Bởi thực tế việc quan sát thực số điểm rời rạc, đề tài giả sử giá trị quan sát ρ( x ), ξ ( x ) thực −1 , k = 1, , n tuân theo mơ hình ngẫu điểm cách xk = π 2k2n Chương Thiết lập nghiệm chỉnh hóa 3.1 Kết Trước bắt đầu phát biểu kết nghiên cứu, chúng tơi cần số giả định tốn sau: • Tồn số τ, ν > cho ρ ∈ HτB , ξ ∈ HνB ; • F (u) hàm Lipschitz toàn cục Nghĩa tồn số thực dương K cho với u1 , u2 ∈ L2 (Ω), F ( u1 ) − F ( u2 ) L2 ( Ω ) ≤ K u1 − u2 L2 ( Ω ) ; (3.1) • Tham số chỉnh hóa N (n) thỏa ( N (n) + 1) 2T √λ N (n) e < +∞ n→∞ n lim (3.2) Để thu nghiệm xấp xỉ ổn định tốn, chúng tơi đề xuất nghiệm chỉnh hóa U N (n) cho tốn không chỉnh sau N (n) U N (n) ( x, t) =Γ1 N (n) (ρˆ )( x, t) + Γ2 N (n) + ∑ i =1 N (n) Γ1 N (n) (ρˆ ), Γ2 t sinh (ξˆ)( x, t) + t (t − s)F0 (U N (n) )(s)ds ϕ0 √ λi ( t − s ) √ Fi (U N (n) )(s)ds ϕi , λi (3.3) (ξˆ) tương ứng định nghĩa (2.19) (2.20) Nhận xét Số tự nhiên N (n) phụ thuộc vào n (3.3) gọi tham số chỉnh hóa Một việc quan trọng xác định tham số N (n) để nghiệm chỉnh hóa hội tụ nghiệm xác 20 3.1 Kết Định lý Phương trình phi tuyến (3.3)có nghiệm U N (n) ∈ X T X T định nghĩa (2.27) Chứng minh Đầu tiêu, định nghĩa hàm số N (n) Φ(u)( x, t) =Γ1 N (n) (ρˆ )( x, t) + Γ2 N (n) + t ∑ t (t − s)F0 (u)(s)ds ϕ0 √ λi ( t − s ) √ Fi (u)(s)ds ϕi , λi sinh i =1 (ξˆ)( x, t) + với u ∈ X T Khi đó, chúng tơi cần chứng minh với u, v ∈ X T m m Φ (u) − Φ (v) XT ( T + 1) T K2 e2TN (n) m! ≤ m u−v (3.4) XT Chúng sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh Xét trường hợp m = 1, theo bt ng thc Holder, ta cú c ă E Φ(u)(·, t) − Φ(v)(·, t) N (n) t ∑ +E i =1 t ≤E t ds ≤tT E +t e2T ∑ i =1 t (t − s) (F0 (u)(s) − F0 (v)(s)) ds √ sinh( λi (t − s)) √ (Fi (u)(s) − Fi (v)(s)) ds λi t t ds F (u)(s) − F (v)(s) √ λ N (n) λ1 √ sinh2 ( λi (t − s)) (Fi (u)(s) − Fi (v)(s))2 ds λi E t 2TN (n) ≤ T + TK e L2 (Ω) ds F (u)(s) − F (v)(s) t ≤ T + te2TN (n) E 2 (t − s)2 (F0 (u)(s) − F0 (v)(s))2 ds N (n) +E t =E L2 ( Ω ) L2 (Ω) ds F (u)(s) − F (v)(s) t u−v L2 (Ω) ds XT (3.5) chúng tơi sử dụng điều kiện Lipschitz hàm nguồn F (u)(·, t) − F (v)(·, t) L2 ( Ω ) ≤ K2 u(·, t) − v(·, t) L2 ( Ω ) (3.6) Kết hợp (3.5) (3.6), ta (3.4) cho m = Tương tự, chứng minh (3.4) cho m ∈ N 21 3.1 Kết Ta có giới hạn ( T + 1) T K2 e2TN (n) m! lim m→+∞ m = Do đó, tồn số thực m = m0 , cho Φm0 ánh xạ co chuẩn · X T Điều có nghĩa có nghiệm U N (n) ∈ X T thỏa Φm0 (U N (n) ) = U N (n) hầu chắn Mặt khác Φ Φm0 (U