Luận án tiến sĩ một số bài toán biên và bài toán cauchy cho các phương trình elliptic và parabolic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRẦN THANH BÌNH MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN VÀ BÀI TOÁN CAUCHY CHO CÁC PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PARABOLIC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC TP HỒ CHÍ MINH - NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRẦN THANH BÌNH MỘT SỐ BÀI TỐN BIÊN VÀ BÀI TỐN CAUCHY CHO CÁC PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PARABOLIC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số chun ngành: 62 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Bích Huy PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn TP HỒ CHÍ MINH - THÁNG NĂM 2017 LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Bích Huy PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn Tơi xin cam đoan kết trình bày luận án chưa cơng bố trước Tác giả MỤC LỤC Lời cam đoan Mục lục Một số ký hiệu dùng luận án Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 11 1.1 Một số không gian hàm 11 1.2 Tốn tử tuyến tính chuỗi Fourier 11 1.3 Bài toán chỉnh lý thuyết chỉnh hóa Tikhonov 13 Chương Bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình parabolic 15 2.1 Bài toán xác định hàm nguồn với hệ số phụ thuộc thời gian không bị nhiễu 15 2.1.1 Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov 15 2.1.2 Chỉnh hóa Tikhonov cách chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm 23 2.2 Phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian bị nhiễu 29 2.3 Kết luận Chương 33 Chương Bài toán parabolic ngược thời gian với nguồn Lipschitz địa phương 3.1 34 Kết thứ 35 3.1.1 Chứng minh Định lí 3.1.1 37 3.1.2 Chứng minh Định lí 3.1.2 43 3.2 Kết thứ hai 54 3.3 Kết luận Chương 62 Chương Bài tốn Cauchy cho phương trình elliptic dạng phi tuyến 63 4.1 Giới thiệu toán 63 4.2 Các kết 4.3 63 4.2.1 Chứng minh Định lí 4.2.1 66 4.2.2 Chứng minh Định lí 4.2.2 72 Kết luận Chương 83 Kết luận chung kiến nghị 84 Danh mục cơng trình nghiên cứu sinh có liên quan đến luận án 85 Tài liệu tham khảo 86 MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN : Tập hợp số thực R
: Tập hợp hàm liên tục [0, 1] nhận giá trị R C [0, 1], R
: Tập hợp hàm liên tục [0, T ] nhận giá trị R C [0, T ] C [0, 1], H
: Tập hợp hàm liên tục [0, 1] nhận giá trị không gian Hilbert H C [0, 1], H
: Tập hợp hàm khả vi liên tục [0, 1] nhận giá trị không gian Hilbert H h· , ·i : Tích vơ hướng không gian Hilbert k · kH : Chuẩn không gian Hilbert u0
