Bài toán cauchy cho phương trình helmoltz sửa đổi với dữ liệu ngẫu nhiên rời rạc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Anh Tuấn BÀI TỐN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH HELMHOLTZ SỬA ĐỔI VỚI DỮ LIỆU NGẪU NHIÊN RỜI RẠC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Anh Tuấn BÀI TỐN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH HELMHOLTZ SỬA ĐỔI VỚI DỮ LIỆU NGẪU NHIÊN RỜI RẠC Chun ngành: Mã số: Tốn giải tích 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CÁM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin kính gởi lời cám ơn sâu sắc chân thành tới GS.TS Đặng Đức Trọng – Khoa Tốn – Trường Đại học Tự nhiên TP.Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ bảo thầy thời gian làm luận văn Tôi xin gởi lời cám ơn đến Quý Thầy Cơ Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy tơi suốt khóa học Tơi xin cám ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin, Phịng Khoa Học Cơng Nghệ Phịng Sau Đại Học – Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện cho thời gian học trường Xin gởi lời cám ơn đến quý thầy, cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý phản biện cho tơi hồn thành luận văn cách hoàn chỉnh Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè quan tâm động viên giúp hồn thành luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2015 Trần Anh Tuấn MỤC LỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ KHÔNG GIAN HILBERT KHÔNG GIAN ĐỘ ĐO 13 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT 15 KHÁI NIỆM BÀI TỐN KHƠNG CHỈNH 20 CHƯƠNG 2: KẾT QUẢ SƠ BỘ 21 2.1/ Phương pháp tách biến 21 2.2/ Bài tốn khơng chỉnh 24 2.3/ Một ước lượng hàm u(x; y) 28 CHƯƠNG 3: SAI SỐ TRUNG BÌNH BÌNH PHƯƠNG 32 CHƯƠNG 4: SAI SỐ TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN BÌNH PHƯƠNG 41 4.1/ Kết hội tụ tổng quát 41 4.2/ Một cận nhỏ 43 CHƯƠNG 5: ACI CHO HÀM U(X; Y) TRONG MƠ HÌNH I.I.D 48 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 CÁC KÝ HIỆU  Tập số thực  Tập số tự nhiên L2 [ 0;π ] Tập hàm số f đo Lebesgue [ 0;π ] f E(X) Kì vọng biến ngẫu nhiên X Var(X) Phương sai biến ngẫu nhiên X Re{.} Phần thực số phức Im{.} Phần ảo số phức ■ Kết thúc chứng minh [ 0;π ] khả tích MỞ ĐẦU Bài tốn Cauchy cho phương trình loại Helmholtz sửa đổi thường xuyên xuất có nhiều ứng dụng khác lĩnh vực khoa học kỹ thuật như: vật lý, y học, xây dựng… Trong luận văn này, khảo sát tốn Cauchy cho phương trình loại Helmholtz sửa đổi Phương trình sóng ∂ 2u ∂ 2u ∂u + + ρ + µ 2u = ∂x ∂y ∂y gọi phương trình loại Helmholtz, với hàm u = u(x, y) biên độ sóng điểm (x, y) μ số sóng µ số phức phương tiện truyền sóng hấp thụ lượng (ví dụ phương tiện truyền sóng âm) Trong trường hợp Re(μ) = 0, phương trình gọi phương trình Helmholtz sửa đổi Trong thực tế, μ = ik ( k ∈  ), ta có ∂ 2u ∂ 2u ∂u ρ + = + k u, ∂x ∂ ∂ ( x,  ) ∈Ω ⊂  (1) Theo nghĩa Hadamard, toán cho chỉnh nghiệm tồn ổn định Nếu khơng, tốn gọi tốn khơng chỉnh Đối với phương trình loại Helmholtz sửa đổi, điều kiện biên đưa tồn biên tốn chỉnh Tuy nhiên nhiều tốn, đo trường sóng phần bề mặt xung quanh mơi trường Điều cho ta tốn khơng chỉnh Trong luận văn này, ta tìm Ω hiểu toán miền đơn giản nhất= ( 0;π ) × ( 0;b ) Chúng ta giả sử phần biên miền khơng truyền sóng, tức u= u= , u y ( x;0 ) = , ≤ x ≤ π , ≤ y ≤ b x ( 0; y ) x (π ; y ) (2) Trong vật lý, điều kiện nêu xác định nhiều trường sóng nên người ta phải cho thêm u= ( x;0 ) f ( x), 0≤x ≤π (3) Bài toán (1) (3) gọi tốn Cauchy cho phương trình Helmholtz sửa đổi Trong trường hợp tất định tốn khơng chỉnh Như ta biết, số đo ln ln có sai số Trong thực tế, đo hàm f ( x) điểm cố định ≤ x1 < < xn ≤ π , sau có tập hợp giá trị τ , ,τ n với τ j ≈ f ( x j ) Các điểm x j , j = 1, n gọi điểm thiết kế (không ngẫu nhiên) Trong luận văn này, chọn xj = π ( j − 1) 2n với j = 1, n Do phép đo thực tế ln có sai số nên ta có τ j =f ( x j ) + ε j , j= 1, n (4) Như thường giả sử thống kê, sai số chưa biết ε j ; j = 1, n độc lập với Những sai số xuất nhiều nguyên nhân dụng cụ đo môi trường Nếu dụng cụ đo biết sai số bị chặn đo, tức ε j ≤ ε ; j = 1, n Việc ước lượng cho mơ hình gần tương tự trường hợp tất định Do đó, khơng nghiên cứu mơ hình Nếu sai số đến từ môi trường nhiệt độ, độ ẩm,…, độ lớn sai số khơng bị chặn số ε Khi đó, tốn trở nên phức tạp Do đó, giới hạn mơ hình mà phương sai sai số bị chặn, tức σ 12 ≤ Var ( ε j ) ≤ σ 22 ; j = 1, n gọi mơ hình phương sai bị chặn Trong trường hợp này, sai số có phương sai khơng giống Cuối cùng, giả sử biến ngẫu nhiên ε j ; j = 1, n có phân phối với trung bình 0, có mơ hình i.i.d (independent and identically distributed: độc lập phân phối) Luận văn trình bày dựa báo Nonparametric regression in a statistical modified Helmholtz equation using the Fourier spectral regularization (2014) Đặng Đức Trọng, Tô Đức Khánh, Nguyễn Huy Tuấn Nguyễn Đăng Minh (Statistics: A Journal of Theoretical and Applied Statistics) Chúng ta xem xét hệ (1), (2), (4) Như trình bày chương 2, tốn đặt tốn khơng chỉnh Chúng ta giải hai vấn đề Vấn đề thứ tìm cách xây dựng xác phương pháp giải từ liệu vào Thứ hai tìm khoảng tin cậy tiệm cận (ACI) cho nghiệm Mục đích luận văn thiết lập lớp ước lượng cho hàm u(.,y) cho y (0, b] từ {(x j , τ j ): j = 1, n } Bằng phương pháp tách biến, viết f = Kθ, với θ = u(·, b) hàm L2[0, π] không gian hàm bình phương khả tích [0, π ], K tốn tử tuyến tính từ L2[0, π] vào L2[0, π] Do đó, mơ hình trở thành τ j Kθ ( x j ) + ε j = (5) Hơn nữa, biết L2[0, π] lớp hàm phi tham số; đó, mơ hình (5) (hoặc (4)) tốn hồi qui phi tham số Mair Ruymgaart phát triển xấp xỉ hàm h từ g = Kh với hội tụ tổng quát Trong báo ta giả sử q = K*g ước lượng không chệch ước lượng q (n) Từ ước lượng q (n) , Mair Ruymgaart thành lập lớp tổng quát phép chỉnh hoá Để chứng minh hội tụ chỉnh hoá, tác giả sử dụng tính chất khơng chệch q (n) Kết tổng quát áp dụng cho tốn tương tự phương trình (5) Trong thực tế, tác giả thay điểm thiết kế xác định x j ( j = 1, n ) biến ngẫu nhiên Z j ( j = 1, n ) biến ngẫu nhiên độc lập với phân bố đồng khoảng thời gian thích hợp Họ coi mơ hình Y j = (Kh)(Z j ) + E j Với E j biến ngẫu nhiên độc lập có trung bình Các điểm thiết kế lựa chọn ngẫu nhiên để xây dựng ước lượng q (n) Nhưng trường hợp điểm thiết kế xác định mơ hình phương sai bị chặn, không dễ xây dựng ước lượng q (n) Do đó, khơng thể áp dụng trực tiếp kết tổng quát cho toán Do đó, ta phải có ước lượng khác trường hợp Trong chương luận văn này, sử dụng phương pháp hồi quy phi tham số lượng giác để cos ( px = xây dựng ước lượng tổ hợp tuyến tính Φ= ) , p 0, M p ( x) Số M thường gọi tham số chỉnh hố (hay số sóng) Phương pháp biểu diễn hàm Kθ khai triển Fourier cosin Chương cung cấp ước lượng điểm cho sai số trung bình bình phương (MSE) Chúng ta thiết lập điều kiện cần đủ tham số chỉnh hoá M để có hội tụ MSE Các kết tương tự để ước tính sai số trung bình bình phương tích phân (MISE) tốc độ hội tụ minimax trình bày chương Phương pháp áp dụng cho tốn nhiều chiều, ví dụ tốn khối lập phương Trong chương 5, tìm ACI cho cách giải toán mơ hình i.i.d Chúng ta xem xét hai mơ hình liệu mơ hình phương sai bị chặn mơ hình biến ngẫu nhiên độc lập (i.i.d.) Các ước lượng lượng giác hồi quy phi tham số áp dụng để giải vấn đề Sự hội tụ với tốc độ tối ưu 43 Định lý 4.4: Nếu M n ∈  thoả mãn < M n < n lim M n = ∞ Thì ta có n→∞ ( ) lim MISE u n ,M n ( ; y ) = limV n ,M n ( y ) = n→∞ n→∞ Hơn nữa, βn =βn ( y ) thoả mãn V n ,M Ngược lại, < c < k +1 n → ∞ Giả sử M n ≤ n ( y ) ≤ βn Mn ≤ 4nβn ln y πσ12 ε n > thoả mãn ε n → n ε n → ∞ ( ) cln nε n ta có lim MISE u n ,M n ( ; y ) = n→∞ y 4.2/ Một cận nhỏ Trong phần này, ta đưa chặn cho MISE Mệnh đề 4.5: Với a o số dương, với j ∈  ,w j :  →  hàm số +∞ dương thoả mãn: +∞ I ( w ) : ∫ ∫ w ( s ) ds = = j o j −∞ −∞ w '2j ( s ) w j (s ) ds < a Cho j = 1,n , giả sử nhiễu ε j có hàm mật độ w j thoả mãn σ12 ≤ Var ( ε j ) ≤ σ22 { } Đặt G = u= u ( ε1 ; ε ; ; ε n ; y ) ∈ L2 [0; π] : E u < ∞ sup E u − u ( ;β ) ≥ O ( ln −2 α n ) Thì inf ( 27 ) u∈G u ( ;β )∈Cα ,β  2( y −β ) sup E u − u ( ;β ) ≥ O  e u∈G u ( ;β )∈Aα ,β ( y )  inf { M n ( y )+ k 2 M ∈} : e ( ) với < y < b M n ( y ) = Chứng minh y −b M +k −2 α M n ( y )  ( 28 )  } M −2 α ≥ V n ,M 44 y  ρ + 4m + 4k  cosh  2  Xét < y < b Cho m ∈  , ta đặt λ m =b m −α b  ρ + 4m + 4k  cosh  2  Ta có: A αm,β ( y )=: {g= g m φm : g m ≤ λ m } ⊂ A α ,β ( y ) = Nếu u ( x; y= ) g mφm ( x ) theo bổ đề 2.1 ta u ( x;0 ) h mg mφm ( x ) với hm = e − ρy y  ρ + 4m + 4k  cosh  2  Vì ta có= τ j h m g m φm ( x j ) + ε j= , j 1,n Vì ε j có