N (n) ) = Φ U N (n) , hầu chắn Φm0 W (U N (n) ) = Φ U N (n) , hầu chắn (3.7) Từ phương trình (3.7), ta có Φ(U N (n) ) điểm bất động Φm0 Theo tính cũa điểm bất động Φm0 , ta có U N (n) ∈ X T nghiệm Φ(U N (n) ) = U N (n) Định lý (Đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa) Cho τ, ν, < N (n) < n, ρ ∈ C1 ([0, π ]) ∩ HτB , ξ ∈ C1 ([0, π ]) ∩ HνB Chúng tơi giả sử thêm tốn (1.1) có nghiệm u ∈ C [0, T ]; L2 (Ω) Nếu tồn số thực Π1 cho ∞ ∑ e 2( T − t ) sup √ λi u(·, t), ϕi ( x ) 0≤ t ≤ T i =0 ≤ Π1 , (3.8) ta có E U N (n) (·, t) − u(·, t) ( N (n) + 1)e2t ≤ Ψ n L2 ( Ω ) √ λ N (n) + 6Π1 e−2(T −t) √ λ N (n) e12tTK (3.9) Nếu tồn số thực η > Π2 cho ∞ sup ∑( 0≤ t ≤ T i =0 λi )2η e2(T −t) √ λi u(·, t), ϕi ( x ) ≤ Π2 , (3.10) ta có E U N (n) ((·, t)) − u(·, t) 2L2 (Ω) √ ( N (n) + 1)e2t λ N (n) ≤ Ψ + 6Π2 n λ N (n) −2η −2( T −t)√λ N (n) e e12tTK , (3.11) Ψ =6 π ( Dmax )2 + π ( Dmax )2 T + + C (τ, ρ) + C (ν, ξ ) T + β γ 22 (3.12) 3.1 Kết Nhận xét Trong định lý trên, (3.9), ta thấy đánh giá trung bình bình phương sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa hội tụ t < T Ngược lại, t = T đánh giá sai số (3.9) khơng hội tụ Vì thế, cần giả thiết mạnh u (3.10) để nhận kết hội tụ t = T Nhận xét Ta xét đẳng thức e2tN (n) = nσ , < σ < Bằng cách chọn số nguyên N (n) cho N (n) := σ ln n , 2t a phần nguyên số thực a Ta xét đến trường hợp sau • Đầu tiên, giả định (3.8) thỏa, E U N (n) (·, t) − u(·, t) hội tụ t max nσ−1 ; nσ( T −1) , < σ < L2 ( Ω ) có bậc • Tiếp theo, giả định (3.10) thỏa, E U N (n) (·, t) − u(·, t) hội tụ σ σ σ ( Tt −1) 2t ln n ln n n , < σ < ; max 2t n 1− σ L2 ( Ω ) có bậc Đặc biệt, t = T E U N (n) (·, t) − u(·, t) max σ 2t L2 ( Ω ) ln n σ ; ln n , 2t n 1− σ có bậc hội tụ < σ < Chứng minh Theo (2.18) (3.3), ta có U N (n) ( x, t) − u( x, t) = Err1 + Err2 + Err3 + Err4 + Err5 + Err6 (3.13) N (n) Err1 =Γ1 N (n) (ρˆ )( x, t) − Γ1 (ρ)( x, t), N (n) Err2 = Γ2 (ξ )( x, t), √ N (n) sinh t λi ξ ξ √ Err4 = tΘn0 ϕ0 + ∑ Θni ϕi , λi p =1 N (n) ρ Err3 =Θn0 ϕ0 ∑ + cosh t i =1 N (n) (ξˆ)( x, t) − Γ2 λi Θni ϕi , ρ thành phần có tích phân phi tuyến t Err5 = (t − s)(F0 (U N (n) )(s) − F0 (u)(s))ds ϕ0 N (n) + ∑ i =1 t sinh √ λi ( t − s ) √ λi 23 Fi (U N (n) )(s) − Fi (u)(s) ds ϕi , 3.1 Kết phần chuỗi u bị chặt cụt √ sinh t λi √ ρi + ξi λi √ t sinh λi ( t − s ) √ + Fi (u)(s)ds ϕi λi +∞ ∑ Err6 = cosh t λi i = N (n)+1 Bước Đánh giá E Err1 N (n) L2 ( Ω ) N (n) Err1 =Γ1 (ρˆ )( x, t) − Γ1 (ρ)( x, t) √ n N (n) π π n ˆ ρ − ρ ( x )) ϕ + cosh t λ = ( (ρˆ k − ρ( xk )) ϕi ( xk ) ϕi i k k ∑ n k∑ n k∑ i =1 =1 =1 √ n N (n) π π n = λ β X ϕ + cosh t i k k ∑ ∑ β k Xk ϕ i ( x k ) ϕ i n k∑ n i =1 =1 k =1 Teho đẳng thức Parseval, ta có √ Err1 2L2 (Ω) π n = n ∑ β k Xk N (n) ∑ + cosh t λi i =1 k =1 n π n ∑ β k Xk ϕ i ( x k ) k =1 i.i.d Bởi biến ngẫu nhiên Xk độc lập phân phối xác suất Xk ∼ N (0, 1) ta có E ( Xk Xl ) = với k = l EXk2 = Từ tính chất Xk , ta có E Err1 L2 ( Ω ) = π n2 = N (n) n ∑ β2k EXk2 + π2 n2 λi i =1 k =1 π n2 ∑ cosh2 t n N (n) ∑ β2k + ∑ k =1 cosh2 t λi i =1 π2 n2 n ∑ β2k EXk2 ϕ2i (xk ) k =1 n ∑ β2k ϕ2i (xk ) k =1 β Từ giả thiết β k ≤ Dmax (2.2) ta có E Err1 L2 ( Ω ) π β Dmax n π β ≤ Dmax n π β ≤ Dmax n ≤ + π β Dmax n π β + Dmax n N (n) ∑ cosh2 t i =1 N (n)e2t √ ( N (n) + 1)e2t λ N (n) 24 λi √ λ N (n) (3.14) 3.1 Kết Bước Đánh giá E Err2 N (n) L2 ( Ω ) N (n) Err2 =Γ2 (ξˆ)( x, t) − Γ2 (ξ )( x, t) √ √ N (n) sinh t λi π n ˆ π n ˆ √ = t ∑ ξ k − ξ ( x k ) ϕ0 + ∑ ξ k − ξ ( x k ) ϕi ( x k ) ϕi n k =1 n k∑ λi i =1 =1 √ √ N (n) sinh t λi π n π n √ t ∑ γk Yk ϕ0 + ∑ γk Yk ϕi ( xk ) ϕi = n k =1 n k∑ λi i =1 =1 Đẳng thức Parseval cho ta Err2 2L2 (Ω) n π = t2 n ∑ γk Yk N (n) + k =1 ∑ i =1 √ sinh2 t λi λi n π n ∑ γk Yk ϕi (xk ) k =1 i.i.d Tương tự bước trước Yk biến ngẫu nhiên độc lập Yk ∼ N (0, 1), nên ta có √ N (n) sinh2 t λi n 2 π n 2 π2 E Err2 L2 (Ω) = t ∑ γk EYk + ∑ ∑ γk EYk ϕi (xk ) λi n k =1 n i =1 k =1 √ N (n) sinh2 t λi n 2 π n π2 = t ∑ γk + ∑ ∑ γk ϕ i ( x k ) λi n k =1 n i =1 k =1 √ π π 2 2t λ N (n) γ γ ≤ t Dmax + N (n) Dmax e n n √ π γ ≤ Dmax T + ( N (n) + 1)e2t λ N (n) (3.15) n Bước Đánh giá Err3 Err3 2L2 (Ω) = L2 ( Ω ) ρ Θn0 N (n) + ∑ i =1 ≤ ρ Θni cosh2 (t N (n) λi ) = i =0 √ C (τ, ρ) 2t λ N (n) ( N ( n ) + ) e n2τ Bước Đánh giá Err4 ∑ Θni ρ cosh2 (t λi ) (3.16) L2 ( Ω ) Err4 2L2 (Ω) =t 2 ξ Θn0 N (n) + ∑ i =1 ≤ t2 ≤ Θni ξ C (ν, ξ ) C (ν, ξ ) + n2ν n2ν C (ν, ξ ) n2ν cosh2 (t N (n) ∑ e2t √ λ N (n) i =1 T + ( N (n) + 1)e2t 25 λi ) √ λ N (n) (3.17) 3.1 Kết Bước Đánh giá E Err5 L2 ( Ω ) Theo đẳng thức Parseval, ta có Err5 2L2 (Ω) t = (t − s) F0 (U N (n) )(s) − F0 (u)(s) ds N (n) + t ∑ √ λi ( t − s ) √ λi sinh i =1 Fi (U N (n) )(s) − Fi (u)(s) ds , sử dụng bất đẳng thức Holder, ta cú ă Err5 L2 ( ) t t ds 0 (t − s)2 F0 (U N (n) )(s) − F0 (u)(s) N (n) + √ t e2 λi ( t − s ) t ∑ i =1 ds λi ds Fi (U N (n) )(s) − Fi (u)(s) ds, tính Lipschitz