bản đê tìm điếm bất động của ánh xạ F. 0 phương pháp thứ nhất, điêm bất động được tìm như là giới hạn của dãy lặp sau: «o(í) = «0, «n+i(t) = F«n(t), Ví e 0,T. Phương pháp thứ hai là sử dụng các định lý điểm bất động: Định lý ánh xạ co Banach khi f thỏa mãn điều kiện Lipschitz, Định lý Schauder hay mở rộng của nó là Định lý DarboSadovskii khi f thỏa mãn một diều kiện về tính compact. Trong luận án này chúng tôi sẽ xét một lớp bài toán Cauchy chứa kì dị. Đó là bài toán Cauchy (1) trên một họ (cũng gọi là một thang) các không gian Banach (Xs, ||.||Ạ s e a, 6 thỏa mãn lllls < lulls, Va; € xs,s < s.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH PHẠM VĂN HIÊN MỘT SỐ BÀI TỐN CAUCHY CHỨA KÌ DỊ TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 62 46 01 02 HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Bích Huy ành phố Hồ Chí Minh - 2021 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình khoa học tơi hưởng dẫn PGS.TS Nguyễn Bích Huy Các kết viết luận án hoàn toàn trung thực chưa công bố tác giả khác Nghiên cứu sinh Phạm Văn Hiển Mục lục LỜI CAM ĐOAN MỞ DẦU 0.1 Sử dụng dãy lặp nghiên cứu toán 0.2 Sử dụng ánh xạ co nghiên cứu toán 10 0.3 Sử dụng tính compact nghiên cứu toán 11 Chương KIẾN THỨC SỞ 14 1.1 Các định lý điểm bất động 14 1.2 Không gian với thứ tự sinh nón 15 1.3 Ánh xạ co theo họ nửa chuẩn 17 1.4 Dộ đo phi compact ánh xạ cô đặc 18 1.5 Một số kiến thức khác 20 Chương SỬ DỤNG DÃY LẶP TRONG NGHIÊN cứu BÀI TỐN 22 2.1 Bài tốn với kì dị yếu 22 2.2 Phương trình bậc phân thứ với kì dị yếu 28 2.2.1 Các khái niệm 28 2.2.2 Sự tồn nghiệm 29 2.3 Kỹ thuật lặp đơn điệu 32 2.4 Bài tốn có chậm 38 Chương SỬ DỤNG ÁNH XẠ co TRONG NGHIÊN cứu BÀI TOÁN 42 3.1 Bài toán với điều kiện Lipschitz địa phương 42 3.2 Bài toán có chậm 46 3.2.1 Sự tồn nghiệm toán tổng quát .46 3.2.2 Bài toán áp dụng 49 3.3 Bài tốn miền vơ hạn 54 Chương SỬ DỤNG TÍNH COMPACT TRONG NGHIÊN cứu BÀI TỐN56 4.1 4.2 4.3 4.4 Xây dựng khơng gian Frechetvà độ đo phi compact cho toán 57 Bài tốn Cauchy khơng cóchậm Giải tốn có chậm Cấu trúc tập nghiệm lớp tốn Cauchy thang khơng gian Banach 4.4.1 Bài tốn khơng gian nghiệm 4.4.2 Một số bổ đề cần thiết 4.4.3 Cấu trúc tập nghiệm 60 65 70 70 73 77 KẾT LUẬN 82 Danh mục cơng trình tác giả 84 Tài liệu tham khảo 84 MỞ ĐẦU Các trình Tự nhiên Xã hội phụ thuộc vào thời gian t thường mô tả phương trình vi phân với điều kiện đầu (hay tốn Cauchy) sau: u'ơ) = /(*,“(í)), t € [0, T), u(0) = UQ, (1) u : [0, T] -> X ẩn hàm, f : [0, T] X X —> X hàm biết, thỏa mãn số điều kiện X khơng gian vectơ tơpơ Nghiệm tốn theo nghĩa cổ điển (hay nghiệm mạnh) hàm u e C([0,T],X) nC1((0,T),X) thỏa mãn (1) Ban đầu, toán (1) nghiên cứu với X không gian hữu hạn chiều Khi (1) phương trình vi phân thường Peano chứng minh tồn nghiệm Ị hàm liên tục; Picard khẳng định tồn nghiệm f liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức ||/(t,u) - /(i,v)||x < C||u-v||x (2) Các phương trình đạo hàm riêng dạng parabolic hyperbolic đưa tốn (1) với X khơng gian Banach không gian Frechct (khi cần xét tồn nghiệm khoảng thời gian vơ hạn) Khi định lý Picard đúng; định lý Peano điíng f hên tục thỏa mãn thêm diều kiện có liên quan tới tính compact, ví dụ điều kiện "cơ đặc" độ đo phi compact a không gian X dạng aự(t, B)) < Co(B) B c X tập bị chặn (3) Nếu vế phải (1) hàm liên tục tốn tương đương với tốn tìm hàm u c C([o, T],X) thỏa mãn iz(í) = n0 + [ f(r, u(rỴ)dr := Fu(tỴ (4) Phương trình (4) xác định ánh xạ F : C([o, T],X) —> C([o, T],X) điểm bất động F nghiệm tốn (1) ban đầu Có hai phương pháp đê tìm điếm bất động ánh xạ F phương pháp thứ nhất, điêm bất động tìm giới hạn dãy lặp sau: «o(í) = «0, «n+i(t) = F«n(t), Ví e [0,T] Phương pháp thứ hai sử dụng định lý điểm bất động: Định lý ánh xạ co Banach f thỏa mãn điều kiện Lipschitz, Định lý Schauder hay mở rộng Định lý Darbo-Sadovskii f thỏa mãn diều kiện tính compact Trong luận án chúng tơi xét lớp tốn Cauchy chứa kì dị Đó tốn Cauchy (1) họ (cũng gọi thang) không gian Banach (Xs, ||.||Ạ s e [a, 6] thỏa mãn ll^lls < lulls', Va; € xs',s < s' Q Tính kì dị thê chõ ánh xạ f khơng tác động từ khơng gian vào mà vào không gian rộng thỏa mãn điều kiện Lipschitz dạng Xs' c xs, ||/(t,«)-/(t,v)||s < —||u- v||y, u,v G xs', s < s' s—s (5) điều kiện đặc dạng B)) < , ss a.s'(fì), B c X8> bị chặn, $ < s', (6) a.s độ đo phi compact Kuratowski Xg Các nhà toán học L.Ovcyannikov T.Yamanaka người dầu tiên sử dụng thang không gian Banach nghiên cứu mở rộng định lý Cauchy- Kowalevskaya cho hệ phương trình đạo hàm riêng [44, 45, 54, 55] Trong [44, 45] tác giả xét toán ớu V—' du X/ “V = + «0« = Lu(t,x), az(O, a;) = u^x) ơt ƠXi i=i (7) Họ xây dựng thang không gian Banach sau Với số dương s đặt xs không gian hàm giải tích cầu mở Bg — {x e R" : ||a?|| < s} liên tục Bs với chuẩn: IIMIs = |a|=fc 52 bl SU P a — (oi, ,ữn) € N"' đa sô |ữ| = O] + + an Ta có thê chứng minh 5)eAAEt,s : IMIE = sup (b - s - At)2||u(t)||., < oc > ( (t,s)€AÀ J (4.21) Bằng cách chứng minh tương tự bổ đề 3.1.2., thấy (E, ll-ll#) không gian Banach Trở lại vấn đề điểm bất động ánh xạ F+S, trường hợp ánh xạ Ự-F) khả nghịch điểm bất động F + S điểm bất động ánh xạ = ự — F)~ỵs ngược lại Bồ đề 4.4.3 Trong không gian Banach (X, ||.