hàm mật độ w j nên hàm mật độ Q j biến ngẫu nhiên τ j ( ) Q=j w j τ j − h m g m ( y ) φm ( x j ) Do đó, điều kiện hàm phân phối xác suất vectơ ngẫu nhiên D = ( τ1; τ2 ; ; τn ) cho ta g(y) = ( g m ) n Q ( D g ( y ) ) = ∏ Q j j=1 n n ∂Q ∂     ln Q D g y ln Q = ( ) ) ∑ j ln Q ( D g ( y ) ) = ∑ j Ta có  ( ∂g p j=1 j=1 Q j ∂g p Gọi ψ đạo hàm hàm mật độ xác suất  , gần giá trị khoảng ψ '2 ( t ) dt < ∞ I0 ( ψ ) ∫ [ −1;1] , ψ ( −1) =ψ (1) =0 = ψ t ( ) −1 1  t  Đặt ψ m ( t ) = ψ  , t ∈ ψ λm  λm  Ta có I0 ( ψ ) =λ m2 I0 ( ψ m ) Thông tin Fisher I ( g m ) thoả mãn 2 n  n ∂Q j   ∂Q j  I ( g m ) E D ∑ =   ≤ n ∑ E D  Q j ∂g m  Q g ∂ = j  j = j m   45 Mặt khác, ∂Q j ∂g m ( ) = h m φm ( x j ) w 'j τ j − h mg mφm ( x j ) Vì thế,  ∂Q j  = ED  I0 ( w j ) h 2m φ2m ( x j ) ≤ a h 2m φ2m ( x j )   Q ∂g   j m n 2 2 2   na h φ x = a 0n h m Suy E gm ( I ( g m ) ) ≤ n ∑ E gm a h m φm ( x j )= ( ) ∑ m m j  π =j =j n Đặt U m = [ −λ m ; λ m ] Vì hàm ψ m hàm phân phối xác suất g m U = U m , nên ta E u − u (., y ) ≥ sup u (.,y )∈A αm,β ( y ) ∫ u − u (., y ) y m ( g m ) dg m Um ≥ ∫ gm − g m y m ( g m ) dg m Um Trong g = m  φ u; m Vì thế, ta có gm − g m ψ m ( g m ) dg m= E gm gm − g m ∫ 2 Um Hơn nữa, bất đẳng thức Van Trees (xem [26]) cho ta E gm gm − g m λ 2m ≥ ≥ E ( I ( g m ) ) + I0 ( ψ m ) K o ( n h m2 λ 2m + 1) Ở K max {a ;I0 ( ψ )} = b 2( y − b ) Vì h m ≤ 2e− ym λ 2m ≥ m −2 α e m2 + k nên ta có bm −2 α e ( )  − u (., y ) ≥ inf sup E u u∈G u (.,y )∈A m ( y ) K n h bm −2 α e 2( y−b ) α ,b m y−b m2 + k m2 + k bm −2 α e ( ) ≥ K n 2e −2ymbm −2 α e 2( y−b ) y−b Bất đẳng thức cho ta +4 m2 + k m2 + k +4 46 b y−b bm −2 α e ( ) K ( b + 1) E u − u (., y ) ≥ inf  sup u∈G u (.,y )∈A m ( y ) α ,b ( ≥ O m −2 α e 2( y − b )m m2 + k ) Cho y = b, ta chọn m = O(lnn) để E u − u (., y ) ≥ O ( ln −2 α n ) inf  sup u∈G u (.,y )∈A m ( y ) α ,β Cho y ∈ (0; b), ta chọn m = M n ( y ) , ta  2( y−b ) E u − u (., y ) ≥ O  e u∈G u (.,y )∈A m ( y )  α ,b inf  sup M n ( y )+ k −2 α Mn ( y )   ■ Bây giờ, định lý sau, ta trình bày cận đạt với dạng cụ thể tham số chỉnh hoá M n ( y ) , y ∈ ( 0;b ] Đặt   ln −2 α n   Mn ( b) =  ln   ln ln n ( )  2b k +   Định lý 4.6: Với u ( ;b ) ∈ Cα ,b ta có ( ) MISE u n ,M n (b ) ( ;b ) ≤ O ( ln −2 α n ) ( )  y −b Với < y < b MISE u n ,M n ( y ) ( ; y ) ≤ O  e ( )  M n ( y )+ k −2 α Mn ( y )   Chứng minh Ta ước lượng trực tiếp trường hợp y = b Cho < y < b ta có 2( y − b ) M n ( y )+ k 2 e −2 α Mn ( y ) ≥ Vn,M ( y) (29) n 2( y − b ) M n ( y )+ k 2 Và e M −2 α n ( y) ≥ e Vì thế, định lý 4.3 cho ta 2( y − b ) ( M ( y)+1) +k n ( M ( y ) + 1) n −2 α ( 30 ) 47 ( )  2( y−b ) MISE u n,M n ( y ) (.; y ) ≤ O  e  M n ( y )+ k 2 −2 α Mn ( y )   ■ Nhận xét 4: Ước lượng trực tiếp từ phương trình (29) (30), ta tìm c , c > thoả mãn ln n ln n ≤ Mn ( y) ≤ ; 0< y M n =   k2 + δ y k +   (34) 49 Số δ có cách điều chỉnh