hàm nguồn F Err5 L2 ( Ω ) ≤tK2 t (t − s)2 U N (n) (·, s) − u(·, s) 2L2 (Ω) ds √ t e2 λ N (n) ( t − s ) U N (n) (·, s) − u(·, s) 2L2 (Ω) ds + tK2 λ1 2 t √ λ1 TK + TK ≤ e2 λ N (n) (t−s) U N (n) (·, s) − u(·, s) 2L2 (Ω) ds, λ1 điều có nghĩa E Err5 2L2 (Ω) ≤ 2TK Bước Đánh giá Err6 t e √ λ N (n) (t − s ) E U N (n) (·, s) − u(·, s) L2 (Ω) ds L2 ( Ω ) • Nếu (3.8) thỏa ta có Err6 L2 ( Ω ) ∞ = ∑ u(·, t), ϕi ∑ e −2( T − t ) i = N (n)+1 ∞ = √ i = N (n)+1 ≤e −2( T − t ) √ λ N (n) 26 Π1 √ λ i 2( T − t ) λ i e u(·, t), ϕi (3.18) 3.1 Kết • Nếu (3.10) thỏa ta có Err6 2L2 (Ω) ∞ = ∑ u(·, t), ϕi ∑ λi i = N (n)+1 ∞ = i = N (n)+1 ≤ λ N (n) −2η e −2( T − t ) √ −2η −2( T −t)√λ N (n) e 2η λi λi e 2( T − t ) √ λi u(·, t), ϕi Π2 Khi (3.8) thỏa, kết hợp đánh giá từ bước đến bước 6, ta có E U N (n) (·, t) − u(·, t) 2L2 (Ω) √ 2t λ N (n) √ ( N ( n ) + 1) e −2( T − t ) λ N ( n ) ≤Ψ + 6Π1 e min{n, n2τ , n2ν } t √ + 12TK2 e2 λ N (n) (t−s) E U N (n) (·, s) − u(·, s) L2 (Ω) ds, (3.19) Ψ cho (3.12) Nhân hai vế bất đẳng thức (3.19) với e−2t √ E U N (n) (·, t) − u(·, t) 2L2 (Ω) e−2t λ N (n) √ ( N ( n ) + 1) −2T λ N (n) + 6Π e ≤Ψ min{n, n2τ , n2ν } √ t + 12TK2 e−2s λ N (n) E U N (n) (·, s) − u(·, s) 2L2 (Ω) ds √ λ N (n) , ta Bởi ( N (n)+1) min{n,n2τ ,n2ν } độc lập t, theo bất đẳng thức Gronwall ta E U N (n) (·, t) − u(·, t) −2t L2 ( Ω ) e √ λ N (n) √ ( N ( n ) + 1) −2T λ N (n) ≤ Ψ + 6Π1 e e12tTK 2τ 2ν min{n, n , n } Thực giống trên, ta có E U N (n) (·, t) − u(·, t) ( N ( n ) + 1) e ≤ Ψ n 2t L2 ( Ω ) √ λ N (n) + 6Π2 λ N (n) (3.10) thỏa 27 −2η −2( T −t)√λ N (n) e e12tTK , (3.20) 3.2 Ví dụ số 3.2 Ví dụ số Trong phần này, chúng tơi đưa ví dụ tính tốn số để kiểm tra tính hiệu phương pháp Chúng tơi xét tốn Cauchy cho phương trình Helmholtz sau  utt + u xx = F ( x, t, u), ( x, t) ∈ Ω × (0, 1),    u (0, t) = u (π, t) = 0, t ∈ (0, 1), x x  u( x, 0) = ρ( x ), x ∈ Ω,    ut ( x, 0) = ξ ( x ), x ∈ Ω (3.21) Hàm nguồn F ( x, t, u) = u − 2t cos x, hàm giá trị ban đầu ρ( x ) = 0, ξ ( x ) = cos x Dễ thấy u( x, t) = t cos x nghiệm xác tốn (3.21) Ta xét nghiệm chỉnh hóa sau N (n) U N (n) ( x, t) =Γ1 N (n) (ρˆ )( x, t) + Γ2 N (n) + t ∑ t (t − s)F0 (U N (n) )(s)ds ϕ0 √ λi ( t − s ) √ Fi (U N (n) )(s)ds ϕi λi sinh i =1 (ξˆ)( x, t) + Ta phân hoạch đoạn [0, 1] thành Nt khoảng cách t j = j∆t, ∆t = 1/Nt , j = 0, Nt Tại t = t j nghiệm chỉnh hóa viết lại sau U N (n) ( x, t j ) =Γ N (n) ( x, t j ) + tj (t j − s)F0 (U N (n) )(s)ds