||), giả sử F : X -> X ánh xạ k-co, tức tồn số k G [0,1) cho: ||F(x) - F(y)\\ < k\\x - y\\,\/x,y e X Với z G X, đặt Fz(x) = z + F(x) Khi ự — F) đồng phóT, ự — F)-1 liên tục và: (a) ự- F)~1Z = lim^ooFf (,r), v.i; e X (b) Dặt a = jdj: thĩ ||Fny)-y||Cỳ)) o (/ - F)^) = Giả sứ có z' mà (7 — F)z' = z z' điểm bất động Fz z' = ộ(zỴ Vậy ự — F)‘ = ộ có (a) Mặt khác với X, ZI,Z2 ẽ X n G N thì: ||F21(X) -F22(X)|| = ||Z1-Z2||; II^Ẳ(z) - Fi2(-r)ll < \\F(FZ1(x)) - F(F%(x))|| + ||zi - 22|| < (k + 1)11*1 - 22|| \ — kn II w - WII < hi - Z2|| E k’ = ||21 - 22||^—y ' — rv ánh xạ liên tục 2Tức I - F ự - F)-1 Cho n —> oo ||ự>(zi) — 0(22)11 < ĩẻrlhi - 22II, (/ - F)-1 liên tục Cho z = 21,Z2 = ỡx X = y ||F™(y) — F"'(y)|| < 11^11/(1 — kỵ Mà F(y) — y (b) □ Chúng ta ký hiệu cầu tâm y e F, bán kính R > là: Bfí(y) = {fí € E : ||u - y\\E < R} 4.4.2 Một số bổ đề cần thiết Bổ đề 4.4.4 Giả sử UQ e xh (fl) f : [0,T] X XS' -> Xs liên tục ||/(t,ìzo)||s < K/(ỉ> - s) với t € [o,ĩị s < s' (f2) Tồn số dương c cho với t G [0,T], s < s', u,v G xs' thì: ||/(t,íí) - /(t,v)|b < -7^—||u-v||S' Khi đó, 4C < X ánh xạ F định, nghĩa từ (4.20) tó, k-co không gian E với k = A Chứng minh Với (t, s) G A\,u e E, có thổ chọn s' G (s, b—Xt) u G EtĩS' Kết hợp (/1), suy Fu € Et,s Đặt Uo(i) = uo,vt, có (b - s - At)2||Fìio(Olls < (6 - s - ^)2 < (& - «)2||«o|k + (b - a)KT, V (t, 5) AA Cho nên FUQ e E Tiếp theo, giả sử (í, s) G AA, U,V G E, đặt S(T) = (ò - XT + s)/2, T < t, áp dụng (/2) suy ra: \\Fu(t) - Fv(t)\\s < / ||/(T,tz(r)) - /(r,f(r))||.sdT < / -_ ——dr S s Jữ Jữ X) E Dể chứng minh s compact, đặt phân hoạch cho AA Cho số dương nhỏ £, đặt AA4 = {(t, s) € AA : (b - s - Xt) > Khi đó, tìm số đủ lớn để phân hoạch: t(i) := i^XtyT’ s(í} :=b-£- xt(í)’ = °’ !’ •••’ (4-22) thỏa mãn mãn điều kiện (í(i),s(i-1))e AA, Vi = 1,2, ,^ Tntóc hết, chứng minh s liên tục Giả sử Bftly) có: lim ||t£ n - tí||£ = n—>oo Cho trước e > bất kỳ, xét phân hoạch (4.22) với = x/c/(2MR(ỳ)Tx) Với ệ sup (b - s - Xt)2\\Sunự) - Su(t)\\s ), t & Khi hn : [í^0),^1)] —> R hàm số liên tục bị chặn 2Af/ỉ(y) Mặt khác lim /i„(í) — 0, Vi n—>oo ' Theo định lý hội tụ bị chặn Lesbegue, suy lim / n^oo hn(r)dT J — o Giả sứ’ (í,s) G AẶ^ t G n > ni thì s < s(°), tồn ni để với „ /•í(1’ sup (b - s - Xt)2\\Sun(t) - Su(t)\\s < (b - a)2 hn(r)dr < e (t,s)eẦA>e Jữ teftW/1’] Lập luận tương tự thay í(0\í(1\s ìĩị,i = 1,2, (t,s)eAA,í Nghĩa n > max{nJj=i.2 ,Afí sup (b - s - Xt)2\\Sun(t) - Su(t)\\s < E (4.24) (Í,S)€AA,Í Kết hợp (4.23) (4.24) suy llSttn - Sull# < £, \/n > max{ni}i=i^Ní Vậy s liên tục Tiếp theo, chứng minh s compact Giả sử {u n}n c Bfí(y) yn — Sun, chứng minh {yn}n có dãy hội tụ E theo bước sau Bước 1: Với (t, s) G AA cố định tập Ấ(i) — {ynự) : n G N} compact tương đối x s Thật vậy, chọn s' = (s + b — )/2 với n có: Un E Ih, ^11 , ll ll (^ + llvlls) vnc-r-ef (T “”” > m sup s < sh-1) Hơn SUP IKW - 2*Ơ)IISƠ-1) < /, _\2- teịtO-ĩ),^)] - «4 te[t(í-ữ,t(i)] Tức sup (ỉ> - s - At)2||wn(t) - z*(t)||s < Vn > max{ni}i=i( jve (Í,S)€ÃA.