biến tính tốn Sự thay đổi số δ có tác dụng lớn vào việc thay đổi sai số ước lượng Để đơn giản cho toán ta giả sử ε1 , ε , , ε n biến ngẫu nhiên độc lập Varε j =σ2 Với giả sử thế, ta có Bổ đề 5.1: Nếu u n ,M n ( y) ( x; y ) định nghĩa 2.7 Var ( u n ,M ( y ) ( x; y ) ) n phương trình (19), u n,M n ( y ) ( x; y ) − Eu n,M n ( y ) ( x; y ) ( Var u n,M n ( y ) ( x; y ) ) − N ( 0;1) n → ∞ (35) Chứng minh Từ phương trình (19) ta có 2 n  M n − r2y  sp y 2   Var u n,M n ( y ) ( x; y ) e cosh 4p 4k x x = r + + φ φ ( ) ( )   ∑ ∑   p j p n =j = 2  p  ( ) Ta kiểm tra điều kiện Lindeberg Ln = sp max 1≤ j≤ n n Mn ∑e p =0 − ry y  cosh  r + 4p + 4k  φp ( x j ) φp ( x ) 2  Var u n,M ( y ) ( x; y ) ( n ) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có Ln ≤ Mn s y  ρ + 4p + 4k  φp2 ( x ) M n ∑ cosh  n 2  p =0 s n y  ρ + 4p + 4k  φ2p ( x ) cosh  ∑ 2  p =0 Mn ≤ Mn n → n → ∞ ■ Bổ đề 5.2: Nếu < y < 2b + δ k2 + lim n→∞ ( Var ( u ) =0 ( ) ( x; y ) ) Bias u n ,M n ( y ) ( x; y ) n ,M n y (36) 50 Chứng minh s cosh ( yk ) nên ta có biểu diễn phương trình Var u n,M n ( y ) ( x; y ) ≥ n ( Vì ) (18) (19) ( Var ( u ) ( ) ( x; y ) ) Bias u n,M n ( y ) ( x; y ) n,M n y γ n ≤ n0 + s ry Mn − n y  r + 4p + 4k  γ np e cosh  ∑ y  2  spr + 4k  p=0 cosh  2  y  r + 4p + 4k  cosh  ∞ n 2 c b + ∑ p( ) y b 2 = 2  p M n +1 spr + 4k  r + 4p + 4k  cosh  cosh  2  2  = I1n + I2n + I3n Số hạng I 1n không đáng kể Bây ta ước lượng số hạng thứ hai I 2n ≤ − ρy − ρy Mn 2 nb e y  cosh  ρ + 4p + 4k  ∑ y  2  sp cosh  ρ + 4k  sinh ( bn ) p=0 2  2 nb e e( n ) ≤ y 2  y k + sp cosh  ρ + 4k  sinh ( bn ) 2  y M +1 k +1 Vì thế, ta có chặn số hạng thứ 2 2be y k +1 nδ I 2n ≤ sinh ( bn ) y 2  s π cosh  ρ + 4k  y k + 2  Từ ta có I 2n khơng đáng kể Cuối ta ước lượng số hạng I 3n Ta có 51 I3n ≤ ∞ nb y−b 2p −α e( ) ∑ y  s cosh  ρ + 4k =p M n +1 2  p2 + k 2 nb e( )( n ≤ M αn y 2  s cosh  ρ + 4k  2  y − b M +1) −α y−b +  log n  2be( ) δy ≤   n y 2  δy k +  s cosh  ρ + 4k   2  Với < y < 2b + δ k2 + , ta có y−b k +1 y−b + < Vì thế, lim I3n = n →∞ δy k + ■ Từ bổ đề cuối, ta có ACI tốt cho u(x; y) < y < 2b + δ k +1 Nếu điều kiện khơng thoả mãn, ACI phải lớn Trong thực tế có Định lý 5.3: Với < p < 1; α ≥ 0, β > (i) Nếu < y < 2b + δ k2 + ACI cấp (1 – p) u(x; y) C1,p ( x; y ) = [ L1n ;U 1n ] với L1n u n,M n ( x; y ) − z = 1− ( p U 1n u n,M n ( x; y ) + z σ Sn ,= 1− ) p σ Sn , ( ) 2 p Mn n 2 2   n,M ( x;0 ) , = S cosh y p + k φ = x , s τ − u ( ) n ∑ ∑ j p n p 0= n −1 j n z p 1− gọi điểm phân vị − p phân phối chuẩn 52 (ii) Nếu b + δ k2 + ≤ y ≤ b ta có ACI cấp (1 - p) u(x; y) C2 ,p ( x; y ) = [ L2n ;U 2n ] với   L2n u n,M n ( x; y ) −  z p + Vn  σ Sn , = 1−     U 2n u n,M n ( x; y ) +  z p + Vn  σ Sn , =  1−  −α +  ln n  2βe y −β δy Vn = n   y 2  δy k +  σ coσh  ρ + 4k   2  y −β k +1 Chứng minh Trong trường hợp (i), C1,p ( x; y ) suy từ kết bổ đề 