ϕ0 S0 ( t j ) N (n) + ∑ i =1 tj √ λi ( t j − s ) sinh √ Fi (U N (n) )(s)ds ϕi , λi (3.22) Si ( t j ) N (n) N (n) Γ N (n) ( x, t j ) = Γ1 (ρˆ )( x, t j ) + Γ2 (ξˆ)( x, t j ) Dãy n quan sát ρ( xk ), ξ ( xk ) điểm xk mơ theo mơ hình ngẫu nhiên i.i.d ρˆ k =ρ( xk ) + β k Xk , β k = 0.1 Xk ∼ N (0, 1), ξˆk =ξ ( xk ) + γk Yk , γk = 0.1 Yk ∼ N (0, 1), i.i.d 28 3.2 Ví dụ số Hình 3.1: Đồ thị liệu Cauchy cho trường hợp tất định trường hợp liệu bi nhiễu với k = 1, , n Thành phần phi tuyến S0 (t j ) in (3.22) xấp xỉ sau S0 ( t j ) = tj (t j − s)F0 (U N (n) )(s)ds = √ π j ≈√ π ∑ π p =1 t p −1 tj π (t j − s)U N (n) ( x, s)dxds (t j − s)U N (n) ( x, t p−1 )dxds Tương tự trên, ta có xấp xỉ √ t j sinh λi ( t j − s ) √ Si ( t j ) = Fi (U N (n) )( x, s)ds λi √ √ j π sinh λi ( t j − s ) √ = U N (n) ( x, s) cos(ix )dxds ∑ π p =1 t p −1 λi √ √ j π sinh λi ( t j − s ) √ ≈ U N (n) ( x, t p−1 ) cos(ix )dxds ∑ π p =1 t p −1 λi λi = i2 , nên √ Si ( t j ) ≈ π j ∑ p =1 t p −1 π sinh i (t j − s) U N (n) ( x, t p−1 ) cos(ix )dxds i Để tiện theo dõi, trình tóm tắt bước sau: 29 3.2 Ví dụ số Bước Chọn Nx Nt ∈ N∗ , ta đặt ∆x = ∆t = , xr = r∆x, Nx , t = j∆t, Nt j r = 0, Nx , j = 0, Nt Bước Đặt U N (n) ( x, t0 ) = U N (n) ( x, 0) = ρ( x ), ta tính vector U N (n) ( x, t0 ), U N (n) ( x, t1 ), , U N (n) ( x, t Nt ) ,    U N (n) ( x, t j ) ≈ Γ N (n) ( x, t j ) + S0 (t j ) S1 (t j ) S N (n) (t j )   ϕ0 ( x ) ϕ1 ( x ) ϕ N (n) ( x ) Bước Với j = 0, Nt , ta xây dựng ma trận R Nx+1 × R Nt+1  U N (n) ( x0 , t0 ) U N (n) ( x0 , t1 ) U N (n) ( x0 , t Nt ) U  N (n) ( x1 , t0 ) U N (n) ( x1 , t1 ) U N (n) ( x1 , t Nt ) U =  U N (n) ( x Nx , t0 ) U N (n) ( x Nx , t1 ) U N (n) ( x Nx , t Nt )           Bước Với r = 0, Nx , trung bình bình phương sai số MSE(n, N (n), t j ) = Nx U N (n ) ( xr , t j ) − u ( xr , t j ) ∑ Nx + r=0 Hình 3.2: Đồ thị a, b đồ thị nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa số quan sát n = 300 tham số chỉnh hóa N (n) = Theo bảng số 3.1, ta nhận thấy giá trị t gần khơng, tốc độ hội tụ nhanh Ngược lại, thi t = trung bình bình phương sai số lớn Điều có nghĩa định lý phản ánh tốc độ hội tụ 30 3.3 Kết luận MSE(n, N (n), t) t = 0.25 n = 100, N (n) = 2.62E − 03 n = 300, N (n) = 9.92E − 04 t = 0.5 8.64E − 03 5.60E − 03 t = 0.75 t = 1.0 2.29E − 02 5.62E − 02 1.77E − 02 4.64E − 02 Bảng 3.1: So sánh sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa thời điểm t = 0.25, t = 