Í Kết hợp với (4.25) với n > maxfnj^i, ^ có sup (ố - s - )2||wn(í) - z*(í)||s < £ (t,«)ẽAĂ Vậy linin-joo ||wn - z*II# = Chúng ta chứng minh xong □ 4.4.3 Cấu trúc tập nghiệm Định lý 4.4.6 Giả sử Uo € Xb giả thiết (/1), (/2), (g) Gọi y điểm bất động ánh xạ co F, giả sử tồn MR(Ù) với R và: R—»00 R lim = 0- (4.26) Khi đó, X > 4C tập nghiệm, (4.19) E Chứng minh Chúng ta sử dụng định lý 4.4.2 cho ánh xạ u = F + s F, s dược xác định (4.20), khơng gian X = E xây dựng (4.21) Theo kết trình bày bổ đề 4.4.3, 4.4.4 4.4.5 có: t/(«) := (/ - FrỵS(u) = lim F^.Rz), Vu,ze E 72 oo Và với số R cho trước Ư ánh xạ compact từ B/dy) vào E Tập nghiệm toán (4.19) tập điểm bất động u Chúng ta chứng minh giả thiết định lý 4.4.2 theo bốn bước (Lưu ý phải chứng minh giả thiết định lý 4.4.2 với n đủ lớn.) Bước Chúng ta tìm số Ro để V B/iJy) có tính chất: : V —> V điểm bất động Ư E thuộc T> Đặt: h(t, s) := t(b — s — Ai)2, (t, s) € AẶ Bằng cách khảo sát có: K = sup h(t, s) < 4(6 — ữ)3/(27A) (Í,S)6AA Nghĩa có với u G B/dy) thì: (ờ - s-)2||Su(í)||s < (6 - s < /i(t, < KMR(yỵ v(t,s) G AÀ Vậy ||Su||£ < KMR(y), Vtt BR(yỴ (4.27) Theo bố đề 4.4.3, 4.4.4 với u G E có ||V(u) - y\\E < a|mh, a = A/(A - 4C) Theo giả thiết (4.26) tồn Ro đổ: M y>> ^ < - —ị- < M^y\ VR > RQ (4.28) Ro aK RQŨÌK R RO Kết hợp (4.27), suy u B/ìẬy') thì: ||V(u) - y\\E < O||S(U)||E < aM^K < Ro Nghĩa U(BR^yỴ) c BRẶÙ) Bây giờ, giả sử u điểm bất động II?/ - y||s ■.= R> Ro thì: lh - Ỉ/||E = l|C(u) - y||js < a||S(u)||£ < aA//ỉ(y)/< 1/n Với u G D, đặt: sn(«)(t) = S(u)(an(t)), t e [0,TA), cn(u) = ự - F)-1^^) Khi với t G [0, Tx) n e N < aTỈ(t) < t Cho nên, cách tương tự bước 1, thấy Un : V —> V Chúng ta sử dụng định lý 4.4.2 cho ánh xạ ư, ưn tập p Bước 2: Giả thiết (a) định lý 4.4.2 Với t € [0, T) n e N < ữn(t) < t cách chứng minh tương tự bổ đề 4.4.5 sn liên tục compact từ p vào E với 11 Bây giờ, cho u e T>, (t, s) e A A số tự nhiên n thì: (b- s- At)2||S,ì(u)(t) - S(w)(t)||s < ụ> - a II.9(F«(T)) lb cho: Mà theo (4.29) lập dãy {Sn}n mà ta ký hiệu {Sn}n cho: sup ||Sn(tí) < ỏnUS'D Hay: sup ||Fn(u) - F(u)||£ = sup ||(Z - F) lSn(u)-ự-F) UỄĨ> < i w€ĩ> Chúng ta chứng minh xong bước Bước 3: Giả sử w e V ||w||£ < 1, chứng minh phương trình u = un(u) +w có nghiệm ĩ> với n đủ lớn Phương trình cho có dạng tương đương: ưn{u) = ự- Fyxsn{ù) = u- w — sn(u) + F(M — w) + w sn(ù) + G(tz) Vì F ánh xạ k-co có điểm bất động y G ánh xạ k-co với điểm bất động (y + w) Cho trước số tự nhiên n, áp dụng bổ để 4.4.3-b) cho ánh xạ G z — sn(ù), có: \\GSn(u)(y + w) - y\\e < a||Sn(w)||E+ I|W||E Áp dụng (4.27)-(4.29) với n đủ lớn có: llổs„(u)(ỉ/ + w) - V\\E < adl-S'W - Sn(w)lk + imilr) + < o||S(u)||Ê + < n A\W/?