Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên hỗn hợp, thuật giải, lặp đơn, lặp cấp hai, sự tồn tại, duy nhất và khai triển tiệm cận của nghiệm

HÓCHiMINH I ---Bùi Công Sơn PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIÈU KIỆN BIÊN HỖN HỢP: THUẬT GIẢI LẶP ĐỚN, LẶP CẤP HAI, Sự TỒN TẠI, DỦY NHẤT VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM LUẬN VĂN THẠC

, —> Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ộ SP -1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC sừ PHẠM TP.Hố CHÍ MINH

TP HÓCHiMINH I

-Bùi Công Sơn

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIÈU KIỆN BIÊN HỖN HỢP: THUẬT GIẢI LẶP ĐỚN, LẶP CẤP HAI, Sự TỒN TẠI, DỦY NHẤT VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN

CỦA NGHIỆM

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2008

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SỪ PHẠM TP.Hố CHÍ MINH

Bùi Công Sơn

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỎN HỢP: THUẬT GIẢI LẶP ĐƠN* LẶP CẤP HAI, Sự TỒN TẠI, DUY NHẤT VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA

NGHIỆM

Chuyên ngành : Toán giải tích

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN THÀNH LONG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2008

Chân thành cám ơn quý thầy trong tố Giải Tích, khoa Toán - Tintrường Đại học Sư Phạm và Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ ChíMinh đã giúp tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việchiệu quả trong suốt quá trình học cao học.

Chân thành cám ơn quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ và Sau đạihọc đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện luận văn này

Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trườngTHPT Nguyễn Thượng Hiền đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốtquá trình học cao học

Sau cùng chân thành cám ơn các bạn cùng lóp với những trao đối góp ý

và động viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn

TP HCM tháng 8 năm 2008

Tác giảBùi Công Sơn

MỤC LỤC

Trang

Lời cám ơn 1

Mục lục 2

MỞ ĐÀU 3

Chương 1: CÁC CÔNG cụ CHUẨN BỊ 7

1.1 Các kí hiệu về không gian hàm 7

1.2 Các công cụ thường sử dụng 7

Chương 2 : THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT 10

2.1 Giới thiệu 10

2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính 10

2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 25

Chương 3 : THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI 32

Chương 4 : KHAI TRIỂN TIỆM CẬN 48

Chương 5 : KHẢO SÁT MỘT TRƯỜNG HỌP CỤ THẺ 64

KẾT LUẬN 66

TÀI LIỆU THAM KHẢO 68

MỞ ĐẦU

Các bài toán phi tuyến xuất hiện trong khoa học rất đa dạng, là nguồn đềtài mà nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong luận văn này chúngtôi muốn sử dụng các công cụ của giải tích phi tuyến như: phương phápGalerkin, phương pháp compact và đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tínhliên hệ với nguyên lý ánh xạ co, phương pháp khai triển tiệm cận nhằmkhảo sát phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên hỗn hợpthuần nhất

Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban đầu sau

utt -p(t)uxx +A,ut =f(x,t,u), xe£2, 0<t<T, (0.1)

ux (0, t) - h0u(0, t) = ux (1, t) + hlU(l, t) = 0, (0.2)

trong đó X, h0, hj là các hằng số không âm cho trước; u0, Up p và số hạngphi tuyến f cũng là hàm cho trước thỏa mãn một số điều kiện mà ta chỉ ra sau.Trong [5], Ficken và Fleishman đã chứng minh sự tồn tại, duy nhấtnghiệm của phương trình

uxx — utt — 2ajUt — a2u = £U 3+ b, với 8 > 0 bé (0.4)Rabinowitz [14] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn củaphương trình

uxx -Uu + 2a,ul =f(x,t,ux,ut), (0.5)trong đó 8 là một tham số bé và f là một hàm tuần hoàn theo thời gian

Trong [2], Caughey và Ellison đã họp nhất các xấp xỉ trong các trườnghọp trước đây để bàn sự tồn tại, duy nhất và tính ốn định tiệm cận của nghiệm

cố điển cho một lớp các hệ động lực phi tuyến liên tục

ux (0, t) - h()u(0, t) = ux (1, t) + h,u(l, t) = 0, (0.12)trong đó ho, hi là các hằng số không âm cho trước với ho + h] > 0 và các sốhạng phi tuyến vế phải có dạng

f = f(x,t,u,ux,ul) + ef,(x,t,u,ux,ut) (0.13)