0.5, t = 0.75 t = với cặp tham số n = 100, N (n) = n = 300, N (n) = 3.3 Kết luận Trong nghiên cứu này, ta chỉnh hóa nghiệm tốn Cauchy cho phương trình elliptic phi tuyến với liệu đầu vào bị nhiễu nẫu nhiên Từ liệu quan sát ρˆ k , ξˆk , k = 1, , n, chúng tơi xây dựng nghiệm chỉnh hóa U N (n) cách sử dụng hàm lượng giác để xấp xỉ phi tham số Một ví dụ số trình bày để minh họa hiệu phương pháp 31 Tài liệu tham khảo [1] B Baeumer, M Geissert, M Kovács, Existence, uniqueness and regularity for a class of semilinear stochastic Volterra equations with multiplicative noise J Differential Equations, 258 (2015), no 2, 535–554 [2] J V Beck, B F Blackwell and C R St Clair, Inverse Heat Conduction–Ill Posed Problems, Wiley, New York (1985) [3] D.E.Beskos, Boundary element method in dynamic analysis: part II, ASME Appl Mech Rev 50 (1997), 149–197 [4] N Bissantz, H Holzmann, Asymptotics for spectral regularization estimators in statistical inverse problems Comput Statist 28 (2013), no 2, 435–453 [5] N Bissantz and H Holzmann, Statistical inference for inverse problems, Inverse Problems 24 (2008), Article ID 034009 [6] L Cavalier, Nonparametric statistical inverse problems, Inverse Problems, No 24 (2008), 034004, 19 [7] H W Engl, M Hanke, and A Neubauer, Regularization of Inverse Problems, Kluwer Academic, Dordrecht, Boston, London, 1996 [8] A.S Fokas, B Pelloni, The Dirichlet-to-Neumann map for the elliptic sine-Gordon equation, Nonlinearity 25 (2012) 1011–1031 [9] A Kirsch, An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Second edition, Springer, 1996 [10] C Konig, F Werner, T Hohage, Convergence rates for exponentially ill-posed ină verse problems with impulsive noise SIAM J Numer Anal 54 (2016), no 1, 341– 360 [11] A.B Mair, F.H Ruymgaart, Statistical inverse estimation in Hilbert scales SIAM J Appl Math 56 (1996), no 5, 1424–1444 [12] N.D Minh, T.D Khanh, N.H Tuan, D.D Trong, A two-dimensional backward heat problem with statistical discrete data, J Inverse Ill-Posed Probl 26 (2018), no 1, 13–31 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [13] D A Murio, The mollification method and numerical solution of the inverse heat conduction problem by finite differrences, Computers Math Applic (1989), Vol 17, No 10, 1385–1396 [14] E Nane and N.H Tuan, Approximate solutions of inverse problems for nonlinear space fractional diffusion equations with randomly perturbed