: Đạo hàm hàm u ∈ C [0, 1], H LỜI NĨI ĐẦU Bài tốn Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng hướng nghiên cứu quan trọng tốn học có nhiều ý nghĩa khoa học kỹ thuật Hiện nay, loại toán nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Theo chúng tơi tìm kiếm Mathscinet, có khoảng 10.000 cơng trình chủ đề Số lượng tạp chí cơng bố chủ đề lớn, có nhiều tạp chí có uy tín nhà xuất lớn như: Springer, Elsevier, Taylor Francis Trong luận án này, chúng tơi tập trung trình bày ba chủ đề tốn Cauchy cho phương trình parabolic elliptic Chủ đề 1: Bài tốn Cauchy cho phương trình parabolic Chủ đề 2: Bài tốn ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyến Chủ đề 3: Bài tốn Cauchy cho phương trình elliptic phi tuyến Đối với chủ đề 1, chủ đề chủ đề 3, tốn Cauchy cho phương trình parabolic elliptic có nhiều dạng nghiên cứu khác nhau, chúng tơi tập trung nghiên cứu tính khơng chỉnh loại tốn Bài tốn khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard tốn khơng thỏa ba tính chất: tồn tại, ổn định nghiệm Chúng ta liệt kê số tốn khơng chỉnh nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm sau • Bài tốn xác định hàm nguồn cho phương trình parabolic • Bài tốn ngược thời gian cho phương trình parabolic • Bài tốn giá trị ban đầu cho phương trình elliptic Do chủ đề loại tốn khơng chỉnh cho phương trình parabolic elliptic nhiều nên chọn vài chủ đề để nghiên cứu luận án Chúng ta sơ lược qua lịch sử chủ đề luận án CHỦ ĐỀ Bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình parabolic lơi nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu Luận án khảo sát toán sau 
∂u ∂u ∂   a (t) (x, t) ∈ (0, π) × (0, T ) , −  ∂x = F (x, t),  ∂t ∂x u (0, t) = u (π, t) = 0,     u (x, 0) = 0, (0.1) u (x, T ) = g (x) , x ∈ (0, π) , a(t) > 0, a ∈ C ([0, T ]) , g ∈ L2 (0, π) hàm cho trước Bài tốn xác định hàm nguồn tốn tìm hàm F biết trước liệu a(t) g(x) Bài tốn khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard Một sai số nhỏ liệu (a, g) dẫn đến sai số lớn F Hiện nay, đa số kết khảo sát cho trường hợp F phụ thuộc vào biến không gian (biến x) Các kết F phụ thuộc hai biến có dạng F (x, t) = ϕ(t)f (x) hạn chế Ta lược sơ qua kết khảo sát toán xác định hàm nguồn F (x, t) = F (x) • Năm 2010, Chu Li Fu Fan Yang [43] dùng phương pháp Tikhonov để chỉnh hóa tốn trường hợp F (x, t) = F (x) • Năm 2014, Chu Li Fu Fan Yang [42] dùng phương pháp làm nhuyễn (molification) để chỉnh hóa tốn trường hợp ϕ = • Năm 2014, Chu Li Fu Fan Yang [45] sử dụng phương pháp tựa biên (quasi-boundary value method) để chỉnh hóa tốn CHỦ ĐỀ Chúng tơi xét tốn ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyến, nhằm tìm hàm u : [0, 1] → H thỏa mãn   ut + A(t)u = f (t, u(t)),  u (1) = ϕ, t ∈ (0, 1) , (0.2) đó, A(t) tốn tử tuyến tính, xác định dương cho A−1 compact không gian Hilbert H Hàm f : [0, 1] × H → H hàm nguồn ϕ ∈ H giá trị cuối xác định trước • Với tốn tử A(t) = −4, toán (0.2) trở thành toán ngược cho phương trình truyền nhiệt với hệ số số sau   ut (x, t) − uxx (x, t) = f (x, t, u),  t ∈ [0, 1), (0.3) u(x, 1) = ϕ(x) Bài toán (0.3) khảo sát nhiều gần nhiều tác giả Đặng Đức Trọng, Nguyễn Huy Tuấn, Phạm Hoàng Quân, Đinh Nho Hào, Nguyễn Văn Đức, Phan Thành Nam, Rashidinia, Wang, Qian, • Gần nhất, với trường hợp tốn tử A tốn (0.2) khơng phụ thuộc thời gian, nghĩa A(t) ≡ A f hàm số thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương, toán (0.2) trở thành   ut + Au = f t, u(t)