5

Trong trường hợp f eC2Ị[0,l]x[0,oo)xR3j,f1 e c'([0,l]x[0,oo)xR3)các tác giả đã thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu ue đến cấphai theo £, với £ đủ nhỏ

Trong [12], Nguyễn Thành Long và Lê Thị Phương Ngọc cũng đãnghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu, sự tồn tại và hội tụ của dãy lặpcấp hai, khai triển tiệm cận của bài toán:

u„ - B u urr+-u1r

rlim Vru(r,t)

Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệmđịa phương của bài toán (0.1) - (0.3) Chứng minh được dựa vào phươngpháp Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kĩ thuật hội tụyếu và tính compact Chúng tôi cũng nghiên cứu sự tồn tại và hội tụ của dãylặp cấp hai {um} về nghiệm yếu u của bài toán (0.1) - (0.3) thỏa một đánh giásai số

trong đó c, p là các hằng số dương và 0 < p < 1.

Tiếp theo, chúng tôi khảo sát bài toán nhiễu sau đây theo tham số bé £:

utt - ịi s (t)uxx + Xủ t = Fe (x, t, u), 0 < X < 1, 0 < t < T,

ux (0, t) - hou(0, t) = ux (1, t) + hjU(l, t) = 0,u(x,0) = u0(x), ủ(x,0) = u,(x),

F£ (X, t, u) = f (x, t, u) + £f, (x, t, u), pg (t) = p(t) + £Pj (t),

Ul i=0

6

trong đó các hằng số ho, hi, X là cố định và các hàm số Uo, Ui, p, p,, f, fj là cốđịnh thỏa các giả thiết thích hợp Luận văn sẽ nghiên cứu khai triển tiệm cậncủa nghiệm yếu của bài toán nhiễu (Pe) theo tham số bé 8, tức là ta có thể xấp

xỉ nghiệm u bởi một đa thức theo 8

với tham số 8 đủ bé, hằng số CT độc lập với tham số 8

Luận văn được trình bày theo các chương sau đây:

Phần mở đầu: tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua

các kết quả đã có trước đó, đồng thòi nêu bố cục của luận văn

Chương 1: nhằm giới thiệu một số kết quả chuẩn bị, các kí hiệu và các

không gian hàm thông dụng, một số kết quả về phép nhúng compact

Chương 2: chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu

của bài toán (0.1) - (0.3)

Chương 3: chúng tôi nghiên cứu thuật giải lặp cấp hai và sự hội tụ của

nó

Chương 4: chúng tôi nghiên cứu sự khai triển tiệm cận của nghiệm yếu

của bài toán nhiễu (P£) theo một tham số bé 8

Chương 5: chúng tôi xét một bài toán cụ thể để minh họa phương pháp

tìm nghiệm của bài toán trên

Tiếp theo là phần kết luận của luận văn và sau cùng là danh mục các tàiliệu tham khảo

Chương 1: MỘT SỐ CÔNG cụ CHUẨN BỊ

1.1 Các kí hiệu về không gian hàm

Chúng ta bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng và đê chotiện lợi, ta kí hiệu:

Ta cũng có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact.

Bổ đề 1.1 ( Bổ đề về tính compact của Lions) Với giả thiết (1.1), (1.2)

và nếu 1 < p < CXD, i = 0,1 thì phép nhúng W(0,T) wLPo(0,T;X) là compact.

Chứng minh bổ đề 1.1 có thể tìm thấy trong [Lions[6], trang 57]

Bổ đề 1.2 (Bổ đề sau đây liên quan đến sự hội tụ yếu trong Lq(Q)) Cho

Q là tập mở và bị chặn trong RN và Gm,G e Lq(Q), 1 < q < oo sao cho

|G q < c, trong đó c là hằng so đôc lâp với m và —> G a.e trong Q.

II IIL, (Ụ)

Khi đó G m —> G a.e trong ư (Q) yếu.

Bổ đề 1.3 ( Bổ đề Gronwall) Cho f ,g : [t0,T0] —> R là các hàm liên tục với g là hàm không giảm và có c > 0 sao cho

tf(t)<g(t) + cJf(s)ds,Vte[t0,T„],

thì

f (t) < g(t).exp{c(t -10)}, Vt e [t0,T0]

Tiếp theo chúng tôi trình bày một kết quả về lý thuyết phổ được áp

dụng trong nhiều bài toán biên

Trước hết ta thành lập các giả thiết sau:

Cho V và H là hai không gian Hilbert thực thỏa các điều kiện

i) Phép nhúng V H là compact,

(1.4)

4j) Cưỡng bức nếu 3a > 0: a(v,v) > ot||v||2 , Vv e V.

Khi đó ta có kết quả sau:

Bổ đề 1.4 Với giả thiết (1.3), (1.4), (1.5) Khi đó tồn tại một cơ sở trực

chuânt {Wj} của H gồm các hàm riêng Wj tương ứng với giá trị riêng X sao cho

0 < X { < X 2 < < A, , hmA.j = +oo,a(wj,v) = ?ij(wj,v), Vve V, Vj = 1,2

Hơn nữa, dãy cũng là một cơ sở trực chuẩn của V đối với

tích vô hướng a{.,.)

Chứng minh bổ đề này có thể tìm thấy trong [15: p.87, Định lý 7.7] ■

Ta cũng dùng bố đề đánh giá sau đây mà chứng minh không khó khăn

Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT

2.1 Giói thiệu

Trong chương này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và giá trị đầu sau:

utt -p(t)uxx +A,ut =f(x,t,u), X £ £2, 0 < t < T, (2.1)

ux (0, t) - h0u(0, t) = ux (1, t) + h,u(l, t) = 0, (2.2)u(x,0) = u0(x), ut(x,0) = Uj(x), (2.3)trong đó À,, h0, hj là các hằng số không âm cho trước; u0, Up p và số hạngphi tuyến f cũng là hàm cho trước thỏa mãn một số điều kiện mà ta chỉ ra sau.Trong chương này chúng tôi trình bày thuật giải lặp đơn:

2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính

Ta thành lập các giả thiết sau:

(Ai) u() E H2(0,1), uị E H1 (0,1),

(A2) f EC'([0,1]X[0,OO)XIR),

(A3) PEc'(]R+), p(t)>p0>0,

(A4) X, h0, hị > 0, h0 + h, > 0

Trong chương này, ta sử dụng dạng song tuyến tính trên H1 như sau:a(u,v) = Jux(x)vx(x)dx + h0u(0)v(0)

'-BỔ đề 2.2 Với giả thiết (A4), dạng song tuyến tính đối xứng xác định

bởi (2.7) liên tục trên H1 xH1 và cưỡng bức trên H1, tức là:

i) |a(u,v)| < Cjịuịibh> Vu,v e H1,ii) a(v,v)>C0||v||2, VVGH1,

—AW j = Ả j W j trong Q, (2.10)

W j x (0) - \ X V j(0) = W j X Ợ ) + \ X V j ( ì ) =0, (2.11)

w j e C a o ( Q ) (2.12)

Bổ đề 2.3 được chứng minh bằng cách áp dụng bổ đề 1.4, chương 1, với

V = H1, H = L2 và a (.,.) được cho bởi (2.7)

Với M > 0, T > 0, ta đặt

K, = K,(M,T,f) = sup(|f'1 + |f,'| + |f'|)(x,t,u), (2.14)sup trong (2.13), (2.14) được lấy trên miền

0 < X < 1, 0 < t < T, |u| < V2M (2.15)

Chọn số hạng ban đầu Uo G Wị (M,T) Giả sử rằng

Sự tồn tại của um cho bởi định lý sau đây:

Định lý 2.1 Giả sử (Ai) — (A4) đúng Khi đó tồn tại các hằng sổ M, T > 0 sao

cho đoi với mọi U ( ) GW,(M,T) cho trước, tồn tại dãy quy nạp tuyến tính

{uj c W,(M,T) xác định bởi (2.19) - (2.21).

Chứng minh Gồm các bước dưới đây:

Bước 1: Xấp xỉ Galerkin Gọi |w Ị là cơ sở trực chuẩn của H1 nhưtrong bổ đề (2.3) Ịwj = Wj/^~Ị Dùng phương pháp Galerkin để xây dựngnghiệm xấp xỉ u^(t) của (2.19) - (2.20) theo dạng

-hf c ( V ( s ) d s - X J dr J n(s)c^(s)ds, 1 < j < k.

0 0 0

Bổ đề 2.4 Giả sử um_j thỏa (2.18) Khi đó hệ (2.26) - (2.27) có duy

nhất nghiêm u^}(t) trên một khoảng Ịo,T(k)j c [0,T]

15

Chứng minh Bỏ qua chỉ số m, k trong các cách viết, ta viết Cj(t), (Xj, pj

lần lượt thay cho c^(t), aỊV, Ta viết lại (2.29) thành phương trình điểmbất động

Ịcy cr't c;]

(2n)! (2n — 1)! 1

■ 1 (n + 1)! n!