data, SIAM/ASA Journal on Uncertainty Quantification, 6(1), (2018) 302–338 [15] D.D Trong, T.D Khanh, N.H Tuan, N.D Minh, Nonparametric regression in a statistical modified Helmholtz equation using the Fourier spectral regularization Statistics 49 (2015), no 2, 267–290 [16] N.H Tuan, L.D Thang, V.A Khoa, A modified integral equation method of the nonlinear elliptic equation with globally and locally Lipschitz source, Applied Mathematics and Computation 256 (2015), 245–265 [17] N.H Tuan, T.T Binh, T.Q Viet, Lesnic, D Lesnic, On the Cauchy problem for semilinear elliptic equations J Inverse Ill-Posed Probl 24 (2016), no 2, 123–138 [18] N.H Tuan, T.T Binh, T.Q Viet, D Lesnic, On the Cauchy problem for semilinear elliptic equations J Inverse Ill-Posed Probl 24 (2016), no 2, 123—138 [19] N H Tuan and E Nane, Inverse source problem for time fractional diffusion with discrete random noise, Statistics and Probability Letters, Volume 120 (2017), 126– 134 [20] H Zhang, R Wang, Modified boundary Tikhonov-type regularization method for the Cauchy problem of a semi-linear elliptic equation Inverse Probl Sci Eng 24 (2016), no 7, 1249–1265 [21] G Zou, B Wang, Stochastic Burger’s equation with fractional derivative driven by multiplicative noise Comput Math Appl 74 (2017), no 12, 3195–3208 33 PHẦN III PHỤ LỤC ĐÍNH KÈM (tất văn có sẵn, chủ nhiệm cần photo đính kèm sau nội dung trên, sử dụng lý hợp đồng với phịng kế tốn Khi lý, báo cáo in thành 03 cuốn, đó, 01 đóng bìa mạ vàng, 02 đóng bìa cứng thường) Hợp đồng thực đề tài nghiên cứu khoa học Thuyết minh đề tài phê duyệt Quyết định nghiệm thu Hồ sơ nghiệm thu (biên họp, phiếu đánh giá, bảng tổng hợp điểm, giải trình, phiếu phản biện) Sản phẩm nghiên cứu (bài báo, vẽ, mơ hình .) 34 ... khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard (nghĩa với thay đổi nhỏ liệu, dẫn đến thay đổi lớn nghiệm nó), việc chỉnh hóa nghiệm cần thiết Mục tiêu Chỉnh hóa nghiệm phương trình elliptic phi tuyến với liệu ngẫu. .. ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC (báo cáo tổng kết sau nghiệm thu, bao gồm nội dung góp ý hội đồng nghiệm thu) Chỉnh hóa nghiệm phương trình elliptic phi tuyến với liệu ngẫu nhiên Nguyễn Đức Phương. .. biết chúng tơi, chưa có kết nghiên cứu phương trình elliptic phi tuyến với liệu đầu vào nhiễu ngẫu nhiên Gần đây, Tuấn cộng [15] nghiên cứu phương trình Helmholz với liệu ngẫu nhiên Trong báo này,