,  u(1) = ϕ t ∈ (0, 1), (0.4) Bài toán (0.4) tác giả Đặng Đức Trọng Nguyễn Huy Tuấn nghiên cứu báo [35] Trong đó, tác giả dùng phương pháp Quasi-reversibility có điều chỉnh để chỉnh hóa tốn (0.4) • Từ liệt kê trên, toán liên quan đến phương trình parabolic khảo sát nhiều từ trước đến nhiên số lượng cơng trình nghiên cứu trường hợp hàm thỏa điều kiện Lipschitz địa phương hạn chế nên vấn đề mà chúng tơi khảo sát có tính mẻ Hơn nữa, thực tế truyền nhiệt vật phụ thuộc vào nhiều yếu tố có yếu tố quan trọng vật liệu Ngoài ra, vật liệu có hệ số dẫn nhiệt khác vật liệu có biến đổi theo thời gian yếu tố khác hao mịn, oxy hóa, nên hệ số phụ thuộc vào môi trường (không gian) thời gian Mục đích chúng tơi khảo sát tốn nghiên cứu chỉnh hóa tốn ngược cho phương trình parabolic với A(t) = a(t)A biến thiên theo t nguồn f thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương hai trường hợp: ◦ Hàm f thỏa điều kiện Lipschitz địa phương ◦ Hàm f thỏa điều kiện Lipschitz địa phương dạng tổng quát CHỦ ĐỀ Cho T số thực dương, H không gian Hilbert với tích vơ hướng h· , ·i, chuẩn k · k A : D(A) ⊂ H −→ H toán tử tự liên hợp, xác định dương cho A−1 compact H Xét tốn tìm hàm u : [0 , T ] −→ H thỏa mãn    u = Au + f (t, u(t)), t ∈ (0 , T ),   tt u(0) = ϕ, (0.5)     u (0) = g, t ϕ, g hàm cho trước H • Đối với trường hợp tuyến tính khơng nhất, có số kết công bố như: ◦ Năm 2006, tác giả Hans-Jurgen Reinhardt, Houde Han Dinh Nho Hao [15] đưa sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa tốn:    ∆u = f (x, y),    (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1], u(0, y) = γ0 (y), u(1, y) = γ1 (y), y ∈ [0, 1], (0.6)   ∂   u(x, 0) = f2 (x), x ∈ [0, 1]  u(x, 0) = f1 (x), ∂y ◦ Năm 2008, tác giả Zhi Qian, Chu-Li Fu Zhen-Ping Li [21] dùng phương pháp chỉnh hóa bậc để khảo sát tốn tuyến tính khơng sau    u + uyy = f (x, y),   xx < x < π, < y < 1, u(x, 0) = ϕ (x), u (x, 0) = ϕ (x), ≤ x ≤ π, y     u(0, y) = g (y), u(π, y) = g (y), ≤ y ≤ (0.7) ln hv, φp i = η ln v H ε p=1 ε 38 Bổ đề 3.1.2 Với < ε < − e−ηλ1 < t ≤ s ≤ Khi đó, với v ∈ H ta có Gε (t, s) ≤ εt−s L(H) Chứng minh Giả sử v ∈ H , ta có khai triển v = P∞ p=1 hv, φp iφp Rs ∞ X 2λεp Gε (t, s)(v) 2 = e t H Khi aε (τ )dτ hv, φp i p=1 2 ≤ e2 η (ln ε )η(s−t) v H 2 ≤ ε2t−2s v H Kết thúc chứng minh
Bổ đề 3.1.3 Nghiệm vε ∈ C [0, 1]; H phương trình tích phân (3.5) nghiệm toán (3.3) Chứng minh Với ≤ t ≤ 1, ta có phương trình tích phân (3.5) viết dạng khai triển vε (t) = ∞ X
R1 −ηλp − η t aε (τ )dτ ε+e ϕp − ∞ Z X ε+e
−ηλp − η Rs t aε (τ )dτ
fp vε (s), s ds p=1 t p=1 Lấy đạo hàm theo biến t thu gọn, ta nhận vε0 (t) = ∞ X aε (t) ln ε + e
1 −ηλp η ε+e
− η1 −ηλp R1 aε (τ )dτ ϕp t p=1 − + ∞ Z X p=1 t ∞ X p=1 aε (t) ln ε + e
−ηλp f vε (t), t , φp φp
η1 ε+e −ηλp
− η1 Rs t aε (τ )dτ
fp vε (s), s ds 39 vε0 (t) = ∞ X aε (t) ln ε + e−ηλp
η1
vε (t), φp φp + f vε (t), t p=1