.(2.34)Thật vậy

H"+,[c](t)-H"+,[d](t)|| = H(H"[c])(t)-H(H"[d])(t)[

+ ơn+

1

< ơ n+l

]-Bổ đề 2.4 được chứng minh xong.

Các đánh giá sau đây cho phép ta lấy T^10 = T với mọi m và k

Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm

Đánh giá thứ nhất: Nhân (2.23) với c(k)(t) và lấy tổng theo j ta được:

•(F

m(‘),-Awj) = a(Fnl(t),wj),

•(ú“(t)-Awj) = a(ú«(t),wj),

•a(<k)(t)AWj) = (Au«(t), AWj),

•(u™)(‘),-AwJ) = a(u<

mk>(t),wj)

Như vậy (2.38) được viết lại như sau:

a(ũínk)(t),wj) + |a(t)(Au^k)(t), AWj) + Xa(ủ^(t), Wj)

= a(Fm(t),wj) (2.39)Trong (2.39) thay w bởi ủ^}(t), ta được:

a(ti^k)(t),ủA(t)) + |x(t)(Au^)(t),Aủ^)(t))

+^ú®(t),úLk,(t)} = a(Fm(t),ú<n>(t)),hay

ỈA

2 dt a(ú<k,(t),ú<k,(t)) + n(t)||A<k)(t)<k),

ỈH,(t)|Au<mk»(t)|f+^a(ú®(t),ú<k>(t)) = a(Fm(t),ú<

rn (t)} (2.40)Đăt

(2.41)

(2.42)(2.43)

sLk)(t)=x^k,(t)+Y*>(t)+j||a“(s)fds,

0trong đó

Từ (2.40), tích phân theo t, ta được:

Y«(t) = Y“’(0) + j n,(s)||AuLk,(s)||2ds - 2 X ỳ a(ú<

= S"(0) + I,+I2 + I3+l4 + l5 (2.46)Sau đây ta sẽ lần lượt đánh giá các tích phân trong vế phải của (2.46).Tích phân thứ nhất

= ||ulk|r + ^(0)a(uok.uot) + a(ult.ulk) + ^(0)||Auoir (2.58)

Từ (Ai) và (2.25), (2.26) ta suy ra tồn tại M > 0 ( độc lập k và m) saocho

x'k,(0) + Y'KJ r(k)(0) < với mọi m, k (2.59)Chú ý rằng với giả thiết (A2) ta suy ra từ (2.13), (2.14):

s (k) (t) < M2 exp(-Td2(M))exp(Td2(M)) < M2,

0<t<TOc) (2.64)Vậy ta có thể lấy T = T^k), với mọi m, k Do đó, ta có

Từ (2.65) ta có thể trích ra từ dãy {u^} một dãy con mà ta vẫn ký hiệu

là {u^Ị sao cho

uLk) - um trong L°°(0,T;H2) yếu *, (2.66)

Định lý 2.1 được chứng minh hoàn tất

2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Định lý 2.2 Giả sử (Ai) - (A4) đúng Khi đó tồn tại M > 0 và T > 0

sao cho bài toán (2.1) - ( 2.3) có duy nhất nghiệm yếu u G Wj(M,T).

Mặt khác, dãy quy nạp tuyến tính {um} xác định bởi (2.19), (2.20) hội tụ

mạnh về nghiệm yếu u trong không gian

Wị(T) = ju G L°°(0,T;H‘): ủ G L°°(0,T;L2)} (2.70)

Hơn nữa ta có đánh giá sai so:

IIu — u|| , +||ủ — ủ|| „ 2 < Ck™, với moi m, (2.71)

II m llL^ÍO.TiH 1 ) II m II °°(0,T;L 2 ) T’ ’ v J

Ta chứng minh {um} là dãy Cauchy trong W,(T).

