Luận án tiến sĩ về một số phương trình elliptic và hyperbolic phi tuyến suy biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— DƯƠNG TRỌNG LUYỆN VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ HYPERBOLIC PHI TUYẾN SUY BIẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— DƯƠNG TRỌNG LUYỆN VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ HYPERBOLIC PHI TUYẾN SUY BIẾN Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62.46.01.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Minh Trí HÀ NỘI - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết làm hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Minh Trí Các kết luận án viết chung với thầy hướng dẫn trí thầy hướng dẫn đưa vào luận án Các kết luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình tác giả khác Nghiên cứu sinh: Dương Trọng Luyện LỜI CẢM ƠN Luận án thực hồn thành Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Minh Trí Thầy dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học tác giả học viên cao học Ngoài dẫn mặt khoa học động viên lòng tin tưởng thầy dành cho tác giả động lực giúp tác giả tin tưởng say mê nghiên cứu khoa học Với lòng tri ân sâu sắc, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đối vời thầy Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt thầy giáo, giáo Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, thầy giáo, giáo Phịng Phương trình vi phân, Viện Tốn học, ln giúp đỡ, động viện, tạo mơi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu, anh chị em Khoa Tự nhiên, Trường Đại học Hoa Lư tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả q trình học tập nghiên cứu hồn thành luận án Tác giả xin trân trọng cảm ơn quỹ NAFOSTED tài trợ cho tác giả suốt trình học nghiên cứu sinh Lời cảm ơn sau cùng, xin dành cho gia đình tác giả, người dành cho tác giả tình yêu thương trọn vẹn, ngày chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận án Mục lục Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Một số quy ước kí hiệu Mở đầu Tổng quan 10 Chương1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 17 1.1 1.2 Toán tử ∆γ số không gian hàm 17 1.1.1 Toán tử ∆γ 17 1.1.2 Một số không gian hàm 19 1.1.3 Một số tính chất 20 Tập hút tồn cục tính chất 23 1.2.1 Một số định nghĩa 23 1.2.2 Một số tính chất 26 Chương2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM CỦA BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC SUY BIẾN 2.1 28 Một số định lí tồn nghiệm yếu 28 2.1.1 Định lí tồn nghiệm yếu 29 2.1.2 Định lí tồn nghiệm yếu không âm 41 2.2 Tính quy nghiệm tốn biên elliptic suy biến 44 Chương3 TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC TẮT DẦN CHỨA TỐN TỬ ELLIPTIC SUY BIẾN MẠNH TRONG MIỀN BỊ CHẶN 52 3.1 Sự tồn nghiệm tích phân 53 3.1.1 Đặt toán 53 3.1.2 Sự tồn nghiệm tích phân 54 3.2 (Ω) × L2 (Ω) Sự tồn tập hút toàn cục S(k ,k2 ),0 3.3 Đánh giá số chiều fractal tập hút toàn cục 61 69 Chương4 TẬP HÚT TỒN CỤC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC TẮT DẦN CHỨA TỐN TỬ GRUSHIN TRÊN TỒN KHƠNG GIAN 4.1 4.2 82 Sự tồn nghiệm tích phân 83 4.1.1 Đặt toán 83 4.1.2 Sự tồn nghiệm tích phân 84 Sự tồn tập hút toàn cục Sk2 (RN ) × L2 (RN ) 86 Kết luận kiến nghị 111 Các kết đạt 111 Kiến nghị số vần đề nghiên cứu 111 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 113 Tài liệu tham khảo 113 MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Trong tồn luận án, ta thống số kí hiệu sau: RN không gian vectơ thực N chiều R+ tập số thực không âm R∗+ tập số thực dương |x| chuẩn Euclid phần tử x không gian RN C k (Ω) không gian hàm khả vi liên tục đến cấp k miền Ω C0∞ (Ω) không gian hàm khả vi vô hạn có giá compact Ω Lp (Ω) khơng gian hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue miền Ω H0 không gian đối ngẫu không gian Banach H h·, ·i đối ngẫu H H (·, ·)H tích vơ hướng khơng gian H Id ánh xạ đồng * hội tụ yếu ,→ phép nhúng liên tục ,→,→ phép nhúng compact Vol(Ω) độ đo Lebesgue tập Ω không gian RN ∆x ∆y ∆z Toán tử Laplace theo biến x RN1 : ∆x = Toán tử Laplace theo biến y RN2 : ∆y = Toán tử Laplace theo biến z RN3 : ∆z = N1 P i=1 N2 P j=1 N3 P l=1 ∂2 ∂x2i ∂2 ∂yj2 ∂2 ∂zl2 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng nghiên cứu cơng trình J D’Alembert (1717-1783), L Euler (17071783), D Bernoulli (1700-1782), J Lagrange (1736-1813), P Laplace (1749-1827), S Poisson (1781-1840) J Fourier (1768-1830), công cụ để mơ tả học mơ hình giải tích Vật lí Vào kỷ XIX với xuất cơng trình Riemann, lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng chứng tỏ công cụ thiết yếu nhiều ngành toán học Cuối kỷ XIX, H Poincaré mối quan hệ biện chứng lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng ngành tốn học khác Sang kỷ XX, lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng phát triển vô mạnh mẽ nhờ có cơng cụ giải tích hàm, đặc biệt từ xuất lí thuyết hàm suy rộng S L Sobolev L Schwartz xây dựng Nghiên cứu phương trình, hệ phương trình elliptic tổng quát phương trình hyperbolic đóng vai trị quan trọng lí thuyết phương trình vi phân Hiện kết theo hướng tương đối hoàn chỉnh Cùng với phát triển khơng ngừng tốn học khoa học cơng nghệ nhiều tốn liên quan tới độ trơn nghiệm phương trình, hệ phương trình khơng elliptic phương trình hyperbolic tắt dần suy biến xuất Có số lớp phương trình, có lớp phương trình elliptic suy biến phương trình hyperbolic tắt dần suy biến, khía cạnh có số tính chất giống với phương trình elliptic phương trình hyperbolic tắt dần chứa toán tử ∆ Tuy nhiên kết đạt cho phương trình elliptic hyperbolic tắt dần suy biến cịn ít, chưa đầy đủ Với lí nêu chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án “Về số phương trình elliptic hyperbolic phi tuyến suy biến” Mục đích nghiên cứu • Nội dung : Nghiên cứu toán biên elliptic suy biến chứa toán tử ∆γ với nội dung sau: - Nghiên cứu tồn nghiệm yếu tốn; - Tính quy nghiệm yếu • Nội dung : Nghiên cứu phương trình hyperbolic tắt dần chứa toán tử elliptic suy biến mạnh miền bị chặn với