(,(C + < Ro Từ đó, dùng bổ đe 4.4.3-a) cho ánh xạ G m vô hạn suy (7 — G)-1(Sn(u)) G p, VuGĨ> Áp dụng định lý điểm bất động Schauder suy tồn điểm bất động ánh xạ (7 - G)õ ìSn p Dó điểm bất động ánh xạ G + sn nghiệm phương trình xét Bước 4: Chứng minh giả thiết (b) định lý 4.4.2 Phương trình u = un(ù) + w có the viết tương đương là: vn(u) := ự — un)(u) = w Tiếp theo bước để chứng minh giả thiết (b) định lý 4.4.2, cần chứng minh dơn ánh đủ Ký hiệu phần tử không thang không gian xs phần tử không E ớ/.;- Khơng tính tổng qt, xét n đủ lớn để 1/n < T\ Trước tiên, xét t G [0; 1/n], u G p, ta có Sn(u)(t) = S(M)(0) = Do + e = wữ(tỴ = FTO-1(wo)(t) Giả sử = F"(»o)(t) + s»(«)(i) = í”(w0)(í) Bằng quy nạp, suy F r„(M)(^)W = Fm_1(wo)(t), Vm = 1,2, ,í G [0,1/71], tz G V Cho m vơ hạn theo bổ đề 4.4.3, suy rn(u)(i) = (7 - F)-1S„(u)(t) = (7 - Vi G [0; 1/n], Vu G V Vì vế phải khơng phụ thuộc u có: Í4(u)(t) = Gn(v)(í), Ví G [0; 1/TI], u,v G V (4.30) Tiếp theo, giả sử tí, tí € V thỏa, mãn tt(í) — vịt), Vt e [0;A;/n], k e {1,2,3, },7\ > k/n Xét t € [0; (k 4- l)/n] n [0, T), suy ữn(t) € [0; k/n] tí(r) = V(T), VT G [0, a„(t)] Cho nên: sn(u)(t) = S(tz)(ữn(í)) = S(v)(an(í)) = sn(v)(í) o Già sử J^M(«E)(Í) = *Ĩ|,)(W) suy = F5nW(ớE)(t) JSẬ!)(«E)(Í) = S„M(t) + F(F^M(De))(l) - s„(v)(t) + F(Fịị(v)(tlB))(t) = Theo quy nạp, suy w e [0; (* + !)/«] n [0,TĂ),m e N+ Cho m vô hạn, suy u(t) = v(t), Ví G [0; k/n],T\ > k/n thì: C7„(«)(í) = /7„(v)(t), Ví G [0; (fc + l)/n] n [0, Tx) (4.31) Cuối cùng, giả sử vn(ù) — Vn(v) & u — un(u) = V — un(y) u - V = ưn(u) - un(y) (4.30) suy tí(í) — v(t), Vi G [0,1/n] Sau áp dụng (4.31) với k — 1, u(t) - v(í) = Ĩ7n(«)(i) - cn(v)(t) = ớ, vt € [0,2/n] n [0,TÀ) Nếu T\ < 2/n dừng lại, cịn T\ >2/n lại áp dụng (4.31) với k — Rồi tiếp tục với k — 3, có u(t) — v(t), Ví € [0,7\), suy u — V không gian E Các điều kiện định lý 4.4.2 Do chứng minh xong □ KẾT LUẬN I Trong' luận án, (tã đạt kết sau: Chứng minh tồn nghiệm toàn cục cho hai lớp toán Cauchy thang khơng gian Banaclì với kì dị yếu tốn cấp bậc không nguyên Xây dựng dãy lặp đơn điệu hội tụ nghiệm lớp tốn Cauchy thang khơng gian Banach có thứ tự Xét tốn có chậm trơn thang khơng gian Banach dạng «'(í) = tz(O) = u0, với /i(t) < í1/?, t G (0,1) p G (0,1) Các kết thu bao gồm 3.1 Khi f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai Holder theo biến thứ ba ||/(t,Ul,Vl) - f(t,U2,V2)\\s < ỹ^(||«l - lulls'+ Ikl - tolls'), U1,U2,V1,V2 € XS',s < s' tốn có nghiệm dịa phương 3.2 Khi f không phụ thuộc biến thứ hai thỏa mãn điều kiện - /(í,t>2)||s < zy fuhb - V1,V2 e Xs>,S < s', tốn có nghiệm tồn cục kì dị mạnh (7 > 1) 3.3 Xét trường hợp f thỏa mãn điều kiện tính compact dạng Q,(/(t,íỉl.íỈ2)) < L (a.ịtti) +