Đặt vm = U m+ 1 - um Khi đó vm thỏa bài toán biến phân sau:

(v„(t),v) + ^t)a(vm(t),v) + A.(vln(t),v} = {Fm+1-Fln,v),Vv€Hl,(2.73)Vm(0)= vm(0) = 0,

Trong (2.73), lấy V = vm, ta được:

(vm (t), vm (t)) + n(t)a(vm (t), vm (t)) + »,(v„ (t),) vm (t)

= (F m+l-F

m.',m(t)},hay

“IMt)f + \M(t)^a(vm(t), vm(t)) + x||v„ (t)f

=(F m+.-F

m.'i'm(t)),hay

IA

2 dt

<(k™ +p “' +k™ +p_2 + + k™)||v 0

+ + V

Qua giới hạn (2.19), (2.20) ta thu được u G W(M,T) thỏa mãn bài toánbiến phân

(ii, v) + Ịi(t)a(u, v) + k(ủ, v) = (f (x,t,u), v),Vv G H1, (2.89)

Fn,(x.‘) = f

m(x>‘.um) = f (X>Um-,) + (um - Um-,)^(X.Um-,)

32

Chương 3: THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI

Trong chương này chúng ta xét bài toán biên và ban đầu (2.1) với giảthiết sau:

d 2 f dí

ỠXỠU

Ỡu+

(x,u),

d 2 f

du : (x,u),sup được lấy trong miền 0 < X < 1, |u| < V2M

ơu

(3.1)

(3.2)

Ta có định lý sau:

Định lý 3.1 Giữ sư (Aj), (A2), (A4), (A5) đúng Khi đó ton tữi M 0

và T>0 sao cho với mỗi u() G Wj(M,T) cho trước, tồn tại dãy quy nạp tuyến tính {um} c W,(M,T) xác định bởi (2.19), (2.20) và (3.2).

Chứng minh: Giống như ở định lý 2.1 ta xấp xỉ um bởi u^(t) định bởi(2.22) - (2.26), trong đó Fm xuất hiện trong (2.19) được thay bởi

Giả sử rằng u _J G Wj (M,T) Khi đó ta có bổ đề sau:

Bổ đề 3.1 Giả sử (Ai), (A3), (At), (A5) đúng Khi đó tồn tại M > 0 và T>0 sao cho hệ (3.4) - (3.6) có duy nhất nghiệm u^}(t) trên một khoảng

1 drf(f(x,um_l)-unl_1^-(x,uII,_,),wj )ds.

Ta thấy ngay s là tập đóng, khác rỗng và toán tử H: X —> X.

Ta chứng minh tồn tại p > 0 và T^k) > 0 sao cho:

i) H biến tập s thành chính nó.

ii) Tồn tại n G N sao cho H" = H(Hn 1): s —> s là ánh xạ co.

Thật vậy, với mọi c = (c,, ,ck) eS, ta có ||cx|| <p và

Bổ đề 3.4 được chứng minh xong.

Các đánh giá sau đây cho phép ta lấy T^k) = T với mọi m và k

Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm

Với S^k)(t) định bởi (2.41), (2.42), (2.43) ta có:

tS«(t) = x^k>(0) + Yí,k,(0) + Jn,(s)a(uLl,(s),uLk,(s)) + ||Au«(s)||2ds

+3(K() + Kị )(1 + 2M )T(II ||2

+3 A;2 , 4(K2+K?)

t/ S(

X^k) (0) + Y™ (0) < —, với mọi m, k

Tiếp theo, ta có thể chọn hằng số T > 0 sao cho

(3.23)

(3.24)

(3.25)

(3.26)

Qua giới hạn khi k —> +oo, ta có định lý 3.1 được chứng minh.

Tiếp theo ta nghiên cứu sự hội tụ bậc hai của dãy {um} về nghiệm yếucủa bài toán (2.1) - (2.3)

Định lý 3.2 Giả sử (Ai), (A3), (A5) đúng Khi đó:

i) Tồn tại M > 0 và T > 0 sao cho bài toán (2.1) - (2.3) có nghiệm yếu

m.vm(t)),Lấy tích phân theo t, ta được:

II vm (t)f + n(t)a( vm (t), vm (t ) ) = f (s)a (vm (s), vm (s))ds

df _ du

(x.u.Xv.ís) ds

d 2 f

du 2 (X’^m)>'ý„,(s))ds

2 n,+p-2_ 1 || ||2 m+p-2 2 m -1ll 112 m

"PPT llVo||w,(T) + — +4 ||Vo||w,<T>'

|K+p-“m||W|(T)<2-(Pị p + PỈ " +- + PỈ )

B2"

< -— , vói mọi m, p e N (3.39)

MT (1 PT )Khi ta chọn T > 0 sao cho pT = 2M|0.T < 1 thì {um} là dãy Cauchy trongW](T) Do đó tồn tại u€Wị (T) sao cho um u mạnh trong Wi(T)

47

Bằng cách lập luận tương tự như trong định lý 2.2, ta chỉ ra được rằng

u G w, (M,T) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (2.1) - (2.3).

Trong (3.39) cho p —*■ +oo, ta có định lý 3.2