5.2 + y−b δy + ≥ nên số hạng n Trong trường hợp (ii), δy k + 1 y−b k +1 → / n →∞ Vì số hạng I 3n → / Như ta phải chọn ACI lớn cấp (1 – p) cho u(x; y) ■ 53 KẾT LUẬN Trong luận văn, thiết lập họ ước lượng gần cho nghiệm u(x; y) toán (1), (2) – (4) Những ước lượng đa thức cosin có bậc M n hệ số xây dựng từ liệu D = ( τ ; τ2 ;… τn ) Chúng ta đưa số điều kiện cần đủ tham số hồi quy M n để ước lượng hội tụ Chúng ta phát biểu chứng minh kết để MISE hội tụ chưa có hội tụ MSE (hội tụ điểm) 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh Duffy D.G (2001), Green’s functions with applications, FL: Chapman & Hall/CRC, Boca Raton Kirsch A (1996), An introduction to the mathematical theory of inverse problems, New York: Springer Qian A., Xiong X.T., Wu Y.J (2010), On a quasi-reversibility regularization method for a Cauchy problem of the Helmholtz equation, J Comput Appl Math Kropinski M.C.A., Quaife B.D (2011), “Fast integral equation methods for the modified Helmholtz equation”, J Comput Phys., 230(2):425–434 Tuan N.H., Trong D.D., Quan P.H (2010), “A note on a Cauchy problem for the Laplace equation: regularization and error estimates”, Appl Math Comput., 217(7):2913–2922 Shahmurov R (2010), “Solution of the Dirichlet and Neumann problems for a modified Helmholtz equation in Besov spaces on an annulus”, J Differential Equations, 249(3):526–550 Strack O.D.L (2009), “The generating analytic element approach with application to the modified Helmholtz equation”, J Engrg 55 Math.,64(2):163–191 Yuan D., Cheng X (2012), “Method of fundamental solutions with an optimal regularization technique for the Cauchy problem of the modified Helmholtz equation”, J Comput Anal., 14(1):54–66 Qian Z., Fu C.L., Li Z.P (2008), “Two regularization methods for a Cauchy problem for the Laplace equation”, J Math Anal., 338:479–489 10 Kozlov V.A., Maz’ya V.G., Fomin A.V (1991), “An iterative method for solving the Cauchy problem for elliptic equations”, Zhurnal Vychislitel’noi Matematikii Matematicheskoi Fiziki, 31:64–74 English translation: U.S.S.R., Comput Math Math Phys., 31:45–52 11 Marin L., Elliott L., Heggs P.J., Ingham D.B., Lesnic D., Wen X (2003), “An alternating iterative algorithm for the Cauchy problem associated to the Helmholtz equation”, Comput Meth Appl Mech Engrg., 192:709–722 12 Marin L., Elliott L., Heggs P.J., Ingham D.B., Lesnic D., Wen X (2003), “Conjugate gradient-boundary element solution to the Cauchy for Helmholtz-type equations”, Comput Mech., 31:367–377 13 Marin L., Elliott L., Heggs P.J., Ingham D.B., Lesnic D., Wen X (2004) “BEM solution for the Cauchy problem associated with Helmholtz-type equations by the Landweber method”, Eng Anal Bound Elem., 28:1025–1034 56 14 Cavalier L (2008), “Nonparametric statistical inverse problems” Inverse Problems, 24(3):034004 15 Cavalier