nội dung sau: - Nghiên cứu tồn nghiệm tích phân; - Nghiên cứu tồn tập hút toàn cục; - Đánh giá số chiều fractal tập hút toàn cục • Nội dung : Nghiên cứu phương trình hyperbolic tắt dần chứa tốn tử Grushin tồn khơng gian với nội dung sau: - Nghiên cứu tồn nghiệm tích phân; - Nghiên cứu tồn tập hút toàn cục Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án xét toán biên toán biên giá trị ban đầu có chứa tốn tử elliptic suy biến   N X ∂ ∂ γj ∆γ := ∂x ∂x j j j=1 Phương pháp nghiên cứu • Để nghiên cứu tồn nghiệm yếu tốn chúng tơi sử dụng phương pháp biến phân • Để nghiên cứu tính quy nghiệm chúng tơi sử dụng định lí nhúng kiểu Sobolev số bất đẳng thức • Để nghiên cứu tồn nghiệm tích phân chúng tơi sử dụng phương pháp nửa nhóm (xem [53, 59]) • Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm, sử dụng công cụ phương pháp lí thuyết hệ động lực vơ hạn chiều (xem [13,14,21,22,52,58,62,74]), nói riêng phương pháp phương trình lượng phương pháp đánh giá phần đuôi nghiệm • Để chứng minh số chiều fractal tập hút tồn cục bị chặn chúng tơi sử dụng phương pháp `− quỹ đạo (xem [51, 55]) Các kết đạt ý nghĩa đề tài Luận án đạt kết sau đây: • Đối với tốn biên elliptic suy biến đưa chứng minh tồn nghiệm yếu toán với số điều kiện số hạng phi tuyến.Và chứng minh tính quy nghiệm Đây nội dung Chương • Đối với phương trình hyperbolic tắt dần chứa tốn tử elliptic suy biến mạnh miền bị chặn: Chứng minh tồn nghiệm tích phân Chứng minh tồn tập hút toàn cục đánh giá số chiều fractal tập hút Đây nội dung Chương • Đối với phương trình hyperbolic tắt dần chứa tốn tử Grushin tồn khơng gian: Chứng minh tồn nghiệm tích phân Chứng minh tồn tập hút toàn cục Đây nội dung Chương Các kết luận án mới, có ý nghĩa khoa học, góp phần s s+1 ∇γ |u| η dX ≤ |∇γ (u {|u| , M1 } η)| dX |u|s Ω ΩM Z = (min {|u|s , M1 } η) ∇γ u + u (min {|u|s , M1 }) ∇γ η Ω Z n o 2s + uη∇γ (min {|u| , M1 }) dX ≤ |u| , M1 η |∇γ u|2 dX s Ω Z n o 2s 2 u |u| , M1 )|∇γ η| dX + u2 η |∇γ |u|s |2 dX Z +3 |u|s Ω ΩM Z Z n o n o 2s 2s 2 2 |u| , M1 η |∇γ u| dX + u |u| , M1 )|∇γ η|2 dX =3 Ω Ω + s2 Z u2s−2 η |∇γ |u|2 |2 dX (2.15) |u|s ΩM Từ (2.13), (2.14) (2.15), ta có Z |∇γ (u {|u|s , M1 } η)| dX Ω Z ≤C +C  a(X)|u|2 |u|2s , M12 η dX Ω Z ≤ C + CM2  |u|2 |u|2s , M12 η dX Ω Z  a(X)|u|2 |u|2s , M12 η dX +C CΩaM 47 Z  a(X)|u|2 |u|2s , M12 η dX ≤ C(1 + CM2 ) + C (2.16) CΩaM Áp dụng bất đẳng thức Hăolder, ta cú Z  C a(X)|u|2 |u|2s , M12 η dX CΩaM  Ne e−2  2e   N Z  ≤C N Z e N 2  Ne |u| |u|2s , M12 η Ne −2 dX     |a(X)| dX   CΩaM CΩaM 2  2e   Ne e−2 N N Z e e 2N N  |a(X)| dX   |u {|u|s , M1 } η| Ne −2 dX  (2.17)  Z  ≤C CΩaM Ω 2 Do u {|u|s , M1 } η ∈ Sγ,0 (Ω) nên theo Mệnh đề 1.1.5, ta có  Ne e−2  N Z s |u {|u| , M1 } η|  e 2N e −2 N Z ≤ C1 dX  |∇γ u {|u|s , M1 } η|2 dX Ω Ω Kết hợp với (2.16) (2.17), ta có Z |∇γ (u {|u|s , M1 } η)| dX Ω Z ≤ C(1 + CM2 ) + ε(M2 ) |∇γ u {|u|s , M1 } η|2 dX, (2.18) Ω  2e  N Z e N  |a(X)| dX   ε(M2 ) = CC1  CΩaM Do ε(M2 ) → M2 → ∞, nên ta chọn M2 đủ lớn cho ε(M2 ) = 12 , 48