= −aε (t)Aε vε (t) + f vε (t), t Ta có thêm vε (1) = ∞ X hϕ, φp iφp = ϕ p=1 Như vậy, vε nghiệm toán (3.3) Kết thúc chứng minh Bổ đề 3.1.4 Với < ε < − e−ηλ1 , ϕ ∈ H , đặt P = ϕ H e(ηkAε kL(H) +L) M thỏa mãn M > K(M ) P > Đặt  N=  M K(M ) − K(M ) M2 + + 2ε−1 K(M ) , h =   −P , N (3.6) đó, [x] phần nguyên số thực x, K(M ) số Lipschitz giả thuyết (H1 ) M Cho ϕi ∈ H, ϕi H ≤ P , ta định nghĩa Ti = − ih, i = 0, 1, , N, 
Bi = v ∈ C [Ti+1 , Ti ]; H , v(Ti ) = ϕi , ZTi Ji v = Gε (t, Ti )(ϕi ) − sup Ti+1 ≤t≤Ti v(t) ≤ M , H

Gε (t, s) f vε (s), s ds t Khi đó, tốn tử Ji có điểm bất động Bi Chứng minh Với v ∈ Bi , ta có Ji v(t) ≤ Gε (t, Ti ) ϕi + H L(H) H ZTi t Gε (t, s)
f v(s), s ds L(H) H 40 Từ Gε (t, s) L(H) ≤ εt−s với Ti − h ≤ t ≤ Ti , dẫn đến   ZTi
Ji v(t) ≤ ε−(Ti −t)  ϕi + f v(s), s ds H H H t Giả thuyết (H2 ) (H3 ) cho ta
f v(s), s ≤ f (0, s) + K(M ) v(s) − ≤ M K(M ) H H H (3.7) Do đó, với Ti+1 ≤ t ≤ Ti , ta có
Ji v(t) ≤ ε−(Ti −t) ϕi + M K(M )h H H
−h ≤ε (3.8) P + M K(M )h Từ (3.6), ta có N ≥ 2ε−1 K(M ), N≥ M K(M ) M 2− K(M ) − P Dẫn đến h= ε ≤ , N 2K(M ) 1 M 2− K(M ) − P h= ≤ N M K(M ) −ε Nghĩa là, ε−h ≤ ε 2K(M ) Khi đó, ta nhận xét ε−h P + M K(M )h ≤ ε
−ε 2K(M ) −ε ≤ ε 2K(M ) M 2− K(M ) − P P + M K(M ) M K(M ) M ! (3.9) K(M ) Với < ε < − e−ηλ1 < 1, ta có ε −ε ≤ e 2e < Kết hợp (3.8), (3.9) (3.10), ta thu Ji v(t) H ≤ M Như vậy, Ji (Bi ) ⊂ Bi (3.10) 41 Mặt khác, với v1 , v2 ∈ Bi , Ti+1 ≤ t ≤ Ti , ta có Ji v1 (t) − Ji v2 (t) ≤ H ZTi t ZTi ≤ Gε (t, s)

f v1 (s), s − f v2 (s), s ds L(H) H ε−h K(M ) v1 (s) − v2 (s) H ds t ≤ hε−h K(M ) sup Ti+1 ≤t≤Ti v1 (s) − v2 (s) H ≤ ε ε−h K(M ) sup v1 (s) − v2 (s) H 2K(M ) Ti+1 ≤t≤Ti ≤ ε1−h ≤ sup Ti+1 ≤t≤Ti v1 (s) − v2 (s) H sup v1 (s) − v2 (s) H Ti+1 ≤t≤Ti Vì thế, Ji ánh xạ co Bi Áp dụng định lý điểm bất động Banach, ta kết luận tồn v ∈ Bi cho Ji v(t) = v(t) Kết thúc chứng minh Bổ đề 3.1.5 Giả sử f thỏa mãn điều kiện (H2 ), (H3 ) Cho ≤ τ ≤
uε ∈ C [τ, 1]; H thỏa mãn   u0 (t) + aε (t)Aε uε (t) = f uε (t), t
, τ < t < 1, ε (3.11)  u (1) = ϕ ε Khi đó, với τ ≤ t ≤ 1, ta có uε (t) ≤ ϕ e(ηkAε kL(H) +L) H H Chứng minh Với τ ≤ s ≤ 1, lấy tích vơ hướng hai vế phương trình (3.11) với uε (s), ta u0ε (s), uε (s) + aε (s)Aε uε (s), uε (s) = f uε (s), s , uε (s) ,
42 hay
d uε (s) 2 + aε (s)Aε uε (s), uε (s) = f uε (s), s , uε (s) ≥ −L uε (s) 2 H H ds Lấy tích phân theo biến s với cận từ t đến 1, cho ta uε (1) 2 − uε (t) 2 + H H 2 Z1 Z1 aε (s)Aε uε (s), uε (s) ds ≥ −L t uε (s) 2 ds H t Vì thế, ta có uε (t) 2 ≤ ϕ 2 + H H 2 Z1   aε (s)Aε uε (s), uε (s) + L uε (s) H ds, t hay   Z1 2 uε (t) ≤ ϕ + η Aε uε (s) 2 ds + L H H L(H) H t Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta thu uε (t) 2 ≤ ϕ 2 e2(1−t)(ηkAε kL(H) +L) ≤ ϕ 2 e2(ηkAε kL(H) +L) H H H Kết thúc chứng minh Chứng minh Định lí 3.1.1 Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh phương trình v (t) + aε (t)Aε v(t) = f v(t), t ,
(3.12) với điều kiện v(1) = ϕ có nghiệm [Ti , 1] với i = 0, 1, 2, , N Trong
trường hợp, i = ta đặt ϕ0 = ϕ Từ Bổ đề 3.1.4, ta tìm u0 ∈ C [T1 , 1]; H cho J0 u0 = u0 Sử dụng Bổ đề 3.1.3, ta thử lại u0 thỏa mãn phương trình (3.12) [T1 , 1] 43 Từ (3.7) Bổ đề 3.1.1, ta có
u0 (t) ≤ sup aε (t)