L., Tsybakov A (2002), “Sharp adaptation for inverse problems with random noise”; Probab Theory Related Fields, 123(3):323–354 16 Mair B., Ruymgaart F.H (1996), “Statistical estimation in Hilbert scale”, SIAM J Appl Math., 56:1424–1444 17 Wahba G (1977), “Practical approximate solutions to linear operator equations when the data are noisy”, SIAM J Numer Anal., 14:651–667 18 Golubev G., Khasminskii R (2001), “A statistical approach to the Cauchy problem for the Laplace equation”, Lecture Notes Monogr Ser., 36:419–433 19 Eubank R.L (1999), Nonparametric regression and spline smoothing 2nd ed, New York: Dekker 20 Bissantz N., Holzmann H (2008), “Statistical inference for inverse Problems”, Inverse Problems, 24(3):034009 21 Bissantz N., Holzmann H (2013), “Asymptotics for spectral regularization estimators in statistical inverse problems”, Comput Statist., 28(2):435–453 22 Tsybakov A.B (2009), Introduction to nonparametric estimate New York: Springer 23 Alquier P., Gautier E., Stoltz G (2011), Inverse problems and high- 57 dimensional estimation, Berlin Heidelberg: Springer 24 Marsaglia G., Tsang W.W (2000), “The ziggurat method for generating random variables”, J Statist Softw., 5(8):1–7 25 Pettofrezzo A.J, Byrkit D.R (1970), Elements of number theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall 26 Van Rooij A.C.M, Ruymgaart F.H (1996), “Asymptotic minimax rates for abstract linear estimators”, J Statist Plann Inference, 3(53):389–402 27 Shao J (2008), Mathematical statistics 2nd ed, New York: Springer 28 Dang Duc Trong, To Duc Khanh, Nguyen Huy Tuan, Nguyen Dang Minh (2014), Nonparametric regression in a statistical modified Helmholtz equation using the Fourier spectral regularization Statistics: A Journal of Theoretical and Applied Statistics, 10.1080/02331888.2014.946929 Tiếng Việt 29 Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng (2013), Lý thuyết độ đo xác suất, Trung tâm khoa học tốn học, TP.HCM 30 Nguyễn Chí Long (2008), Xác suất thống kê trình ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia TP.HCM, TP.HCM 31 Đậu Thế Cấp (2012), Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục, TP.HCM ... ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Anh Tuấn BÀI TỐN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH HELMHOLTZ SỬA ĐỔI VỚI DỮ LIỆU NGẪU NHIÊN RỜI RẠC Chuyên ngành: Mã số: Toán giải tích 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN... luận văn này, khảo sát tốn Cauchy cho phương trình loại Helmholtz sửa đổi Phương trình sóng ∂ 2u ∂ 2u ∂u + + ρ + µ 2u = ∂x ∂y ∂y gọi phương trình loại Helmholtz, với hàm u = u(x, y) biên độ sóng... xác định nhiều trường sóng nên người ta phải cho thêm u= ( x;0 ) f ( x), 0≤x ≤π (3) Bài toán (1) (3) gọi toán Cauchy cho phương trình Helmholtz sửa đổi Trong trường hợp tất định tốn khơng chỉnh